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专题20 磁场对运动电荷的作用
[题型导航]
题型一 对洛伦兹力的理解和应用.......................................................................................................1
题型二 带电粒子做圆周运动分析思路...............................................................................................3
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动...............................................................................4
题型四 带电粒子在磁场运动的临界和极值问题...............................................................................7
[考点分析]
题型一 对洛伦兹力的理解和应用
1．洛伦兹力
磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力．
2．洛伦兹力的方向
(1)判定方法
左手定则：掌心——磁感线垂直穿入掌心；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
大拇指——指向洛伦兹力的方向．
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F 垂直于B 和v 决定的平面(注意：洛伦兹力不做功)．
3．洛伦兹力的大小
(1)v∥B 时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B 时，洛伦兹力F＝q v B .(θ＝90°)
(3)v＝0 时，洛伦兹力F＝0.
[例题1]
如图所示，在方向垂直纸面向里、磁感应强度B＝0.5T 的匀强磁场中，固定一个
倾角α＝37°的绝缘光滑斜面。一个质量m＝0.1g、电荷量q＝4×10﹣4C 的小滑块由静止沿斜面
滑下，小滑块滑至某一位置时将离开斜面。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g 取10m/s2．则
（ ）
1
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A．小滑块带正电
B．该斜面长度至少为1.6m
C．小滑块离开斜面前做变加速直线运动
D．小滑块离开斜面时的速度大小为4m/s
[例题2]
（多选）如图所示，两根长直导线竖直平行固定放置，且与水平固定放置的光滑
绝缘杆MN 分别交于c、d 两点，点o 是cd 的中点，杆MN 上a、b 两点关于o 点对称．两导线
均通有大小相等、方向向上的电流，已知长直导线在周围某点产生磁场的磁感应强度与电流成
正比、与该点到导线的距离成反比．一带正电的小球穿在杆上，以初速度v0从a 点出发沿杆运
动到b 点．在a、b、o 三点杆对小球的支持力大小分别为Fa、Fb、Fo．下列说法可能正确的是
（ ）
A．Fa＞Fo
B．Fb＞Fa
C．小球一直做匀速直线运动
D．小球先做加速运动后做减速运动
[例题3]
如图所示，在竖直绝缘的平台上，一个带正电的小球以水平速度v0抛出，经时间
t 落在地面上的A 点，落地时速度大小为v1，若加一垂直纸面向里的匀强磁场，qv0B＜mg，小
球仍以水平速度v0抛出，则对小球的运动情况说法错误的是（ ）
A．因为高度没变，小球运动时间仍为t
B．小球在水平方向做变加速运动，将落在A 点的右侧
2
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C．小球竖直方向做变加速运动，加速度小于重力加速度
D．小球落地时的速度大小仍为V
题型二 带电粒子做圆周运动分析思路
1．匀速圆周运动的规律
若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v 做匀速圆周运动．
2．圆心的确定
(1)已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和
出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图3 甲所示，P 为入射点，M 为出射点)．
图3
(2)已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出
射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P 为入射点，M 为出射
点)．
3．半径的确定
可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小．
4．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ 时，其运动时间表示为
t＝T(或t＝)．
[例题4]
（多选）如图所示，直角坐标系xOy 在水平面内，之轴竖直向上。坐标原点O
处固定一带正电的点电荷，空间中存在竖直向下的匀强磁场。质量为m、带电量为q 的小球
A，绕之轴做匀速圆周运动，小球与坐标原点的距离为r，O 点和小球A 的连线与之轴的夹角
为θ＝37°。重力加速度为g，cos37°＝0.8，sin37°＝0.6，不计空气阻力，下列说法正确的是（
）
3
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A．从上往下看带电小球沿逆时针方向做匀速圆周运动
B．小球A 与点电荷之间的库仑力大小为5
4
mg
C．小球A 做圆周运动的过程中所受的库仑力不变
D．小球A 做圆周运动的速度越小，所需的磁感应强度越小
[例题5]
（多选）狄拉克曾经预言，自然界应该存在只有一个磁极的磁单极子，其周围磁
感线呈均匀辐射状分布（如图甲所示），距离它r 处的磁感应强度大小为B = k
r
2（k 为常数），
其磁场分布与负点电荷Q 的电场（如图乙所示）分布相似．现假设磁单极子S 和负点电荷Q 均
固定，有带电小球分别在S 极和Q 附近做匀速圆周运动．则关于小球做匀速圆周运动的判断正
确的是（ ）
A．若小球带正电，其运动轨迹平面可在S 的正上方，如图甲所示
B．若小球带正电，其运动轨迹平面可在Q 的正下方，如图乙所示
C．若小球带负电，其运动轨迹平面可在S 的正上方，如图甲所示
D．若小球带负电，其运动轨迹平面可在Q 的正下方，如图乙所示
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动
带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图7 所示)
4
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图7
2．平行边界(存在临界条件，如图8 所示)
图8
3．圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图9 所示)
图9
4．分析带电粒子在匀强磁场中运动的关键是：
(1)画出运动轨迹；
(2)确定圆心和半径；
(3)利用洛伦兹力提供向心力列式．
[例题6]
如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B 的匀强磁场被边长为L 的等边三
角形ABC 理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A 处有一质子源，能沿∠BAC
的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C 点，质子比荷q
m =k，
则质子的速度可能为（ ）
5
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A．3 BkL
2
B．BkL
4
C．2BkL
D．3BkL
[例题7]
如图所示，正六边形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一带正电粒子以速度
v1从a 点沿ad 方向射入磁场，从c 点离开磁场；若该粒子以速度v2从a 点沿ae 方向射入磁场，
则从d 点离开磁场。不计粒子重力，v1
v2
的值为（ ）
A．√3
B．√6
2
C．√3
2
D．√3
3
[例题8]
如图所示，某带电粒子（重力不计）由M 点以垂直于磁场边界的速度v 射入宽度
为d 的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与原来射入方向的夹角为θ＝30°，磁场的磁感应强度
大小为B。由此推断该带电粒子（ ）
A．带负电且动能不变
B．运动轨迹为抛物线
C．电荷量与质量的比值为v
dB
D．穿越磁场的时间为πd
3 v
6
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[例题9]
如图，虚线内有垂直纸面的匀强磁场，acb 是半圆，圆心是O，半径为r，∠bOc
＝60°，现有一质量为m、电荷量为+q 的离子，以速度v 沿半径Oc 射入磁场，从bd 边垂直边
界离开磁场，则（ ）
A．离子做圆周运动的半径为2r
B．离子离开磁场时距b 点为3r
C．虚线内的磁感应强度大小为mv
3qr
D．离子在磁场中的运动时间为5√3 πr
6 v
[例题10] 坐标原点O 处有一粒子源，沿xOy 平面向第一象限的各个方向以相同速率发射
带正电的同种粒子。有人设计了一个磁场区域，区域内存在着方向垂直于xOy 平面向里的匀强
磁场，使上述所有粒子从该区域的边界射出时均能沿y 轴负方向运动。不计粒子的重力和粒子
间相互作用，则该匀强磁场区域面积最小时对应的形状为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四 带电粒子在磁场运动的临界和极值问题
1．临界问题的分析思路
7
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物理现象从一种状态变化成另一种状态时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点．与
临界状态相关的物理条件称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点．
临界问题的一般解题模式为：
(1)找出临界状态及临界条件；
(2)总结临界点的规律；
(3)解出临界量．
2．带电体在磁场中的临界问题的处理方法
带电体进入有界磁场区域，一般存在临界问题，处理的方法是寻找临界状态，画出临界轨迹：
(1)带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零．
(2)射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切．
[例题11] 如图所示，垂直于纸面的匀强磁场存在于半径为的圆内，一束速度为v0的带电粒
子对圆心从P 点入射时，经磁场后速度方向偏转60°射出，现将磁感应强度调整为原来的2 倍，
粒子束的速度大小不变，方向可在纸面内调节、不计重力及粒子束之间相互作用，则粒子束出
射点距P 点的最远距离为（ ）
A．√3r
B．1.5r
C．√3r
3
D．2√3r
3
[例题12] （多选）如图所示，在垂直于xOy 平面的直角坐标系中，y 轴正半轴区域有垂直
于纸面向里的匀强磁场B，x 轴是磁场的理想边界。质量均为m、带电量均为+q 的粒子分别从
x 轴上的P（﹣a，0）点，以初速度v1 沿x 轴正向射出，在Q(√3a，0)点以另一速度沿与x
轴正向成一定的角度射出，结果两粒子恰在y 轴上对心正碰并粘合为一个整体，且粘合后整体
的速度也沿y 轴方向。若不计粒子重力，及粒子间的相互作用，则（ ）
8
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A．Q 点发射粒子的速度为√3 v1
2
B．两粒子粘合后的运动周期将增大
C．两粒子发射的时间差为5 πm
6qB
D．粘合体到x 轴的最小距离为9-2√3
6
a
[例题13] （多选）如图所示，矩形OMPN 空间内存在垂直于平面向里、磁感应强度大小
为B 的匀强磁场。有大量速率不同的电子从O 点沿着ON 方向进入磁场。已知电子质量为m，
电荷量为e，OM 长度为3d，ON 长度为2d，忽略电子之间的相互作用，电子重力不计。下列
说法正确的是（ ）
A．电子速率越小，在磁场里运动的时间一定越长
B．电子在磁场里运动的最长时间为πm
eB
C．MP 上有电子射出部分的长度为√3d
D．MP 上有电子射出部分的长度为(2-√3)d
[例题14] （多选）如图所示，磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为
磁场的边界，其中bc 段是半径为R 的四分之一圆弧，ab、cd 的延长线通过圆弧的圆心，Ob 长
为R。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内以不同的速率从O 点垂直ab 射入
磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N 是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互
作用和重力。则下列分析中正确的是（ ）
9
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A．所有粒子所用最短时间为πm
6qB
B．所有粒子所用最短时间为2πm
3qB
C．从M 点射出粒子的速率一定小于从N 点射出粒子的速率
D．从M 点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N 点射出粒子所用时间
[例题15] 某种离子诊断测量筒化装置如图所示。竖直平面内存在边界为正方形EFGH、方
向垂直纸面向外的匀强磁场，探测板CD 平行于HG 水平放置，只能沿竖直方向移动。a、b 两
束宽度不计带正电的离子从静止开始经匀强电场U0加速后持续从边界EH 水平射入磁场a 束离
子在EH 的中点射入经磁场偏转后垂直于HG 向下射出，并打在探测板的右端点D 点，已知正
方形边界的边长为2R，两束离子间的距离为0.6R，离子的质量均为m、电荷量均为q，不计重
力及离子间的相互作用，U0已知。求：
（1）求磁场的磁感应强度B 的大小以及a 束离子在磁场运动的时间t；
（2）要使两束离子均能打到探测板上，求探测板CD 到HG 的距离最大时多少？
[例题16] 如图所示，两个同心圆半径分别为r 和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸
面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．圆心O 处有一放射源，放射出的粒子质量为m，带电荷
为﹣q，假设粒子速度方向都和纸面平行．
（1）图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向的夹角为60°，要想使该粒子经过
磁场第一次通过A 点，则初速度的大小是多少？
（2）要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？
10
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[例题17] 如图所示，△ABC 为与匀强磁场垂直的边长为a 的等边三角形，比荷为e
m
的电子
以v0从A 点沿AB 边入射，欲使电子经过BC 边，磁感应强度B 的取值为（ ）
A．B＞2mv0
ae
B．B＜2mv0
ae
C．B＞√3m v0
ae
D．B＜√3m v0
ae
[例题18] 如图所示，一束带负电的粒子（质量为m、电荷量为e）以速度v 垂直磁场的边
界从A 点射入磁感应强度为B、宽度为d 的匀强磁场中．若粒子的速度大小可变，方向不变，
要使粒子不能通过磁场的右边界，则粒子的速度最大不能超过（ ）
A．eBd
2m
B．2eBd
3m
C．eBd
m
D．2eBd
m
[例题19] 如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在
以直径A2A4 为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，直径A2A4 与A1A3 的夹角为60°，一质量为
m、带电荷量为+q 的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30°角的方向射入磁场，
随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O 进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场．已知该粒子
从射入到射出磁场所用的时间为t，（忽略粒子重力），求：
（1）画出粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动轨迹；
（2）粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的轨道半径r1和r2比值；
（3）Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小B1和B2．
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