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专题13 动量定理及应用
[题型导航]
题型一 对动量和冲量的理解...............................................................................................................1
题型二 动量定理的基本应用...............................................................................................................4
题型三 动量定理在多过程问题中的应用...........................................................................................5
题型四 应用动量定理处理“流体模型”的冲击力问题...................................................................8
[考点分析]
题型一 对动量和冲量的理解
1．动量
(1)定义：运动物体的质量和速度的乘积叫做物体的动量，通常用p 来表示．
(2)表达式：p＝mv.
(3)单位：kg·m/s.
(4)标矢性：动量是矢量，其方向和速度方向相同．
2．冲量
(1)定义：力F 与力的作用时间t 的乘积．
(2)定义式：I＝Ft.
(3)单位：N·s.
(4)方向：恒力作用时，与力的方向相同．
(5)物理意义：是一个过程量，表示力在时间上积累的作用效果．
[例题1]
（多选）如图所示，在t＝0 时质量m＝1kg 的小球自高h＝45m 的平台上以v0＝
10m/s 的初速度水平抛出，运动t1＝1s 后，突然受到大小恒为10N 的水平向右的风力作用，最
后落至水平地面，不计其他阻力，取g＝10m/s2。则以下说法正确的是（ ）
1
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A．小球从抛出至落地的过程中重力的平均功率为150W
B．小球受到风力作用后，在落地前做匀变速曲线运动
C．落地瞬间小球速度方向与水平方向成53°角
D．从抛出至落地的过程中，水平力的冲量大小为20N•s
[例题2]
（多选）质量为1kg 的物块在水平力F 的作用下由静止开始在水平地面上做直线
运动，F 与时间t 的关系如图所示。已知物块与地面间的动摩擦因数为0.2，重力加速度大小取
g＝10m/s2。则（ ）
A．4s 时物块的动能为零
B．6s 时物块回到初始位置
C．3s 时物块的动量为12kg•m/s
D．0～6s 时间内F 对物块所做的功为40J
[例题3]
一质量为1kg 的物块，在水平力F 的作用下由静止开始在水平地面上做直线运动，
F 与时间t 的关系如图所示，已知物块与地间的动摩擦因数为0.2，重力加速度g 取10m/s2，下
列选项正确的是（ ）
A．物体在3s 末的动量大小12kg•m/s
B．水平力F 在前4s 内的冲量大小为16N•s
C．物体在5s 末的速度大小为2m/s
D．6s 末动量大小为12kg•m/s
2
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[例题4]
某大雨天，小明同学想估算一下当时下雨的雨滴对伞面产生的平均撞击力。他于
是去实验室借来一个圆柱形容器置于露天空地上，测得10 分钟内容器中水位上升了30mm，不
考虑当时风的影响，可认为雨滴以10m/s 的速度竖直落向地面。现在假设雨滴撞击伞面后无反
弹，已知雨水的密度为1×103kg/m3，伞面的面积约为0.8m2，请根据上述条件估算当时雨水对
伞面的平均撞击力最接近（ ）
A．0.05N
B．0.08N
C．0.4N
D．5N
[例题5]
如图甲，一质量为m 的物块在t＝0 时刻，以初速度v0从粗糙固定斜面底端向上
滑行，斜面足够长、倾角为θ，物块速度随时间的图像如图乙所示，4t0时刻物块返回底端，重
力加速度为g，说法正确的是（ ）
A．物块在0～4t0的过程中动量变化量的大小为2m v0
3
B．物块在0～4t0的过程中重力的冲量为4mgt0sinθ
C．物块在0～4t0的过程中克服摩擦力所做的功为17mv0
2
32
D．物块返回斜面底端时重力做功的瞬时功率为5mv0
2
27t0
[例题6]
如图所示，一物体分别沿三个倾角不同的光滑斜面由静止开始从同一顶端下滑到
底端C、D、E 处，三个过程中重力的冲量依次为I1、I2、I3，动量变化量的大小依次为△p1、
△p2、△p3，则下列说法不正确的是（ ）
3
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A．三个过程中，合力的冲量大小相等，动量的变化量大小相等
B．三个过程中，合力做的功相等，动能的变化量相等
C．I1＜I2＜I3，△p1＝△p2＝△p2
D．I1＜I2＜I3，△p1＜△p2＜△p3
题型二 动量定理的基本应用
1．动量定理
(1)内容：物体所受合外力的冲量等于物体的动量的变化量．
(2)表达式：
[例题7]
如图所示，质量相等的两个静止小球A 和B，中间用轻质弹簧连接，A 的上端用
轻绳系在足够高的天花板上。现将轻绳剪断开始计时，直至A 球速度为v1，B 球速度为v2，且
方向均向下，则该过程所用时间为（ ）
A．v1+ v2
g
B．v1+ v2
2g
C．v1- v2
g
D．v1- v2
2 g
[例题8]
（多选）如图所示装置，装有细砂石的容器带有比较细的节流门，K 是节流门的
阀门，节流门正下方有可以称量细砂石质量的托盘秤。当托盘上已经有质量为m 的细砂石时关
闭阀门K，此时从管口到砂石堆顶端还有长为H 的细砂石柱，设管口单位时间流出的细砂石的
质量为m0，管口处细砂石的速度近似为零，关闭阀门K 后，细砂石柱下落时砂石堆高度不变，
重力加速度为g，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
4
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A．刚关闭阀门K 时，托盘秤示数为mg
B．细砂石柱下落过程中，托盘秤示数为m+m0√
2 H
g
C．细砂石柱对砂石堆顶端的冲击力为m0√2gH
D．细砂石柱全部落完时托盘秤的示数比刚关闭阀门K 时托盘秤的示数大
[例题9]
（多选）如图（a），质量分别为mA、mB的A、B 两物体用轻弹簧连接构成一个
系统，外力F 作用在A 上，系统静止在光滑水平面上（B 靠墙面），此时弹簧形变量为x。撤
去外力并开始计时，A、B 两物体运动的a﹣t 图像如图（b）所示，S1表示0 到t1时间内A 的a
﹣t 图线与坐标轴所围面积大小，S2、S3分别表示t1到t2时间内A、B 的a﹣t 图线与坐标轴所围
面积大小。下列说法正确的是（ ）
A．0 到t1时间内，墙对B 的冲量为0
B．运动后，弹簧的最大形变量等于x
C．mA：mB＝S3：S2
D．S1﹣S2＝S3
题型三 动量定理在多过程问题中的应用
1.如果遇到的问题，不需要求加速度，可以不运用牛顿定律，涉及到力的时间效应则用动量定理，
空间效应则用动能定理。
2.对于两个或两以上物体组成的物体系统，如果用牛顿定律和隔离法，有时会很复杂，但用动量定
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理，就非常简单
[例题10] 2021 年5 月15 日，“天问一号”着陆器成功着陆火星表面，这标志着我国首次
火星探测任务——着陆火星取得圆满成功。它着陆前的运动可简化为如图所示四个过程，若已
知着陆器质量m＝1.3×103kg（降落伞质量远小于着陆器质量），悬停时离地面的高度h4＝
8m，取火星表面重力加速度g'＝4m/s2，忽略着陆器质量的变化和g'的变化。若第②、第③和
第④阶段的运动都可视为加速度不同的竖直向下匀变速直线运动。
（1）求：第②阶段着陆器下降的高度h2、以及所受总平均阻力f 的大小；
（2）着陆器在第④阶段为自由落体运动：
a．求着陆速度v4的大小；
b．着陆时，缓冲设备让着陆器在约0.1s 内匀减速至0，请估算地面受到着陆器的平均冲击力F
的大小，并说出减小平均冲击力的建议。
[例题11] 2022 年北京冬奥会中，中国钢架雪车队获得首枚冬奥会奖牌。钢架雪车比赛的一
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段赛道如图1 所示，长为x1的水平直道AB 与长为x2的倾斜直道BC 在B 点平滑连接，倾斜直
道BC 与水平面的夹角为θ。运动员从A 点由静止出发，推着雪车匀加速运动到B 点时速度大
小为v，紧接着快速俯卧到车上，继续沿BC 匀加速下滑（图2 所示）。若雪车（包括运动
员）可视为质点，始终在冰面上运动，其总质量为m，雪车与冰面之间的动摩擦因数为μ，重
力加速度为g。求雪车（包括运动员）
（1）在水平直道AB 上的加速度大小；
（2）在倾斜直道BC 上的加速度大小；
（3）经过C 点时的动量大小。
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题型四 应用动量定理处理“流体模型”的冲击力问题
对于流体运动,可沿流速v 的方向选取一段柱形流体作微元,设在极短的时间Δt 内通过某一横截面积
为S 的柱形流体的长度为Δl,如图所示。设流体的密度为ρ,则在Δt 的时间内流过该截面的流体的质
量Δm=ρSΔl=ρSvΔt,根据动量定理,流体微元所受的合外力的冲量等于该流体微元动量的增量,即
FΔt=ΔmΔv,分两种情况:
(1)作用后流体微元停止,有Δv=-v,代入上式有F=-ρSv2。
(2)作用后流体微元以速率v 反弹,有Δv=-2v,代入上式有F=-2ρSv2。
[例题12] 湖面上有帆船正以速度v1匀速顺风航行。已知：该船帆的有效受风面积为S，水
平风速恒为v2，且v1＜v2，湖面上空气密度为ρ。则风对船帆的推力的功率为（ ）
A．ρSv2
2
B．ρS（v2﹣v1）2
C．ρS（v2﹣v1）2v1
D．ρS（v2﹣v1）2v2
[例题13] 如图，消防员用高压水枪喷出的强力水柱冲击着火物，直径为D 的水柱以水平速
度v 垂直射向着火物。假设水流进入水枪的速度忽略不计，水柱冲击着火物后速度为零，水的
密度为ρ。下列说法正确的是（ ）
A．单位时间流经水枪的水的体积为1
2 πv D
2
B．水枪对水做功的功率为1
8 π ρD
2v
3
C．水柱对着火物的冲击力为1
8 π ρD
2v
2
D．水枪水平向前喷水时，消防员对水枪的作用力方向水平向前
[例题14] 如图所示，由喷泉中喷出的水柱，把一个重为W 的垃圾桶倒顶在空中。水以速
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率v0、恒定的质量增率（即单位时间喷出的质量）△m
△t
从地下射向空中。求垃圾桶可停留的最
大高度。设水柱喷到桶底后以相同的速率反弹。
[例题15] 某游乐园入口旁有一鲸鱼喷泉，在水泵作用下会从鲸鱼模型背部喷出竖直向上的
水柱，将站在冲浪板上的玩偶模型托起，悬停在空中，伴随着音乐旋律，玩偶模型能够上下运
动，非常引人驻足，如图所示。这一景观可做如下简化，假设水柱从横截面积为S 的喷口持续
以速度v0竖直向上喷出；设同一高度水柱横截面上各处水的速率都相同，冲浪板底部为平板且
其面积大于水柱的横截面积，保证所有水都能喷到冲浪板的底部。水柱冲击冲浪板前其水平方
向的速度可忽略不计，冲击冲浪板后，水在竖直方向的速度立即变为零，在水平方向朝四周均
匀散开。已知玩偶模型和冲浪板的总质量为M，水的密度为ρ，重力加速度大小为g，空气阻
力及水的粘滞阻力均可忽略不计。
（1）试计算玩偶模型在空中悬停时，水对冲浪板的冲击力大小和喷泉单位时间内喷出的水的质
量；
（2）实际上当我们仔细观察发现喷出的水柱在空中上升阶段并不是粗细均匀的，而是在竖直方
向上一端粗一端细，请你分析上升阶段的水柱是上端较粗还是下端较粗，并说明水柱呈现该形
态的原因。
（3）由于水柱顶部的水与冲浪板相互作用的时间很短，因此在分析水对冲浪板的作用力时可忽
略这部分水所受的重力作用。求玩偶在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。
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