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2024 年高考一轮复习100 考点100 讲
第8 章 动量守恒定律
第8.8 讲 动量和能量中STSE 问题
【知识点精讲】
动量和能量中STSE 问题涉及体育、娱乐、工农业生产、科学技术等。
【方法归纳】
解决动量和能量中STSE 问题，首先是建模，将实际问题模型化，利用
动量守恒定律、能量守恒定律及其相关知识列方程解答。
【最新高考题精练】
1.. （2022 山东物理）我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十一号系列运载火箭。如图所示，发射
仓内的高压气体先将火箭竖直向上推出，火箭速度接近零时再点火飞向太空。从火箭开始运动到点火的过
程中（ ）
A. 火箭的加速度为零时，动能最大
B. 高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能
C. 高压气体对火箭推力的冲量等于火箭动量的增加量
D. 高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量
【参考答案】A
1
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【命题意图】本题考查受力分析、动量定理、能量守恒定律及其相关知识点。
【名师解析】
火箭从发射仓发射出来，受竖直向下的重力、竖直向下的空气阻力和竖直向上的高压气体的推力作用，且
推力大小不断减小，刚开始向上的时候高压气体的推力大于向下的重力和空气阻力之和，故火箭向上做加
速度减小的加速运动，当向上的高压气体的推力等于向下的重力和空气阻力之和时，火箭的加速度为零，
速度最大，接着向上的高压气体的推力小于向下的重力和空气阻力之和时，火箭接着向上做加速度增大的
减速运动，直至速度为零，故当火箭的加速度为零时，速度最大，动能最大，故A 正确；根据能量守恒定
律，可知高压气体释放的能量转化为火箭的动能、火箭的重力势能和内能，故B 错误；根据动量定理，可
知合力冲量等于火箭动量的增加量，故C 错误；根据功能关系，可知高压气体的推力和空气阻力对火箭做
功之和等于火箭机械能的增加量，故D 错误。
2.（2021 年1 月浙江选考）在爆炸实验基地有一发射塔，发射塔正下方的水平地面上安装有
声音记录仪。爆炸物自发射塔竖直向上发射，上升到空中最高点时炸裂成质量之比为2:1、初
速度均沿水平方向的两个碎块。遥控器引爆瞬间开始计时，在5s 末和6s 末先后记录到从空气
中传来的碎块撞击地面的响声。已知声音在空气中的传播速度为340m/s，忽略空气阻力。下
列说法正确的是
A.两碎块的位移大小之比为1:2
B.爆炸物的爆炸点离地面高度为80m
C.爆炸后质量大的碎块的初速度为68m/s
D.爆炸后两碎块落地点之间的水平距离为340m
【参考答案】B
【名师解析】爆炸物爆炸，动量守恒，
v1=
v2 ，解得两碎块的初速度之比为
v1∶v2=1∶2，由平抛运动规律x=vt 可知，两碎块的水平位移大小之比为x1∶x2=v1∶v2=1∶2，选项
A 错误；根据题述，在5s 末和6s 末先后记录到从空气中传来的碎块撞击地面的响声，可知碎
块在空中下落时间为t=4s，由平抛运动规律可知，.爆炸物的爆炸点离地面高度为h=
gt2=80m，选项B 正确；爆炸后质量大的碎块落地时撞击地面的声音传播到声音记录仪的时间
为t1=5s-4s=1s，撞击地面处距离声音记录仪的距离为x1=vt1=340m，由x1=v1t，解得：
2
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v1=85m，选项C 错误；爆炸后质量小的碎块落地时撞击地面的声音传播到声音记录仪的时间
为t2=6s-4s=2s，撞击地面处距离声音记录仪的距离为x2=vt2=680m，爆炸后两碎块落地点之间
的水平距离为x= x1+ x2=340m+680m=1020m，选项D 错误。
【最新模拟题精练】
1. （2023 湖北四市七校联盟期中联考）高速磁悬浮列车在水平长直轨道上的模拟运行图如图所示，列车
由质量均为m 的5 节车厢组成，其中1 号车厢为动力车厢。列车由静止开始以额定功率P 运行，经过一段
时间达到最大速度，列车向右运动过程中，1 号车厢会受到前方空气的阻力，假设车厢碰到空气前空气的
速度为0，碰到空气后空气的速度立刻与列车速度相同，已知空气密度为ρ。1 号车厢的迎风面积（垂直运
动方向上的投影面积）为S，不计其他阻力，忽略2 号、3 号、4 号、5 号车厢受到的空气阻力。当列车以
额定功率运行到速度为最大速度的一半时，2 号车厢对3 号车厢的作用力大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
【参考答案】A
【名师解析】
设动车的速度为v，动车对空气的作用力为F，根据动量定律可得
解得
当牵引力等于阻力时，速度达到最大，则
解得
当速度达到最大速度一半时，此时速度为
3
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此时受到的牵引力
解得
此时受到的阻力
对整体根据牛顿第二定律
对3、4、5 号车厢，根据牛顿第二定律可得
联立解得
故选A。
2. （2023 湖北六校期中联考）传说英国科学家瓦特观察到水蒸气顶起锅盖，进而发明了蒸汽机。假设每
个水分子的质量均为m，运动的水分子均垂直撞击平板锅盖，撞击速度均为v。每次撞击后速度大小均变
为v/3，方向垂直锅盖，撞击的时间极短，发现质量为M 的锅盖刚好被顶起。忽略水分子所受重力，则单
位时间撞击锅盖的水分子个数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【参考答案】A
【名师解析】
设单位时间撞击锅盖的水分子个数为n，则由动量定理
4
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其中
解得
故选A。
3. （2022 山东济南5 月模拟）在天宫课堂第二课上，航天员叶光富给我们展示了一个“科学实验重器”—
“高微重力科学实验柜”。 如图甲所示，当柜体受到一个干扰偏离原位置时，柜体通过喷气又慢慢 回到
了原位置。将该过程简化为如图乙所示的模型，物块静止在光滑水平面上的 O 点，左右有两个喷气装置A
和B，当给物块一个向左的初速度时，喷气装置A 立即向左喷气，经过一段时间，装置A 关闭，同时装置
B 向右喷气，直到物块回到出发点O 且速度为零，假设喷气装置A、B 喷气过程中对物块的作用力大小相
等且不变，喷气对物块质量的影响忽略不计，则该过程中A、B 喷气装置喷气的时间之比等于（ ）
A. 1
B. 2
C. 2
D.
+1
【参考答案】D
【名师解析】
设A、B 喷气过程中对物块的作用力大小为F，喷气的时间分别为t1和t2，物块初速度为v，以初速度方向
为正方向，设A 停止喷气时物块速度大小为v1，根据动量定理
由运动学规律可得
5
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联立可解得
，故选D。
4. （2021 山西太原期末）为测量干粉灭火器喷出磷酸盐的速度，有人做了这样的实验：如图，人坐在小
车上，手持灭火器，按压阀门让灭火器水平向前喷射。测得在8.0s 内，人匀加速移动的距离为16.0m。已
知人（连同设备）的总质量为60kg，灭火器单位时间内喷出磷酸盐的质量恒为0.20kg/s，小车同地面间的
动摩擦因数为0.02。忽略该过程中人总质量的变化，可估算出磷酸盐喷出的速率最接近（ ）
A. 60m/s
B. 100m/s
C. 120m/s
D. 210m/s
【参考答案】D
【命题意图】本题考查动量定理、动能定理及其相关知识点。
【解题思路】设磷酸盐喷出的速率为v’，由动量定理，F△t=mv’，m/△t=0.20kg/s，由动能定理，（F-
μMg）x=
Mv2， x=
vt，联立解得：v’=210m/s，选项D 正确。
5.（2022 江西部分重点高中联考）世界第一款垂直起降的“鹞式"战斗机，是由英国研发的一款亚音速喷气
式战斗机，“鹞式"战斗机采用一台飞马发动机，机身前后有四个可旋转0°~98.5°角的喷气口提供垂直起落
和常规飞行所需的动升力和推力，当喷口向下时,产生的推力可使飞机垂直上升；当喷口向后时，产生的推
力可使飞机前进。飞行员调整喷口的方向和角度，便可改变飞机的飞行姿态。某次作战任务中质量为8 t
的“鹞式”战斗机悬停在空中，四个竖直向下的喷口向下喷射的气体速度约为2.5km/s，不考虑飞机质量
变化的影响，重力加速度g 取10m/s2。则在1s 内平均每个喷口喷射的气体质量约为（ ）
6
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A．2kg
B．8kg
C．16kg
D．32kg
【参考答案】B
【名师解析】
“鹞式”战斗机悬停在空中，发动机从喷口将气体喷出，喷出的气体对飞机产生反作用力提供升力，根据
平衡条件，F=mg，根据动量定理，F△t=4△mv，联立解得：△m=8kg，B 正确。
6. （2023·河北石家庄名校联考）如图所示，北京冬奥会2000 米短道速滑接力热身赛上，当运动员在光
滑冰面上交接时后方运动员甲用力推前方运动员乙。下列说法正确是
A．甲对乙的作用力大于乙对甲的作用力
B．甲推出乙后，甲一定向后运动
C．甲、乙的动量变化相同
D．甲、乙所受推力的冲量大小相等
【参考答案】D
【名师解析】甲对乙的作用力与乙对甲的作用力是相互作用力，根据牛顿第三定律可知，两个力大小相等，
方向相反，故A 错误；甲推出乙的过程，甲对乙的作用力向前，使乙加速，乙对甲的作用力向后，使甲的
速度减小，但是甲不一定向后运动，故B 错误；甲、乙组成的系统动量守恒，由动量守恒定律可知，两个
运动员的动量变化量等大反向，则甲、乙的动量变化不相同，故C 错误；
甲乙受到的推力大小相等，根据I＝Ft 可知，甲乙受到的冲量大小相等，故D 正确。
【关键点拨】动量变化是矢量，甲、乙的动量变化方向相反，所以甲、乙的动量变化不相同。
7．(2022 福建南平联考)作为时尚青年热爱的运动，溜旱冰又炫又酷，备受追捧。如图甲所示，水平地面上
有
、
两位同学，
的质量为
，
静止在地面上，
以一定的初速度向
滑去，一段时间后抱
住
一起向右运动。若以向右为正，
运动的位移-时间图像（
图像）如图乙所示，不计空气阻力以
及地面对人的阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．
的质量为
7
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B．
的质量为
C．
抱住
的过程中损失的机械能为
D．
抱住
的过程中损失的机械能为
【参考答案】．BC
【名师解析】本题考查动量与能量，目的是考查学生的分析综合能力。根据题图乙，
抱住
前
的速度
大小
，
抱住
后他们的共同速度大小
，根
据动量守恒定律有
，解得
，选项A 错误；B 正确；
抱住
的过程中损
失的机械能
，解得
，选项C 正确，D 错误。
8. （2022 河北重点中学期中素养提升）2022 年冬奥会将在北京举行，冰壶是冬奥会的传统比赛项目。在
冰壶动中运动员可以通过冰壶刷摩擦冰面来控制冰壶的运动。在某次训练中，A 壶与静止的
壶发生对心
碰撞，碰后运动员用冰壶刷摩擦
壶运动前方的冰面。碰撞前后两壶运动的
图线如图中实线所示，已
知
与
平行，且两冰壶质量相等，由图像可得（ ）
A. 碰后
壶的加速度大小为
B. 碰后至停止的过程中，A、
两壶的运动时间之比为
C. 碰后至停止的过程中，A、
两壶所受摩擦力的冲量大小之比为
D. 两冰壶发生的碰撞为弹性碰撞
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【参考答案】BC
【名师解析】
两冰壶碰撞过程系统动量守恒，应用动量守恒定律求出碰撞后B 壶的速度；根据图示图象求出B 壶的加速
度，应用运动学公式求出
，然后求出A 壶的运动时间，应用动量定理求出两壶碰撞后到停止运动过程所
受摩擦力的冲量大小之比；求出碰撞过程损失的机械能，然后碰撞过程损失的机械能与碰撞后两壶损失的
机械能之比。
由
图象可知，碰撞A 壶的速度
，碰撞后瞬间
壶的速度
，两冰壶质量相等，设
冰壶质量为
，以原来A 壶的速度方向为正方向，两冰壶碰撞过程系统动量守恒，设碰撞后A 的速度为
，
由动量守恒定律得
代入数据解得
由
图象可知，碰撞前、后A 壶的加速度大小
壶的加速度
A 错误；
根据
可以求出
图象中的
，
。于是碰撞后A 壶停上的时间
壶停止运动需要的时间
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A、
两壶的运动时间之比为
，B 正确；
C．由动量定理得，碰撞后对A 壶
对B 壶
则
、
两壶从碰后至停止运动过程中，所受摩擦力的冲量的大小之比
C 正确；
D．两壶碰撞过程损失的机械能
碰撞为非弹性碰撞，D 错误；
9.（2023 河北邢台五校联考）(１２分)如下图所示,杂技 “双人空中飞人”是一种精彩绝伦的表演.。小明同学为了研
究其中的物理原理简化情景如下:一名质量为 M 演 员倒挂在秋千上,在秋千绳子与竖直方向成θ 角时,在其他工作人
员 帮助下由静止开始运动，,另一名质量为 m 的演员从秋千运动轨迹的 正下方舞台上同平面水平由静止开始做加速
度为a 的匀加速直线运 动,当经过时间t,秋千运动到最低点时,质量为 M 的演员正好双手 抓住质量为m 的演员,并一
起恰好荡到竖直高度比秋千最低点高h 的一个平台上。.已知秋千绳子长度为L，,两名演员的身高均可在该问 题中忽
略,且不计一切阻力.
求:(１)质量为 M 的演员在最低点时的速度?
(２)求平台比秋千最低点高的距离h 为多少?
【名师解析】（1）秋千上运动员有释放到最低点过程中机械能守恒，得
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MgL(1−cosθ)=1
2 Mv 2
………………………………2 分
所以v=√2gL(1−cosθ) ………………………………2 分
（2）由运动学公式得：质量为m 的演员到悬点正下方速度为
v1=at ………………………………2 分
在最低点两演员作用时动量守恒
Mv +mv 1=( M +m)v2 ………………………………2 分
两演员从最低点到平台过程中，机械能守恒定律
1
2 ( M+m)v2
2=( M+m)gh
………………………………2 分
解得
h=( M √2gL(1−cosθ)+mat )2
2g( M +m)2
………………………………2 分
10（2023 长春三模）. 2022 年北京冬奥会我国运动员在冰壶比赛中取得了新的突破。比赛中运动员用脚蹬
固定的起踏器后和冰壶一起前进，在前掷线处将冰壶脱手。按比赛规则，队友可以用毛刷在冰壶滑行前方
来回摩擦冰面，减小冰面的动摩擦因数来调节冰壶的运动，使其到达理想位置。已知冰壶质量
，
运动员质量
，重力加速度大小
。（冰面视作水平面，冰壶视为质点）
（1）在某次投壶过程中运动员离开起踏器时他和红色冰壶的速率
，已知运动员和起踏器相互作
用的时间
，求此过程中运动员（包含冰壶）在水平方向所受平均作用力的大小F；
（2）若红色冰壶沿直线运动到距营垒中心
处的速度
，队友通过在其滑行前方持续摩擦
冰面，使冰壶与冰面间的动摩擦因数变为原来的90%，冰壶滑过被毛刷摩擦过的冰面后以
的
速度与静止在营垒中心、质量相等的蓝色冰壶发生对心碰撞，碰后无人再用毛刷摩擦冰面，蓝色冰壶以
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的速度向前滑行。求碰撞后红色冰壶的滑行距离x。
【名师解析】：（1）对运动员和冰壶整体分析：根据动量定理得
得
（2）设冰壶与冰面间的动摩擦因数为
，红色冰壶与蓝色冰壶碰撞前，根据动能定理
得
设碰撞后红壶的速度为
，红壶和蓝壶碰撞过程动量守恒，由动量守恒方程得
得
根据动能定理得
得
11. （2023 福建漳州三模）滑板运动是一种极富挑战性的极限运动，图示为其场地简化模型，在同一竖直
平面内有两个相同的四分之一弧轴道P、Q 静置在光滑水平地面上，圆弧BC、DE 与地面分别相切于C、D
点。将P 锁定，质量为m 的小球（视为质点）从B 点正上方A 处由静止释放，恰好沿B 点切线方向进入圆
弧轨道，已知P、Q 圆弧的半径以及A、B 两点间的高度差均为R，重力加速度大小为g，不计一切摩擦和
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空气阻力。
（1）求小球第一次刚滑到C 点时P 对小球的支持力人小FN；
（2）若Q 的质量为3m，求小球第一次滑过E 点后在空中运动的水平位移大小x；
（3）若将P 解锁，同时改变P、Q 的质量都为M，使该小球仍从A 处山静止释放，小球能第二次在BC 弧
上运动，求P 的质量M 应满足的条件。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）小球从A 运动到C 点的过程中，根据机械能守恒可知
解得
小球第一次刚滑到C 点时，根据牛顿第二定律有
解得
（2）设小球达到E 点时竖直方向上的分速度大小为
，水平分速度为
，则
小球第一次从E 点离开Q 后在空中做斜上抛运动，设空中运动时间为，则
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解得
（3）设小球第一次通过C 点时的速度大小为
，则
解得
小球第一次从D 点滑上DE 到再次回到D 点的运动过程中，小球和Q 组成的系统机械能守恒，在水平方向
上动量守恒，则
解得
小球能第二次在BC 上运动，应满足
解得
12．（16 分）（2023 广东二模）图甲是U 形雪槽，某次滑板表演，在开始阶段，表演者在同一竖直平面
内运动，可以把该场地简化为图乙的凹形场地；两端是
的光滑圆弧面，半径均为L，中间是长为
的
粗糙水平面．表演者M 的质量（含滑板）为m，从光滑圆弧面的A 处滑下，进入水平面后，与质量（含滑
板）为
且静止在水平面中点O 处的表演者N 碰撞，碰后M 以碰前速度的
反弹，M、N 在O 处发生碰
撞后，恰好不再发生第二次碰撞，且停在O、C 间的某处．假设M、N 在粗糙水平面上运动时，所受阻力
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与压力的比分别为
（
和
都是未知量），且已知
，表演者的动作不影响自身
的速度，滑板的长度忽略不计，重力加速度为g．
（1）求M 与N 碰撞后瞬间M、N 的速度大小之比；
（2）以O 为起点，求M、N 碰撞后在粗糙水平面上滑过的路程之比；
（3）试讨论k 在不同取值范围时，M、N 所停位置距C 点的距离．
【名师解析】
（1）设M 与N 碰撞前的速度为
，碰撞后，M 反弹的速度大小为
，N 获得的速度大小为
．取水平
向右为正方向，有：
①
依题意
②
联立①②可得
③
（2）若M、N 从碰撞后到停下，它们在粗糙水平面上滑过的路程分别为
和
，则有：
④
⑤
联立③④⑤并代入
可得：
⑥
（3）由于M、N 刚好不再发生第二次碰撞且停在O、C 间的某处，所以M、N 在同一地点停下．有以下两
种情况：
第一种情况：N 还没有到达C 处就已停下，此时：
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⑦
⑧
M、N 所停位置距C 点的距离
⑨
联立⑥⑦⑧⑨可求解得：
⑩
⑪
第二种情况：N 通过C 点又从圆弧滑下返回，此时：
⑫
⑬
M、N 所停位置距C 点的距离
⑭
联立⑥⑫⑬⑭可求解得：
⑮
⑯
13．（14 分）（2023 江苏扬州考前调研）有一款三轨推拉门，门框内部宽为 2.4m，三扇相同的门板如图
所示，每扇门板 宽为 d=0.8m，质量为 m=20kg，与轨道的动摩擦因数为 μ=0.01．在门板边缘凸起部位贴
有 尼龙搭扣，两门板碰后可连在一起．现将三扇门板静止在最左侧，用力 F 水平向右拉 3 号 门板，一
段时间后撤去．取重力加速度 g=10m/s2．
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（1）若 3 号门板左侧凸起部位恰能与 2 号门板右侧凸起部位接触，求力 F 做的功 W；
（2）若 F=12N，3 号门板恰好到达门框最右侧，大门完整关闭．求：
①3 号门板与 2 号门板碰撞前瞬间的速度大小 v；
②拉力 F 的作用时间 t．
【名师解析】（1）根据动能定理：W
−mgd = 0 （2 分）
解得：W=1.6J
（2）①设 3 号门板与 2 号门板碰撞前速度为 v0，碰撞后速度为 v1 碰后两门板位移为 d=0.8m
根据功能关系：
−mgd =
−
（1 分）
解得：v1=0.4m/s （1 分）
碰撞过程，根据动量守恒定律： mv0 = 2mv 1（2 分）
解得： v0=0.8m/s （1 分）
②根据牛顿第二定律：F
−mg = ma
解得：a=0.5m/s2 （2 分）
根据动能定理： 2 0
Fx
−mgd =
解得： x =
m（2 分）
根据运动学公式： x =
解得：t=
s （2 分）
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14.（2023 山西考前适应性考试）有一款推拉门，其三扇门板俯视如图所示，每扇门的宽度为L=1.00m，质
量均为m=20kg，边缘凸起部位的宽度均为d=0.05m。门完全关闭时，1 号门板的左侧以及3 号门板的右侧
分别与两侧的门框接触时，相邻门板的凸起部位也恰好接触。测试时，将三扇门板均推至最左端，然后用
恒力F 水平向右推3 号木板，每次都经过相同的位移s=0.20m 后撤去F，观察三扇门的移动情况。发现当
恒力为8.5N 时，3 号门板恰好能运动到其左侧凸起与2 号门板右侧的凸起接触处。设每扇门与轨道间的动
摩擦因数均相同，门板凸起部位间的碰撞及门板与门框的碰撞均为完全非弹性碰撞（不粘连）。不考虑空
气阻力，取g=10m/s2。
（1）求每扇门与轨道间的动摩擦因数。
（2）若要实现三扇门恰好完全关闭，则恒力应是多大？
（3）若想让三扇门都到达最右端门框处，则恒力应是多大？
【名师解析】（1）设每扇门与轨道间的动摩擦因数为μ，由动能定理有
F1s - μmg（L - 3d）= 0 …………………………………………………………………………………………（3
分） 解得：μ = 0.01…………………………………………………………………………（1 分）
（2）设3 号门板与2 号门板碰撞前速度的大小为v1，由动能定理有
F2s - μmg（L - 3d）=
mv1
2………………………………………………………………………………………
（2 分） 设3 号门板与2 号门板碰撞后速度的大小为v2，由动量守恒定律有
mv1 = 2mv2 ………………………………………………………………………………………………………（2
分）
3 号门板与2 号门板碰撞后一起向右运动的过程中
-μ（2m）g（L - 3d）= 0 -
（2m）v2
2………………………………………………………………………………（2 分） 解得：F2 = 42.5 N
………………………………………………………………………（1 分）
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（3）设3 号门板与2 号门板碰撞前速度的大小为v3，由动能定理有
F3s - μmg（L - 3d）=
mv3 2……………………………………………………………………（2 分）
设3 号门板与2 号门板碰撞后速度的大小为v4，由动量守恒定律有
mv3 = 2mv4 ………………………………………………………………………………………………………（2
分）
3 号门板与2 号门板碰撞后一起向右运动到3 号门板与门框接触前的速度的大小为v5，由动能定理有
-μ（2m）g（L - 3d）=
（2m）v5 2 -
（2m）v4 2…………………………………………………（1 分）
设2 号门板与1 号门板碰撞后速度的大小为v6，由动量守恒定律有
mv5 = 2mv6 ………………………………………………………………………………………………………（1
分） 从2 号门板与1 号门板碰撞后到1 号门板恰好停止过程中，由动能定理有
-2μmg（L - 3d）= 0 -
mv6 2… 2 ………………………………………………（1 分）
解得：F3 = 314.5 N ……………………………………………………………………………………（2 分）
15. （2023 湖南怀化二模）图甲是一种智能减震装置的示意图，轻弹簧下端固定，上端与质量为m 的减震
环a 连接，并套在固定的竖直杆上，a 与杆之间的智能涂层材料可对a 施加大小可调节的阻力，当a 的速度
为零时涂层对其不施加作用力．在某次性能测试中，质量为0.5m 的光滑环b 从杆顶端被静止释放，之后与
a 发生正碰；碰撞后，b 的速度大小变为碰前的
倍、方向向上，a 向下运动2d 时速度减为零，此过程中a
受到涂层的阻力大小f 与下移距离s 之间的关系如图乙。已知a 静止在弹簧上时，与杆顶端距离为4.5d，弹
簧压缩量为2d，重力加速度为g。求：
（1）与a 碰前瞬间，b 的速度大小；
（2）
的值；
（3）在a 第一次向下运动过程中，当b 的动能为
时a 的动能。
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【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
【详解】（1）小环b 下落的过程为自由落体，则
解得与a 碰前瞬间，b 的速度大小为
（2）ab 发生碰撞，设向下为正方向，根据动量守恒定律可知
a 向下运动2d 时速度减为零的过程中，由动能定理可知
由题可知a 静止在弹簧上时，弹簧压缩量为2d，根据胡克定律可知
联立解得
（3）当b 的动能为
时，b 的速度为
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根据动量定理可知
解得
在a 第一次向下运动过程中，取一段时间
，根据动量定理可知
当Δ
时
当Δt=
时
此时a 的动能为
16.(2020·北京海淀区模拟)如图甲所示，校园中的喷泉将水以相同倾斜角度和速率喷射而出，喷出的水
落到水面泛起涟漪甚为美观。喷出的水的运动可视为一般的抛体运动，在水平方向不受力，在竖直方向只
受重力，我们可以仿照研究平抛运动的方法来研究一般的抛体运动。喷泉喷出水的运动轨迹示意图如图乙
所示，喷出的水上升的最大高度为h，落在水面的位置距喷水口的水平距离为d。已知喷水口的水流量为
Q(水流量Q 为单位时间内喷出水的体积)，水的密度为ρ，重力加速度为g，忽略空气阻力。
(1)求喷出的水上升至最大高度时水平速度vx的大小；
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(2)假设水落在水面上时速度立即变为零，且在极短时间内落到水面的水受到的重力可忽略不计，求水
落到水面时对水面竖直向下的平均作用力Fy的大小；
(3)该喷泉利用水泵将水先从地下水池由静止提升至喷泉水面，然后再喷射出去。已知地下水池的水面
距喷泉水面的高度恒为H，若H＝h，d＝4h，水泵的效率为η，求水泵的平均功率P。
【名师解析】：(1)喷出的水在到达最高点后做初速度为vx的平抛运动，由运动的合成与分解及平抛运
动规律可知
竖直方向上有h＝gt2，水平方向上有＝vxt
联立解得vx＝。
(2)极短时间Δt 内落在水面上的水的质量Δm＝ρQΔt
水落在水面上竖直方向的速度vy＝
设水受到水面竖直向上的平均作用力为F，取竖直向下为正方向
由动量定理得－FΔt＝0－Δmvy，解得F＝ρQ
根据牛顿第三定律，可得水落到水面上时对水面在竖直方向上的平均作用力的大小Fy＝ρQ。
(3)在Δt 时间内，喷射出水的质量Δm＝ρQΔt
对Δt 时间内喷出的水，在最高点竖直方向速度为零，此时其动能Ek＝Δmvx
2
由功能关系得ηPΔt＝Δmg(H＋h)＋Ek
联立解得P＝。
答案：(1) (2)ρQ (3)
17.（2023 河北邢台五校联考）(１２分)如下图所示,杂技 “双人空中飞人”是一种精彩绝伦的表演.。小明
同学为了研究其中的物理原理简化情景如下:一名质量为 M 演 员倒挂在秋千上,在秋千绳子与竖直方向成
θ 角时,在其他工作人员 帮助下由静止开始运动，,另一名质量为 m 的演员从秋千运动轨迹的 正下方舞台
上同平面水平由静止开始做加速度为a 的匀加速直线运 动,当经过时间t,秋千运动到最低点时,质量为 M
的演员正好双手 抓住质量为m 的演员,并一起恰好荡到竖直高度比秋千最低点高h 的一个平台上。.已知
秋千绳子长度为L，,两名演员的身高均可在该问 题中忽略,且不计一切阻力.
求:(１)质量为 M 的演员在最低点时的速度?
(２)求平台比秋千最低点高的距离h 为多少?
【名师解析】（1）秋千上运动员有释放到最低点过程中机械能守恒，得
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MgL(1−cosθ)=1
2 Mv 2
………………………………2 分
所以v=√2gL(1−cosθ) ………………………………2 分
（3）由运动学公式得：质量为m 的演员到悬点正下方速度为
v1=at ………………………………2 分
在最低点两演员作用时动量守恒
Mv +mv 1=( M +m)v2 ………………………………2 分
两演员从最低点到平台过程中，机械能守恒定律
1
2 ( M+m)v2
2=( M+m)gh
………………………………2 分
解得
h=( M √2gL(1−cosθ)+mat )2
2g( M +m)2
………………………………2 分
18（2023 福建宁德三模）为了统一调度以充分发挥铁路的运输能力，提高运输效率，需要把全路分散的列
车按不同去向、不同用途科学分组，将同一组车厢排列在同一轨道上，这就是列车编组。编组后还需要使
各节车厢与车头挂接在一起，加上列车标志，就形成完整的列车。目前我国采用的列车挂接方式主要有两
种：一种方式是目前比较流行的“驼峰”编组，如图甲所示，在地面修筑适当坡度的犹如驼峰峰背的小山
丘，上面铺设铁路，利用车头重力和“驼峰”坡度产生的重力势能进行溜放，使车头冲向车厢，碰撞后通
过特制“铁手挂钩”紧紧连接在一起，再一起去撞击下一节车厢，直到所有车厢完成挂接；另一种方式是
让火车头提供牵引力，冲向车厢，釆取与第一种相似的方式依次挂接所有车厢，当车厢数目较多时，往往
釆用这种方式。火车研发科研人员在进行列车编组实验时所用车头质量为4m，所有货车车厢均满载，质量
相等且均为4m，各节车厢之间相隔距离d 依次停放在编组场同一轨道上。不计一切阻力，不计挂钩的长度
和车厢之间碰撞所需时间，试分析回答以下问题：
（1）若第一次实验按题干方式设置15 节车厢，采用“驼峰”编组方式，车头无动力冲下“驼峰”，以速
度
驶向第一节车厢，求15 节车厢全部挂接后列车速度，以及从车头与第一节车厢碰撞到完成整个挂接所
需时间；
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（2）若第二次实验按题干方式设置N 节车厢，车头在水平轨道上从距离第一节车厢也为d 处启动，车头
发动机牵引力恒定为F，如图乙所示，求第N 节车厢完成挂接时车头的速度及列车从启动到N 节车厢完成
挂接所需的时间；
（3）若第三次实验在（2）的情况下将所有车厢变为空载，所有车厢质量相等且均为m，其余条件不变，
求车头所能达到的最大速度。
【名师解析】（1）设15 节车厢全部挂好以后的速度为
，根据动量守恒定律有
解得
用
表示第i 节车厢被挂接后车头及已挂车厢的速度，根据动量守恒定律有
解得
由于每次挂接时通过车厢之间间隙的运动均可视为匀速运动，所以车头及前i 节车厢通过间隙与第（i+1）
节挂接所经历的时间为
所以挂接的总时间为
（2）设vi 表示第i 节车厢被碰撞前车头与前（
）车厢的速度，
表示第i 节车厢被碰撞后整体的速度，
ai表示车头与前（
）节车厢共同运动时的加速度，由牛顿第二定律有
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利用匀变速直线运动公式
根据动量守恒定律有
联立可以求得
，
同理有
联立可以求得
，
继续列式，有
。
解得
，
以此类推：ai=
，
，
【关键点拨】从得出的加速度和速度表达式中找出规律，才能类推得出正确的表达式。
由运动学公式，车头及前（i-1）节车厢通过间隙与第i 节挂接所经历的时间为
【关键批注】由
，
，
可得
，
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所以，
=
。
=
，
利用前面
的表达式，可求得
（3）仍用vi表示第i 节车厢被碰撞前车头与前（i-1）节车厢的速度，
表示第i 节车厢被碰撞后整体的速
度，ai表示车头与前（
）节车厢共同运动时的加速度，同（2）的解题思路，有
可以解得
根据此递推关系
，
最终可得
由前述可得
代入上式，有
×
【批注】上式分子是首项为（4+i-1）、末项为4，项数为i 的公差为1 的等差数列之和，可以利用等差数
列求和公式得出。
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化简后得
×
将上式变形
×
=
×
=
×
【批注】采用配方法变形，利用数学知识得出极值。
由此可得，当
时，
最大，其最大值为
。
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