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压轴题07 带电粒子在电磁组合场中运动
1. 带电粒子在电磁组合场中的运动是高考物理中的一个重要考点，它涵盖了电学和力学的核心知识，是考查学
生综合应用能力的关键。
2. 在高考命题中，这一考点通常以综合性较强的题目形式出现，涉及电场、磁场和粒子运动等多个方面。题目
可能要求考生分析带电粒子在电磁组合场中的运动轨迹、速度、加速度等物理量，也可能要求考生运用动量定
理、能量守恒等原理解决复杂问题。
3. 备考时，考生应首先深入理解电磁组合场的基本原理和带电粒子在其中的运动规律，掌握电场力、洛伦兹力
等基本概念的计算和应用。同时，考生需要熟悉相关的物理公式和定理，并能够灵活运用它们解决具体问题。
此外，考生还应注重实践练习，通过大量做题来提高自己的解题能力和速度。
考向一：带电粒子在电磁组合场中的基本规律
1．带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1 步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。
第2 步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3 步中表图所示。
第3 步：用规律
2.“电偏转”与“磁偏转”的基本规律
垂直电场线进入
匀强电场(不计重力)
垂直磁感线进入
匀强磁场(不计重力)
受力情况
电场力FE＝qE，其大小、方向不变，
洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v
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与速度v 无关，FE是恒力
而改变，FB是变力
轨迹
抛物线
圆或圆的一部分
运动轨迹示例
求解方法
利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，
x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2
偏转角φ 满足：tan φ＝＝
半径：r＝；周期：T＝
偏移距离y 和偏转角φ 要结合圆的几何关系
利用圆周运动规律讨论求解
运动时间
t＝
t＝T＝
动能
变化
不变
考向二：先电场后磁场
(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学
公式求粒子刚进入磁场时的速度。
(2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子
进入磁场时的速度。
考向三：先磁场后电场
对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况：
(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定
理或运动学公式列式。
2
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(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分
析。
01 先电场后磁场
1．如图所示，竖直直线MN、PQ、GH 将竖直平面分为I、II 两个区域，区域I 有竖直向下的匀强电场（大小未
知），直线MN 和PQ 间的距离为d，区域II 有垂直于纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度大小
（两竖直区域足够长）。现有一质量为m，带电量为q 的带正电粒子从MN 边界上的A 点以速度
水平向右飞
入，与边界PQ 成
进入区域II（不计粒子的重力）。求：
（1）带电粒子在区域I 内沿电场方向运动的距离；
（2）区域I 电场强度的大小；
（3）要使带电粒子能够再次进入区域I，PQ 和GH 间的距离至少多大？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）（2）根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示
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粒子在电场中做类平抛运动，水平方向上有
竖直方向上有
又有
联立解得
（3）粒子进入磁场之后，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有
解得
由几何关系可得
PQ 和GH 间的距离最小值为
02 先磁场后电场
2．如图所示，在xOy 平面的第一象限内有半径为R 的圆形区域，该区域内有一匀强磁场，磁场的方向垂直纸面
向里。已知圆形区域的圆心为
，其边界与x 轴、y 轴分别相切于P、Q 点。位于P 处的质子源均匀地向纸面内
以大小为v 的相同速率发射质量为m、电荷量为e 的质子，且质子初速度的方向被限定在
两侧与
的夹角
均为
的范围内。第二象限内存在沿y 轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，在x 轴（
）的某区间范
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围内放置质子接收装置MN。已知沿
方向射入磁场的质子恰好从Q 点垂直y 轴射入匀强电场，不计质子受到
的重力和质子间的相互作用力。
（1）求圆形区域内匀强磁场的磁感应强度大小B；
（2）求y 轴正方向上有质子射出的区域范围；
（3）若要求质子源发出的所有质子均被接收装置MN 接收，求接收装置MN 的最短长度x。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）沿
方向射入磁场的质子恰好从Q 点垂直y 轴射入匀强电场，则该质子运动半径为
，有
解得
（2）如图所示，设在
左右两侧
角方向上射入磁场的质子，最终分别有磁场边界上的A、B 两点射出，
对应圆周运动的圆心分别为
、
，则四边形
和
均为 ，则粒子由A、B 两点水平飞出，且
与B 点重合。
根据几何关系可知
B 点到
轴的距离为
，所以y 轴正方向上有质子射出的区域范围为
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（3）若质子由
处飞入电场时打在M 点，由
处飞入电场时打在N 点，根据类平抛运动的规律，有
解得
MN 的最短长度为
03 交变电磁组合场
3．如图甲所示，在直角坐标系中的0≤x≤L 区域内有沿y 轴正方向的匀强电场，右侧有以点（2L，0）为圆心、
半径为L 的圆形磁场区域，与x 轴的交点分别为M、N。在xOy 平面内，从电离室产生的质量为m、带电荷量为
e 的电子以几乎为零的初速度从P 点飘入加速电场中，加速后以速度v0经过右侧极板上的小孔Q 点沿x 轴正方
向进入匀强电场，已知O、Q 两点之间的距离为
，电子飞出电场后从M 点进入圆形磁场区域，进入磁场时
取t=0，在圆形区域内加如图乙所示变化的磁场（以垂直于纸面向外为正方向，图中B0是未知量），最后电子
从N 点飞出，不考虑电子的重力。求：
（1）加速电场的电压U；
（2）电子运动到M 点时的速度大小和方向；
（3）磁场变化周期T 满足的关系式。
【答案】（1）
；（2）2v0，方向与x 轴正方向的夹角为60°；（3）
（n=1，2，3…）
【详解】（1）在加速电场中，从P 点到Q 点，由动能定理得
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可得
（2）电子从Q 点到M 点做类平抛运动，有
电子运动至M 点时
解得
解得
即速度方向与x 轴正方向的夹角为60°；
（3）电子在磁场中的运动具有周期性，轨迹如图所示
电子到达N 点符合要求的空间条件为
（n=1，2，3…）
电子在磁场中做圆周运动的轨道半径
解得
（n=1，2，3…）
电子在磁场变化的半个周期内恰好转过
圆周，同时在MN 间的运动时间是磁场变化周期的整数倍时，可使粒
子到达N 点且速度满足题设要求，应满足的时间条件是
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所以T 应满足的条件为
（n=1，2，3…）
04 三维空间电磁组合场
4．截至2023 年8 月底，武威重离子中心已完成近900 例患者治疗，疗效显著。医用重离子放疗设备主要由加
速和散射两部分组成，整个系统如甲图所示，简化模型如乙图所示。乙图中，区域I 为加速区，加速电压为
，
区域II、III 为散射区域，偏转磁场磁感应强度大小均为
，区域II 中磁场沿
轴正方向，区域III 中磁场沿
轴正
方向。质量为
、电荷量为
的带正电的重离子在
点由静止进入加速电场，离子离开区域II 时速度偏转了
，
不计离子的重力，
．
（1）求离子进入磁场区域II 时速度大小；
（2）求磁场II 的宽度
；
（3）区域III 磁场宽为
，在区域III 右侧边界放置一接收屏，接收屏中心
与离子进入电场时的
点在同一直线上，求当离子到达接收屏时距离接收屏中心
点的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）离子在电场中加速，有
解得
（2）离子进入磁场区域II 时，速度与磁场方向垂直，做匀速圆周运动，离开时速度偏转了
，即转过的圆弧
所对的圆心角为
，则
解得
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（3）离子在磁场中等螺距前进：离子进入磁场区III 时，速度与磁场夹角为
，则离子在
轴方向做匀速直线
运动，在
平面做匀速圆周运动：
方向匀速
在
平面
解得
即离子转了6.25 圈打在接收屏上，
轴上距离
的距离
轴上距离
的距离
离子在接收屏上距
点的距离
．
1．（2024·贵州遵义·一模）在科学探究中，常利用电磁场控制电荷的运动路径，与光的传播、平移等效果相似，
称为电子光学。如图，在
区域中有粒子源和电场加速区；在
区域中存在方向垂直x 轴向下的匀
强电场；在
，
区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B 的大小可调，方向不变。
一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子由静止开始经加速区加速后，从
处以水平速度向右射入电场，在
处进入磁场，已知加速区电势差为
，不计粒子的重力。
（1）求粒子进入
区域内匀强电场时的速度大小和匀强电场的电场强度大小；
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（2）若粒子经磁场偏转后穿过y 轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最
小值
；
（3）如果磁感应强度大小为
，粒子将通过虚线所示边界上的某一点离开磁场，求粒子出射点坐标。
【答案】（1）
，
；（2）垂直于纸面向里，
；（3）
【详解】（1）加速电场中，根据动能定理有
解得
在偏转电场中，粒子做类平抛运动，则有
，
解得
（2）粒子带正电，若粒子从y 轴正半轴离开磁场，根据右手定则可知，磁场方向垂直于纸面向里。根据上述可
知，粒子刚刚进入磁场时，令速度与水平方向夹角为
，则有
，
，
解得
，
粒子经磁场偏转后穿过y 轴正半轴离开磁场，当磁感应强度为最小值时，轨道半径最大，此时粒子轨迹恰好与
磁场右边界相切，作出粒子在磁场中的轨迹示意图如图所示
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根据几何关系有
磁场中粒子圆周运动由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
（3）若磁感应强度大小为
，根据
结合上述，解得
作出粒子在磁场中的轨迹示意图如图所示
根据几何关系可知，粒子在磁场中的出射点与入射点之间的竖直方向的间距为
结合上述解得
则粒子出射点的横坐标
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粒子出射点的纵坐标
解得
即粒子出射点的坐标为
。
2．（2024·湖南·二模）如图所示，在竖直平面内建立xOy 坐标系，P、A、Q1、Q2四点的坐标分别为（-2L，
0）、（-L，0）、（0，L）、（0，-L）。y 轴右侧存在范围足够大的匀强磁场，方向垂直于xOy 平面向里。在
界面PAQ1的上方存在竖直向下的匀强电场（未画出），界面PAQ2的下方存在竖直向上的匀强电场（未画出），
且上下电场强度大小相等。在（
L，0）处的C 点固定一平行于y 轴且长为
的绝缘弹性挡板MN，C 为挡板
中点，带电粒子与弹性绝缘挡板碰撞前后，沿y 方向分速度不变。沿x 方向分速度反向，大小不变。质量为
m、电量为 q 的带负电粒子（不计重力）从x 轴上方非常靠近P 点的位置以初速度v0沿x 轴正方向射入电场且
刚好可以过Q1点。求：
（1）电场强度的大小、到达Q1点速度的大小和方向；
（2）磁场取合适的磁感应强度，带电粒子没有与挡板发生碰撞且能回到P 点，求从P 点射出到回到P 点经历的
时间；
（3）改变磁感应强度的大小，要使粒子最终能回到P 点，则带电粒子最多能与挡板碰撞多少次？
【答案】（1）
，
，与y 轴正方向成45°角；（2）
；（3）17
【详解】（1）从P 到Q1，水平方向
竖直方向
联立①②式可得
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根据动能定理
可得
与y 轴正方向成45°角。
（2）要使带电粒子回到P 点，其轨迹必须具有对称性且经过Q2，由几何关系可得
在磁场中的偏转角度为
在磁场中的运动时间为
故从P 点射出第一次回到P 点的时间
（3）当r 最小时带电粒子刚好过M 点碰撞次数最多
由几何关系可得
解得
设最多可以碰n 次，则
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解得
n=17
3．（2024·湖北武汉·一模）如图，在
的区域存在方向沿y 轴负方向的匀强电场，在
的区域存在方向垂
直于
平面向里的匀强磁场。一个氕核和一个氚核先后从x 轴上P、Q 两点射出，速度大小分别为
、
。
速度方向与x 轴正方向的夹角均为
，一段时间后，氕核和氚核同时沿平行x 轴方向到达y 轴上的M 点
（图中未画出），并立即发生弹性碰撞（碰撞时间极短）。已知Q 点坐标为
，不计粒子重力及粒子间的
静电力作用，
，
，求：
（1）P 点的横坐标。
（2）匀强电场的电场强度E 与匀强磁场的磁感应强度B 大小之比。
（3）氕核和氚核碰撞后再次到达y 轴上时的坐标点相隔的距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）分析氕核（
）和氚核（
）的运动情况，氕核射出后在磁场中做匀速圆周运动，氚核射出后
在电场中做类平抛运动，两粒子运动轨迹如图所示
研究氚核，根据抛体运动规律有
研究氕核，根据数学关系得
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联立解得
（2）设氕核（
）的质量为m，电荷量为q，则氚核（
）的质量为3m，电荷量为q。研究氕核，根据洛伦
兹力提供向心力有
解得
研究氚核，根据抛体运动规律得
解得
则有
（3）碰撞前，氚核的速度为
氚核（
）和氕核（
）发生弹性碰撞，设碰撞后氚核、氕核速度分别为
、
。根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
联立解得
碰撞后，氕核、氚核均在磁场中做匀速圆周运动，设氚核、氕核的运动半径分别为
、
，根据洛伦兹力提供
向心力，研究氚核有
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研究氕核有
氚核和氕核碰撞后，均向上运动半个圆再次到达y 轴上的点，他们相隔的距离为
联立解得
4．（2024·云南曲靖·一模）如图所示，真空中
位置存在一带电粒子发射器，能够瞬间在平面内发射出大量初
速度大小为
的同种正电荷，以不同的入射角
（
为
与
轴正方向的夹角，且
）射入半径为
的
圆形边界匀强磁场（图中未标出）。圆形磁场刚好与
轴相切于
点，所有电荷均在该磁场的作用下发生偏转，
并全部沿
轴正方向射出。图中第三象限虚线下方一定区域存在着方向沿
轴正方向的匀强电场，虚线刚好经
过
点（
为实线圆最右端的点）且顶点与
点相切，同时观察到进入该电场区域的所有电荷均从
点射入第
一象限。第一象限内存在范围足够大的方向垂直于平面向里磁感应强度大小为
的匀强磁场，
点上方沿
轴
正方向放置足够长的荧光屏，电荷打在荧光屏上能够被荧光屏吸收。已知电荷的质量为
，电荷量大小为
，
的距离为
，不考虑电荷所受重力及电荷之间的相互作用力。求：
（1）圆形磁场磁感应强度
的大小及方向；
（2）匀强电场上边界虚线的函数表达式；
（3）从
点沿垂直
轴向下射入磁场的粒子打在荧光屏上的坐标。
【答案】（1）
；方向垂直于纸面向里；（2）
；（3）
【详解】（1）根据几何关系可知电荷在实线圆内运动的半径也为
，如图所示，有
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解得
由左手定则可知，磁感应强度B1方向垂直于纸面向里。
（2）带电粒子在电场中做类平抛运动且汇聚在
点，如图所示，设电荷进电场时位置的坐标为
，故有
解得
点
是虚线上一点，代入可解得
（3）设电荷从
点射入第一象限的速度为，与
轴的夹角为
，如图所示，则
在第一象限内运动半径为
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粒子被吸收的的位置为
，由几何关系得
该点纵坐标为
该点横坐标为
即粒子打在荧光屏上的坐标为
。
5．（2024·湖南长沙·二模）电子扩束装置由电子加速器、偏转电场和偏转磁场组成。偏转电场的极板由相距为
d 的两块水平平行放置的导体板组成，如图甲所示。大量电子由静止开始，经加速电场加速后速度为
，连续
不断地沿平行板的方向从两板正中间
射入偏转电场。当两板不带电时，这些电子通过两板之间的时间为
；
当在两板间加最大值为
，周期为
的电压（如图乙所示）时，所有电子均能从两板间通过，然后进入竖直
长度足够大的匀强磁场中，最后打在竖直放置的荧光屏上。已知磁场的水平宽度为L，电子的质量为m、电荷
量大小为e，其重力不计。
（1）求电子离开偏转电场时到
的最远距离；
（2）要使所有电子都能打在荧光屏上，求匀强磁场的磁感应强度B 的范围；
（3）在满足第（2）问的条件下求打在荧光屏上的电子束的宽度
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由题意可知，从0、
、
、……等时刻进入偏转电场的电子离开偏转电场时的位置到
的
距离最大，在这种情况下，电子的最大距离为
加速度大小
竖直分速度大小
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解得
（2）设电子从偏转电场中射出时的偏向角为
，由于电子要打在荧光屏上，临界情况是与屏相切，所以电子在
磁场中运动半径应满足
设电子离开偏转电场时的速度为
，垂直偏转极板的速度为
，则电子离开偏转电场时的偏向角为
，
又
，
解得
（3）从
、
、……等时刻进入偏转电场的电子离开偏转电场时的位置到
的距离最小，在这种情况下，
电子的最小距离为
解得
由于各个时刻从偏转电场中射出的电子的速度大小相等，方向相同，因此电子进入磁场后做圆周运动的半径也
相同，所以打到屏上的粒子是一系列平行的圆弧，由第（1）问知电子离开偏转电场时的位置到
的最大距离
和最小距离的差值为
，最远位置和最近位置之间的距离
所以打在荧光屏上的电子束的宽度为
6．（2024 高三下·湖南·开学考试）如图甲所示的坐标系中
区域有沿y 轴负向的匀强电场，电场强度
，
区域有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度的大小和方向随时间的变化关系如图乙所示，当垂
直纸面向里时磁感应强度为正，图中
，有足够大的荧光屏垂直于x 轴放置并可沿x 轴水平移动。现有一
带电粒子质量
，电量
的带电粒子从电场的P 点（已知P 点y 轴坐标为0.3m），沿平
行x 轴以某一初速度进入电场，恰好从坐标原点与x 轴成60°进入磁场，取带电粒子进入磁场为
时刻，不计
粒子重力，答案可用根号表示，求：
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（1）带电粒子的初速度；
（2）若要完整研究带电粒子在磁场中的运动轨迹，磁场沿y 轴方向的最小区间的上限坐标
和下限坐标
；
（3）若要带电粒子垂直打在荧光屏上，荧光屏所在位置的x 轴的可能坐标值。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
（
，
，
）或
（
，
，
）
【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，则有
其中
联立解得
（2）进入磁场的速度为
进入磁场后从图乙可知在
时间内，由洛伦兹力提供向心力得
解得轨迹半径为
运动周期为
则运动时间为
在
时间内，由洛伦兹力提供向心力得
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解得轨迹半径为
运动周期为
则运动时间为
在
时间内，运动半径仍为
，运动时间为
所以进入磁场后在如图示的磁场中的运动轨迹如下图所示
要形成完整的轨迹，从轨迹图中可看出磁场区域的上限坐标
磁场区域的下限坐标
（3）若在
区域垂直打在荧光屏上
由上图可知轨迹圆心
到
之间的距离
所以
，
（
，
，
）
若在
区域垂直打在荧光屏上
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根据对称轨迹圆心
到
之间的距离
所以
（
，
，
）
7．（2024 高三·广东河源·期末）现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，某控制装置如图所示，
区域Ⅰ是
圆弧形均匀辅向电场，半径为R 的中心线
处的场强大小处处相等，且大小为
，方向指向圆心
；在空间坐标系
中，区域Ⅱ是边长为L 的正方体空间，该空间内充满沿y 轴正方向的匀强电场
（大小未知）；区域Ⅲ也是边长为L 的正方体空间，空间内充满平行于
平面，与x 轴负方向成45°角的匀强
磁场，磁感应强度大小为B，在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板；一群比荷不同的带正电粒子以不同的速率先
后从
沿切线方向进入辐向电场，所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点O 沿x 轴正方向进入区域Ⅱ，不计带
电粒子所受重力和粒子之间的相互作用。
（1）若某一粒子进入辐向电场的速率为
，该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P 点进入区域Ⅲ中，已知P 点坐标为
，求该粒子的比荷
和区域Ⅱ中电场强度
的大小；
（2）保持（1）问中
不变，为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打到粒子收集板上，求粒子的比荷
需要满足的
条件。
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）某一粒子进入辐向电场的速率为
，粒子在辐向电场中做勺速圆周运动，由电场力提供向心力可
得
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解得该粒子的比荷为
粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，沿
轴方向有
沿y 轴方向有
，
联立解得区域Ⅱ中电场强度
的大小为
（2）设粒子电荷量为q，质量为m，粒子进入辐向电场的速率为v，则粒子在辐向电场中有
解得
粒子在区域Ⅱ中做类平抛运动，设粒子都能进入区域Ⅲ，则沿x 轴方向有
沿y 轴方向有
，
，
联立解得
，
可知所有粒子经过区域Ⅱ后都从P 点进入区域Ⅲ中，进入区域Ⅲ的速度方向与x 轴正方向的夹角为
，则有
解得
粒子进入区域Ⅲ的速度大小为
粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
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为了保证粒子能够打到粒子收集器上，如图所示
由几何关系可知粒子在磁场中的半径需要满足
联立解得粒子的比荷需要满足
8．（2024·湖南岳阳·三模）在如图所示的
三维空间中，
的区域存在沿y 轴正方向的匀强电场，在
区域内存在半圆柱体
空间区域，半圆柱沿y 轴方向足够高，该区域内存在沿y 轴正方向的匀
强磁场，磁感应强度大小
，平面
在yOz 平面内，D 点（0，0，0）为半圆柱体底面圆心，半圆
柱体的半径为
。一质量为m、电荷量为
的带电粒子，从A 点（-L，0，0）以初速度大小
，方向沿着x
轴正方向射入匀强电场，经过C 点（0，L，0）后进入半圆柱体磁场区域，不计粒子的重力。求：
（1）电场强度E 的大小；
（2）带电粒子在半圆柱体内运动的时间；
（3）带电粒子从半圆柱体射出时的位置坐标。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）（
，
，
）
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，有
，
根据牛顿第二定律
联立解得
（2）在磁场中，粒子的运动可以分解为垂匀速圆周运动和沿
正方向的匀速直线运动，垂直磁场方向，根据洛
伦兹力提供向心力
解得
如图所示
根据几何关系可知粒子在磁场中运动的圆心角为
，粒子在磁场中运动的周期
则带电粒子在半圆柱体内运动的时间
联立解得
（3）在磁场中，沿着
轴正方向的速度大小
轴方向
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轴方向
轴方向
带电粒子从半圆柱体射出时的位置坐标为（
，
，
）。
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