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专题22 带电粒子在复合场的运动
[题型导航]
题型一 带电粒子在叠加场中无约束条件下的运动...........................................................................1
题型二 带电粒子在叠加场中有约束条件下的运动...........................................................................7
题型三 电场和磁场叠加的应用实例分析.........................................................................................14
[考点分析]
题型一 带电粒子在叠加场中无约束条件下的运动
1.带电粒子(带电体)在叠加场中无约束情况下的运动
(1)静电力、重力并存
静电力与重力的合力一般为恒力，带电体做匀速直线运动或匀变速直线(或曲线)运动，比较简
单。
(2)磁场力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守
恒，由此可求解问题。
(3)静电力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)
①若静电力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。
②若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动
能定理求解问题。
(4)静电力、磁场力、重力并存
①若三力平衡，一定做匀速直线运动。
②若重力与静电力平衡，一定做匀速圆周运动。
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守
恒定律或动能定理求解问题。
4.是否考虑重力的判断
1
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①对于微观粒子，如电子、质子、离子等，若无特殊说明，一般不考虑重力；对于宏观带电小
物体，如带电小球、尘埃、油滴、液滴等，若无特殊说明，一般需要考虑重力。
②题目中已明确说明是否需要考虑重力时则按说明分析。
③不能直接判断是否需要考虑重力的，在进行受力分析和运动分析时，由分析结果确定是否考
虑重力。
[例题1]
（多选）如图所示，两个倾角分别为30°和60°的光滑绝缘斜面固定于水平地面上，
并处于方向垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场中，两个质量为m、带电荷量为+q 的
小滑块甲和乙分别从两个斜面顶端由静止释放，运动一段时间后，两小滑块都将飞离斜面，则
（ ）
A．飞离斜面时甲滑块动量比乙滑块动量大
B．飞离斜面时甲滑块动量比乙滑块动量小
C．飞离斜面时甲滑块重力做功的瞬时功率与乙滑块重力做功瞬时功率不同
D．飞离斜面时甲滑块重力做功的瞬时功率与乙滑块重力做功瞬时功率相同
【解答】解：AB、设斜面倾角为θ，当斜面对滑块的支持力恰好为零时滑块恰好飞离斜面时，
由平衡条件得：qvB＝mgcosθ
解得滑块离开斜面时的速度大小v= mgcosθ
qB
，
由题意可知，因为甲物块所在斜面倾角较小，所以甲滑块飞离斜面时的速度大，由P＝mv 可知，
飞离斜面时甲滑块动量比乙滑块动量大，故A 正确，B 错误；
CD、飞离斜面时滑块重力做功的功率为P＝mgvsinθ= m
2 g
2sinθcosθ
qB
，
代入两个斜面的倾角可知飞离斜面时甲滑块重力做功的瞬时功率与乙滑块重力做功瞬时功率相
同，故D 正确，C 错误。
故选：AD。
[例题2]
（多选）如图所示，空间有一垂直纸面向外的磁感应强度为1T 的匀强磁场，一
质量为0.3kg 且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端放置一质量为0.1kg 带正
电的滑块，电荷量为0.2C，滑块与绝缘木板之间的动摩擦因数为0.5，滑块受到的最大静摩擦
2
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力等于滑动摩擦力。t＝0 时刻开始对木板施加方向水平向左、大小为1.2N 的恒力，g 取
10m/s2，则（ ）
A．木板和滑块一直做加速度为3m/s2的匀加速直线运动
B．0.5s 末滑块的速度是1.5m/s
C．最终木板做加速度为4m/s2的匀加速直线运动，滑块做速度为5 m/s 的匀速直线运动
D．整个运动过程中摩擦力对滑块做的功为1.25J
【解答】解：AB、由于动摩擦因数为0.5，静摩擦力能提供的最大加速度为amax＝5m/s2，所以当
1.2N 的恒力作用于木板时，系统一起以a=
F
M +m =
1.2
0.3+0.1
m/s2＝3m/s2的加速度一起运动，当
滑块获得向左运动的速度以后又产生一个方向向上的洛伦兹力，摩擦力不断减小，当摩擦力产
生的加速度小于3m/s2 后，根据μ（mg﹣Bqv）＝ma 解得此时速度v＝2m/s，根据v＝at 知t
= 2
3 s＜0.5s，说明0.5s 内滑块仍做加速度为a 的匀变速直线运动，根据v＝at0＝1.5m/s，2
3
s 后
滑块将发生相对滑动，木板和滑块的受力发生变化，加速度也会变化，故A 错误，B 正确；
C、当洛伦兹力等于重力时滑块与木板之间的弹力为零，此时Bqv′＝mg，解得：v′＝5m/s，
此时摩擦力消失，滑块做匀速运动，而木板在恒力作用下做匀加速运动，加速度a′= F
M = 1.2
0.3
m/s2＝4m/s2，故C 正确；
D、整个运动过程中摩擦力对滑块做的功等于滑块动能的增加量△Ek= 1
2
mv′2= 1
2 ×0.1×5
2J＝
1.25J，故D 正确。
故选：BCD。
[例题3]
电场强度为E 的匀强电场水平向右，匀强磁场与匀强电场垂直，磁感应强度大小
为B，方向如图所示。一带电小球M 斜向右上做匀速直线运动，速度与水平方向的夹角为
30°，该小球运动的速度大小为（ ）
3
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A．E
B
B．2 E
B
C．√3 E
B
D．2√3 E
B
【解答】解：小球在电磁复合场中做匀速直线运动，由于洛伦兹力与小球速度有直接关系，故
小球做匀速直线运动，对其受力分析，如图所示：qvBsin30°＝Eq
解得：v= 2 E
B ，故B 正确，ACD 错误。
故选：B。
[例题4]
（多选）如图所示，空间存在正交的匀强电场和匀强磁场，匀强电场方向水平向
右，场强大小为E，匀强磁场方向垂直于纸面水平向里，磁感应强度大小为B，a、b 两个带电
球在电场和磁场中沿直线运动，轨迹在纸面内如图中虚线所示，不计小球间的相互作用，则下
列说法正确的是（ ）
A．小球a 带正电，从Q 向P 运动
B．小球b 带正电，从N 向M 运动
C．a、b 两小球的速度大小之比为√2：√3
4
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D．a、b 两小球的质量之比为1：√6
【解答】解：A、若小球a 带正电且从Q 向P 运动，小球a 受到竖直向下的重力，水平向右的电
场力和垂直PQ 斜向左下方的洛伦兹力，三力的合力不为零，则小球a 不可能做直线运动，故A
错误；
B、若小球b 带正电，从N 向M 运动，小球b 受竖直向下的重力，水平向右的电场力和垂直MN
斜向左上方的洛伦兹力，当三力的合力为0 时小球b 从N 向M 做匀速直线运动，故B 正确；
C、对两小球受力分析如图所示，由平衡条件可知：
对a 球有 qa E
sin60° =qava B，
对b 球有 qb E
sin 45° =qb vb B
解得
va
vb
= √2
√3，故C 正确；
D．由于不知道两小球的电荷量之比，则无法确定两小球的质量之比，故D 错误。
故选：BC。
[例题5]
如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一、二象限内有竖直向下的匀强电场
E1，虚线是第二、四象限的角平分线，虚线的右上方有垂直纸面向里的匀强磁场B；第三、四
象限有水平向左的匀强电场E2，且E1＝E2，现有一电荷量为q、质量为m 的带电微粒由x 轴上
的P 点（-√2L，0），以大小为v0、方向与x 轴正方向成45°角的速度射入第二象限，微粒沿
直线运动到虚线上的Q 点，然后进入磁场，再从坐标原点O 进入第三象限，最后打在y 轴上的
N 点，已知重力加速度为g。求：
5
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（1）电场强度E1的大小和磁场感应强度B 的大小；
（2）微粒通过N 点的位置坐标和速度；
（3）微粒从P 点运动到N 点经历的时间。
【解答】解：（1）带电微粒沿PQ 做直线运动，可知
qE1＝mg
解得 E1= mg
q
带电微粒从Q 到O 的过程，做匀速圆周运动，如图，轨迹半径 r= 1
2
OPsin45°= 1
2 ×√2L
× √2
2 = 1
2
L
由 qv0B＝mv0
2
r
得 B= 2m v0
qL
（2）带电微粒从O 点垂直虚线射入第三象限，因为E2＝E1，则沿x 方向：初速度 vx＝v0sin45°
= √2
2
v0，仅受向右的电场力 qE2＝mg，加速度大小 ax＝g
所以，从O 到N 的时间 tON= 2v x
g = √2v0
g
微粒到达N 点时沿x 方向的分速度 vNx＝vx= √2
2
v0
沿y 方向：初速度 vy＝v0cos45°= √2
2
v0，仅受重力，所以微粒到达N 点时沿y 方向的分速度
6
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vNy＝vy+gtON= 3√2
2
v0
y＝ON＝vytON+ 1
2 gtON
2 = 2v0
2
g
所以，微粒通过N 点的位置坐标为（0，2v0
2
g
）
则微粒到达N 点的速度大小 vN=√v Nx
2 + v Ny
2 =√5 v0
设vN与x 轴正方向夹角为θ，则tanθ= v Ny
v Nx
=3
（3）微粒从P 到Q 的时间 tPQ= L
v0
从Q 到O 的时间 tQO= πr
v0
= πL
2v0
可见，微粒从P 点运动到N 点经历的时间 t＝tPQ+tQO+tON= L
v0
+ πL
2v0
+ √2v0
g
答：（1）电场强度E1的大小为mg
q ，磁场感应强度B 的大小为2mv0
qL
；
（2）微粒通过N 点的位置坐标为（0，2v0
2
g
），速度大小是√5 v0
，速度方向与x 轴正方向夹角
的正切为3；
（3）微粒从P 点运动到N 点经历的时间为L
v0
+ πL
2v0
+ √2v0
g
。
7
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题型二 带电粒子在叠加场中有约束条件下的运动
[例题6]
如图所示，两竖直平行边界PQ、MN 间，有正交的匀强电场和匀强磁场，匀强
电场方向竖直向下，匀强磁场方向垂直纸面向里。一带负电小球从O 点以某一速度垂直边界
PQ 进入该场区，恰好能沿水平方向做直线运动。若只减小小球从O 点进入场区时的速度，则
小球在场区内运动过程中，下列判断正确的是（ ）
A．小球的动能减小
B．小球的电势能减小
C．小球的重力势能减小
D．小球的机械能减小
【解答】解：A、小球在电磁场中做直线运动时，小球共受到三个力作用：重力G、电场力F、
洛伦兹力f，这三个力都在竖直方向上，小球在水平直线上运动，则小球一定做匀速直线运动，
可知小球受到的合力一定是零，小球带负电，受到的电场力向上，洛伦兹力向下，重力向下，
当小球的入射速度减小时，洛伦兹力减小，则电场力和重力不变，小球将向上偏转，电场力与
重力的合力向上，且它们的合力对小球做正功，小球动能增大。故A 错误。
BD、电场力对小球做正功，洛伦兹力不做功，则小球的机械能增大，电势能减小。故D 错误，
B 正确。
C、重力对小球做负功，重力势能增大。故C 错误。
故选：B。
[例题7]
如图，足够长的绝缘竖直杆处于正交的匀强电磁场中，电场方向水平向左、场强
大小为E，磁场方向水平向里，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为﹣q（q＞0）的小
圆环套在杆上（环内径略大于杆的直径）无初速下滑。若重力加速度大小为g，圆环与杆之间
的动摩擦因数为μ（μqE＜mg），圆环电荷量不变，则能反映圆环下滑过程中速度v 随时间t
变化关系的图象是（ ）
8
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：圆环下滑过程中，受到重力、摩擦力（可能有）、弹力（可能有）、向左的洛伦
兹力、向右的电场力；开始阶段，洛伦兹力小于电场力时，圆环向下做加速运动时，速度增大，
洛伦兹力增大，圆环所受的杆的弹力向左，大小为N＝qE﹣qvB，N 随着v 的增大而减小，滑动
摩擦力f＝μN 也减小，小球所受的合力F 合＝mg﹣f，f 减小，F 合增大，加速度a 增大；当洛伦
兹力等于电场力时，合力等于重力，加速度最大，为g；
当洛伦兹力大于电场力时，出现环受到杆水平向右的弹力，导致滑动摩擦力增大，则加速度会
减小，但仍是加速运动，
直到重力等于滑动摩擦力时，加速度为零，速度达到最大，对照图象可知，D 正确，ABC 错误。
故选：D。
[例题8]
如图，质量为m、电荷量为+q 的小球从A 点以水平初速度v0平抛，小球A 恰好
沿B 点的切线方向进入竖直平面内半径为R 的1
4
光滑绝缘圆弧形轨道BCD。在D 点右侧存在
方向竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场（图中未标出），电磁场中竖直平面内有
一半径也为R 的理想圆形屏蔽区，其圆心到D 点的距离为2R，屏蔽区的圆心O 与水平线BD
等高。小球在电磁场区域做匀速圆周运动。重力加速度为g，不计空气阻力，不计小球运动引
起的电磁场变化。求：
9
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（1）电场强度E 的大小；
（2）小球A 经过轨道最低点C 时对轨道的压力大小；
（3）为使小球A 能进入电磁场屏蔽区，磁感应强度的最小值为多大？
【解答】解：（1）小球在电磁场区域做匀速圆周运动，有mg＝qE，解得：E= mg
q
（2）小球A 恰好沿B 点的切线方向进入圆形轨道可知，小球A 在B 点的速度大小为：vB
=
v0
sin 45°
小球A 由B 到C，根据动能定理可得：mg（R﹣Rsin45°）= 1
2 mvC
2 - 1
2 mvB
2
小球A 在C 点受力分析可知：N﹣mg＝mvC
2
R
根据牛顿第三定律可得：N＝N′
整理得：N′＝（9﹣3√2）mg+ 2mv0
2
R
（3）依题意得：3mg＝qE
故小球在电磁场中做匀速圆周运动，由机械能守恒定律可知：vB4＝vB2
在电磁场中对小球B 受力分析可得：qvB4B＝mBvB 4
2
r
10
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如图所示，
由几何关系根据余弦定理可得：r2+（2R）2﹣2r（2R）cos45°＝（r﹣R）2
解得：B= (4 -2√2)m0
3qR
答：（1）电场强度E 的大小为mg
q
；
（2）小球B 经过轨道最低点D 时对轨道的压力大小为（9﹣3√2）mg+ 2mv0
2
R
；
（3）为使小球B 进入电磁场屏蔽区，则磁感应强度的最小值为(4 -2√2)m0
3qR
。
[例题9]
如图所示，在空间建立O﹣xyz 坐标系、水平向右为x 轴正方向，竖直向下为y
轴正方向，垂直纸面向里为z 轴正方向（图中未画出），自y＝0 起，沿y 方向间距为d 的水平
区域，有均匀电磁场区域和无电磁场区域相间排列，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂
直纸面向里，匀强电场的电场强度方向竖直向上。一电荷量为q，质量为m 的带正电小球从坐
标原点O 由静止自由下落.在有电磁场的区域中做匀速圆周运动，重力加速度大小为g。
（1）带电小球从第1 个电磁场区域的下边界穿出时，设其速度方向与竖直方向的夹角为β1，求
sinβ1；
（2）若已知d= 4 m
2 g
21q
2B
2
，则带电小球到达第几个有电磁场分布的区域时，将不能从该区域的下
边界射出？（不考虑带电小球从该区域的上边界穿出后的运动）
11
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【解答】解：（1）在无电磁场区域，设进入电磁场的的初速度为v0，由自由落体运动知：
v0
2＝2gd
进入电磁场后，根据题意小球做匀速圆周运动，所以
qE＝mg
由牛顿第二定律得
qv0B＝mv0
2
R
由几何关系得：
sinβ1= d
R
联立解得：sinβ1= qB
m √
d
2 g
；
（2）小球在无电磁场区域，只受重力作用，故其速率会增大；在电磁场区域，重力和电场力平
衡，在洛伦兹力作用下速率大小不变。设小球进入第n 个电磁场时不能射出。此时射入速度为
v，由能量守恒定律得
mg•nd= 1
2 mvn
2
在电磁场中，由牛顿第二定律得
max＝qvyB
may＝qvxB
小球每次进入到穿出一个电磁场所获得的x 方向上速度的增量
Δvx= qBd
m
12
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粒子进入第n 个电磁场区域而不能射出，应满足
vx≤n•Δvx
粒子进入区域过程中，vx是变化的，只有在粒子达轨道最低点时，有
vx＝（vx）max＝vn
联立解得：n＝11，
故粒子不能从第11 个电磁场区域射出。
答：（1）带电小球从第1 个电磁场区域的下边界穿出时，设其速度方向与竖直方向的夹角为
β1，sinβ1= qB
m √
d
2 g
；
（2）若已知d= 4 m
2 g
21q
2B
2
，则带电小球到达第11 个有电磁场分布的区域时，将不能从该区域的
下边界射出。
[例题10] 如图所示，真空中的立方体边长为0.8m，底面中心处有一点状放射源，仅在
abcO 所在平面内向各个方向均匀发射α 粒子，所有α 粒子的速率均为v＝5.0×106m/s，已知α
粒子的比荷为q
m =5.0×107C/kg，现给立方体内施加竖直向上的匀强磁场B，使所有α 粒子恰好
能束缚在正方形abcO 区域内。abfe 面放有一个屏，该屏可以沿z 轴左右平移。
（1）求匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
（2）现在正方体内再施加竖直向上的匀强电场，要使所有粒子刚好都能从上表面中心P 离开，
求所加匀强电场的电场强度E 的大小（结果用π 表示）；
（3）若匀强电场电场强度的大小取第（2）问中的最大值，现让abfe 屏向左沿﹣z 方向移动
0.2m，求粒子打在abfe 屏上x 坐标最大值和最小值时对应点的y 轴坐标。
【解答】解：（1）所有α 粒子恰好被束缚在正方向abcO 区域内，由几何关系得：r＝0.2m
13
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α 粒子在磁场中做圆周运动，则qvB = m v
2
r
解得：B＝0.5T
（2）α 粒子做圆周运动的周期为：T = 2πm
qB =
2π
5.0×10
7×0.5
s=8 π ×10
-8 s
要使所有粒子刚好都能从上表面中心P 离开，所用时间一定为周期的整数倍，在竖直方向上由
运动学规律得：
L= 1
2 ⋅qE
m (nT )
2
解得：E= 5×10
6
n
2π
2 V /m（n＝0，1，2，3……）
（3）粒子运动的俯视图如图所示：
由图可知，当SP1 为直径时，射出粒子的横坐标为最大值，此时粒子的运动时间为：
t1= 1
2 T = 1
2 ×8 π ×10
-8 s= 4 π ×10
-8 s
此时对应的纵坐标为y1= 1
2 ⋅qE
m t1
2
解得：y1＝0.2m
由图可知，当与abfc 面相切时，射出粒子的横坐标为最小值，此时粒子的运动时间为：
t2= 1
4 T = 1
4 ×8 π ×10
-8 s=2π ×10
-8 s
此时对应的纵坐标为：y2= 1
2 ⋅qE
m t2
2
解得：y2＝0.05m
答：（1）匀强磁场的磁感应强度B 的大小为0.5T；
（2）所加匀强电场的电场强度E 的大小为5×10
6
n
2π
2 V /m（n＝1，2，3……）
（3）粒子打在abfe 屏上x 坐标最大值和最小值时对应点的y 轴坐标分别为0.2m 和0.05m。
14
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题型三 电场和磁场叠加的应用实例分析
1．速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计和霍尔元件一般以单个带电粒子为研究对象，在洛伦
兹力和电场力平衡时做匀速直线运动达到稳定状态，从而求出相应的物理量，区别见下表．
装置
原理图
规律
速度选择器
若qv0B＝Eq，即v0＝，粒子做匀速直线运动
磁流体发电机
等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带
正、负电，两极板电压为U 时稳定，q＝qv0B，
U＝v0Bd
电磁流量计
q＝qvB，所以v＝，所以Q＝vS＝
霍尔元件
当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、
电流方向都垂直的方向上出现电势差
[例题11] 磁流体发电机，又叫等离子体发电机，图中的燃烧室在3000K 的高温下将气体全
部电离为电子和正离子，即高温等离子体。高温等离子体经喷管加速后以1000m/s 的速度进入
矩形发电通道。发电通道有垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度B＝6T 等离子体发生偏转，
在两极间形成电势差。已知发电通道长a＝50cm，宽b＝20cm，高d＝20cm，等高速等高子体
离子体的电阻率ρ＝2Ω•m。则以下判断中正确的是（ ）
15
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A．因正离子带电量未知，故发电机的电动势不能确定
B．图中外接电阻R 二端的电压为1200V
C．当外接电阻R＝8Ω 时，发电机的效率最高
D．当外接电阻R＝4Ω 时，发电机输出功率最大
【解答】解：AB、由等离子体所受的电场力和洛伦兹力平衡得：q E
d =qvB
则得发电机的电动势为：E＝Bdv＝6×0.2×1000V＝1200V，图中外接电阻R 二端的电压为路端电
压，小于1200V；
由上知，发电机的电动势与高速等离子体的电荷量无关，即与离子的化合价无关，由E＝Bdv 能
求电动势，故AB 错误；
C、发动机的内阻为：r＝ρ d
ab =2×
0.2
0.5×0.2
Ω＝4Ω
发动机的效率为：η= UI
EI =
R
R+r =
1
1+ r
R
，可知外电阻R 越大，效率越高，则当外接电阻为8Ω
时，发电机的效率不是最高，故C 错误；
D、设外电阻为R 外，电源的输出功率为：P出= I
2 R外=(
E
R外+r )
2 R外=
E
2
R外+ r
2
R外
+2r
；由于
R 外× r
2
R外
=r2（定值），根据数学知识可得：R 外= r
2
R外
时分母最小，电源的输出功率最大，此时
有R 外＝r；当电源的内外电阻相等时输出功率最大，此时外电阻为：R＝r＝4Ω，故D 正确。
故选：D。
[例题12] 磁流体发电是一项新兴技术，如图是磁流体发电机的示意图。平行金属板P、Q
间距为d、面积为S，两金属板和电阻R 连接。一束等离子体以恒定速度v0垂直于磁场方向喷
入磁感应强度为B 的匀强磁场中，电路稳定时电阻R 两端会产生恒定电势差U．假定等离子体
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在两板间均匀分布，忽略边缘效应，则等离子体的电导率δ（电阻率的倒数）的计算式是（
）
A．
Ud
(Bd v0-U )RS
B．
Ud
(Bd v0+U )RS
C．
US
(Bd v0-U )Rd
D．
US
(Bd v0+U )Rd
【解答】解：由左手定则知，正离子向P 板运动，即P 板带正电。
发电机稳定时，离子所受电场力等于洛伦兹力，设电动势为E，即：E
d
q＝qv0B
解得：E＝Bv0d
根据欧姆定律可知，
E
R+ R1
= U
R
R1为板间等离子体的电阻，且R1＝ρd
S = d
δS
，
联立得到电导率δ 的表达式为：δ=
Ud
(Bd v0-U )RS ，故A 正确，BCD 错误。
故选：A。
[例题13] （多选）如图，电磁流量计的测量管横截面直径为D，在测量管的上下两个位置
固定两金属电极a、b，整个测量管处于水平向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。当含有
正、负离子的液体从左向右匀速流过测量管时，连在两个电极上的显示器显示的流量为Q（单
位时间内流过的液体体积），下列说法正确的是（ ）
A．a 极电势高于b 极电势
B．液体流过测量管的速度大小为Q
π D
2
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C．a、b 两极之间的电压为4QB
πD
D．若流过的液体中离子浓度变高，显示器上的示数将变大
【解答】解：A、根据左手定则，正电荷受向上的洛伦兹力，向上偏，负电荷受向下的洛伦兹力，
向下偏，故a 板带正电，b 板带负电，故a 板电势高于b 极电势，A 正确.
B、设液体流过测量管的速度大小为v，则流量Q = Sv = 1
4 π D
2v，所以v = 4Q
π D
2，故B 错误.
C、随着ab 两板电荷量的增加，两板间的电场强度变大，离子受到的电场力变大，当电场力大
小等于洛伦兹力时，离子不再偏转，两板电压达到稳定，
设稳定时两板间电压为U，离子电量为q，则离子受的电场力F =q U
D
，离子所受的洛伦兹力f＝
qvB，由电场力和洛伦兹力平衡得q U
D =qvB，解得：U＝BDv
将v = 4Q
π D
2代入得U = 4 BQ
πD ，故C 正确.
D、由以上解答得显示器显示的流量Q = 1
4 π D
2v，显示器上的示数与离子速度有关而与浓度无
关，故D 错误.
故选：AC。
[例题14] 为了测量化工厂的污水排放量，技术人员在排污管末端安装了流量计（流量Q 为
单位时间内流过某截面流体的体积）。如图所示，长方体绝缘管道的长、宽、高分别为a、b、
c，左、右两端开口，所在空间有垂直于前后表面、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，在上、
下两个面的内侧固定有金属板M、N，污水充满管道从左向右匀速流动。测得M、N 间电压为
U，污水流过管道时受到的阻力大小Ff＝kLv2，k 是比例系数，L 为污水沿流速方向的长度，v
为污水的流速。则（ ）
A．污水的流量Q= abU
B
B．金属板M 的电势不一定高于金属板N 的电势
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C．电压U 与污水中离子浓度成正比
D．左、右两侧管口的压强差Δp= kaU
2
b B
2c
3
【解答】解：A、根据电场力与洛伦兹力的等量关系可知，qvB= qU
c
，同时Q＝Sv，解得：Q
= Ub
B
，故A 错误；
B、根据左手定则可知，正离子受到竖直向上的洛伦兹力，向上表面偏转，负离子向下表面偏转，
则金属板M 的电势高于金属板N 的电势，故B 错误；
C、根据电场力与洛伦兹力的等量关系可知，qvB= qU
c
，解得：U＝vBc，故电压与粒子浓度无
关，故C 错误；
D、根据平衡条件，则有Δpbc＝Ff＝kLv2＝kav2，而v= U
Bc
，解得：Δp= kaU
2
b B
2c
3
，故D 正确。
故选：D。
[例题15] 如图是判断检测电流I0大小是否发生变化的装置，该检测电流在铁芯中产生磁场，
其磁感应强度与检测电流I0成正比。现给金属材料制成的霍尔元件（其长、宽、高分别为a、
b、d）通以恒定工作电流I，通过下侧电压表的示数来判断I0的大小是否发生变化，下列说法
正确的是（ ）
A．M 端应与电压表的“负”接线柱相连
B．要提高检测的灵敏度可适当增大宽度b
C．要提高检测灵敏度可适当增大工作电流I
D．当霍尔元件尺寸和工作电流I 不变时，电压表示数变大，说明检测电流I0变小
【解答】解：A、根据右手螺旋定则可知检测电流产生的磁场方向向下，磁感线在磁芯中沿逆时
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针方向，可知霍尔元件所在磁场方向向上，由于霍尔元件中的载流子为电子，可知电子移动方
向与工作电流方向相反，根据左手定则可知，电子在N 端积累，N 端为负极，则M 端应与电压
表的正接线柱相接，故A 错误；
BC、设霍尔元件单位体积内电子数量为n，电子移动速度为v，则Δt 时间内通过横截面的电荷
量为：
Q＝IΔt＝vΔtSbdne
解得：I＝vbdne，
由于粒子最终受到的电场力和洛伦兹力大小相等，方向相反，则
eU MN
b
=evB
解得：U MN = BI
dne
因此若要提高灵敏度，可以适当减小d，增大工作电流，故C 正确，B 错误；
D、当霍尔元件尺寸和工作电流I 不变时，根据U MN = BI
dne
可知电压表示数变大，磁感应强度B
变大，则检测电流变大，故D 错误；
故选：C。
[例题16] 课外研究小组的同学在研究速度选择器时，将一带电量为+q、质量为m 的小球，
沿极板正中间平行极板方向，沿中线射入速度选择器（如图甲所示），发现小球沿直线通过速
度选择器。已知磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电场强度的大小E= mg
q
，方向与B
方向垂直。
（1）求小球的初速度v0；
（2）若已知板间距为d，板长为L，且d＝L= 4 m
2 g
q
2B
2
，如图乙，现在速度选择器的上极板正中
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间开一小孔H，将电场的方向反向、大小不变，且仍然让小球以第（1）问的速度v0从中点出发，
判定是否能够通过小孔H？若能够通过，求从射入速度选择器到第2 次通过小孔H 的时间；若
不能通过，求打在上极板的位置；
（3）若将小球以速度v0垂直极板从小孔H 射入板间（如图丙），将电场强度大小变为2E，方
向竖直向上，发现小球恰好能到达下极板，求板间距d。
【解答】解：（1）小球沿直线通过速度选择器，受到的重力、电场力和洛伦兹力三力平衡，电
场力方向竖直向下，洛伦兹力竖直向上，根据平衡条件得
qv0B＝qE+mg
解得v0= 2mg
qB
（2）因qE＝mg，所以将电场的方向反向、大小不变，小球受到的电场力和重力二力平衡，小
球做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得
q v0 B =m v0
2
r
可得r= 2m
2 g
q
2B
2
则r = L
2 = d
2
，可知小球刚好能过小孔H。
小球在电磁场中运动时间为t1= T
4 = πm
2qB
穿出小孔后做匀变速运动时间为t2= 2v0
g = 4 m
qB
从射入速度选择器到第2 次通过小孔H 的总时间为：t＝t1+t2
解得t = (π +8)m
2qB
（3）在水平方向上，由动量定理得
q v y Bt =m v x
即qBd＝mvx
由动能定理可得：
-2mgd +mgd = 1
2 mv x
2- 1
2 mv0
2
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解得d = (√5-1)m
2 g
q
2B
2
答：（1）小球的初速度v0为2mg
qB
；
（2）能够通过小孔H；从射入速度选择器到第2 次通过小孔H 的总时间为(π +8)m
2qB
；
（3）板间距d 为(√5-1)m
2 g
q
2B
2
。
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