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专题02 数学物理方法
1.三角形相似法
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系。
具体方法应用：①对物体在某个位置作受力分析；②以两个变力为邻边，利用平行四边形定则，作平行四
边形；③找出相似的力的矢量三角形和空间几何三角形；④利用相似三角形对应边的比例关系确定力的变
化。
2．正弦定理法（或拉密定理法）
（1）正弦定理：在如图所示的三角形中，各边和所对应角的正弦之比相等，即：＝＝。
（2）拉密定理：
在三力平衡问题中，这三个力其中一个力为恒力，另外两个力都变化，且变化两个力的夹角不变。
拉密定理：
1
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3．三角函数辅助角公式法
三角函数：y＝acos θ＋bsin θ，y＝acos θ＋bsin θ＝sin(θ＋α)，其中tan α＝.
当θ＋α＝90°时，有极大值ymax＝.
4.均值不等式法
由均值不等式a＋b≥2(a>0，b>0)可知：
(1)两个正数的积为定值时，若两数相等，和最小；
(2)两个正数的和为定值时，若两数相等，积最大．
5.二次函数法
二次函数：y＝ax2＋bx＋c
(1)当x＝－时，有极值ym＝(若二次项系数a>0，y 有极小值；若a<0，y 有极大值)。
(2)利用一元二次方程判别式求极值，用判别式Δ＝b2－4ac≥0 有解可求某量的极值。
6.数学归纳法和数列法
凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是与原来完全相同的
重复，而是一种变化了的重复．随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化．该类问
题求解的基本思路为：
(1)逐个分析开始的几个物理过程；
(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)；
(3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解．
无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用．
等差数列：Sn＝＝na1＋d(d 为公差)．
等比数列：Sn＝(q 为公比)．
方法一：三角形相似法
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【方法演练1】如图所示为一简易起重装置，AC 是上端带有滑轮的固定支架，BC 为质量不计的轻杆，杆
的一端C 用铰链固定在支架上，另一端B 悬挂一个质量为m 的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A 连接在卷扬机
上。开始时，杆BC 与AC 的夹角
，现使
缓缓变小，直到
。在此过程中，
（不计一切阻力）（ ）
A．绳上的拉力逐渐增大
B．杆BC 对B 点的作用力大小不变
C．杆BC 对B 点的作用力先减小后增大
D．绳子对滑轮A 的作用力变小
方法二：正弦定理法（或拉密定理法）
【方法演练2】如图a 所示，工人用推车运送石球，到达目的地后，缓慢抬起把手将石球倒出（图b）。若
石球与板OB、OA 之间的摩擦不计，∠AOB＝60°，图a 中BO 与水平面的夹角为30°，则在抬起把手使OA
变为水平的过程中，石球对OB 板的压力N1、对OA 板的压力N2的大小变化情况是（ ）
A．N1变小、N2先变大后变小
B．N1变小、N2变大
C．N1变大、N2变小
D．N1变大、N2先变小后变大
方法三：三角函数辅助角公式法
【方法演练3】2022 年10 月网上一保安用绳子轻松溜石头的视频火了如图所示，石头在保安的拉动下做滚
动，石头的运动过程可以简化成匀速运动。设石头的质量为m，拉动时石头与地面的动摩擦系数为μ，绳
子（质量不计）对石头的拉力大小为F、与水平方向的夹角为θ。下列有关说法正确的是（ ）
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A．石头受重力、地面的支持力、绳子的拉力
B．石头受到沿水平方向的摩擦力大小为Fcosθ
C．石头对地面的压力为
D．当tanθ=μ 时，绳子的拉力最小
方法四：均值不等式法
【方法演练4】如图所示，OA 是竖直线，OB 是水平线，点A 距离点O 的高度为h（h 可调节），点B 与点
O 间的距离为x（x 已知）。将一小球从A 点以合适的速度水平抛出，每次都能击中水平面上的B 点。不计
空气阻力，则（ ）
A．h 越大，小球到达B 点时的动能越大
B．小球到达B 点时的动能为
C．小球到达B 点时的动能最小值为mgx
D．h 越大，小球到达B 点时重力的瞬时功率越大
方法五：二次函数法
【方法演练5】一不可伸长的轻绳上端悬挂于横梁
点，另一端系有质量为
的小球，保持绳绷直将小球
拉到绳与竖直方向夹角为
的
点由静止释放，运动到
点的正下方时绳被烧断，小球做平抛运动，已知
点离地高度为
，绳长为
，重力加速度大小为
，不计空气阻力影响，下列说法正确的是（ ）
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A．小球刚摆到最低点时所受绳子的拉力大小为
B．小球刚摆到最低点时处于失重状态
C．若夹角
不变，当
时，落点距
点的水平距离最远
D．若夹角
不变，当
时，落点距
点的水平距离最远
方法六：数学归纳法和数列法
【方法演练6】如图所示，在光滑绝缘地面上存在垂直于地面向下的匀强磁场，磁感应强度为B。有一质
量为m 的不带电小球P 以
的速度向右运动，与另一电荷量为+q 的静止小球Q 发生正碰。两球碰撞后合为
一体垂直撞向平行于
方向的足够长的墙，已知小球与墙每次碰撞后的速率变为碰撞前的
，速度方向反
向，则最终两小球与小球Q 的初始位置的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．如图所示，水平面上放置一个绝缘支杆，支杆上的带电小球A 位于光滑小定滑轮O 的正下方，绝缘细
线绕过定滑轮与带电小球B 相连，在拉力F 的作用下，小球B 静止，此时两球处于同一水平线。假设两球
的电荷量均不变，现缓慢拉动细线，使B 球移动一小段距离，支杆始终静止。在此过程中以下说法正确的
是（ ）
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A．细线上的拉力一直增大
B．B 球受到的库仑力先减小后增大
C．B 球的运动轨迹是一段圆弧
D．支杆受到地面向左的摩擦力逐渐减小
2．竖直平面内有长度不变的轻绳1、2、3 按如图所示连接．绳1 水平，绳2 与水平方向成
角，绳3 的
下端连接一质量为
的导体棒1，在结点
正下方
距离处固定一导体棒2，两导体棒均垂直于纸面放置。
导体棒1 中通有向里的电流
，往导体棒2 中通入向外且缓慢增大的电流
。当电流
增大到某个值时，
给导体棒1 以向右的轻微扰动，可观察到它绕
点缓慢上升到绳1 所处的水平线上，3 根轻绳始终绷紧．
绳3 的长度为d，两导体棒长度均为L，重力加速度为
。若已知通电导体棒在垂直距离为
处的磁感应强
度大小为
（其中
为导体棒的电流），则在导体棒1 缓慢上升的过程中（ ）
A．绳1 中拉力先减小后增大
B．绳2 中拉力一直增大
C．导体棒2 中电流的最小值为
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D．导体棒2 中电流的最大值为
3．内燃机研发小组通过汽缸传感器，调节汽缸内一定质量的封闭气体的压强与体积，其关系如图所示，
在p—V 图像中AB 是一条直线，已知A 状态时汽缸内气体温度为27℃，标准大气压强p0=1×105Pa，气体由
状态A 到状态B 的过程中，汽缸内气体的最高温度设为T，外界向汽缸传递的热量为Q，下列说法正确的
是（ ）
A．T=468.75K，
B．T=375K，
C．T=468.75K，
D．T=375K，
4．如图所示，顶角为
的光滑绝缘圆锥，置于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，现有质量为
m，带电量为
的小球，沿圆锥面在水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
A．从上往下看，小球做顺时针运动
B．洛仑兹力提供小球做匀速圆周运动时的向心力
C．小球有最小运动半径
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D．小球以最小半径运动时其速度
5．如图所示，把倾角为
的粗糙斜面体C 置于粗糙水平地面上，质量为
的物块A 通过跨过光滑轻定
滑轮的轻绳与质量为m 的小球B 连接，O 点为轻绳与定滑轮的接触点，初始时，小球B 在水平向右的拉力
F 作用下，使轻绳
段与水平拉力F 的夹角为
，A、B 均保持静止状态。现改变拉力F，并保持
夹角
大小不变，将小球B 向右上方缓慢拉起至
水平，物块A 始终保持静止状态。g 为重力加速度，下
列关于该过程的说法正确的是（ ）
A．拉力F 一直变大
B．拉力F 最小为
C．物块C 所受地面摩擦力一直变小
D．物块C 所受地面摩擦力先变小后增大
6．宇航员王亚平在太空实验授课中，进行了水球光学实验（图甲）．某同学在观看太空水球光学实验后，
找到一块环形玻璃砖模拟光的传播．如图乙所示横截面为圆环的玻璃砖，其内径为R，外径为
．一束单
色光在纸面内从A 点以
的入射角射入玻璃砖，经一次折射后，恰好与玻璃砖内壁相切。求：
（1）玻璃砖对该单色光的折射率；
（2）为使光在玻璃砖内壁表面上发生全反射，入射角i 的最小正弦值．
7．实验小组的同学研究发现了滑块以一定的初速度沿粗糙斜面向上滑行的距离L 与斜面倾角
的关系，并
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得到如图所示的
图像。已知重力加速度
，求：
（1）该滑块与斜面间的动摩擦因数；
（2）该滑块滑行距离L 的最小值和对应的斜面倾角
。
8．如图所示，一根质量为m、长L，通有恒定电流I 的金属条在水平导轨上向右运动。金属条一直处在斜
向左上、与水平导轨成
角的匀强磁场中，金属条与导轨同动摩擦因数为
。
（1）若金属条以速度v 做匀速运动，求磁场的磁感应强度的大小；
（2）改变磁场的方向使金属条以最大的加速度沿水平导轨做加速运动，求：金属条的最大加速度；改变
磁场方向后，金属条运动位移x 的过程中安培力对金属条所做的功。
9．如图所示，固定斜面AB 的底面和高均为h，平台和斜面顶点B 在同一条水平线上，平台右端点C 在A
的正上方。物体P 以不同初速度从C 点水平抛出，已知重力加速度为g，求P 落在斜面上时的最小速度大
小。
10．如图，倾角为37°的斜面与水平面相连，有一质量
的物块，从斜面上A 点由静止开始下滑后恰
好停在水平面上的C 点，已知
长1m，
长0.4m。物块与各接触面之间的动摩擦因数相同，且不计物
块在B 点的能量损失。g 取10
，
，
。求：
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(1)物块与接触面之间的动摩擦因数；
(2)若从A 点开始施加
竖直向下的恒力作用，到达斜面底端时立即撤去F，求物块运动的总时间；
(3)若改变(2)中竖直向下恒力F 的大小，求物块运动的最短时间。
11．真空压缩袋是抽走空气利用大气压压缩物体的一种袋子，主要用于装棉被和各种衣服类，具有防潮、
防霉、防蛀、防异味等特点。某同学设计了一个活塞式抽气机对压缩袋进行抽气，可将装置简化为如图所
示，假设放入衣物后通过手工挤压使袋中容纳空气的容积为
且保持不变，袋内气体压强为大气压强
，
活塞式抽气机的容积为
，活塞的横截面积为S，不计活塞的厚度和重力，连接管的体积可忽略，抽气
过程中气体温度不变。
(1)对于第一次抽气（不考虑活塞在底端时的情况），将活塞缓慢上提，求手对活塞的最大拉力；
(2)求抽气机抽气10 次后，压缩袋中剩余气体的压强
。
12．如图所示，光滑水平轨道上放置质量为m 的长板A，质量为3m 的滑块B（视为质点）置于A 的左端，
A 与B 之间的动摩擦因数为μ；在水平轨道上放着很多个滑块（视为质点），滑块的质量均为2m，编号依
次为1、2、3、4、…、n、…。开始时长板A 和滑块B 均静止。现使滑块B 瞬间获得向右的初速度v0，当
A、B 刚达到共速时，长板A 恰好与滑块1 发生第1 次弹性碰撞。经过一段时间，A，B 再次刚达到共速时，
长板A 恰好与滑块1 发生第2 次弹性碰撞，依次类推…；最终滑块B 恰好没从长板A 上滑落。重力加速度
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为g，滑块间的碰撞均为弹性碰撞，且每次碰撞极短，求：
（1）开始时，长板A 的右端与滑块1 之间的距离d1；
（2）滑块1 与滑块2 之间的距离d2；
（3）长板A 与滑块1 第1 次碰撞后，长板A 的右端与滑块1 的最大距离；
（4）长板A 的长度。
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