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专题05 微元法
微元法是一种处理物理问题的方法，它从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体问
题的目的。微元法的核心思想是“化整为零”，即先分析“微元”，再通过“微元”分析整体。这种方法
通过将问题分解为众多微小的“元过程”，每个“元过程”所遵循的规律是相同的，然后对“元过程”进
行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
微元法的解题步骤如下：
1.明确研究对象或研究过程，并对其进行合理的分割，选择适当的微元。微元的选取应尽量简单，便
于分析处理，可以是长度、时间、质量等基本物理量。
2.对微元进行分析，找出其满足的物理规律。可以使用基本的物理公式或定理，也可以根据具体情况
建立新的物理模型。
3.对微元进行数学处理，包括代数运算、微积分等。这一步是微元法的核心，需要熟练掌握数学工具。
4.将微元的结果进行累加或累乘，得到整体的结果。这一步需要注意物理量的方向、正负号等问题。
对整体结果进行讨论和解释，明确其物理意义和适用范围。需要注意的是，微元法虽然是一种有效的
解题方法，但并不是万能的。在应用微元法时，应充分考虑其适用范围和局限性，避免出现错误或遗漏。
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方法一：静动力学中的微元法
【方法演练1】2022 年北京冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛场地边，有一根系有飘带的风力指示杆，教练员
根据飘带的形态提示运动员现场风力的情况。若飘带可视为粗细一致的匀质长绳，其所处范围内风速水平
向右、大小恒定且不随高度改变。当飘带稳定时，飘带实际形态最接近的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由于风速水平向右、大小恒定且不随高度改变，可认为单位长度飘带受到的风力
相同，假设飘
带总长为
，质量为
，由飘带自由端向上选取任意一段
，该部分飘带的重力和所受风力分别为
；
该部分飘带稳定时受力平衡，受力分析如图所示
重力与风力的合力与剩余部分间的张力
是平衡力，设竖直方向的夹角为
，则满足
可知飘带与竖直方向的角度与所选取的飘带长度无关，在风速一定时，飘带与竖直
方向的角度正切值恒定，则飘带为一条倾斜的直线。故选A。
方法二：变力做功中的微元法
【方法演练2】如图所示，某人用力F 转动半径为R 的磨盘，力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用
点的转盘的切线一致，则在转动一周过程中力F 做的功为（ ）
2
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A．0
B．2πFR
C．FR
D．-2πFR
【答案】B
【详解】在转盘转动一周的过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向（切
线方向），即F 在每瞬时与转盘转过的极小位移
，
，
，…的方向同向，因而在转动一周过程中，
力F 做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即
故选B。
方法三：柱状流体和离子模型中的微元法
【方法演练3】有一水龙头以700g/s 的流量将水竖直注入盆中，盆放在磅秤上，如图所示，盆中原来无水，
盆的质量为500g，注至10s 末时，磅秤的读数为83.3N，重力加速度取9.8m/s2，则此时注入盆中的水流的
速度为（ ）
A．10m/s
B．14m/s
C．16m/s
D．18m/s
【答案】B
【详解】10s 时，盆及水的总质量
设注入水流的速度为v，取竖直向下为正方
向，在之后的极短时间
时间内注入盆中的水的质量为
对盆和盆中的水进行分析，根据动量定
理可知
由题意可知
而
所以上式可变式为
解得
故选B。
方法四：均匀带电体电荷微元法
3
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【方法演练4】如图所示，竖直面内固定的均匀带电圆环半径为R，带电量为
，在圆环的最高点用绝缘
丝线悬挂一质量为m、带电量为q 的小球（大小不计），小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，
小球到圆环中心O 距离为
，已知静电力常量为k，重力加速度为g，以下判断正确的是（ ）
A．小球带负电，带电圆环在小球处产生的电场力方向水平向左
B．小球带正电，带电圆环对小球的电场力方向水平向左
C．小球带负电，带电圆环在小球处产生的场强大小
D．小球带负电，带电圆环对小球的电场力大小
【答案】AC
【详解】AB．小球在垂直圆环平面的对称轴上处于平衡状态，故三力平衡，则电场力的方向一定水平向左，
A 正确，B 错误；
CD．小球带负电，受到水平向左的电场力
，D 错误；
小球处于圆环上的电荷所形成的电场中，由于圆环不能视为点电荷，可以取圆环上一小部分
，这部分
电荷可视为点电荷，其电荷量为
，它在小球所在位置产生的电场强度
根据对称
性，圆环上所有电荷产生场强
故
，C 正确。故选AC。
方法五：电磁感应中棒类模型的微元法
【方法演练5】如图，光滑水平金属导轨间距为l，处在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导
轨左侧接有电容为C 的电容器，质量为m 的导体棒MN 与导轨接触良好，在恒定外力F 的作用下从静止开
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始运动，不计所有电阻，下列关于导体棒运动过程中判断正确的是（ ）
A．导体棒在磁场中做匀加速直线运动
B．导体棒上M 端的电势比N 端的电势高
C．当导轨足够长时，导体棒在一定时间内的位移与力F 成正比
D．导体棒中不会产生感应电流
【答案】ABC
【详解】A．导体棒的加速度大小为a，设导体棒开始运动后在一极短的时间
内速度的变化量为
，此
时电容器两端电压为
电容器的带电量为
回路中的电流为
根据牛顿第二定律有
解得
故A 正确；
B．根据右手定则可知导体棒上M 端的电势比N 端的电势高，故B 正确；
C．由于导体棒运动过程中加速度大小a′与F 成正比，所以根据
可知，导体棒在一定时间内的位移
与力F 成正比，故C 正确；
D．导体棒运动过程中速度不断增大，产生的感应电动势不断增大，所以电容器两端电压不断增大，根据
可知电容器充电，所以导体棒中会产生感应电流，故D 错误。故选ABC。
1．绝缘天花板上悬挂有带正电的带电绳，绳的质量和带电量都分布均匀，若在虚线下方加上水平向右的
匀强电场，绳静止时的形状应为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】利用微元法：设虚线下方的绳子单位长度质量为
，电荷量为
，取线上一小段
，其所带的
电荷量为
质量为
对这小段的线进行受力分析得，受重力大小为
，电场力为
，
和该小段细线两端线的拉力的合力，合外力为零。这该小段细线与竖直方向的夹角的正切值为
由于
、
、
、
都为定值，故该小段细线与竖直方向的夹角为定值，则可
理解整体细线与竖直方向夹角相同。将虚线下面部分看作一个整体，质量为
，电场力大小为
，设虚线
上方的绳子单位长度质量为
，取线上一小段
，质量为
这该小段细线与竖直方向的夹角的正
切值为
越向上，绳子长度越长，则
越小，则
越小。故选C。
2．从地面上以初速度
竖直向上抛出一质量为m 的球，若运动过程中球受到的空气阻力与其速率成正比，
球运动的速率随时间变化规律如图所示，
时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为
，且落地前球
已经做匀速运动。已知重力加速度为g，则（ ）
A．球上升的时间等于下落的时间
B．球上升阶段阻力的冲量大于下落阶段阻力的冲量
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C．球上升的最大高度
D．球抛出瞬间的加速度大小
【答案】CD
【详解】A．图像与时间轴围成的面积表示位移，由于上升过程和下降过程中的位移相等，上升阶段平均
速度大于下降阶段平均速度，根据公式
可知上升时间小于下降时间，故A 错误；
B．阻力为
则阻力的冲量为
其中x 表示位移，上升和下降的位移相等，球上升阶段阻
力的冲量等于下落阶段阻力的冲量，故B 错误；
C．设上升时加速度为a，根据牛顿第二定律可知
取极短
时间，速度变化量为
由于
上升全程速度变化量为
则
解得
故C 正确；
D．空气阻力与其速率成正比，最终以
匀速下降，根据平衡条件有
解得
小球抛出瞬间，
根据牛顿第二定律可得
解得
故D 正确。故选CD。
3．水平桌面上，长6m 的轻绳一端固定于O 点，如图所示（俯视图），另一端系一质量m=2.0kg 的小球。
现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F=10N，F 拉着物体从M 点运动到N 点，F 的方向始终与小球的运
动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空气阻力，取g=10m/s2，sin37°=0.6，
cos37°=0.8，则下列说法正确的是（ ）
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A．拉力F 对小球做的功为16π（J）
B．拉力F 对小球做的功为8π（J）
C．小球克服摩擦力做的功为16π（J）
D．小球克服摩擦力做的功为4π（J）
【答案】A
【详解】AB．将圆弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力F 在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F
大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以W1=Fl1cos37°；W2=Fl2cos37°；Wn=Flncos37°
故
故A 正确，B 错误；
CD．同理可得小球克服摩擦力做的功
故CD 错误。故选A。
4．如图，质量为m 的电动遥控玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v 运动，已知圆轨道的半径
为R，玩具车所受的摩擦阻力为玩具车对轨道压力的k 倍，重力加速度为g， P、Q 为圆轨道上同一竖直方
向上的两点，不计空气阻力，运动过程中，玩具车（ ）
A．在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为6mg
B．通过 P、Q 两点时对轨道的压力大小之和为
C．由最低点到最高点克服摩擦力做功为kπmv²
D．由最低点到最高点电动机做功为2kπmv²+2mgR
【答案】BC
【详解】A．在最低点，玩具车在半径方向受到向下的重力和向上的支持力，由向心力公式得
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在最高点，玩具车在半径方向受到向下的重力和向下的支持力，由向心力公式得
两式相减可
得
，A 错误；
BC．在PQ 两点的受力如图所示
在Q 点，由向心力公式有
在P 点，由向心力公式有
两式相加可得
因摩托车在不同位置与圆轨道间的压力不同，所以摩擦力是一个变力，将圆轨道分成N 段，
在轨道上下关于水平直径对称的位置上取两小段A、B，每段的长度为
，则在A、B 两小段的压力
可视为恒力，摩擦力做功之和为
解得
所以摩托车从最低
点到最高点克服摩擦力做功为
，BC 正确；
D．玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定速率v 运动,由最低点到最高点由动能定理可知
解得
，D 错误。故选BC。
5．如图所示，游戏者享受着坐在喷泉上的快乐。若游戏者的质量
，喷泉喷到人体的水柱横截
面积
，支撑人的水柱高
，水接触人体后做平抛运动。忽略空气阻力，水的密度
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，重力加速度g 取
，则喷口处的水流速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】喷口处的水流速度为
，与人体接触时水流速度为，设水流与人接触的很短时间
内，水的质
量
设这部分水受到的向下的冲击力大小为
，竖直向上为正方向，由动量定理得
解得
又根据牛顿第三定律，游戏者对人的冲击力大小
对游戏者受力平衡得
得
解得
由运动学公式
解得
故选C。
6．离子发动机是利用电场加速离子形成高速离子流而产生推力的航天发动机，工作时将推进剂离子化，
使之带电，然后在静电场作用下推进剂得到加速后喷出，从而产生推力，这种发动机适用于航天器的姿态
控制、位置保持等，航天器质量
，单个离子质量
，带电量
，加速电场的电压为
，高速离子形成的
等效电流强度为
，根据以上信息计算该发动机产生的推力为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对离子，根据动能定理有
解得
根据电流的定义式则有
对离子，根据动量定理有
解得
根据牛顿第三定律，推进器获得的推
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力大小为
故选B。
7．如图1 所示，半径为R 且位置固定的细圆环上，均匀分布着总电量为
的电荷，O 点为圆环的
圆心，x 轴通过O 点且垂直于环面，P 点在x 轴上，它与O 点的距离为d。x 轴上电势
的分布图，如图2
所示。图线上A、B、C 三点的坐标已在图2 中标出。静电力常量为k，距离O 点无穷远处的电势为零，则
下列说法正确的是（ ）
A．圆心O 点的电势为
B．圆心O 点的电场强度大小为
C．x 轴上P 点电场强度的大小为
D．电荷量为
、质量为m 的点电荷从O 点以初速度
沿x 轴射出，此点电荷移动
距离，其速度减为零
【答案】ACD
【详解】A．将圆环分成n 个微元，每个微元均能够看为点电荷，则圆心O 点的电势为
即圆心O 点的电势为
，A 正确；
B．将圆环分成n 个微元，每个微元均能够看为点电荷，根据对称性可知，圆心O 点的电场强度大小为0，
B 错误；
C．根据上述，令每个微元的电荷量为
，微元到P 点连线间距为r，微元到P 点连线与x 轴夹角为
，则
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根据对称性，P 点电场强度为
又由于
，
，
解得
，
C 正确；
D．根据
其中
，
解得
根据图2 可知，此点电荷移动
距
离，其速度减为零，D 正确。故选ACD。
8．如图，在竖直平面内有一水平放置，半径为R、带电荷量为
且均匀分布的固定大圆环。建立以圆心
O 为坐标原点，竖直向上为x 轴正方向的坐标系（未画出），圆环产生的电场在x 轴上的分布如图乙所示，
图中B、C 两点（未画出）对应的电场强度最大。一质量为m、带电荷量为
的小球从A 点无初速度释放，
依次经过B、O、C、D 点。已知静电力常量为k，重力加速度为g，
，小球所带电荷不影响电
场分布，下列说法正确的是（ ）
A．小球经过D 点的速度大小为
B．图乙中阴影部分的面积大小满足
C．小球在C 点的加速度小于在B 点的加速度
D．若B 点到圆环边缘的连线与
之间的夹角为
，则B 点的电场强度大小为
【答案】ACD
【详解】A．小球由A 运动到D 过程中，根据对称性可知电场力做功代数和为零，由动能定理有
求得
故A 正确；
B．在
图像中图线与
轴围成的面积表示
间、
间电势差的大小，根据对称性知
故B 错误；
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C．小球在
点有
在
点有
由对称性可知
、
大小相等，方向相反，即有小
球在
点的加速度小于在
点的加速度，故C 正确；
D．圆环上电荷分布均匀，取环上一点，设其电荷量
，该电荷在
点产生的场强为
沿
轴方向的分量为
大圆环上的电荷在
点产生的场强为
故D 正确。故选ACD。
9．如图所示，水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒AB 向右运动的初速度为
，
质量为m，电阻不计，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直轨道平面向下，导轨足够长且电阻不计．在
导体棒从开始运动至停下来的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒AB 内有电流通过，方向是B→A
B．磁场对导体棒AB 的作用力向右
C．通过导体棒的电荷量为
D．导体棒在导轨上运动的最大距离为
【答案】AD
【详解】A．导体棒AB 切割磁感线，根据右手定则判定AB 棒中的电流方向为
，选项A 正确；
B．根据左手定则，判定AB 棒所受安培力的方向为水平向左，选项B 错误；
C．导体棒做初、末速度已知的变加速运动，由动量定理列式
又
通过导体棒的电荷
量为
选项C 错误；
D．由动量定理列式
导体棒在导轨上运动的最大距离为
选项D 正确。
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故选AD。
10．现有如图所示光滑金属轨道处于垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为
，左边较宽部分两轨道
间距为
，右边较窄部分两轨道间距为
，轨道电阻不计。现有均匀导体棒，电阻值为
从左侧以初速度
向右运动，出发点到两侧轨道交界
处距离为
，导体棒质量为
。求（ ）
A．导体棒运动至
处速度为
B．导体棒运动至
处速度为
C．在右侧区域运动
减速到0
D．在右侧区域运动
减速到0
【答案】AC
【详解】AB．根据题意可知，导体棒运动至
处过程中，所受安培力为
由动量定理有
又有
联立解得
故B 错误，A 正确；
CD．根据题意，在右侧区域运动过程中，由动量定理有
又有
联立解得
故C 正确，D 错误。故选AC。
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