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专题13 带电粒子在叠加场中的运动
考点
十年考情（2015-2024）
命题趋势
考点 带电粒
子在叠加场中
的运动
（10 年10
考）
2024·山东·高考真题、2024·
海南·高考真题、2024·安徽·
高考真题、2023·海南·高考真
题、2023·湖南·高考真题、
2023·全国·高考真题、2023·
江苏·高考真题、2022·重庆·
高考真题、2022·全国·高考真
题、2022·浙江·高考真题、
2022·广东·高考真题、2022·
江苏·高考真题、2022·湖南·
高考真题、2022·山东·高考真
题、2020·海南·高考真题、
2017·全国·高考真题、2016·
天津·高考真题、2016·北京·
高考真题、2015·海南·高考真
题、2015·福建·高考真题
本章主要考查电流的磁效应、安培力、带电粒子在
磁场中运动的问题，主要涉及各种电流产生的磁
场、安培力的大小和方向、带电粒子在洛伦兹力作
用下的运动，主要体现在以下几方面:
(1)电流磁效应主要结合安培力的大小和方向、静电
力平衡、安培力做功等问题考查。
(2)匀强磁场中带电粒子做圆周运动，主要涉及群发
粒子的收集比例问题。
(3)带电粒子在复合场的运动主要涉及叠加和不叠加
两种形式，主要考查轨迹多解问题和霍尔效应、磁
流体发电机等。
一、单选题
1．（2023·海南·高考真题）如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运
动和受力说法正确的是（ ）
A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B．小球运动过程中的速度不变
C．小球运动过程的加速度保持不变
D．小球受到的洛伦兹力对小球做正功
【答案】A
【详解】A．根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A 正确；
BC．小球受洛伦兹力和重力的作用，则小球运动过程中速度、加速度大小，方向都在变，BC 错误；
D．洛仑兹力永不做功，D 错误。
故选A。
1
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2．（2023·湖南·高考真题）如图，真空中有区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖
直向下（与纸面平行），磁场方向垂直纸面向里，等腰直角三角形CGF 区域（区域Ⅱ）内存在匀强磁场，
磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O 三点在同一直线上，AO 与GF 垂直，且与电场和磁场方向均垂直。
A 点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中，只有沿直线AC 运动的粒子才能进入区
域Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1，区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从
CF 的中点射出，它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0。若改变电场或磁场强弱，能进入区域Ⅱ中的粒子在区域
Ⅱ中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则t > t0
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则t > t0
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则
【答案】D
【详解】由题知粒子在AC 做直线运动，则有
qv0B1= qE
区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2，则粒子从CF 的中点射出，则粒子转过的圆心角为90°，根据
，
有
A．若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1，则粒子在AC 做直线运动的速度，有
qvA∙2B1= qE
则
再根据
，可知粒子半径减小，则粒子仍然从CF 边射出，粒子转过的圆心角仍为90°，则t =
t0，A 错误；
B．若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E，则粒子在AC 做直线运动的速度，有
qvBB1= q∙2E
2
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则
vB = 2v0
再根据
，可知粒子半径变为原来的2 倍，则粒子F 点射出，粒子转过的圆心角仍为90°，则t =
t0，B 错误；
C．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则粒子在AC 做直线运动的速度仍为v0，再根据
，可知粒子半径变为原来的
，则粒子从OF 边射出，则画出粒子的运动轨迹如下图
根据
可知转过的圆心角θ = 60°，根据
，有
则
C 错误；
D．若仅将区域Ⅱ中磁感应强度大小变为
，则粒子在AC 做直线运动的速度仍为v0，再根据
，可知粒子半径变为原来的
，则粒子OF 边射出，则画出粒子的运动轨迹如下图
根据
3
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可知转过的圆心角为α = 45°，根据
，有
则
D 正确。
故选D。
3．（2023·全国·高考真题）如图，一磁感应强度大小为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面（xOy 平面）向里，
磁场右边界与x 轴垂直。一带电粒子由O 点沿x 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S 点射出，粒子离开
磁场后，沿直线运动打在垂直于x 轴的接收屏上的P 点；SP = l，S 与屏的距离为
，与x 轴的距离为a。
如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E 的匀强电场，该粒子入射后则会沿x 轴到达
接收屏。该粒子的比荷为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题知，一带电粒子由O 点沿x 正向入射到磁场中，在磁场另一侧的S 点射出，
则根据几何关系可知粒子出离磁场时速度方向与竖直方向夹角为30°，则
解得粒子做圆周运动的半径
r = 2a
则粒子做圆周运动有
4
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则有
如果保持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E 的匀强电场，该粒子入射后则会沿x 轴到达
接收屏，则有
Eq = qvB
联立有
故选A。
4．（2022·重庆·高考真题）2021 年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离
子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向
右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q 的正离子
在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计
离子重力，则（ ）
A．电场力的瞬时功率为
B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C．v2与v1的比值不断变大
D．该离子的加速度大小不变
【答案】D
【详解】A．根据功率的计算公式可知P = Fvcosθ，则电场力的瞬时功率为P = Eqv1，A 错误；
B．由于v1与磁场B 平行，则根据洛伦兹力的计算公式有F 洛 = qv2B，B 错误；
C．根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于纸面内做匀速圆周运动，沿水平方向做加速运动，则v1增大，
v2不变，v2与v1的比值不断变小，C 错误；
D．离子受到的洛伦兹力大小不变，电场力不变，则该离子的加速度大小不变，D 正确。
故选D。
5．（2022·全国·高考真题）空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面（
平面）向里，
电场的方向沿y 轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O 由静止开始运动。下列
四幅图中，可能正确描述该粒子运动轨迹的是（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解法一：
AC．在xOy 平面内电场的方向沿y 轴正方向，故在坐标原点O 静止的带正电粒子在电场力作用下会向y 轴
正方向运动。磁场方向垂直于纸面向里，根据左手定则，可判断出向y 轴正方向运动的粒子同时受到沿x
轴负方向的洛伦兹力，故带电粒子向x 轴负方向偏转。AC 错误；
BD．运动的过程中在电场力对带电粒子做功，粒子速度大小发生变化，粒子所受的洛伦兹力方向始终与速
度方向垂直。由于匀强电场方向是沿y 轴正方向，故x 轴为匀强电场的等势面，从开始到带电粒子偏转再
次运动到x 轴时，电场力做功为0，洛伦兹力不做功，故带电粒子再次回到x 轴时的速度为0，随后受电场
力作用再次进入第二象限重复向左偏转，故B 正确，D 错误。
故选B。
解法二：
粒子在O 点静止，对速度进行分解，分解为向x 轴正方向的速度v，向x 轴负方向的速度v’，两个速度大小
相等，方向相反。使得其中一个洛伦兹力平衡电场力，即
则粒子的在电场、磁场中的运动，可视为，向x 轴负方向以速度
做匀速直线运动，同时在x 轴上方
做匀速圆周运动。
故选B。
6．（2017·全国·高考真题）如图，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上（与纸面平
行），磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒a，b，c 电荷量相等，质量分别为ma，mb，mc，已知
在该区域内，a 在纸面内做匀速圆周运动，b 在纸面内向右做匀速直线运动，c 在纸面内向左做匀速直线运
动，下列选项正确的是（ ）
6
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A．ma>mb>mc
B．mb>ma>mc
C．mc>ma>mb
D．mc>mb>ma
【答案】B
【详解】由题意知
mag=qE
mbg=qE+Bqv
mcg+Bqv=qE
所以
故选B。
7．（2015·海南·高考真题）如图所示，a 是竖直平面P 上的一点，P 前有一条形磁铁垂直于P，且S 极朝向
a 点，P 后一电子在偏转线圈和条形磁铁的磁场的共同作用下，在水平面内向右弯曲经过a 点．在电子经过
a 点的瞬间．条形磁铁的磁场对该电子的作用力的方向（）
A．向上
B．向下
C．向左
D．向右
【答案】A
【详解】P 前有一条形磁铁垂直于P，且S 极朝向a 点可知条形磁铁的磁场的方向向外，电子向右运动，由
左手定则可知，电子受到的条形磁铁对电子的作用力的方向向上．
【点睛】本题提供的情景看似比较复杂，在去芜存菁后可知，电子受到的洛伦兹力的方向可以由左手定则
直接判定．要注意的是：对负电荷而言，四指所指方向为其运动的反方向．
二、多选题
8．（2024·安徽·高考真题）空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小
为E，磁感应强度大小为B。一质量为m 的带电油滴a，在纸面内做半径为R 的圆周运动，轨迹如图所示。
当a 运动到最低点P 时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P 点时与a 的速度
方向相同，并做半径为
的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。己知重力加速度大小为g，不计
空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则（ ）
A．油滴a 带负电，所带电量的大小为
7
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B．油滴a 做圆周运动的速度大小为
C．小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为
，周期为
D．小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
【答案】ABD
【详解】A．油滴a 做圆周运动，故重力与电场力平衡，可知带负电，有
解得
故A 正确；
B．根据洛伦兹力提供向心力
得
解得油滴a 做圆周运动的速度大小为
故B 正确；
C．设小油滴Ⅰ的速度大小为
，得
解得
周期为
故C 错误；
D．带电油滴a 分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为
，取油滴a 分离前瞬间的速度方向为正
方向，得
8
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解得
由于分离后的小液滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，根据左手
定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，故D 正确。
故选ABD。
9．（2022·浙江·高考真题）如图为某一径向电场的示意图，电场强度大小可表示为
， a 为常量。
比荷相同的两粒子在半径r 不同的圆轨道运动。不考虑粒子间的相互作用及重力，则（ ）
A．轨道半径r 小的粒子角速度一定小
B．电荷量大的粒子的动能一定大
C．粒子的速度大小与轨道半径r 一定无关
D．当加垂直纸面磁场时，粒子一定做离心运动
【答案】BC
【详解】A．根据电场力提供向心力可得
解得
可知轨道半径r 小的粒子角速度大，故A 错误；
BC．根据电场力提供向心力可得
解得
又
联立可得
9
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可知电荷量大的粒子的动能一定大，粒子的速度大小与轨道半径r 一定无关，故BC 正确；
D．磁场的方向可能垂直纸面向内也可能垂直纸面向外，所以粒子所受洛伦兹力方向不能确定，粒子可能
做离心运动，也可能做近心运动，故D 错误。
故选BC。
10．（2022·广东·高考真题）如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的
匀强磁场。电子从M 点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P 两点。已知M、P 在同一等势面上，
下列说法正确的有（ ）
A．电子从N 到P，电场力做正功
B．N 点的电势高于P 点的电势
C．电子从M 到N，洛伦兹力不做功
D．电子在M 点所受的合力大于在P 点所受的合力
【答案】BC
【详解】A．由题可知电子所受电场力水平向左，电子从N 到P 的过程中电场力做负功，故A 错误；
B．根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知N 点的电势高于P 点，故B 正确；
C．由于洛伦兹力一直都和速度方向垂直，故电子从M 到N 洛伦兹力都不做功；故C 正确；
D．由于M 点和P 点在同一等势面上，故从M 到P 电场力做功为0，而洛伦兹力不做功，M 点速度为0，
根据动能定理可知电子在P 点速度也为0，则电子在M 点和P 点都只受电场力作用，在匀强电场中电子在
这两点电场力相等，即合力相等，故D 错误；
故选BC。
三、解答题
11．（2024·海南·高考真题）如图，在xOy 坐标系中有三个区域，圆形区域Ⅰ分别与x 轴和y 轴相切于P 点
和S 点。半圆形区域Ⅱ的半径是区域Ⅰ半径的2 倍。区域Ⅰ、Ⅱ的圆心
连线与x 轴平行，半圆与圆相
切于Q 点，QF 垂直于x 轴，半圆的直径MN 所在的直线右侧为区域Ⅲ。区域Ⅰ、Ⅱ分别有磁感应强度大小
为B、
的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向外。区域Ⅰ下方有一粒子源和加速电场组成的发射器，可将
质量为m、电荷量为q 的粒子由电场加速到
。改变发射器的位置，使带电粒子在OF 范围内都沿着y 轴
正方向以相同的速度
沿纸面射入区域Ⅰ。已知某粒子从P 点射入区域Ⅰ，并从Q 点射入区域Ⅱ（不计粒
子的重力和粒子之间的影响）
（1）求加速电场两板间的电压U 和区域Ⅰ的半径R；
（2）在能射入区域Ⅲ的粒子中，某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，求该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动
的总时间t；
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（3）在区域Ⅲ加入匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电场强度的大小
，方向沿x 轴正方向。此后，粒子源中某粒子经区域Ⅰ、Ⅱ射入区域Ⅲ，进入区域Ⅲ时速度方向与
y 轴负方向的夹角成74°角。当粒子动能最大时，求粒子的速度大小及所在的位置到y 轴的距离
。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）根据动能定理得
解得
粒子进入区域I 做匀速圆周运动，根据题意某粒子从P 点射入区域Ⅰ，并从Q 点射入区域Ⅱ，故可知此时
粒子的运动轨迹半径与区域Ⅰ的半径R 相等，粒子在磁场中运动洛伦兹力提供向心力
解得
（2）带电粒子在OF 范围内都沿着y 轴正方向以相同的速度
沿纸面射入区域Ⅰ，由(1)可得，粒子的在磁
场中做匀速圆周运动，轨迹半径均为R，因为在区域Ⅰ中的磁场半径和轨迹半径相等，粒子射入点、区域
Ⅰ圆心O1、轨迹圆心O'、粒子出射点四点构成一个菱形，有几何关系可得，区域Ⅰ圆心O1和粒子出射点
连线平行于粒子射入点与轨迹圆心O'连线，则区域Ⅰ圆心O1和粒子出射点水平，根据磁聚焦原理可知粒
子都从Q 点射出，粒子射入区域II，仍做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
解得
如图，要使粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，轨迹所对应的圆心角最小，可知在区域Ⅱ中运动的圆弧所对
的弦长最短，即此时最短弦长为区域Ⅱ的磁场圆半径
，根据几何知识可得此时在区域Ⅱ和区域Ⅰ中运
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动的轨迹所对应的圆心角都为
，粒子在两区域磁场中运动周期分别为
故可得该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动的总时间为
（3）如图，将速度
分解为沿y 轴正方向的速度
及速度
，因为
可得
，故可知沿y 轴
正方向的速度
产生的洛伦兹力与电场力平衡，粒子同时受到另一方向的洛伦兹力
，故粒子沿y 正方
向做旋进运动，根据角度可知
故当
方向为竖直向上时此时粒子速度最大，即最大速度为
圆周运动半径
根据几何关系可知此时所在的位置到y 轴的距离为
12．（2024·山东·高考真题）如图所示，在Oxy 坐标系x>0，y>0 区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大
小为B 的匀强磁场。磁场中放置一长度为L 的挡板，其两端分别位于x、y 轴上M、N 两点，∠OMN=60°，
挡板上有一小孔K 位于MN 中点。△OMN 之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y 轴左侧的粒子发
生器在0＜y＜
的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q 的无初速度的粒子。粒子发生器与y 轴之间
存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子
12
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可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。
（1）求使粒子垂直挡板射入小孔K 的加速电压U0；
（2）调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔K 射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的
大小和方向；
（3）当加速电压为
时，求粒子从小孔K 射出后，运动过程中距离y 轴最近位置的坐标。
【答案】（1）
；（2）
，方向沿x 轴正方向；（3）
(n=0,1,2
)
⋅⋅⋅
【详解】（1）根据题意，作出粒子垂直挡板射入小孔K 的运动轨迹如图所示
根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为
在
区域根据洛伦兹力提供向心力有
在匀强加速电场中由动能定理有
联立解得
（2）根据题意，当轨迹半径最小时，粒子速度最小，则作出粒子以最小的速度从小孔K 射出的运动轨迹如
图所示
13
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根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为
在
区域根据洛伦兹力提供向心力有
粒子从小孔K 射出后恰好做匀速直线运动，由左手定则可知粒子经过小孔K 后受到的洛伦兹力沿x 轴负方
向，则粒子经过小孔K 后受到的电场力沿x 轴正方向，粒子带正电，则
之外第一象限区域电场强度的
方向沿x 轴正方向，大小满足
联立可得
（3）在匀强加速电场中由动能定理有
可得
在
区域根据洛伦兹力提供向心力有
可得粒子在
区域运动的轨迹半径
作出从小孔K 射出的粒子的运动轨迹如图所示
设粒子从小孔
射出的速度方向与
轴正方向夹角为
，根据几何关系可知
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则粒子从小孔
射出的速度方向与
轴正方向的夹角为
，该速度沿
轴和
轴正方向的分速度大小为
，
则粒子从
射出后的运动可分解为沿
轴正方向的匀速直线运动和速度大小为
的
匀速圆周运动，可知
解得
粒子做圆周运动的周期为T = 2πm
qB ，粒子至少运动
距离
轴最近，加上整周期则粒子运动
，
时距离
轴最近，则最近位置的横坐标为
纵坐标为
，
综上所述，最近的位置坐标
，
。
13．（2023·江苏·高考真题）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy 平面内存在竖直向下的
匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e 的电子从O 点沿x 轴
正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x 轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中
的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
（1）求电场强度的大小E；
（2）若电子入射速度为v0
4 ，求运动到速度为
时位置的纵坐标y1；
（3）若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标
位置的电子数N 占总电子数
N0的百分比。
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【答案】（1）v0B；（2）
；（3）90%
【详解】（1）由题知，入射速度为v0时，电子沿x 轴做直线运动则有
Ee = ev0B
解得
E = v0B
（2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且
由于电子入射速度为v0
4 ，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有
解得
（3）若电子以v 入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理有
由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有
F 合 = evmB－eE
在最低点有
F 合 = eE－evB
联立有
要让电子达纵坐标
位置，即
y ≥ y2
解得
16
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则若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，能到达纵坐标
位置的电子数N 占总电子数N0的
90%。
14．（2022·江苏·高考真题）利用云室可以知道带电粒子的性质，如图所示，云室中存在磁感应强度大小
为B 的匀强磁场，一个质量为m、速度为v 的电中性粒子在A 点分裂成带等量异号电荷的粒子a 和b，a、b
在磁场中的径迹是两条相切的圆弧，相同时间内的径迹长度之比
，半径之比
，不计
重力及粒子间的相互作用力，求：
（1）粒子a、b 的质量之比
；
（2）粒子a 的动量大小
。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）分裂后带电粒子在磁场中偏转做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有
解得
由题干知半径之比
，故
因为相同时间内的径迹长度之比
，则分裂后粒子在磁场中的速度为
联立解得
（2）中性粒子在A 点分裂成带等量异号电荷的粒子a 和b，分裂过程中，没有外力作用，动量守恒，根据
动量守恒定律
因为分裂后动量关系为
，联立解得
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15．（2022·湖南·高考真题）如图，两个定值电阻的阻值分别为
和
，直流电源的内阻不计，平行板电
容器两极板水平放置，板间距离为
，板长为
，极板间存在方向水平向里的匀强磁场。质量为
、带
电量为
的小球以初速度沿水平方向从电容器下板左侧边缘
点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电
容器上板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为
，忽略空气阻力。
（1）求直流电源的电动势
；
（2）求两极板间磁场的磁感应强度
；
（3）在图中虚线的右侧设计一匀强电场，使小球离开电容器后沿直线运动，求电场强度的最小值
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球在电磁场中做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，可得
两端的电压
根据欧姆定律得
联立解得
（2）如图所示
设粒子在电磁场中做圆周运动的半径为，根据几何关系
解得
根据
18
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解得
（3）由几何关系可知，射出磁场时，小球速度方向与水平方向夹角为
，要使小球做直线运动，当小球
所受电场力与小球重力在垂直小球速度方向的分力相等时，电场力最小，电场强度最小，可得
解得
16．（2022·山东·高考真题）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和
加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系
中，
空间内充满匀强磁场I，
磁感应强度大小为B，方向沿x 轴正方向；
，
的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为
，方向平行于
平面，与x 轴正方向夹角为
；
，
的空间内充满沿y 轴负方向的匀强
电场。质量为m、带电量为
的离子甲，从
平面第三象限内距
轴为
的点
以一定速度出射，速度
方向与
轴正方向夹角为
，在
平面内运动一段时间后，经坐标原点
沿
轴正方向进入磁场I。不计
离子重力。
（1）当离子甲从
点出射速度为
时，求电场强度的大小
；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度
；
（3）离子甲以
的速度从
点沿
轴正方向第一次穿过
面进入磁场I，求第四次穿过
平面的位
置坐标（用d 表示）；
（4）当离子甲以
的速度从
点进入磁场I 时，质量为
、带电量为
的离子乙，也从
点沿
轴正
方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差
（忽
略离子间相互作用）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）（d，d，
）；（4）
【详解】（1）如图所示
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将离子甲从
点出射速度为
分解到沿
轴方向和
轴方向，离子受到的电场力沿
轴负方向，可知离子
沿
轴方向做匀速直线运动，沿
轴方向做匀减速直线运动，从
到
的过程，有
联立解得
（2）离子从坐标原点
沿
轴正方向进入磁场I 中，在磁场I 中做匀速圆周运动，经过磁场I 偏转后从
轴
进入磁场II 中，继续做匀速圆周运动，如图所示
由洛伦兹力提供向心力可得
，
可得
为了使离子在磁场中运动，则离子磁场I 运动时，不能从磁场I 上方穿出。在磁场II 运动时，不能xOz 平面
穿出，则离子在磁场用运动的轨迹半径需满足
，
联立可得
要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为
；
（3）离子甲以
的速度从
点沿z 轴正方向第一次穿过
面进入磁场I，离子在磁场I 中的轨迹半径
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为
离子在磁场II 中的轨迹半径为
离子从
点第一次穿过到第四次穿过
平面的运动情景，如图所示
离子第四次穿过
平面的
坐标为
离子第四次穿过
平面的
坐标为
故离子第四次穿过
平面的位置坐标为（d，d，
）。
（4）设离子乙的速度为
，根据离子甲、乙动能相同，可得
可得
离子甲、离子乙在磁场I 中的轨迹半径分别为
，
离子甲、离子乙在磁场II 中的轨迹半径分别为
，
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点在离子乙第一次穿过x 轴的位置，如图所示
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从
点进入磁场到第一个交点的过程，有
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为
17．（2020·海南·高考真题）如图，虚线MN 左侧有一个正三角形ABC，C 点在MN 上，AB 与MN 平行，
该三角形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场；MN 右侧的整个区域存在垂直于纸面向里的匀强磁场，
一个带正电的离子（重力不计）以初速度
从AB 的中点O 沿OC 方向射入三角形区域，偏转
后从MN
上的Р 点（图中未画出）进入MN 右侧区域，偏转后恰能回到O 点。已知离子的质量为m，电荷量为q，
正三角形的边长为d：
(1)求三角形区域内磁场的磁感应强度；
(2)求离子从O 点射入到返回O 点所需要的时间；
(3)若原三角形区域存在的是一磁感应强度大小与原来相等的恒磁场，将MN 右侧磁场变为一个与MN 相切
于P 点的圆形匀强磁场让离子从P 点射入圆形磁场，速度大小仍为
，方向垂直于BC，始终在纸面内运
动，到达О 点时的速度方向与OC 成
角，求圆形磁场的磁感应强度。
【答案】(1)
；(2)
；(3)见解析
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【详解】(1)画出粒子运动轨迹如图
粒子在三角形ABC 中运动时，有
又粒子出三角形磁场时偏转
，由几何关系可知
联立解得
(2)粒子从D 运动到P，由几何关系可知
运动时间
粒子在MN 右侧运动的半径为
则有
运动时间
故粒子从O 点射入到返回O 点所需要的时间
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(3)若三角形ABC 区域磁场方向向里，则粒子运动轨迹如图中①所示，有
解得
此时根据
有
若三角形ABC 区域磁场方向向外，则粒子运动轨迹如图中②所示，有
解得
此时根据
有
18．（2015·福建·高考真题）如图，绝缘粗糙的竖直平面
左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁
场，电场方向水平向右，电场强度大小为
，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为
．一质量为
、
电荷量为
的带正电的小滑块从
点由静止开始沿
下滑，到达
点时离开
做曲线运动．
、
两
点间距离为
，重力加速度为
．
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（1）求小滑块运动到
点时的速度大小
；
（2）求小滑块从
点运动到
点过程中克服摩擦力做的功
；
（3）若
点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到
点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的
点．已知小滑块在
点时的速度大小为
，从
点
运动到
点的时间为，求小滑块运动到
点时速度的大小
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】小滑块到达
点时离开
，此时与
间的作用力为零，对小滑块受力分析计算此时的速度的
大小；由动能定理直接计算摩擦力做的功
；撤去磁场后小滑块将做类平抛运动，根据分运动计算最后的
合速度的大小。
【详解】（1）由题意知，根据左手定则可判断，滑块在下滑的过程中受水平向左的洛伦兹力，当洛伦兹
力等于电场力
时滑块离开
开始做曲线运动，即
解得小滑块运动到
点时的速度
（2）从
到
根据动能定理：
解得：
（3）当小滑块速度最大时，所受合外力为零，即滑块在
点的速度
方向与重力、电场力的合力方向垂
直，故撤去磁场后，小滑块将做类平抛运动，设等效重力加速度为
，则有
且
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联立解得：
【点睛】解决本题的关键是分析清楚小滑块的运动过程，在与
分离时，小滑块与
间的作用力为零，
在撤去磁场后小滑块将做类平抛运动，根据滑块的不同的运动过程逐步求解即可．
19．（2016·天津·高考真题）如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小为
，
同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B=0.5T。有一带正电的小球，
质量m=1×10–6 kg，电荷量q=2×10–6 C，正以速度v 在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P 点时撤掉
磁场（不考虑磁场消失引起的电磁感应现象），取g=10 m/s2.求：
（1）小球做匀速直线运动的速度v 的大小和方向；
（2）从撤掉磁场到小球再次穿过P 点所在的这条电场线经历的时间t。
【答案】（1）20 m/s，与电场方向夹角为60°；（2）
【详解】（1）小球做匀速直线运动时，受力如图
其所受的三个力在同一平面内，合力为零，则有
代入数据解得
速度v 的方向与电场E 的方向之间的夹角满足
解得
则
（2）撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P 点为坐标原点，
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竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速直线运动，其初速度为
若使小球再次穿过P 点所在的电场线，仅需小球的竖直方向的分位移为零，则有
联立解得
20．（2016·北京·高考真题）如图所示，质量为m、电荷量为q 的带电粒子，以初速度v 沿垂直磁场方向射
入磁感应强度为B 的匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动，不计带电粒子所受重力：
（1）求粒子做匀速圆周运动的半径R 和周期T；
（2）为使该粒子做匀速直线运动，还需要同时存在一个与磁场方向垂直的匀强电场，求电场强度E 的大
小。
【答案】（1）
，
；（2）
。
【详解】（1）粒子在磁场中受洛伦兹力F=qvB，洛伦兹力提供粒子做匀速圆周运动所需的向心力，有
则粒子做匀速圆周运动的半径
粒子做匀速圆周运动周期
可得
（2）分析知粒子带正电，为使该粒子做匀速直线运动，需加一竖直向下的匀强电场，电场力与洛伦兹力
等大反向，相互平衡，即
qE=qvB
电场强度E 的大小
E=vB
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答：（1）求粒子做匀速圆周运动的半径，周期；（2）电场强度E=vB。
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