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专题13 带电粒子在组（复）合场中运动的核心问题
目录
一．电偏转、磁偏转的区别与联系问题..................................................................................................................1
二．带电粒子在叠加场中的匀速直线与匀速圆周..................................................................................................2
三．带电粒子在叠加场中的复杂曲线运动及洛伦兹力的冲量..............................................................................2
一．电偏转、磁偏转的区别与联系问题
1.组合场
电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，一般为两场相邻或在同一区域电场、磁场交替出现。
2.分析思路
带电粒子在电场、磁场组合场中的运动是指粒子从电场到磁场或从磁场到电场的运动。通常按时间的先后
顺序将粒子的运动过程分成若干个小过程，在每一运动过程中从粒子的受力性质、受力方向和速度方向的
关系入手，分析粒子在电场中做什么运动，在磁场中做什么运动。
3.运动分析及方法选择
4.“电偏转”与“磁偏转”的比较
项目
电偏转
磁偏转
偏转条件
垂直电场线进入匀强电场(不计
重力)
垂直磁感线进入匀强磁场(不计重力)
受力情况
静电力F＝qE
大小、方向不变
洛伦兹力F 洛＝qvB
大小不变，方向时刻与v 垂直
运动类型
类平抛运动
匀速圆周运动
运动轨迹
抛物线
圆或圆的一部分
1
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求解方法
x＝v0t，a＝，偏移距离y＝at2，
偏转角tan φ＝＝
偏移距离y 和偏转角θ 要结合圆的几
何关系通过圆周运动的规律求解，r
＝，T＝，t＝T
动能
变大
不变
二．带电粒子在叠加场中的匀速直线与匀速圆周
1.叠加场
电场、磁场、重力场叠加，或其中某两场叠加。
2.是否考虑粒子重力
对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；
而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。
3.带电粒子在叠加场中的常见运动
静止或匀速直线运动
当带电粒子在叠加场中所受合力为零时，将处于静止状态或匀速直
线运动状态
匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与静电力大小相等、方向相反时，带电粒子
在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动
三．带电粒子在叠加场中的复杂曲线运动及洛伦兹力的冲量
当带电粒子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非
匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。解决该类问题初配速法以
外主要应用功能关系及洛伦兹力的冲量进行解决。
【模型演练1】（2024 上·广东深圳·高二校考期末）某实验小组分别用匀强电场和匀强磁场设计电子偏转
装置。一带正电的粒子，重力不计，电量与质量之比为k，以平行于Ox 轴的速度v0从y 轴上的A 点水平射
入第一象限区域，并从x 轴的B 点射出，如图（甲）和（乙）所示。已知OA=s，∠ABO=α，
，
（1）若第一象限只存在平行于Oy 的电场，如图（甲），求该电场强度大小；
（2）若第一象限只存在垂直xOy 平面的匀强磁场，如图（乙），求该磁感应强度的大小。
2
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（3）在第（1）问中，带电粒子到达B 点后撤销电场，同时在整个空间中施加垂直xOy 平面的匀强磁场，
要求粒子能回到A 点，求所施加磁场的磁感应强度B。（忽略磁场变化过程带来的电磁扰动）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，方向磁场垂直纸面向外
【详解】（1）正电子从A 点射入，做类平抛运动
解得
（2）设粒子在磁场中圆周运动的半径为R
根据勾股定理
解得
3
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根据带电粒子在磁场中运动
所以
联立两式，得
所以
（3）第（1）问中粒子到达B 点时
入射角度为
θ=45°
合速度为
如果磁场垂直纸面向外，粒子轨迹如图，向下偏转，设圆周运动半径为R，则
解得
根据圆周运动动力学方程
解得
4
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当磁场方向垂直平面向里，则粒子逆时针方向运动，跟y 轴的交点坐标一定大于OB，由于OA 小于OB，
故不可能经过A 点。
【模型演练2】．（2024·陕西咸阳·统考一模）现代科技可以利用电场、磁场对带电粒子的作用来控制其运
动轨迹，让其到达所需的位置，在现代科学技术、生产生活、仪器电器等方、面有广泛的应用。如图所示
是此种仪器中电磁场的简化示意图。以竖直向上为y 轴正方向建立直角坐标系，该真空中存在方向沿x 轴
正方向、电场强度大小
的匀强电场和方向垂直xOy 平面向外、磁感应强度大小B=0.5T 的匀强
磁场。原点O 处的粒子源连续不断地发射速度大小和方向一定、质量
、电荷量q=2×10⁻6 C 的带
正电的粒子束，粒子恰能在
平面内做直线运动，重力加速度为
，不计粒子间的相互作用。
（1）求粒子发射的速度大小和方向；
（2）若保持粒子束的初速度不变，在粒子从O 点射出时立即撤去磁场，求粒子从O 点射出后再次运动到y
轴过程中，重力所做的功（不考虑磁场变化产生的影响）；
（3）若保持E、B 初始状态和粒子束的初速度不变，在粒子束运动过程中，突然将电场变为竖直向上、场
强大小变为
，求从O 点射出的所有粒子第一次打在x 轴上的坐标范围（不考虑电场变化产生的
影响）。
5
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【答案】（1）20m/s，方向与y 轴负方向夹角30°；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子做匀速直线运动，如下图
则
解得
设粒子出射的速度方向与
轴负方向夹角为
，则
解得
（2）撤去磁场后，粒子做平抛运动，如下图
6
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根据牛顿第二定律有
解得
重力所做的功
（3）由题意可得
粒子做匀速圆周运动，如下图。
根据洛伦兹力提供向心力
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解得
由几何关系可知，当粒子在O 点时就改变电场，打在x 轴上的横坐标距O 点最近的点的坐标
当改变电场时粒子所在处与粒子打在x 轴上的位置之间的距离为2R 时，打在x 轴上的横坐标最远距离的坐
标
从O 点射出的所有粒子第一次打在x 轴上的坐标范围为
【模型演练3】．（2024 上·江苏常州·高三常州高级中学校考期末）如图所示，竖直平面内的直角坐标系
xoy，第一象限内有竖直向上的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场
；第三、四象限有磁感应
强度大小为
，方向垂直坐标平面向里的匀强磁场。t=0 时刻，质量为m、带电量为+q 的绝缘小球，
从x 轴的O 点，沿x 轴正方向以速度v0射入第一象限，在第一象限做匀速圆周运动；小球过一段时间进入
第三象限的磁场区域。不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）电场强度的大小E；
（2）小球第一次回到x 轴时的速度大小；
（3）在磁场B2内，小球离x 轴最远距离ym及对应的速度v 大小。
8
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）在第一象限内做匀速圆周运动，则
得
（2）第一象限，根据洛伦兹力等于向心力
得
匀速圆周运动半周，其时间为
小球在第二象限做做平抛运动，则
得
则
则
与x 轴负方向夹角的正切值为
（3）在磁场B2内小球离x 轴最远距离ym，此时对应的速度为v，由动能定理
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水平方向由动量定理
即
取向右为正方向，则
可得小球离x 轴最远距离及对应的速度大小分别为
，
1．（2024 上·山西太原·高三统考期末）如图所示，平面直角坐标系
的第一象限内有竖直向上的匀强电
场，虚线圆内有垂直纸面向外的匀强磁场。虚线圆的圆心
在
轴上，半径为
，
。质量为
，
电荷量为
的粒子从圆上
点以速度
正对圆心
射入磁场，并从坐标原点
射出磁场。粒子在电场中
运动，恰好经过第一象限的
点。已知
与
轴负方向的夹角
，粒子重力不计。求：
（1）电场强度
与磁感应强度
的比值；
（2）粒子从
运动到
的时间。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为，几何关系得
解得
粒子从
到
做类平抛运动，运动时间为
，有
所以
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为
，则
粒子在磁场中运动时间为
，则
粒子从
运动
的时间为
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2．（2024 上·陕西咸阳·高二统考期末）如图所示，在
的区域存在匀强电场
，场强沿y
轴负方向；在
区域存在匀强磁场，磁感应强度
，磁场方向垂直xOy 平面向外。一电荷量
、质量
的带正电粒子，从y 轴上
处的
点以速率
沿x 轴
正方向射入电场，紧接着从
点射入磁场（不计粒子重力）。求：
（1）
点到坐标原点O 的距离x；
（2）该粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径
的大小；
（3）粒子从
开始计时直到第四次经过x 轴所用的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，由牛顿第二定律有
解得
粒子做类平抛运动，竖直方向有
水平方向有
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解得
（2）设粒子进入磁场时与x 轴的夹角为
，有
则
进入磁场的速度大小
由牛顿第二定律有
解得
（3）粒子的运动轨迹如图所示。
设带电粒子在磁场中运动周期为
，则
粒子在磁场中运动的总时间
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粒子在电场中运动的总时间
粒子从
开始计时直到第四次经过x 轴所用的时间
解得
3．（2024 上·湖南常德·高三统考期末）如图所示，一质量为m、带电荷量为-q 的粒子，以速度v0从O 点
沿y 轴正方向射入磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，粒子飞出磁场区域后，
从b 点处穿过x 轴，速度方向与x 轴正方向的夹角为
，并进入场强为E、方向沿x 轴正方向的匀强电场
中，之后通过了b 点正下方的c 点（图中未画出），不计粒子重力。求：
（1）b 点与O 点的距离；
（2）圆形匀强磁场区域的最小半径；
（3）b 点到c 点的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）做b 点速度方向的反向延长线，交
轴于
点，再做
的角平分线，交
轴于
点，
即为粒子做圆周运动轨道的圆心，
即为粒子做圆周运动轨道的半径，运动轨迹交
于a 点，如图
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所示
设粒子再磁场中做圆周运动的轨道半径为
，由洛伦兹力充当向心力有
解得
又根据几何关系可得
则
的距离为
（2）最小的圆形磁场区域是以
为直径的圆，如图中阴影部分。设最小的磁场区域半径为，则根据几
何关系有
解得
（3）由牛顿第二定律可得带电粒子在电场中的加速度
将速度沿着
轴正方向和
轴负方向分解，可得两个分速度大小分别为
，
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由
轴方向做匀变速直线运动可求得时间为
由
轴方向做匀速直线运动可求得
间的距离
4．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图所示，在
的空间中存在匀强电场，电场强度大小为E，方向
沿y 轴负方向；在
的空间中存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直
平面（纸面）向外。
一带正电的粒子（重力不计），从y 轴上A 点以水平初速度v0沿x 轴正方向射入电场中，之后粒子在电场、
磁场中做周期性运动。已知
，粒子每次进、出磁场时两点间的距离均为d。
（1）求粒子第一次经过x 轴的位置距坐标原点的距离
；
（2）若
，求粒子在电场中的运动轨迹的相邻的两交点间的距离
。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在电场中的加速度为a，运动时间为t，粒子离开电场时
的速度大小为v、方向与x 轴正方向夹角为θ，y 轴方向的分速度为vy；粒子在磁场中做圆周运动的半径为
R，由类平抛运动和圆周运动的规律得
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解得
（2）设粒子经过x 轴的位置距坐标原点的距离为
，粒子进、出磁场时两点间的距离为
，由第一问同
理可得
如图所示
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故粒子每运动一个周期，轨迹向x 轴负方向平移
，由图可得，电场中的运动轨迹的相邻的两交点间距离
5．（2024 上·福建宁德·高二统考期末）电视机显像管的工作原理可简化如图。初速度为0 的电子经电场加
速后，以速度v 沿半径方向进入圆形匀强磁场，经磁场偏转后电子向上偏转了
。已知电子的质量为
m，电荷量大小为e，磁场方向垂直于圆面，电子在磁场中运动的轨迹半径为r。求：
（1）加速电场的电压U；
（2）磁场的磁感应强度B 的大小及方向；
（3）电子在磁场中的运动时间t。
【答案】（1）
；（2）
，方向垂直圆面向外；（3）
【详解】（1）电子在电场中加速
解得
（2）电子在磁场中做圆周运动
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解得
方向垂直圆面向外；
（3）解法一：
电子在磁场中运动的轨迹长度
解得
解法二：
电子在磁场中运动的周期
解得
6．（2024 上·湖北襄阳·高三校联考期末）如图所示，在坐标系
内有一个半径为
的圆形区域，圆心坐
标为
，圆内分布有正交的匀强磁场和匀强电场，磁场垂直纸面向里，电场大小方向未知。在直线
的上方和直线
的左侧区域内，有一沿
轴负方向的匀强电场，场强大小和圆形区域内的电场
相等。一质量为
、电荷量为
的粒子以速度
（未知）从
点沿
轴正方向垂直于磁场射入，经
过时间匀速通过圆形区域并从
点射出；若不改变初速度的大小和方向，仅撤去磁场，粒子飞出圆形区
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域时间将变为
（不计粒子的重力，已知
）。
（1）求粒子的初速度
；
（2）求电场强度
和磁感应强度
的大小；
（3）若仅撤去圆形区域中的电场，让粒子以速度
从
点垂直磁场射入第四象限，且速度方向与
轴正
方向夹角
，求粒子从第一次射入磁场到最终离开磁场的时间
。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）粒子在电磁场中做匀速直线运动，所以
v0=
（2）撤去磁场后，带电粒子在电场中做类平抛运动
x=R，y=R
沿y 轴负方向
联立得
又因为该粒子在电磁场中做匀速直线运动时
20
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联立可得
B
（3）撤去电场后，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动
代入v0和B 得
r=R
由几何关系可知粒子从A 点沿y 轴正方向射出磁场，并从C 点进入上方电场，在电场中减速为零后反向加
速从C 点出电场时vC=2v0，又从A 点沿y 轴负向进入磁场做匀速圆周运动，刚好从Q 点射出磁场，在磁场
中运动的总时间
电场中运动的总时间
在AC 之间匀速运动的时间
则总时间为
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7．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系
的第一、二象限内存在沿y 轴负方向的匀强
电场，在x 轴的下方和边界MN 之间的区域I 内存在垂直纸面向里的匀强磁场，在边界MN 下方的区域II
内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x 轴与边界MN 之间的距离为L。质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从
点以初速度
沿x 轴负方向射出，粒子恰好从原点O 射出电场进入区域I，并从
点离开
区域I 进入区域II。不计粒子的重力及空气阻力。
（1）求匀强电场的电场强度大小和区域I 内磁场的磁感应强度大小；
（2）要使粒子能经过x 轴上的
点且在区域II 内的轨迹半径最大，求粒子由P 点运动到F 点所需
的时间。
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动
联立解得
，
22
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设粒子刚进入区域I 时的速度为v，与x 轴负方向之间的夹角为
根据动能定理得
由
可得
设粒子在区域I 内做匀速圆周运动的半径为
由几何关系可知
由牛顿第二定律得
联立解得
（2）粒子的轨迹如图所示
23
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粒子在区域I 内运动的时间
粒子在区域II 内运动的时间
粒子由P 点运动到F 点所需时间
8．（2024·广西·校联考一模）如图，直角坐标系
中，在第一象限内有沿y 轴负方向的匀强电场，在第
四象限内有方向垂直于坐标平面向外的匀强磁场；在第三象限内
的区域内有方向垂直于坐标平面向
里的匀强磁场，下边界MN 与x 轴平行。一质量为m、电荷量为q（
）的粒子从y 轴上P 点（，）
以初速度
垂直于y 轴射入电场，再经x 轴上的Q 点沿与x 轴正方向成
角进入磁场。粒子重力不计。
（1）求匀强电场的场强大小E；
（2）要使粒子能够进入第三象限，求第四象限内磁感应强度B 的大小范围；
（3）若第三象限内磁感应强度大小为第四象限内磁感应强度大小的2 倍，则要使粒子能够垂直边界MN 飞
出第三象限的磁场，求第四象限内磁感应强度B 的可能取值。
24
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
，且n 是0 或小于
的正整数
【详解】（1）在第一象限内，粒子在电场力作用下做类平抛运动，则有
，
，
联立解得
（2）粒子在Q 点的速率为
根据类平抛运动的规律可得
联立解得
粒子进入第四象限后做匀速圆周运动，如图所示
轨迹恰与y 轴相切时，磁感应强度最大；则有
联立解得
25
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则磁感应强度B 的大小范围为
（3）由洛伦兹力提供向心力得
可得
粒子由Q 点进入第四象限后运动半周进入第三象限，作出粒子在第四、第三象限的可能运动轨迹如图所示
要使粒子能够垂直边界MN 飞出第三象限的磁场，则满足的条件为
（
，，
）
26
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联立解得
（
，，
）
粒子要进入第三象限需满足
可得
解得
综上可知，B 的可能值为
，且n 是0 或小于
的正整数。
9．（2024 上·山西大同·高三统考期末）如图所示，在直角坐标系的第一和第二象限内分别存在沿y 轴正向
和沿x 轴负向的足够大的匀强电场，电场强度大小都为E，第三、四象限里存在垂直纸面向里的足够大的
匀强磁场。在第二象限的
（
，
）点静止释放一质量为m、电荷量为
的粒子，粒子开始运动，在
第一象限经x 轴上Q 点（Q 点未画出）进入磁场，此后粒子经坐标原点继续运动，不计粒子重力。求：
（1）粒子经过x 轴上的Q 点的坐标；
（2）磁场的磁感应强度B；
（3）粒子第3 次经过x 轴的坐标。
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【答案】（1）（
，）；（2）
；（3）（
，）
【详解】（1）粒子在电场中运动，所受电场力大小相等，根据牛顿第二定律有
粒子在第二象限内粒子在电场力的作用下加速，到达y 轴，根据速度与位移的关系式有
粒子进入第一象限做类平抛运动，则有
，
解得
可知，Q 点坐标为
。
（2）粒子类平抛运动的末速度为
结合上述解得
令该速度与x 轴夹角为
，则有
解得
作出粒子运动轨迹如图所示
根据几何关系有
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解得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力
解得
（3）粒子自O 点进入电场后，粒子做类斜抛运动，水平方向做匀速运动，竖直方向做双向匀变速运动，
利用逆向思维，竖直方向上速度减到0 的时间
其中
解得
上升过程中粒子沿x 轴向右运动的距离
结合上述解得
即达到Q 点正上方L 处，然后重复运动，可知，粒子第3 次经x 轴坐标为
。
10．（2024 上·天津河东·高三统考期末）如图所示，第一象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，第四象
限内存在沿
轴的匀强电场，场强大小为
。
时刻，粒子从
点以速度
平行
轴射入电场，
第1 次通过
轴从
点进入磁场。已知
点坐标为
，粒子质量为
、电荷量为
，重力不计。
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（1）求粒子经过
点的速度和
到
点的距离；
（2）欲使粒子不从
轴射出磁场，求磁感应强度的最小值
；
（3）若磁感应强度
，求粒子第5 次通过
轴的位置
和时间。
【答案】（1）
，方向与
轴正向夹角为
，
；（2）
；（3）9l，
【详解】（1）粒子进入电场后，根据牛顿第二定律有
粒子从
到
做类平抛运动，则有
，
，
，
解得
，
设
点的速度与
轴正向夹角为
，则有
解得
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
欲使粒子不从
轴射出磁场，临界状态如图所示
30
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根据几何关系有
解得
（3）粒子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力，则有
结合上述解得
返回电场后做类斜抛运动，运动轨迹如图所示
根据运动的对称性可知，第5 次通过
轴时有
粒子在电场中的运动时间
粒子在磁场中运动的周期
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粒子在磁场中运动的时间
解得
11.（2024 上·广东茂名·高三统考期末）如图所示，平面直角坐标系xOy 中，在第I 象限内存在方向沿y 轴
负方向的匀强电场，在第IV 象限内
区域存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷
量为
的带电粒子以初速度v0从y 轴上P（0，h）点沿x 轴正方向开始运动，经过电场后从x 轴上的
点
进入磁场，粒子恰好不能从磁场的下边界离开磁场。不计粒子重力。求：
（1）粒子在Q 点位置的速度vQ和速度方向与x 轴正方向夹角θ；
（2）匀强磁场磁感应强度大小B；
（3）粒子从P 点开始运动至第一次到达磁场下边界所需要的时间。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）设粒子从P 到Q 的过程中，加速度大小为a，运动时间为t，在Q 点进入磁场时速度大小为
vQ，方向与x 轴正方向间的夹角为θ，vQ沿y 轴方向的大小为vy，则水平方向上
竖直方向上
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，
解得
Q 点的合速度大小为
速度方向与x 轴正方向夹角正切值为
解得
（2）设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，据洛伦兹力提供向心力
解得
粒子运动轨迹如图所示
根据几何关系得
解得
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（3）根据几何关系，粒子在磁场中转过的圆心角为
在磁场中运动的周期
在磁场中运动的时间
粒子运动总的时间
12．（2023 上·广东深圳·高三校考阶段练习）如图所示，平面直角坐标系
的第一象限内存在沿
轴正
方向、电场强度大小为
的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一带电荷量为
，质量
为
的负电粒子以一定的速度从
点垂直射入电场，从
点进入磁场后，恰好垂直
轴从
点离开磁场。
已知
点坐标为
点坐标为
，不计粒子受到的重力，求∶
（1）粒子进入电场时的速度大小
。
（2）粒子进入磁场时的速度大小。
（3）
点的纵坐标
及磁感应强度大小
。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）电荷在电场中做类平抛运动，有
联立可得
（2）粒子进入磁场时的沿电场方向的速度
速度
（3）粒子的轨迹如图
粒子进入磁场时，有
则可得
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则
可得
则
由
可得
13．（2023 上·河南·高三校联考期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，第I 象限内存在匀强电场，
电场方向沿y 轴负方向，第Ⅱ象限内存在垂直于xOy 平面、半径为R 的有界圆形匀强磁场，边界线与x 轴
相切于A 点、与y 轴相切于M 点，第Ⅳ象限存在矩形边界的匀强磁场（图中未画出），第Ⅱ、Ⅳ象限匀强
磁场的磁感强度大小相等、方向相反。有一电荷量为q、质量为m 的带正电的离子从P 点（
，
）以
初速度
向着圆心方向射入磁场，从M 点进入电场，从x 轴上的
（
，）点进入第Ⅳ象限矩形边界
的匀强磁场内，经磁场偏转后，粒子打到-y 轴上的Q 点时速度方向与
轴成45°角，粒子重力不计。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度和匀强电场的电场强度分别为多大；
（2）第Ⅳ象限内矩形磁场面积的最小值。
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【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）粒子向着圆心方向射入圆形磁场，最终从M 点背向圆心离开圆形磁场，根据几何关系可知
粒子在磁场中运动的轨迹半径为
，由洛伦兹力提供向心力可得
解得磁感应强度大小为
粒子在电场中做类平抛运动，则有
解得电场强度大小为
（2）到达N 点时，沿电场方向的速度为
粒子到达N 点时的速度为
方向与x 轴成45°角，速度为
，粒子在磁场中运动的半径为
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如图所示
最小矩形磁场区域的宽度为
最小矩形磁场区域的长度为
最小矩形磁场面积为
14.（2023·云南·校联考模拟预测）如图所示，xOy 平面直角坐标系第三象限内存在沿y 轴正方向的匀强电
场，电场强度为E，第一象限内存在垂直坐标平面的匀强磁场（未画出），MN 是长度为L 的绝缘挡板，
放在第一象限中，使MNPO 构成边长为L 的正方形。一带电量为q、质量为m 的带正电粒子，由第三象限
中的S 点以沿x 轴正方向的初速度射出，经过一段时间恰好从O 位置进入第一象限，运动到O 点的速度为
v1，速度方向与x 轴正方向夹角为45°，带电粒子与挡板发生弹性碰撞，经过一次碰撞后从P 点（L，0）离
开第一象限，不计粒子的重力。
（1）求粒子初始位置S 到O 的距离；
（2）求第一象限中磁感应强度的方向与大小；
（3）若将MN 沿y 轴正方向平移L，求粒子第一次打在MN 板上的位置坐标。
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【答案】（1）
；（2）
，方向垂直纸面向里；（3）（
，2L）
【详解】（1）设初始位置S 与O 之间的水平距离为x，竖直距离为y，运动时间为t，则
由牛顿第二定律得
水平位移
竖直位移
SO 之间的距离由几何关系得
解得
（2）若粒子要和挡板相碰，受力方向在速度左侧，可得磁场方向垂直纸面向里，带电粒子在磁场中做匀
速圆周运动，如图所示
根据洛伦兹力提供向心力有
由OP 点的对称性可知，带电粒子和挡板在挡板中点相碰，由几何关系可得
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（或
）
解得
（3）打在C′，轨迹距离y 轴最远时，速度方向沿y 轴正向，连接O′与最远点，过C′做连线的垂线，垂足
为D，如图所示
根据几何关系有
解得C′的坐标为（
，2L）。
15.（2024·河北·校联考模拟预测）如图所示xOy 坐标系处在竖直平面内，在第一象限内存在水平向右的匀
强电场，在第二、三象限内存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，两个区域的电场强度大
小相等。一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电小球以初速度v0沿与x 轴负方向成θ=45°的方向从M 点进
入第一象限，在第一象限内做直线运动，经过y 轴上A 点时的速度为
。经历一段时间后，小球经x 轴上
的N 点（图中未画出）进入第三象限，速度方向与x 轴正方向成β=60°角。小球进入第三象限后从y 轴P
点（图中未画出）射出，重力加速度为g，求：
（1）匀强电场的电场强度的大小及M 点到坐标原点O 的距离；
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（2）匀强磁场的磁感应强度的大小；
（3）判断带电小球从P 点进入第四象限能否回到x 轴。
【答案】（1）
；
；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）根据题意，小球由M 点运动到A 点做匀减速直线运动，且
联立解得
（2）由于小球受到向下的重力和向上的电场力相等，所以小球进入第二象限后做匀速圆周运动，轨迹如
图所示
根据洛伦兹力提供向心力有
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根据几何关系
联立解得
（3）小球进入第四象限做斜上抛运动，则
说明小球从P 点进入第四象限能回到x 轴。
16．（2023 上·江苏南京·高三南京市大厂高级中学校考阶段练习）如图所示，在绝缘水平面上方，相距为
L 的竖直边界MP、NA 之间存在水平向左的匀强电场，场强大小为
。边界NA 右侧有一半圆形区域内存
在垂直纸面向外的匀强磁场和竖直向下的场强大小
的匀强电场。在边界MP 上的P 点由静止释放
一个质量为
、电量大小为q 的带负电小球（大小忽略不计），小球从A 点进入半圆形场区，最终从圆周
上的S 点离开半圆形区域。已知半圆形区域的半径为，
，不计一切摩擦。
（1）小球刚进入磁场的速度；
（2）求半圆形区域内的磁感应强度大小；
（3）求小球从P 运动到S 所需时间。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）带负电小球在电场中加速运动，根据动能定理可得
解得小球进入磁场的速度为
（2）粒子进入磁场和电场
，小球受到的电场力竖直向上，由于
可知电场力与重力平衡，小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图所示
根据图中几何关系可知，粒子轨迹对应圆心角为
粒子轨迹半径为
根据洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
（3）小球在电场中的时间为
，则有
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，
小球在磁场中的时间为
，则有
小球从P 运动到S 所需时间为
联立解得
17．（2024 上·云南·高三校联考阶段练习）如图所示的竖直平面内，虚线的左侧存在平行纸面向右且宽度
的匀强电场，电场强度大小
。虚线右侧存在垂直纸面向里且磁感应强度大小
的匀强磁场和平行纸面向上且电场强度大小
的匀强电场。一质量为
、带电量
的粒子（重力不可忽略）从电场左边界A 点以水平向右的初速度
射入匀强电场
，
从虚线上C 点（图中未画出）进入匀强磁场，经磁场偏转后从虚线上D 点（图中未画出）射出磁场。已知
重力加速度g 取
，磁场区域和电场区域足够大。已知
，
。求：
（1）带电粒子在电场中从A 点运动至C 点所用的时间t；
（2）带电粒子进入磁场中的速度v；
（3）若点P 为初速度方向与虚线边界的交点，则出射点D 与点P 间的距离d。
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【答案】（1）
；（2）5m/s，方向与水平方向夹角为
；（3）
【详解】（1）粒子进入电场E1后，受力如图所示，水平方向做匀加速直线运动，有
解得
（2）竖直方向仅受重力作用
粒子进入磁场时水平速度
解得
粒子进入磁场时速度
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解得
则带电粒子进入磁场中的速度
解得
速度v 与水平方向夹角为θ，则
所以
则带电粒子进入磁场中的速度为5m/s，方向与水平方向夹角为
；
（3）从虚线上C 点进入匀强磁场时，C 点与P 点相距
带电粒子进入磁场区域后，由于
qE2=mg
则带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设其做圆周运动的半径为r，则由
解得
由于带电粒子从C 点进入磁场区域时速度与水平方向夹角为53°，则
则C、D 两点之间的距离
则出射点D 与点P 间的距离
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18．（2024 上·河南周口·高三统考阶段练习）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，水平方向为x 轴，
在第一象限有方向沿x 轴负方向的匀强电场，场强为E（大小未知），在第二象限有正交的匀强电场和匀
强磁场，其中匀强电场的方向竖直向上，场强大小为
，匀强磁场的方向垂直纸面向里。若一带电小球
（质量为m，带电量为q）从坐标原点以某一初速度
（大小未知）斜向右上方射入第一象限，速度方向
与x 轴正方向的夹角为45°，小球在竖直方向达到最高点时，正好在y 轴上的P 点（未画出），O、P 两点
间的距离为d，重力加速度为g。
（1）求小球从坐标原点入射时的初速度大小；
（2）求场强E 的大小；
（3）若小球进入第二象限后从坐标为
的点第一次经过x 轴，求匀强磁场的磁感应强度大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意可知，小球从O 点抛出到小球在竖直方向达到最高点的过程，y 轴方向上有
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联立可得
，
（2）小球从O 点抛出到小球在竖直方向达到最高点的过程，x 轴方向上有
联立可得
（3）小球到达最高点的速度
即速度大小为
，方向沿x 轴负方向。
小球进入第二象限后，受到的电场力
方向竖直向上，与重力平衡。因此小球进入第二象限后在洛伦兹力作用下做圆周运动，如图：
由几何关系可知
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即
解得
由牛顿第二定律有有
联立可得
19．（2023 上·青海海东·高三校联考阶段练习）如图所示，在竖直面内的直角坐标系
中，
轴竖直，
两点的坐标分别为
和
，第一象限内有方向与
轴正方向夹角
的匀强电场；
第二象限内有匀强电场（图中未画出）和方向垂直坐标平面向里的匀强磁场；第三象限内有匀强电场（图
中未画出）和方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小与第二象限内磁场的磁感应强度大小相
等。现有一质量为
、电荷量为
的带正电小球，从
点由静止开始沿直线
运动，通过
点后在第二
象限内做匀速圆周运动，垂直通过
轴上的
点后做匀速直线运动，通过
点（图中未画出）时立即撤去
第三象限内的磁场，经过一段时间后小球通过
轴上的
点。重力加速度大小为
，不计空气阻力。求：
（1）第一象限内电场的电场强度大小
和第二象限内电场的电场强度大小
；
（2）第二象限内磁场的磁感应强度大小
；
（3）小球从
点运动到
点的时间。
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【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意可知，小球的运动轨迹如图所示
由于小球沿MN 方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以重力与电场力的合力方向沿MN 方向，有
解得
经分析可知
解得
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小球在第二象限内做匀速圆周运动，重力与电场力平衡，有
解得
（2）根据题意，设小球通过
轴时的速度大小为
，有
根据牛顿第二定律有
设小球在第二象限内运动的轨迹半径为r，则由几何关系可得
又有
解得
（3）小球沿
方向做匀速直线运动，则电场力
与重力
的合力与洛伦兹力
平衡，设撤去磁场
后小球的加速度大小为
，显然
的方向沿x 轴正方向，有
撤去磁场后，小球做类平抛运动，有
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解得
20．（2023 上·江苏淮安·高三校联考阶段练习）为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来
显示它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，在
平面（纸面）内，在
区间
内存在平行
轴的匀强电场，
。在
的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度
大小为
，
。一未知粒子从坐标原点与
正方向成
角射入，在坐标为
的
点以
速度
垂直磁场边界射入磁场，并从
射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子重力。求：
（1）该未知粒子的比荷
；
（2）匀强电场电场强度
的大小及左边界
的值；
（3）若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子轨迹呈螺旋状并与
磁场左边界相切于点
（未画出）。求粒子由
点运动到
点的时间
以及坐标
的值。
【答案】（1）
；（2）
；
；（3）
；L
【详解】（1）粒子在
点以速度
垂直磁场边界射入磁场，并从
射出磁场，根据几何关系可知粒
子运动的半径为
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根据洛伦兹力提供向心力有
解得
（2）根据运动的独立性可知，水平方向有
根据牛顿第二定律有
解得
E=
由几何关系可得
解得
（3）根据洛伦兹力提供向心力有
qvB = m
可得
即角速度为一定值,又可知粒子与磁场左边界相切时转过的弧度为
，则有
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取一小段时间
，对粒子在x 方向上列动量定理（如图）
两边同时对过程求和
得
即
其中
则
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结合（1）中
得
故
21．（2023 上·浙江·高三校联考期中）足够大空间存在xOy 坐标系，x 轴水平，y 轴竖直，一质量为m，电
量q（q>0）的粒子从坐标原点以初速度
沿x 轴射入，不计粒子重力。若空间分别施加竖直向下的匀强电
场E 与垂直xOy 向里的匀强磁场B，可使粒子分别通过图中关于x 轴对称的A、A'点。
（1）求E 和B 的大小；
（2）若空间同时施加上述（1）中电场和磁场，求粒子通过图中平行x 轴的虚线时的速度大小；
（3）若空间同时施加上述（1）中电场和磁场，求粒子运动过程中最大速度和最小速度的大小；
（4）若空间同时施加上述（1）中电场和磁场，且已知粒子运动过程中在y 轴方向上的分运动为简谐运动，
且周期为
，以粒子入射为t=0 时刻，求该粒子在y 轴方向上分运动的y-t 函数表达式。
【答案】（1）
；
；（2）
；（3）
；
；（4）
【详解】（1）单独加电场，有
，
，
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解得
单独加磁场，有
，
解得
（2）依题意
可知向下偏转，仅电场力做功
解得
（3）设向下加速偏转y 距离，达到最大速度为
时，速度应沿水平方向，任意位置速度竖直分量大小
，
水平方向
仅电场力做功，可得
解得
因为向下加速偏转，故出发时即为最小速度
。
（4）将初速度分解为
、
，其中
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抵消，对应以
向右匀速直线运动，得
则
向左，对应做圆周运动
解得
此圆周运动在竖直方向的分运动即简谐运动，振幅
，故
22．（2023 上·云南昆明·高三昆明一中校考开学考试）如图所示，在直角坐标系
中，存在着场强为
，方向竖直向上的匀强电场，在第二、三象限内存在着磁感应强度均为
，方向垂直纸
面向里的匀强磁场。一长为
的绝缘细线，一端固定在
点，另一端拴着质量为
、电荷量为
的正电小
球，现将细线拉直到水平位置，使小球由静止释放，当小球运动到最高点时，细线受到的拉力恰好达到它
能承受的最大值而断裂。当细线断裂，小球进入第二象限后做曲线运动，并多次经过
轴。已知在第二象
限内小球第一次到
轴的坐标绝对值为
，重力加速度为
，求：
（1）细线能承受的最大拉力；
（2）小球进入第二象限后运动过程中的最小速率；
（3）小球从进入第二象限开始至第一次到达
轴所用的时间。
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【答案】（1）
；（2）0；（3）
【详解】（1）小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点有
根据动能定理有
解得
（2）小球进入第二象限后向下偏转，多次经过x 轴，由于洛伦兹力不做功，由动能定理
联立可知，
，
，所以，小球运动到x 轴时有最小速率为0。
小球进入第二象限后，做复杂曲线运动。将任意时刻的速度沿x 轴和y 轴分解为
和
，洛伦兹力也分解
成对应的
，
由动量定理知
x 方向
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即
y 方向
即
得
23．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考三模）整个空间中存在匀强电场，虚线右方区域同时存在着宽
度为L、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面向里。在P 点将质量为m、电荷量为+q 的小球
以初速度
竖直向上抛出，小球运动中经过A 点和C 点，在A 点速度大小为
、方向水平向右。P、C
两点在同一水平线上，小球从C 点进入虚线右侧区域。不计空气阻力，已知
，重力加速度为g，
，
。求：
（1）从P 到C 的过程中小球动能的最小值；
（2）电场强度E 的方向与重力方向的夹角
；
（3）小球从P 到C 过程中，当电势能最高时，小球的速度；
（4）已知小球离开磁场区域时，速度方向水平向右，求小球从P 点出发到离开磁场区域的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，方向与水平向右成
指向右上方；（4）
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【详解】（1）设小球合力方向与竖直方向夹角为
，则速度变化量的方向与合力方向相同，有
得
对小球，从
到
的过程中，将小球运动分解为垂直于合力方向速率为
的匀速直线运动和沿合力反方向
的匀减速直线运动，当沿合力反方向速度减为零时，小球动能最小。有
，
解得
（2）在小球重力、电场力和合力组成的力学三角形中
（或者为：
）
代入数据解得
得
（3）建立以沿电场方向为
轴，垂直于电场方向为
轴的直角坐标系
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，，
，
，
用时
沿电场反方向速度减为零，此时小球电势能最高
，
解得
方向与水平向右成
指向右上方
（4）对小球，从P 点到离开磁场区域，由竖直方向动量定理
，
解得
61
