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专题23 带电粒子在电场磁场中的运动
考点
三年考情（2022-2024）
命题趋势
考点1 带电粒
子在电场中加
速或偏转后进
入磁场
（5 年5 考）
2024 年高考全国新课程卷：带电粒子电场中偏
转后进入磁场；
2024 年 高考山东卷：带电粒子加速后进入三角
形边界磁场；
2024 年高考辽宁卷：带电粒子电场偏转后进入
圆形边界磁场。
1.带电粒子在电磁场中运动涉及动
能定理、类平抛运动、匀速圆周
运动、临界极值等，是高考考查
的热点。
2. 带电粒子在电场中加速，利用
动能定理列方程；带电粒子在匀
强电场中的类平抛运动，带电粒
子在匀强磁场中的匀速圆周运动
是常见的运动模型；临界极值能
力要求高，考查频繁。
考点2 带电粒
子在磁场中偏
转后进入电场
（5 年3 考）
2024 年高考山东卷：现代粒子加速器常用电磁
场控制粒子团的运动。
考点01 带电粒子电场加速或偏转后进入磁场
1. （2024 年高考全国新课程卷）
一质量为m、电荷量为
的带电粒子始终在同一水平面内运动，其速度可用图示的直角坐标系内，
一个点
表示，
、
分别为粒子速度在水平面内两个坐标轴上的分量。粒子出发时P 位于图中
点，粒子在水平方向的匀强电场作用下运动，P 点沿线段ab 移动到
点；随后粒子离开电
场，进入方向竖直、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，P 点沿以O 为圆心的圆弧移动至
点；然
后粒子离开磁场返回电场，P 点沿线段ca 回到a 点。已知任何相等的时间内P 点沿图中闭合曲线通过的曲
线长度都相等。不计重力。求
1
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（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期；
（2）电场强度的大小；
（3）P 点沿图中闭合曲线移动1 周回到a 点时，粒子位移的大小。
解题思路 本题考查的考点：带电粒子在匀强电场中的类平抛运动和在匀强磁场中的匀速圆
周运动。
（1）根据题述，粒子出发时P 位于图中
点，粒子在水平方向的匀强电场作用下运动，P 点沿线段
ab 移动到
点；可知带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时的速度v=
=
v0，
由 qvB=m
解得 r=
周期 T=2πr/v=
（2）根据题述，已知任何相等的时间内P 点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等，由于曲线表示的为速
度相应的曲线，所以P 点沿图中闭合曲线的加速度相等，故可得
=
解得 E=
（3）根据题意分析，可知，P 点从b 到c，转过270°。P 点返回a 点时，根据对称性可知与初始位置等高，
从a 到b 过程中，粒子做类平抛运动，
t=v0，
沿y 方向位移L=v0t。
2
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联立解得 L=
根据几何知识可知 bc 之间距离xbc=
r=
由粒子在两次电场中运动的对称性可知移动一周时粒子位移大小为xad= xbc-2L=
2 （2024 年 高考山东卷）如图所示，在Oxy 坐标系x>0，y>0 区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小
为B 的匀强磁场。磁场中放置一长度为L 的挡板，其两端分别位于x、y 轴上M、N 两点，∠OMN=60°，挡
板上有一小孔K 位于MN 中点。△OMN 之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y 轴左侧的粒子发生
器在0＜y＜
的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q 的无初速度的粒子。粒子发生器与y 轴之间存
在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可
沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。
（1）求使粒子垂直挡板射入小孔K 的加速电压U0；
（2）调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔K 射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的
大小和方向；
（3）当加速电压为
时，求粒子从小孔K 射出后，运动过程中距离y 轴最近位置的坐标。
【答案】（1）
；（2）
，方向沿x 轴正方向；（3）
【解析】
（1）根据题意，作出粒子垂直挡板射入小孔K 的运动轨迹如图所示
3
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根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为
在
区域根据洛伦兹力提供向心力有
在匀强加速电场中由动能定理有
联立解得
（2）根据题意，当轨迹半径最小时，粒子速度最小，则作出粒子以最小的速度从小孔K 射出的运动轨迹如
图所示
根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为
在
区域根据洛伦兹力提供向心力有
粒子从小孔K 射出后恰好做匀速直线运动，由左手定则可知粒子经过小孔K 后受到的洛伦兹力沿x 轴负方
向，则粒子经过小孔K 后受到的电场力沿x 轴正方向，又粒子带正电，则
之外第一象限区域电场强
4
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度的方向沿x 轴正方向，大小满足
联立可得
（3）在匀强加速电场中由动能定理有
可得
在
区域根据洛伦兹力提供向心力有
可得粒子在
区域运动的轨迹半径
作出从小孔K 射出的粒子的运动轨迹如图所示
粒子出K 时，
越偏向
轴，离
轴越近，由几何关系有
则有
由配速法将运动分解为
轴方向的匀速直线运动和沿
方向的匀速圆周运动，其中
5
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匀速圆周运动的半径为
故最小距离为
3. （2023 高考湖南卷） 如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直
向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF 区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁场，磁
场方向垂直纸面向外。图中A、C、O 三点在同一直线上，AO 与GF 垂直，且与电场和磁场方向均垂直。A
点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC 运动的粒子才能进入区域
Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF 的
中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0。若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中
运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A. 若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则t > t0
B. 若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t > t0
C. 若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
D. 若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
【参考答案】D
【名师解析】根据题述，粒子从CF 的中点射出，由左手定则可知，粒子带正电。若区域Ⅰ中电场强度大小
为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，沿直线AC 运动的粒子进入区域Ⅱ，其速度
v=E/B1，设CF=L，粒子从CF 的中点射出，在区域II 的磁场中运动轨迹半径为r0=
，所对的圆心角为
90°，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0=T/4。若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，沿直线AC 运动的
6
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粒子进入区域Ⅱ，其速度v=E/2B1, 在区域II 的磁场中运动轨迹所对的圆心角为90°，它们在区域Ⅱ中运
动的时间为t1=T/4，A 错误；若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，沿直线AC 运动的粒子进入区域Ⅱ，其
速度v=2E/B1, 在区域II 的磁场中运动轨迹所对的圆心角为90°，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t2=T/4，B
错误；若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，由qv
=m
，解得r=
=
r0=
=
，大于
，带电粒子将从GF 射出，由sinθ=
=
，粒子运动轨迹所对的圆心
角θ=π/3 则
，C 错误；
若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，由qv
=m
，解得r=
=
r0=
=L，大于
，带电粒子将从GF 射出，由sinθ=
=
，粒子运动轨迹所对的圆心角θ=π/4
，则
，D 正确。
4.（2023 高考海南卷） 如图所示，质量为
，带电量为
的点电荷，从原点以初速度
射入第一象限
内的电磁场区域，在
（
为已知）区域内有竖直向上的匀强电场，在
区
域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度（
值有多种可能），可让粒子从
射入磁场后偏转打
到接收器
上，则（ ）
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A 粒子从
中点射入磁场，电场强度满足
B. 粒子从
中点射入磁场时速度为
C. 粒子在磁场中做圆周运动的圆心到
的距离为
D. 粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是
【参考答案】AD
【名师解析】
若粒子打到PN 中点，则
，
解得
，选项A 正确；
粒子从PN 中点射出时，则
速度
选项B 错误；
C．粒子从电场中射出时的速度方向与竖直方向夹角为θ，则
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粒子从电场中射出时的速度
粒子进入磁场后做匀速圆周运动，则
则粒子进入磁场后做圆周运动的圆心到MN 的距离为
解得
选项C 错误；
D．当粒子在磁场中运动有最大运动半径时，进入磁场的速度最大，则此时粒子从N 点进入磁场，此时竖直
最大速度
出离电场的最大速度
则由
可得最大半径
选项D 正确；
5.（18 分）（2023 高考重庆卷）某同学设计了一种粒子加速器的理想模型。如题15 图所示，xOy 平面内，
x 轴下方充满垂直于纸面向外的匀强磁场，x 轴上方被某边界分割成两部分，一部分充满匀强电场（电场强
度与y 轴负方向成α 角），另一部分无电场，该边界与y 轴交于M 点，与x 轴交于N 点。只有经电场到达
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N 点、与x 轴正方向成α 角斜向下运动的带电粒子才能进入磁场。从M 点向电场内发射一个比荷为
的带
电粒子A，其速度大小为v0、方向与电场方向垂直，仅在电场中运动时间T 后进入磁场，且通过N 点的速
度大小为2v0。忽略边界效应，不计粒子重力。
（1）求角度α 及M、N 两点的电势差。
（2）在该边界上任意位置沿与电场垂直方向直接射入电场内的、比荷为
的带电粒子，只要速度大小适
当，就能通过N 点进入磁场，求N 点横坐标及此边界方程。
（3）若粒子A 第一次在磁场中运动时磁感应强度大小为B1，以后每次在磁场中运动时磁感应强度大小为
上一次的一半，则粒子A 从M 点发射后，每次加速均能通过N 点进入磁场。求磁感应强度大小B1及粒子A
从发射到第n 次通过N 点的时间。
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【参考答案】（1）α=30° U=
（2）xN=
x+3
y-
=0
（3）B1=
tn=T+(
-1)
【名师解析】（1）根据题述，可画出带电粒子在匀强电场中类平抛运动轨迹如图。
将带电粒子运动到N 点的速度沿匀强电场方向和垂直电场方向分解，可知
2v0cos2α=v0，
解得α=30°。
由动能定理，qU=
-
解得U=
（2）沿电场方向分速度vE=2v0sin2α=
设N 点的横坐标为xN，MN 之间沿电场方向的距离为d，则有xN/d=sinα
vE=aT，
联立解得：xN=
带电粒子在沿y 轴方向做类竖直上抛运动，设M 点纵坐标为yM。
则yM=
=
由y=yM+kx，k=-yM/xN
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得边界方程x+3
y-
=0 （或写成y=
-
x）
(3)画出带电粒子在匀强磁场中运动轨迹。由几何关系可知P1N=r1
而r1=4
由qB1·2v0=m
解得 B1=
粒子A 从发射到第1 次通过N 点的时间为t1=T；
粒子A 从发射到第2 次通过N 点的时间为t2=T+
+T+2T= T+(
-1)
。
粒子A 从发射到第3 次通过N 点的时间为t3= T+(
-1)
。。
······
粒子A 从发射到第n 次通过N 点的时间为
t
n=T+(
-1)
【答案】（1 ）
，
；（2 ）
，
；（3 ）
，
【解析】
【详解】（1）粒子M 点垂直于电场方向入射，粒子在电场中做类平抛运动，沿电场方向做匀加速直线运
动，垂直于电场方向做匀速直线运动，在N 点将速度沿电场方向与垂直于电场方向分解，在垂直于电场方
向上有
解得
粒子从
过程，根据动能定理有
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解得
（2）对于从M 点射入的粒子，沿初速度方向的位移为
沿电场方向的位移为
令N 点横坐标为
，根据几何关系有
解得
根据上述与题意可知，令粒子入射速度为v，则通过N 点进入磁场的速度为2v，令边界上点的坐标为（x，
y）则在沿初速度方向上有
沿电场方向有
解得
（3）由上述结果可知电场强度
解得
设粒子A 第
次在磁场中做圆周运动的线速度为
，可得第
次在N 点进入磁场的速度为
第一次在N 点进入磁场的速度大小为
，可得
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设粒子A 第
次在磁场中运动时的磁感应强度为
，由题意可得
由洛伦兹力提供向心力得
联立解得
粒子A 第n 次在磁场中的运动轨迹如图所示
粒子每次在磁场中运动轨迹的圆心角均为300°，第n 次离开磁场的位置C 与N 的距离等于
，由C 到N
由动能定理得
联立上式解得
由类平抛运动沿电场方向的运动可得，粒子A 第n 次在电场中运动的时间为
粒子A 第n 次在磁场中运动的周期为
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粒子A 第n 次在磁场中运动的时间为
设粒子A 第n 次在电场边界MN 与x 轴之间的无场区域的位移为
，边界与x 轴负方向的夹角为
，则根
据边界方程可得
，
由正弦定理可得
解得
粒子A 第n 次在电场边界MN 与x 轴之间运动的时间为
粒子A 从发射到第n 次通过N 点的过程，在电场中运动n 次，在磁场和无场区域中均运动n-1 次，则所求
时间
由等比数列求和得
解得
6. （2023 高考山东高中学业水平等级考试）如图所示，在
，
的区域中，存在沿y
轴正方向、场强大小为E 的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，
电量为q 的带正电粒子从OP 中点A 进入电场（不计粒子重力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN 第二次离开电场后，垂直NP 再次进入电场，求磁场的磁
感应强度B 的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A 点沿y 轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P 点
第二次进入电场，在电场的作用下从Q 点离开。
（i）求改变后电场强度
的大小和粒子的初速度
；
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（ii）通过计算判断粒子能否从P 点第三次进入电场。
【参考答案】（1）
；（2）（i）
，
；（ii）不会
【名师解析】
（1）由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
粒子从上边界垂直QN 第二次离开电场后，垂直NP 再次进入电场，轨迹如图
根据几何关系可知
联立可得
（2）（i）由题意可知，做出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图
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在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知
解得
由sinθ=
=0.8，解得
，
洛伦兹力提供向心力
带电粒子从A 点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有
再一次进入电场后做类似斜抛运动，沿x 方向有，
沿y 方向上有，
其中根据牛顿第二定律有
联立以上各式解得
，
，
（ii）粒子从P 到Q 根据动能定理有
可得从Q 射出时的速度为
此时粒子在磁场中的半径
根据其几何关系可知对应的圆心坐标为
，
而圆心与P 的距离为
故不会再从P 点进入电场。
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7. （2023 高考选择性考试辽宁卷）如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的
倍。金属板外有一圆心为O 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强
磁场。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P 点飞
出电场，并沿PO 方向从图中O'点射入磁场。己知圆形磁场区域半径为
，不计粒子重力。
（1）求金属板间电势差U；
（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ；
（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画
出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的侧形磁场区域的圆心M。
【参考答案】（1）
；（2）
或
；（3）
【名师解析】
（1）设板间距离为
，则板长为
，带电粒子在板间做类平抛运动，两板间的电场强度为
根据牛顿第二定律得，电场力提供加速度
解得
设粒子在平板间的运动时间为
，根据类平抛运动的运动规律得
，
联立解得
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（2）设粒子出电场时与水平方向夹角为
，则有
故
则出电场时粒子的速度为
粒子出电场后沿直线匀速直线运动，接着进入磁场，根据牛顿第二定律，洛伦兹力提供匀速圆周运动所需
的向心力得
解得
已知圆形磁场区域半径为
，故
粒子沿
方向射入磁场即沿半径方向射入磁场，故粒子将沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时与射入
磁场时运动方向的夹角为
，则粒子在磁场中运动圆弧轨迹对应的圆心角也为
，由几何关系可得
故粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为
或
；
（3）带电粒子在该磁场中运动的半径与圆形磁场半径关系为
，根据几何关系可知，带电粒子在
该磁场中运动的轨迹一定为劣弧，故劣弧所对应轨迹圆的弦为磁场圆的直径时粒子在磁场中运动的时间最
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长。则相对应的运动轨迹和弦以及圆心M 的位置如图所示：
考点02 带电粒子磁场偏转后进入电场
1 （2024 年高考山东卷）现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度。简化模型如图：Ⅰ、Ⅱ区
宽度均为L，存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度等大反向；Ⅲ、Ⅳ区为电场区，Ⅳ区电场足够宽，
各区边界均垂直于x 轴，O 为坐标原点。甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为＋q，质量均为m 的粒子。如
图，甲、乙平行于x 轴向右运动，先后射入Ⅰ区时速度大小分别为
和
。甲到P 点时，乙刚好射入Ⅰ
区。乙经过Ⅰ区的速度偏转角为30°，甲到O 点时，乙恰好到P 点。已知Ⅲ区存在沿＋x 方向的匀强电场，
电场强度大小
。不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略边界效应及变化的电场产生的磁场。
（1）求磁感应强度的大小B；
（2）求Ⅲ区宽度d；
（3）Ⅳ区x 轴上的电场方向沿x 轴，电场强度E 随时间t、位置坐标x 的变化关系为
，其中常
系数
，
已知、k 未知，取甲经过O 点时
。已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，设乙在Ⅳ区受
到的电场力大小为F，甲、乙间距为Δx，求乙追上甲前F 与Δx 间的关系式（不要求写出Δx 的取值范围）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】
（1）对乙粒子，如图所示
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由洛伦兹力提供向心力
由几何关系
联立解得，磁感应强度的大小为
（2）由题意可知，根据对称性，乙在磁场中运动的时间为
对甲粒子，由对称性可知，甲粒子沿着直线从P 点到O 点，由运动学公式
由牛顿第二定律
联立可得Ⅲ区宽度为
（3）甲粒子经过O 点时的速度为
因
甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，则
可得
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设乙粒子经过Ⅲ区的时间为
，乙粒子在Ⅳ区运动时间为
，则上式中
对乙可得
整理可得
对甲可得
则
化简可得乙追上甲前F 与Δx 间的关系式为
22
