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2024 高考压轴题冲刺训练
训练7 带电粒子在空间电磁场中的运动
1. （2024 广东潮州质检）如图1 所示，竖直面内水平放置两块平行的带电异体板
，
，两板在同一竖
直线上开着两个小孔。一质量为
、电荷量为
的带正电粒子从
板的小孔无初速飞入，经过
，
板的
电场加速后，经第二个小孔进入
板下方空间的电场，最后落在水平荧光屏
上刻度盘的某个位置，该位
置与导体板
，
两小孔所在竖直线的距离为
（
为未知量）。已知
，
两板之间的电势差大小为
，
板到
板的距离为
，
板下方的电场方向水平向右，场强大小为
不考虑带电粒子所受重力对上述问
题的影响，求：
（1）
的表达式；
（2）若将
、
两板之间的电场替换成一垂直于纸面向里的匀强磁场，如图2 所示，要让上述粒子仍能打
在刻度盘上的同个位置，求替换后的磁场的磁感应强度
的大小。
【参考答案】（1）
；（2）
【名师解析】
（1）粒子在加速电场中，由动能定理有
解得
1
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偏转电场中，粒子做类平抛运动，根据平抛运动的研究方法有
，qE=ma，
解得
（2）电场替换成一垂直于纸面向里的匀强磁场，让上述粒子仍能打在刻度盘上的同个位置，根据几何关
系可知，粒子运动轨迹半径
解得
根据
解得
2. （2024 山东济南期末）如图所示，在空间直角坐标系
内有一边长为L 的正方体区域
，A1B1C1D1面在
平面内，坐标原点O 位于A1B1C1D1面的中心，整个空间存在
沿y 轴正方向的匀强电场，在
的空间区域Ⅰ内和
的空间区域Ⅱ内均存在沿y 轴正方
2
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向的匀强磁场（区域Ⅰ内和区域Ⅱ内磁感应强度大小可独立调节）。一可控制发射粒子数量和方向的粒子
源位于坐标原点，发射粒子的质量均为m，电荷量均为
，初速度大小均为
，不计粒子重力和粒子间
的相互作用。
（1）将整个空间内的磁感应强度的大小均调节为零，控制粒子源沿x 轴正方向发射一个带电粒子，该粒子
恰好经过
面的中心，求所加匀强电场电场强度的大小E；
（2）将区域Ⅰ、Ⅱ内的磁感应强度的大小均调节为
，控制粒子源在
平面内沿各个方向均
匀发射带电粒子，求从
面射出的粒子中，射出位置y 坐标的最小值；
（3）将区域Ⅰ内的磁感应强度的大小调节为
，将区域Ⅱ内的磁感应强度的大小调节为
控制粒子源沿x 轴正方向发射一个带电粒子，粒子第6 次（粒子源发射粒子时为第0 次）穿
过
平面时，恰好从
的中点处离开正方体区域，求磁感应强度
的大小。
【参考答案】（1）
；（2）
；
（3）
，
3
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【名师解析】
（1）离子甲在电场中做类似平抛运动
解得
（2）粒子的运动可分解为
面内的匀速圆周运动和y 轴方向的匀加速直线运动，要使出射时y 坐标最小，
需使运动时间最短，时间最短时在
面内的做匀速圆周运动的圆心角最小，弦长最短，有几何关系知最
短弦长为
。根据洛伦兹力提供向心力
解得
由几何关系得圆心角
解得：
4
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解得：
（3）由几何关系可得
解得：
，
3. （2024 江苏南京27 中期末） 如图所示，在空间坐标系
中，区域Ⅰ是边长为
的正方体空间，
该空间内存在沿
轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为
（大小未知），区域Ⅱ也是边长为
的正方
体空间，该空间内存在沿
轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为
（大小未知），区域Ⅱ的上表面是
一粒子收集板。一质量为
、电荷量为
的带电粒子从坐标原点
沿
平面以初速度
进入区域Ⅰ，
5
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然后从区域Ⅰ右边界上的
点沿
轴正方向进入区域Ⅱ。已知
点的坐标为
，粒子重力不计。
（1）求磁感应强度
的大小；
（2）为使粒子能够在区域II 中直接打到粒子收集板上，求磁感应强度
的大小范围。
【参考答案】（1）
；（2）
【名师解析】
（1）带电粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得
由几何关系可知
可得
联立可得，磁感应强度
的大小为
（2）为了保证粒子能够直接打到粒子收集板上，最小半径为
6
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最大半径为
由洛伦兹力提供向心力得
联立可得，磁感应强度
的大小范围为
4. （2024 山东济南期末）如图甲所示，一个棱长为
的立方体空间中存在着磁感应强度大小为
，沿
轴
负方向的匀强磁场，质量为
、电量为
的带正电的粒子从左侧面的中心
沿
轴正方向射入立方体空间，
粒子重力忽略不计。
（1）若粒子的速度大小任意取值，求粒子在磁场中运动的最长时间；
（2）若粒子从
面射出，求粒子速度大小的取值范围；
（3）如图乙所示，将磁场撤掉，在立方体空间中加上沿
轴正方向的匀强电场，粒子射出时的速度方向偏
转了
。如图丙所示，保持粒子的入射速度不变，再将立体空间分成左右相等的两个区域，左侧区域保
持电场不变，右侧区域加上沿
轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为
。粒子先后穿过电场和磁场区
域，垂直
面射出，求电场强度
。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
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【名师解析】
（1）由分析可知，粒子从左侧面飞出时时间最长。由向心力公式得
运动周期为
粒子在磁场中运动的圆心角为
解得
（2）若从
棱射出时，沿y 轴负方向看去，粒子的运动轨迹如图
由几何知识得：
若从
棱射出时，沿y 轴负方向看去，粒子的运动轨迹如图
8
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由几何知识得
解得
（3）设粒子离开电场时沿
轴的速度为
，粒子射出时的速度偏转了45°，所以
，
，
所以
可知粒子恰好从
棱射出。
，
当右侧区域换成磁场时，由于水平位移变为原来的一半，所以电场中的运动时间也变为原来的一半，偏转
位移
，
，
粒子进入磁场时速度与
轴的夹角为
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设粒子在磁场中的运动半径为
，
联立解得
5．（15 分）（2024 长春重点高中质检）如图，由直三棱柱A1B1C1—A2B2C2构成的斜面体固定置于水平面上，
△A1B1C1为直角三角形，其中α=53°，A1C1=A1A2=0.4m，厚度不计的矩形荧光屏B1B2D2D1竖直安置在斜面底端，
B1D1=0.2m。空间中有一竖直向下的匀强电场，场强E=2×105N/C，在A1处可向各个方向水平发射速度大小不
同的带正电粒子，粒子的电量q=2×10 -10C，质量m=5×10 -17kg，当粒子击中荧光屏时能使其发光，不考虑
重力、空气阻力、粒子间相互作用力及粒子反弹后的运动。求：（已知：sin53°=0.8，cos53°=0.6）
（1）带电粒子打到B1点对应的初速度v1的大小；
（2）能使荧光屏发光的粒子的初速度v0的大小范围；
（3）取（1）问中打到B1点的粒子，当其运动到离斜面的距离最远时，突然撤去电场，再加一个垂直于斜
面的匀强磁场，要使粒子能击中荧光屏，求所加磁场的方向及磁感应强度B 的大小应满足什么条件。
【名师解析】．（1）从A1运动到B1的粒子
D2
D1
C2
B2
A2
C1
B1
A1
v0
α
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a=8×1011m/s2 （1 分）
竖直位移
（1 分）
水平位移sC 1B1=v1tAB （1 分）
位移关系
（1 分）
解得：v1=3×105m/s （1 分）
（2）由题可知（1）中运动到B1的粒子速率最小；从A1运动到D2的粒子速率最大
竖直位移
（1 分）
水平位移sC1B2=v2tAD=√sC1B1
2
+sB1B2
2
（1 分）
解得：v2=5√2×105m/s （1 分）
初速度的范围为：
（1 分）
（3）设粒子到达P 点时离斜面距离最远，此时速度vp恰好平行于斜面方向向下
由速度关系：vPy=v1tanα
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竖直方向速度：
t1=5×10-7s （1 分）
此时磁场为零，电场也已撤去，粒子将做匀速直线运动至荧光屏的Q1点，增大磁场，粒子将做匀速圆周运
动，半径随磁场的增大而减小，当磁场最大时，设轨迹恰好相切与Q2点。
P 点水平位移xP=v1t1=0.15m （1 分）
sA 1 N=
xP
cosα =0.25m
半径
粒子在P 点时速度
vP=
v1
cosα =5×105m/s
对粒子在磁场中做匀速圆周运动
（2 分）
解得磁感应强度的最大值B=0.5T （1 分）
6. （2024 山东济宁一中2 月质检） 如图为一种新型粒子收集装置。粒子源放置在边长为L 的立方体
中心O，立方体四个侧面均为荧光屏，上下底面
、
为空，过中心O 的竖直面
efgh 平行于abcd 并将立方体分为I、II 两个区域，立方体处在方向竖直向下的匀强磁场中，粒子源静止时
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能沿单一水平方向持续均匀发射比荷为
的带正电粒子，现使粒子源绕竖直轴逆时针匀速转动，且粒子源
射入I、II 区域的粒子初速度大小分别为v0和2v0，粒子打到荧光屏上后即被荧光屏吸收，不考虑粒子间的
相互作用和荧光屏吸收粒子后的电势变化，不计粒子源的尺寸大小和粒子重力。
（1）若磁场的磁感应强度为B0，当无粒子打到荧光屏上时，求v0的范围；
（2）为使粒子源发射的粒子仅有50%能打到荧光屏上，求磁感应强度B 满足的条件；
（3）撤去磁场，在I、II 区域施加方向竖直向下、大小分别为E1和E2的匀强电场（图中未画出），粒子源
转动整数圈时，打在四个侧面上的粒子数相同且每个侧面接收粒子的数目均为发射粒子总数的
，求E1和
E2。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【名师解析】
（1）考虑以2v0运动的粒子，恰与屏相切，则
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
解得
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则
时满足题意；
（2）由题意，若仅有50%的粒子能打到荧光屏上，只能是速度为2v0的粒子，而速度为v0的粒子不能打到
光屏上，当速度为v0的粒子刚好不能打到光屏上时，此时磁感应强度有最小值B1，粒子运动半径
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
当速度为2v0
粒子刚好能全部打到光屏上时，此时磁感应强度有最大值B2，设粒子运动半径为r2，其运动
轨迹如图（俯视）所示
根据几何关系有
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
解得
（3）粒子在电场中做类平抛运动，若没有荧光屏，其在立方体底面的落点为一个圆，设其半径为r3，如图
所示
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阴影部分表示粒子能够打到荧光屏上，由题意可知，
，设在E1电场中的加速度为a1，运动时间为
t1，则
联立解得
设在E2电场中
加速度为a2，运动时间为t2，则
联立解得
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7. （2024 辽宁省葫芦岛期末）如图所示，在三维坐标系Oxyz 中，z>0 的空间内充满沿z 轴负方向的匀强电
场（电场强度大小E 未知），z<0 的空间内充满沿y 轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B。甲、乙两
离子从坐标为
的A 点以相同速率
分别沿x 轴正方向、y 轴正方向出射，甲离子第一次到达x
轴时速度方向与x 轴正方向夹角为θ=37°。已知甲、乙离子的质量均为m、带电量均为+q，不计离子重力
以及离子间的相互作用，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
（1）电场强度的大小E；
（2）甲离子运动过程中的最低点到xOy 面的距离与乙离子运动过程中的最低点到xOy 面的距离之比k；
（3）甲离子第n 次进入磁场时的x 坐标与乙离子第n 次进入磁场时的x 坐标之差
。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【名师解析】
（1）离子甲在电场中做类平抛运动，有
联立可得
（2）离子甲进入磁场之后做匀速圆周运动，有
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可得甲做圆周运动的半径
甲离子运动过程中的最低点到xOy 面的距离为
可得
乙离子沿z 轴方向
分速度为
乙离子在磁场中的运动轨迹为等距螺旋线
乙离子运动过程中的最低点到xOy 面的距离为
所以
（3）甲离子第一次进入磁场时的x 坐标为
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甲离子第二次进入磁场时的x 坐标为
甲离子第三次进入磁场时的x 坐标为
依此类推，第n 次进入磁场时的x 坐标为
即
乙离子第一次进入磁场时的x 坐标为
乙离子第二次进入磁场时的x 坐标为
乙离子第三次进入磁场时的x 坐标为
依此类推，乙离子第n 次进入磁场时的x 坐标为
即
所以甲、乙离子第n 次进入磁场时x 坐标之差为
代值可得
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8. （2024 山东威海银滩高中质检） 如图所示，在三维坐标系Oxyz 中，z>0 的空间内充满沿z 轴负方向的
匀强电场（电场强度大小E 未知），z<0 的空间内充满沿y 轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B。甲、
乙两离子从坐标为
的A 点以相同速率v0分别沿x 轴正方向、y 轴正方向出射，甲离子第一次到
达x 轴时速度方向与x 轴正方向夹角为θ=37°。已知甲、乙离子的质量均为m、带电量均为+q，不计离子重
力以及离子间的相互作用，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
（1）电场强度的大小E；
（2）甲离子运动过程中的最低点到xOy 面的距离与乙离子运动过程中的最低点到xOy 面的距离之比k。
【参考答案】（1）
；（2）见解析
【名师解析】
（1）离子甲在电场中做类平抛运动，有
联立可得
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（2）离子甲进入磁场之后做匀速圆周运动，有
可得甲做圆周运动的半径
甲离子运动过程中的最低点到xOy 面的距离为
可得
乙离子沿z 轴方向的分速度为
乙离子在磁场中的运动轨迹为等距螺旋线
乙离子运动过程中的最低点到xOy 面的距离为
所以
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9. （2024 山东德州期末） 如图所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d 的中间有小孔的两平
行金属板M、N 和边长为L 的立方体构成，其后端面P 为喷口。以金属板N 的中心O 为坐标原点，垂直立
方体侧面和金属板建立x、y 和z 坐标轴。M、N 板之间存在场强为E、方向沿z 轴正方向的匀强电场；立方
体内存在匀强磁场，氙离子（
）束从离子源小孔S 射出，沿z 方向匀速运动到M 板，经电场加速进入
磁场区域，最后从端面P 射出，测得离子经电场加速后在金属板N 中心点O 处相对推进器的速度为v0。已
知单个离子的质量为m、电荷量为2e，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。
（1）求离子从小孔S 射出时相对推进器的速度大小vS；
（2）若空间只存在沿x 轴正方向磁场，为了使从小孔S 射出的离子均能从喷口后端面P 射出，则磁感应强
度Bx的最大值是多少？
（3）若空间同时存在沿x 轴正方向和沿y 轴正方向的磁场且磁感应强度大小均为B（未知），试回答下列
问题：
①为了使从小孔S 射出的离子均能从喷口后端面P 射出，则磁感应强度B 的最大值是多少？
②设
，单位时间从端面P 射出
离子数为n，求离子束对推进器作用力沿z 轴方向的分力大小。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）①
，②
【名师解析】
（1）离子从小孔S 射出运动到金属板N 中心点O 处，根据动能定理有
21
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所以
（2）当磁场仅有沿x 方向的分量最大时，离子从喷口P 的后边缘中点射出，根据几何关系有
解得
根据洛伦兹力提供向心力有
所以
（3）①若空间同时存在沿x 轴正方向和沿y 轴正方向的磁场且磁感应强度大小均为B，则合磁场的大小为
当磁感应强度B 最大时，离子从喷口P 的后边缘上顶点射出，根据几何关系有
解得
根据洛伦兹力提供向心力有
所以
所以
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②离子在立方体中运动轨迹剖面图如图所示
根据洛伦兹力提供向心力有
联立可得
所以
离子从端面P 射出时，在沿z 轴方向，根据动量定理有
解得
根据牛顿第三定律可得离子束对推进器作用力大小为
23
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方向沿z 轴负方向
24
