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第 2.4 节 单摆
1 对单摆概念的理解
1.把单摆的振动看作是简谐运动，需要满足的条件是( )
A．摆球体积要大
B．摆线要粗而结实
C．最大摆角不超过5°
D．摆球的重心必须在球心上
【答案】C
【解析】摆球要选用体积较小密度大的金属球，减小空气阻力，故 A错误．摆线应细一些并且结实些，以
减小空气阻力，故B错误；重力沿弧线的分力提供回复力，最大摆角不超过5°，故C正确；摆球选用体积
较小密度大的金属球，减小空气阻力，摆球的重心是否在球心没有定性要求，故D错误．
2.(多选)关于单摆的运动，下列说法中正确的是( )
A．单摆的回复力是摆线的拉力与重力的合力
B．单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力
C．摆球做匀速圆周运动
D．单摆做简谐运动的条件是最大偏角很小，如小于5°
【答案】BD
【解析】单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力，千万不要误认为是摆球所受的合外力，所以 A
错误，B正确；单摆在摆动过程中速度大小是变化的，不是匀速圆周运动，C错误；在摆角很小时，单摆
近似做简谐运动，D正确．
2 对单摆回复力的理解
3.对于做简谐运动的单摆，下列说法中正确的是( )
A．在位移为正的区间，速度和加速度都一定为负
B．当位移逐渐增大时，回复力逐渐增大，振动的能量也逐渐增大
C．摆球经过平衡位置时，速度最大，势能最小，摆线所受拉力最大
D．摆球在最大位移处时，速度为零，处于平衡状态
【答案】C【解析】回复力F＝－kx，加速度a＝－ ，若位移为正，加速度为负，但经过同一点速度有两个可能的
方向，不一定为负，故A错误；回复力F＝－kx，当位移逐渐增大时，回复力逐渐增大，机械能守恒，不
是增加；故B错误；摆球经过平衡位置时，动能最大，故速度最大，重力势能最小，摆线所受拉力最大，
故C正确；摆球在最大位移处时，速度为零，受重力和拉力，二个力不共线，故不是平衡力，故D错误；
故选C.
4.如图O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆
球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )
A．摆球在A点和C点处，速度为零，合力也为零
B．摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
D．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
【答案】D
【解析】摆球在摆动过程中，在最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，故A、B错误；在
最低点B，速度最大，回复力为零，摆球做圆周运动，绳的拉力最大，故C错误，D正确．
5.(多选)如图所示为均匀小球在做单摆运动，平衡位置为O点，A、B为最大位移处，M、N点关于O点对
称．下列说法正确的是( )
A．小球受重力、绳子拉力和回复力
B．小球所受合外力就是单摆的回复力
C．小球在O点时合外力不为0，回复力为0
D．小球在M点的位移与小球在N点的位移大小相等
【答案】CD
【解析】物体只受两个力：重力、绳子拉力，A错；单摆的回复力是重力沿运动方向的分力，B错；单摆在O点时，回复力为0，但合外力不为0，合外力指向运动轨迹的圆心，C正确；根据运动的对称性可知，
选项D正确．
6.(多选)下列有关单摆运动过程中的受力，说法正确的是( )
A．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力
B．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力
C．摆球过平衡位置的合外力为零
D．摆球过平衡位置的回复力为零
【答案】BD
【解析】单摆运动是在一段圆弧上的运动，因此单摆运动过程不仅有回复力，而且有向心力，即单摆运动
的合外力不仅要提供回复力，而且要提供向心力，故选项A错误；单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的
一个分力，故选项B正确；摆球过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项
C错误，D正确．
3 单摆周期公式
7.如图所示，单摆的周期为T，则下列说法正确的是( )
A．把摆球质量增加一倍，其他条件不变，则单摆的周期变小
B．把摆角α变小，其他条件不变，则单摆的周期变小
C．将此摆从地球移到月球上，其他条件不变，则单摆的周期将变长
D．将单摆摆长增加为原来的2倍，其他条件不变，则单摆的周期将变为2T
【答案】C
【解析】根据单摆的周期公式T＝2π 知，周期与摆球的质量和摆角无关，摆长增加为原来的2倍，周期
变为原来的 倍，故A、B、D错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，由周期公式T＝
2π 知将此摆从地球移到月球上，单摆的周期将变长，C正确．
8.有一摆长为L的单摆，悬点正下方某处有一光滑小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将
被挡住，使摆长发生变化．现使摆球做小角度摆动，图为摆球从右边最高点 M摆至左边最高点N的闪光照
片(悬点和小钉未摄入)，P为摆动中的最低点，每相邻两次闪光的时间间隔相等，则小钉距悬点的距离为()
A．
B．
C．
D．条件不足，无法判断
【答案】C
【解析】题图中M到P为四个时间间隔，P到N为两个时间间隔，即左半部分单摆的周期是右半部分单摆
周期的 ，根据周期公式T＝2π ，可得左半部分单摆的摆长为 ，即小钉距悬点的距离为 ，故C
选项正确．
9.如图所示是半径很大的光滑凹球面的一部分，有一个小球第一次自 A点由静止开始滑下，到达最低点O
时的速度为v ，用时为t ；第二次自B点由静止开始滑下，到达最低点O时的速度为v ，用时为t ，下列
1 1 2 2
关系正确的是( )
A．t＝t，v>v
1 2 1 2
B．t>t，v<v
1 2 1 2
C．t<t，v>v
1 2 1 2
D．t>t，v>v
1 2 1 2
【答案】A
【解析】从A、B点均做单摆模型运动，t＝ ＝ ，t＝ ＝ ，R为球面半径，故t＝t；A
1 2 1 2
点离平衡位置远些，高度差大，故从A点滚下到达平衡位置O时速度大，即v＞v.
1 2
10.如图所示，两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触．现将摆球 A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动．以 、 分别表示摆球A、B的质量，则( )
mA mB
A．如果mA＞mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
B．如果mA＜mB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧
C．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧
D．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都在平衡位置右侧
【答案】C
【解析】根据周期公式T＝2π 知，两单摆的周期相同，与质量无关，所以相撞后两球分别经过 T后
回到各自的平衡位置．这样必然是在平衡位置相遇；所以不管 A、B的质量如何，下一次碰撞都在平衡位
置，故A、B、D错误，C正确．
11.如图5所示，两段光滑圆弧轨道半径分别为R 和R ，圆心分别为O 和O ，所对应的圆心角均小于5°，
1 2 1 2
在最低点O平滑连接．M点和N点分别位于O点左右两侧，MO的距离小于NO的距离．现分别将位于M
点和N点的两个小球A和B(均可视为质点)同时由静止释放．关于两小球第一次相遇点的位置，下列判断
正确的是( )
图5
A．恰好在O点
B．一定在O点的左侧
C．一定在O点的右侧
D．条件不足，无法确定
【答案】C
【解析】据题意，两段光滑圆弧所对应的圆心角均小于5°，把两球在圆弧上的运动看做等效单摆，等效摆长等于圆弧的半径，则A、B两球的运动周期分别为 ＝2π ， ＝2π ，两球第一次到达O点的时间分
TA TB
别为 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，由于R<R ，则 < ，故两小球第一次相遇点的位置一定在O点的右侧．
tA TA tB TB 1 2 tA tB
故选C.
12.(多选)下列说法正确的是( )
A．单摆的等时性是惠更斯首先发现的
B．单摆的等时性是伽利略首先发现的
C．惠更斯首先将单摆的等时性用于计时
D．伽利略首先发现了单摆的等时性，并把它用于计时
【答案】BC
【解析】伽利略发现了单摆的等时性，荷兰物理学家惠更斯首先确定了单摆的周期公式，B、C正确．
13.(多选)如图所示，三根细线OA、OB、OC结于O点，A、B端固定在同一水平面上，使AOB成一直角三
角形，∠BAO＝30°，已知OA绳长为L，OC绳长也为L，下端C点系一个可视为质点的小球，下面说法中
正确的是( )
A．当小球在纸面内做小角度振动时，周期为：T＝2π
B．当小球在垂直纸面方向做小角度振动时，周期为T＝2π
C．当小球在纸面内做小角度振动时，周期为T＝2π
D．当小球在垂直纸面内做小角度振动时，周期为T＝2π
【答案】AB【解析】当小球在纸面内做小角度振动时，圆心是 O点，摆长为L，故周期为T＝2π ，故A正确，C
错误；当小球在垂直纸面方向做小角度振动时，圆心在墙壁上且在 O点正上方，摆长为l′＝1.5L，故周期
为T＝2π ，故B正确，D错误；故选A、B.
14.(多选)如图为甲、乙两单摆的振动图象，则( )
A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l ∶l ＝2∶1
甲 乙
B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l ∶l ＝4∶1
甲 乙
C．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比为g ∶g
甲 乙
＝4∶1
D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比为 g ∶g
甲
＝1∶4
乙
【答案】BD
【解析】由题图可知T ∶T ＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆长之比为l ∶l ＝4∶1，故A错误，B
甲 乙 甲 乙
正确；若两摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g ∶g ＝1∶4，故C错误，D正确．
甲 乙
15.(多选)如图3甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平
衡位置的位移x随时间t变化的图象如图乙所示．不计空气阻力，g取10 m/s2.对于这个单摆的振动过程，
下列说法中正确的是( )
图3
A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin (πt) cm
B．单摆的摆长约为1 mC．从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D．从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小
【答案】AB
【解析】由振动图象可读出周期T＝2 s，振幅A＝8 cm，由ω＝ 得到圆频率ω＝π rad/s，则单摆的位移x
随时间t变化的关系式为x＝Asinωt＝8sin (πt) cm，故A正确．由公式T＝2π ，代入得到l≈1 m，故B正
确．从t＝2.5 s到t＝3 s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，摆球的位移减小，回复
力减小，速度增大，所需向心力增大，绳子的拉力增大，故C、D错误．
16.(多选)将一个电动传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得某单摆摆动时悬线
上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示，根据此图提供的信息作出以下判断( )
A．摆球的摆动周期T＝0.6 s
B．t＝0.2 s时摆球正好经过最低点
C．t＝1.1 s时摆球正好经过最低点
D．摆球摆动过程中机械能守恒
【答案】BD
【解析】在一个周期内摆球两次经过最低点，每次经过最低点时拉力最大，根据图象知周期 T＝1.2 s，故
A错误；摆球经过最低点时，拉力最大，在0.2 s时，拉力最大，所以此时摆球经过最低点，故B正确；
在t＝1.1 s时，摆球的拉力不是最大，不经过最低点，故 C错误；在最低点，拉力和重力的合力提供向心
力，根据牛顿第二定律，有：F －mg＝m ，摆球摆动过程中每次经过最低点时，拉力大小不变，故速度
T
大小不变，故机械能守恒，D正确．17.(1)如图甲所示为小金在进行“探究单摆摆长和周期关系”实验时，用秒表记录下单摆50次全振动所用
时间，由图可知该次实验中50次全振动所用时间为________ s.
(2)如图乙所示，他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁
夹将橡皮夹紧，他这样做的主要目的是________．
A．便于测量单摆周期
B．保证摆动过程中摆长不变
C．保证摆球在同一竖直平面内摆动
(3)小金同学以摆线的长度(L)作为纵坐标，以单摆周期的平方(T2)作为横坐标，作出L－T2的图象如图丙所
示，则其作出的图线是________(填“图线1”“图线2”或“图线3”)．若作出的图线的斜率为k，能否根据图
象得到当地的重力加速度？________________________.
(若不可以，填“否”；若可以求出，则写出其表达式)
【答案】(1)99.8 (2)B (3)图线2 4π2k
【解析】(1)秒表的读数为60 s＋39.8 s＝99.8 s，即50次全振动所用时间；
(2)用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，这样做主要是为了防止小球在摆动过
程中把摆线拉长，故B正确；
(3)根据单摆周期T＝2π 可得，
L＝ T2－ ，故应为图线2；
根据图象斜率k＝ ，
所以g＝4π2k.
