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专题15 带电粒子在交变电磁场中的运动
1.（11 分）（2024 浙江9+1 高中联盟联考）空腔圆柱的截面圆如图所示，其圆心为O，半径为R，圆面上
开有A、B、C、D 四个小孔，
，
，
，圆内存在垂直纸面向外的
匀强磁场
（未知），圆外OB 和OC 射线范围内存在垂直纸面向内的匀强磁场
（未知）。紧靠A 孔有
两金属板M，N，两板间加上交变电压
，其中
已知，质量为m，电荷量为q 的正
电粒子持续由M 板静止释放，经电场加速的粒子从A 孔沿半径方向进入空腔内部，发现在
时刻释放
的粒子恰好能从B 孔射出磁场，并能经过D 孔。已知粒子在电场中加速的时间忽略不计，粒子撞击圆面即
被吸收，圆面始终不带电。
第20 题图
（1）求从B 孔飞出的粒子的速度
及截面圆内磁感应强度
的大小；
（2）求粒子从A 孔运动到D 孔的时间
及比值
；
（3）紧靠D 孔有两金属板
，
，两板间加上沿半径方向的交变电压
，以
板出口处
点为原点建立直角坐标系
，在y 轴右侧
区域内存在垂直纸面向内的匀强磁场
，当
时，从
点进入磁场的速度最大的粒子
恰好从点
离开磁场。若要让从
点进入磁场的速度最小的粒子也恰好击中点P，则
的取
1
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值应为多少？
2
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【名师解析】.（11 分）
（1）
时刻的电压为
电场中加速
（1 分）
得
由几何关系得：从A 到B 的过程中的轨迹半径为R
由
（1 分）
联立得
（1 分）
（2）由（1）得，速度为
的粒子才能经过B 孔，进而经过C 孔和D 孔
由几何关系得：从B 孔到C 孔的轨迹的圆心角为
，半径为
（1 分）
从C 孔到D 孔的轨迹的圆心角为
，半径为R
则
（1 分）
代入得：
（1 分）
代入得
（1 分）
（3）在
时刻和
时刻进入A 孔的拉子能经过B 孔
则粒子经过D 孔时的时刻为
时刻和
3
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设
时刻经过
板后的速度为
，则
（1 分）
设
时刻经过
板后的速度为
，则
得
由题意得最大圆半径
，则最小圆半径
（1 分）
圆轨迹方程为
设粒子自点
离开轨迹圆沿切线飞出，由几何关系的：
（1 分）
同时满足
联立得：
（1 分）
2．（12 分）（2024 年3 月江苏四市一模）xOy 平面内存在着变化电场和变化磁场，变化规律如图所示，
磁感应强度的正方向为垂直纸面向里、电场强度的正方向为
方向．
时刻，一电荷量为
质量为
m 的粒子从坐标原点O 以初速
沿
方向入射（不计粒子重力）．
图中
，
图中
．求：
（1）
时刻粒子的坐标：
4
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（2）
时间段内粒子速度沿
方向的时刻；
（3）
时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值．
【名师解析】．（12 分）
（1）粒子在磁场中运动的周期
时刻柆子坐标为
即
（2）
时间内的运动轨迹如图
（3）
笛时间内粒子沿
轴方向位移
时间内粒子沿
轴方向最大位移
3. （2024 湖南名校联合体第四次联考） 如图甲所示，在平面直角坐标系xOy 的y 轴左侧有沿y 轴正方向
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的匀强电场，在y 轴的右侧与平行于y 轴的屏之间有垂直坐标平面向外的匀强磁场I，磁场的磁感应强度大
小为B0，在电场中坐标为（
L，
0.5L）的P 点，以大小为v0的初速度沿x 轴正方向射出一质量为m、电
量为q 的带正电的粒子，粒子刚好从坐标原点O 进入磁场并恰好打在屏上的Q 点，Q 点在x 轴上。粒子重
力不计。求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）y 轴到屏间的距离为多少；
（3）若在磁场I 中再加一个匀强磁场II，磁场II 的方向垂直于坐标平面向里，其大小随时间变化如图乙所
示，
，若粒子从P 点射出后在t=0 时刻进入磁场，则粒子最终打在屏上的位置离x 轴的距离为
多少。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）设匀强电场的电场强度大小为E，粒子在电场中做类平抛运动，则
根据牛顿第二定律
解得
6
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（2）由
解得
则粒子进磁场时的速度大小
方向与y 轴正向的夹角为
，则
故
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律
根据几何关系
解得
（3）粒子在磁场I 中做圆周运动的周期
则
7
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在
到
时间内，合磁场方向垂直于坐标平面向里，磁场的磁感应强度大小为2B0，粒子做圆
周运动的半径
粒子做圆周运动
周期
则
根据几何关系可知，在
时刻，粒子离x 轴的距离为
离屏的距离为
从
至
时间内，粒子沿y 轴正向运动的距离
解得
因此粒子最终打在屏上的位置离x 轴的距离
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4．（16 分）(2024 海南高考模拟6)如图1 所示，在平面直角坐标系
的第二象限内存在着沿
轴正方
向的匀强电场，在第一象限，边长为
的正方形
区域内存在着垂直于
平面的匀强磁场，规定磁
场垂直
平面向里为正方向。将一带负电的粒子从
点
以一定的初速度射入电场，然后从
点以速度
沿着
轴正方向进入磁场，此时磁场从
时刻开始变化，磁感应强度大小按图2 所示做周
期性变化（
未知），粒子恰好在
时刻沿
轴正向到达图中的
点
，不计粒子的重
力。
图1 图2
（1）求粒子从
点射入时的速度
；
（2）求粒子在磁场中的运动时间；
（3）若
大小不变，将周期变为
，求粒子离开磁场时的纵坐标
．
思路点拨（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，根据平抛运动的知识求得粒子从d 点射放时的速度；
（2）由几何关系求得粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角，进而求得粒子在磁场中的偏转时间；
（3）由题意知，求得粒子在
时间内的运动轨迹所对应的圆心角及沿
轴正向的位移，根据对称性，可
知粒子在磁场中运动了3 个周期，由几何关系可求得粒子离开磁场时的纵坐标。
【名师解析】（1）将粒子在电场中的运动等效为逆向的类平抛运动，可知粒子沿
轴方向做匀速直线运
动，有
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沿
轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，设粒子在
点时竖直方向的速度大小为
，有
联立可得
则粒子从
点射入时的速度大小
设粒子在
点时速度方向与水平方向的夹角为
，则
即入射方向与
轴正方向的夹角为
。
（2）粒子恰好在
时到达
点，则粒子的运动轨迹如图1 所示，可知两段圆弧对称，设两段圆弧的圆
心连线与
轴的夹角为
，圆弧的半径为
，由几何关系可知
图1
联立解得
由几何关系可知每段圆弧对应的圆心角为
。
则粒子在磁场中的运动时间
（3）粒子在磁场中的轨道半径为
，由于
，则
由第（2 ）问知，经过
，粒子偏转的圆心角为
，故经过
时间，粒子偏转的圆心角为
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粒子在
时间内沿
轴正向运动的位移
根据对称性可知粒子经过3 个周期到达边界
，作出粒子的运动轨迹如图2 所示，由几何关系可知，粒子
离开磁场时的纵坐标为
图2
解得
5. （2024 福建漳州第二次质检）如图甲的空间中存在随时间变化的磁场和电场，规定磁感应强度B 垂直
xOy 平面向内为正方向，电场强度E 沿x 轴正方向为正方向，B 随时间t 的变化规律如图乙，E 随时间t 的
变化规律如图丙。
时，一带正电的粒子从坐标原点O 以初速度
沿y 轴负方向开始运动。已知
、
、
，带电粒子的比荷为
，粒子重力不计。
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的周期T；
（2）求
时，粒子的位置坐标
；
（3）在
内，若粒子的最大速度是
，求
与
的比值。
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【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）粒子在磁场中做圆周运动的周期
（2）
内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿运动定律有
解得
由（1）问可知粒子在磁场中做圆周运动的周期
则粒子在
内运动了半周期恰好又回到x 轴，速度方向沿y 轴正方向
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即此时粒子位置的坐标为
（3）
内粒子的运动轨迹如图所示，在
内，粒子受到沿x 轴正方向电场力的作用，粒子做
类平抛运动，粒子在x 方向做匀加速运动
当
时，粒子具有最大速度，粒子沿x 轴方向的分速度为
沿y 轴方向的分速度为
则
解得
6. （2024 黑龙江重点高中3 月质检）如图甲所示，在直角坐标系
区域内有沿
轴正方向的匀强
电场，右侧有个以点(3L，0)为圆心，半径为L 的圆形区域，圆形区域与
轴的交点分别为M、N.现有一质
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量为 m，带电量为e 的电子，从
轴上的A 点以速度沿
轴正方向射入电场，电场强度E =
,飞出
电场后恰能从M 点进入圆形区域，不考虑电子所受的重力.求:
（1）电子进入圆形区域时的速度方向与
轴正方向的夹角;
（2）A 点坐标;
（3）若在电子刚进入圆形区域时，在圆形区域内加上图乙所示周期性变化的磁场（以垂直于纸 面向外为
磁场正方向），最后电子从N 点处飞出.速度方向与进入磁场时的速度方向相同.求：磁感应强度
大小、
磁场变化周期T 各应满足的关系表达式.
【参考答案】（1）
；（2）（0，
） ；（3）
（n=1，2，3…）
【名师解析】
（1）电子在电场中作类平抛运动，射出电场时：
水平方向：
竖直方向：
速度方向与x 轴正方向的夹角：
可以得到：
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（2）电子在电场中运动，竖直方向位移：
电子匀速运动，则有：
总位移：
A 点坐标（0，
）
（3）电子在磁场中最简单的情景如图所示：
在磁场变化的前三分之一个周期内，电子的偏转角为60°，设电子运动的轨道半径为r，运动的T0，粒子在
x 轴方向上的位移恰好等于r；
在磁场变化
后三分之二个周期内，因磁感应强度减半，电子运动周期
，故粒子的偏转角度仍为
60°，电子运动的轨道半径变为2r，粒子在x 轴方向上的位移恰好等于2r，综合上述分析，则电子能到达N
点且速度符合要求的空间条件是：
在磁场中，洛伦兹力提供向心力：
解得：
（n=1，2，3…）
应满足的时间条件为：
15
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而：
，
解得：
（n=1，2，3…）
16
