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2024 年高考一轮复习100 考点100 讲
第8 章 动量守恒定律
第8.9 讲 动量和能量综合问题
【知识点精讲】
解决动力学问题的三把金钥匙
【方法归纳】
1
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力学规律的优选策略。
(1)牛顿第二运动定律揭示了力的瞬时效应，在研究某一物体受力的瞬时作用与物体运动的关系时，或者物
体受到恒力作用，且又直接涉及到问题运动过程中的加速度问题，应该利用牛顿第二定律和运动学规律解
决。.
(2)动量定理反映了力对时间的累积效应。研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时,如果涉及时
间的问题，或作用时间极短的冲击作用，一般用动量定理分析解答。.
（3）动能定理反映了力对空间的累积效应。研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时,如果涉
及位移且不涉及加速度的问题，一般运或动能定理去解决问题.
(4)如果系统中物体只有重力做功和弹簧弹力做功，而又不涉及加速度和时间，此类问题优先考虑采用机械
能守恒定律求解。
(5)若研究的对象为一物体系统,且它们之间有相互作用,一般用动量守恒定律和机械能守恒定律去解决问题,
但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件.
（6）在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律,则系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减
少量,即转变为系统内能的量.
（7）在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时,必须注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其
他形式能量之间的转换.这类问题由于作用时间都极短,因此用动量守恒定律去解决.
【最新高考题精练】
1．（11 分）（2023 年1 月浙江选考· 18）一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾
角
的直轨道
、螺旋圆形轨道
，倾角
的直轨道
、水平直轨道
组成，除
段外各段轨道均光滑，且各处平滑连接．螺旋圆形轨道与轨道
、
相切于
处．凹槽
底面
水平光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁
处，摆渡车:上表面与直轨道下
、
平台
位于同一水平面．已知螺旋圆形轨道半径
，B 点高度为
，
长度
，
长度
，摆渡车长度
、质量
．将一质量也为m 的滑块从倾斜轨道
上高度
处静止释放，滑块在
段运动时的阻力为其重力的0.2 倍．（摆渡车碰到竖直侧壁
立即静
止，滑块视为质点，不计空气阻力，
，
）
2
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（1）求滑块过C 点的速度大小
和轨道对滑块的作用力大小
；
（2）摆渡车碰到
前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数
；
（3）在（2）的条件下，求滑块从G 到J 所用的时间t．
【参考答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）滑块从静止释放到C 点过程，根据动能定理可得
解得
滑块过C 点时，根据牛顿第二定律可得
解得
（2）设滑块刚滑上摆渡车时的速度大小为
，从静止释放到G 点过程，根据动能定理可得
解得
摆渡车碰到
前，滑块恰好不脱离摆渡车，说明滑块到达摆渡车右端时刚好与摆渡车共速
，以滑块和
3
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摆渡车为系统，根据系统动量守恒可得
解得
根据能量守恒可得
解得
（3）滑块从滑上摆渡车到与摆渡车共速过程，滑块的加速度大小为
所用时间为
此过程滑块通过的位移为
滑块与摆渡车共速后，滑块与摆渡车一起做匀速直线运动，该过程所用时间为
则滑块从G 到J 所用的时间为
2. （2022·全国理综乙卷·25） 如图（a），一质量为m 的物块A 与轻质弹簧连接，静止在光滑水平面上：
物块B 向A 运动，
时与弹簧接触，到
时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B 的
图像如图
（b）所示。已知从
到
时间内，物块A 运动的距离为
。A、B 分离后，A 滑上粗糙斜面，
然后滑下，与一直在水平面上运动的B 再次碰撞，之后A 再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。斜
4
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面倾角为
，与水平面光滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求
（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
（3）物块A 与斜面间的动摩擦因数。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）
【名师解析】
（1）当弹簧被压缩最短时，弹簧弹性势能最大，此时
、
速度相等，即
时刻，根据动量守恒定律
根据能量守恒定律
联立解得
，
（2）同一时刻弹簧对
、
的弹力大小相等，根据牛顿第二定律
可知同一时刻
则同一时刻
、
的的瞬时速度分别为
根据位移等于速度在时间上的累积可得
5
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又
解得
第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值
（3）物块A 第二次到达斜面的最高点与第一次相同，说明物块A 第二次与B 分离后速度大小仍为
，方
向水平向右，设物块A 第一次滑下斜面的速度大小为
，设向左为正方向，根据动量守恒定律可得
根据能量守恒定律可得
联立解得
设在斜面上滑行的长度为
，上滑过程，根据动能定理可得
下滑过程，根据动能定理可得
联立解得
3．（2022 新高考海南卷）有一个角度可变的轨道，当倾角为30 度时，滑块A 恰好匀速下滑，现将倾角调
为60 度，从高为h 的地方从静止下滑，过一段时间无碰撞地进入光滑水平面，与系在轻绳下端的小球B 发
6
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生弹性正碰，B 被一根绳子悬挂，与水平面接触但不挤压，碰后B 恰好能做完整的圆周运动，已知滑块A
和小球B 质量相等，求：
①A 与轨道间的动摩擦因数
②A 与B 刚碰完B 的速度
③绳子的长度L
【名师解析】①根据题述，当倾角为30 度时，A 恰好匀速下滑，可得mgsin30°=μmgcos30°，解得μ=
②A 沿倾角60°的轨道下滑，由牛顿第二定律，mgsin60°-μmgcos60°=ma，解得a=
g
A 滑到水平面时的速度v0=
=
A、B 弹性碰撞，由动量守恒定律，mv0= mvA + mvB
由碰撞前后相同动能不变，，
mv0
2=
mvA
2 +
mvB
2
联立解得：vB=
③根据题述，碰后B 恰好能做完整的圆周运动，在圆周最高点，mg=m
B 从最低点到运动到圆周最高点，由机械能守恒定律，
mvB
2=
mv2+2mgL，解得L=
。
4. （2021 新高考湖南卷）如图（a），质量分别为
、
的
、
两物体用轻弹簧连接构成一个系统，
外力
作用在
上，系统静止在光滑水平面上（
靠墙面），此时弹簧形变量为
。撤去外力并开始计时，
7
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、
两物体运动的
图像如图（b）所示，
表示0 到
时间内
的
图线与坐标轴所围面积大
小，
、
分别表示
到
时间内
、
的
图线与坐标轴所围面积大小。
在
时刻的速度为
。
下列说法正确的是（ ）
A. 0 到
时间内，墙对
的冲量等于
B.
C.
运动后，弹簧的最大形变量等于
D.
【参考答案】BC
【命题意图】本题考查动量守恒定律、牛顿运动定律及其相关知识点。
【解题思路】.根据加速度图像面积表示速度变化可知，0 到t1 时间内，A 的速度变化等于S1，由动量定
理可知，弹簧对A 的冲量大小等于mAS1，根据牛顿第三定律可知弹簧对B 的冲量也等于mAS1，墙对B 的
冲量也等于mAS1，选项A 错误；从t1 到t2 时间内AB 组成的系统动量守恒，由动量守恒定律，mAS2=
mBS3，由于S2＜S3，所以mA＞mB，选项B 正确；B 运动后，弹簧最大形变量等于x，选项C 正确；对整个
过程，动量守恒定律，由于二者质量不等，A、B 的速度变化不等，选项D 错误。
【名师点评】理解掌握加速度图像面积表示速度变化是解题关键。
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【最新模拟题精练】
1. (2023 湖南怀化名校联考)如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B 相连接，
并静止在光滑的水平面上。现使A 瞬时获得水平向右的速度3m/s，以此刻为计时起点，两物块的速度随时
间变化的规律如图乙所示，已知m1=1kg，下列说法正确的是（ ）
A. 物块B 的质量为2kg
B. 弹簧的最大弹性势能为1.5J
C. 弹簧第一次恢复原长时物块B 的速度大小为2m/s
D. 从开始到弹簧第一次恢复原长过程中弹簧对物块A 的冲量大小为
【参考答案】ACD
【名师解析】
由图像可知A 物块的初速度v0=3m/s，t1时刻两物块达到共速v=1m/s，由动量守恒得
解得
，故A 正确；
由图像可知t1时刻弹簧的压缩量最大，此时弹性势能最大，由能量守恒得
解得
，故B 错误；
B 速度最大时，弹簧恢复原长，由动量守恒得
由能量守恒得
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解得此时A 和B 的速度分别为
故从开始到弹簧第一次恢复原长过程中弹簧对物块A 的冲量为
大小为
，故CD 正确。
2. （2023 河北唐山三模）在生产生活中，经常采用轨道约束的方式改变物体的运动方向。如图所示，光
滑水平地面上停放着一辆小车，小车上固定着两端开口的光滑细管，细管由水平、弯曲和竖直三部分组成，
各部分之间平滑连接，竖直管的上端到小车上表面的高度为
。一小球以初速度
水平向右射入细管，小
球的质量与小车的质量（包含细管）相等，小球可视为质点，忽略一切阻力作用。下列说法正确的是（
）
A. 小球在细管中运动时，小球和小车（包含细管）组成的系统动量守恒
B. 小球在细管的竖直部分运动时只受重力作用
C. 当小球初速度
时，将会从细管的竖直部分冲出
D. 若小球从细管的竖直部分冲出，冲出后一定会落回到细管中
【参考答案】BCD
【名师解析】
小球在细管中运动时，小球和小车（包含细管）组成的系统在水平方向受到合外力为零，在弯曲处，小球
和小车组成的系统，在竖直方向合外力不为零，则小球和小车（包含细管）组成的系统水平方向动量守恒，
小球在细管中运动时，小球和小车（包含细管）组成的系统动量不守恒，故A 错误；
B．由于小球和小车（包含细管）组成的系统水平方向动量守恒，小球在细管的竖直部分运动时，水平方
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向的速度相同，则小球在细管的竖直部分运动时只受重力作用，故B 正确；
C．由于水平方向动量守恒，在最高点，由动量守恒定律和能量定律有
解得
从细管的竖直部分冲出，则有
解得
，故C 正确；
小球从细管的竖直部分冲出后，水平方向的速度始终相同，则冲出后一定会落回到细管中，故D 正确。
3．（2023 湖南名校质检）如图所示，在光滑水平面上，质量为m 的小球A 和质量为
m 的小球B 通过轻
弹簧拴接并处于静止状态，弹簧处于原长；质量为m 的小球C 以初速度v0沿A、B 连线向右匀速运动，并
与小球A 发生弹性碰撞。在小球B 的右侧某位置固定一块弹性挡板（图中未画出），当小球B 与挡板发生
正碰后立刻将挡板撤走。不计所有碰撞过程中的机械能损失，弹簧始终处于弹性限度内，小球B 与挡板的
碰撞时间极短，碰后小球B 的速度大小不变，但方向相反。则B 与挡板碰后弹簧弹性势能的最大值Em可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【参考答案】．BC
【名师解析】由题，系统的初动能为
，而系统的机械能守恒，则弹簧的弹性势能不可能等于
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，故A 错误；由于小球C 与小球A 质量相等，发生弹性正碰，则碰撞后交换速度，若在A 与B 动量相
等时，B 与挡板碰撞，B 碰撞后速度大小不变、方向相反，当两者速度同时减至零时，弹簧的弹性最大，
最大值为
，故B 正确；当B 的速度很小（约为零）时，B 与挡板碰撞时，当两球速度相
等弹簧的弹性势能最大，设共同速度为v，则由动量守恒得，
，得
，最大的弹
性势能为
，则最大的弹性势能的范围为
，故C 正确，D 错
误。故选BC。
4. （2023 江苏南京市中华中学一模） 如图甲所示，物块A、B 的质量分别为2kg、3kg，用轻弹簧拴接，
放在光滑的水平地面上，物块B 右侧与竖直墙壁接触但不黏连。物块C 从t＝0 时以一定速度向右运动，在
t＝4s 时与物块A 相碰，并立即与物块A 粘在一起不再分开，物块C 的v－t 图像如图乙所示，下列说法正
确的是（ ）
A. 物块C 的质量为2kg
B. 物块B 离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能为40.5J
C. 4s 到12s 的时间内，弹簧对物块A 的冲量大小为
D. 物块B 离开墙壁后的最大速度为3m/s
【参考答案】D
【名师解析】
AC 碰撞过程中动量守恒，有
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其中
、
，解得
，故A 错误；
物块B 离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能等于AC 碰撞结束瞬间系统动能，所以
，B 错误；
4s 到12s 的时间内，弹簧对物块A 的冲量大小等于弹簧对AC 整体的冲量大小，则
即大小为
。故C 错误；
物块B 离开墙壁后达到最大速度时弹簧处于原长，由动量守恒和机械能守恒可得
，
其中
，解得
，
，D 正确。
5. （2022 安徽淮安模拟） 图甲所示，质量分别为
和
的两物体用轻弹簧连接置于光滑水平面，初始
时两物体被锁定，弹簧处于压缩状态。
时刻将B 物体解除锁定，
时刻解除A 物体的锁定，此时
B 物体的速度为
，AB 两物体运动的
图像如图乙所示，其中
和
分别表示
时间和
时
间内B 物体的
图像与坐标轴所围面积的大小，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
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C.
时刻，弹簧伸长量最大
D.
时间内，弹簧对A 物体的冲量大小为
【参考答案】ABD
【名师解析】
题意可知，在
后AB 水平方向上只受弹簧的弹力，弹簧对AB 的弹力大小始终相等，通过乙图可知，
后
的任意时刻，A 的加速度大小都比乙大，根据牛顿第二定律可知
，A 正确。
B．在
时，弹簧处于原长状态弹性势能为零，
时间弹簧的弹性势能全部转化为B 的动能，此时B 的
速度最大，
为
时间内速度的变化量，即B 此时的速度大小；
，弹簧弹力作用使得A 加速，
B 减速，弹性势能转化为AB 的动能，在
时刻加速的为零，弹力为零，弹性势能为零。
时刻AB 动能之
和等于
时刻B 的动能，
时刻B 的速度不为零，
表示
时间内B 物体的速度变化量小于
时
间内速度的变化量，故
，B 正确；
时刻，弹簧的状态与0 时刻弹簧的状态相同，应该是弹簧压缩
量最大，C 错误；根据
的图像信息可知，
时刻，A 的速度减为零，B 的速度为
，则
弹簧对
B 的动量定理
，弹簧对AB 的作用力时刻大小相等方向相反，因此弹簧弹力对A 的冲量大小
等于弹簧弹力对B 的冲量大小即为
，D 正确
6. （2023 天津12 区重点中学第二次联考）（本小题14 分）在一水平的长直轨道上，放着
两块完全相同的质量为m的长方形木块，依次编号为木块1和木块2，如图所示。在木块1左边放一质
量为M =2m的大木块，大木块与木块1之间的距离与1、2两木块间的距离相同，均为L。现在所有木
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块都静止的情况下，将一沿轨道方向的恒力F = F0一直作用在大木块上，使其先与木块1发生碰撞，
碰后与木块1结合为一体再与木块2发生碰撞，碰后又结合为一体且恰能一起匀速运动，设每次碰撞时
间极短，三个木块均可视为质点，且与轨道间的动摩擦因数相同。已知重力加速度为g。
(1)求木块与水平轨道间的动摩擦因数。
(2)求三个木块一起匀速运动时的速度大小和在两次碰撞中损失的总机械能。
(3)若改变恒力F的大小，使大木块与木块1发生碰撞后结合为一体，但1、2两木块间不发生碰撞，则
沿轨道方向的恒力F要满足什么条件？
【名师解析】：(1)根据平衡条件可得F0= 4 μmg
解得μ= F0
4 mg
----------2’
(2)设大木块与木块1碰撞前的速度为v1，根据动能定理得
( F0- μMg)L= 1
2 M v1
2---------------4’
解得v1=√
F0 L
2m
设大木块与木块1碰撞后的速度为v2，根据动量守恒定律可得
M v1=( M +m)v2-------------6’
解得v2= 1
3√
2 F0 L
m
设木块1与木块2碰撞前的速度为v3，根据动能定理得
( F0-3 μmg)L= 1
2 ·3mv3
2- 1
2 ·3mv2
2------------8’
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解得v3=√
7 F0 L
18m
设三个木块一起匀速运动的速度为v4，根据动量守恒定律可得
( M +m)v3=( M +2m)v4解得v4= 1
4√
7 F0 L
2m
根据能量守恒得在两次碰撞中损失的总机械能为
ΔE = F0·2 L- μMgL- μ(m+ M )gL- 1
2 ( M +2m)v4
2-------------10’
解得ΔE = 5
16 F0 L
(3)大木块与木块1发生碰撞，( F - μMg)L>0，即F > F0
2
设大木块与木块1碰撞前的速度为v0，根据动能定理得
( F - F0
2 )L= 1
2 M v0
2--------11’
解得v0=√
(2 F - F0)L
2m
设大木块与木块1碰撞后的速度为v，根据动量守恒定律可得
M v0=( M +m)v解得v = 2
3 v0
若要1、2两木块间不发生碰撞，则FL< 3
4 F0 L- 1
2 ( M +m)v
2------------13’
解得F < 13
20 F0
若要求大木块与木块1发生碰撞，但1、2两木块间不发生碰撞，则沿轨道方向的恒力F就要满足
F0
2 < F < 13
20 F0 ---------14’
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7. （2023 浙江萧山名校联考）如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C 位于同一直线上，A 位于
B、C 之间。A 的质量为m，B、C 的质量都为2m，三者都处于静止状态，现使B 以某一速度
向右运动，
B 与A 发生弹性碰撞，之后A 与C 发生完全非弹性碰撞，求：
（1）物体A、B、C 最终速度大小各是多少：
（2）整个碰撞过程损失的机械能。
【参考答案】（1）
，A、C 速度相同为
v0；（2）
【名师解析】
（1）B 与A 相碰，动量守恒定律
弹性碰撞
解得
A 与C 相碰
解得
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所以最终A、C 速度相同为
v0
（2）整个碰撞过程损失的机械能
8．（2023 四川遂宁三诊）研究表明，两块足够大的、正对的平行板电容器之间的静电力只与两板带电量有关，与两板
间距无关。如图1 所示，A 板固定在绝缘的地面上，与之正对的B 板通过两根完全相同的轻质绝缘弹簧相连，两
弹簧对称且竖直。已知B 板质量为m，两弹簧原长为L，A、B 板不带电时两弹簧长度为
，A、B 板带等量异
种电荷时两弹簧长度变为
。如图2 所示，在B 板正中上方高为h(h=L)处静止释放一绝缘物块C，C 的质量也为
m，C 下落后与B 碰撞时间极短，且碰后粘连在一起。已知当地的重力加速度为g；B 与C 碰前处于静止状态；
A、B 板面积足够大，厚度不计；A、B 板带电量保持不变。求：
（1）图1 中两板之间的静电力大小。
（2）图2 中C 与B 板碰撞后，C 的最大速度。已知弹簧的弹力做功可以用初、末位置的平均力做功来计算。
（3）如果C 的质量变为m1，从距离B 板高为2h 处静止开始下落，与B 板碰撞后运动到最高点时距地面高
。求m1
的大小。
【名师解析】：（1）设弹簧的劲度系数为k，则A、B 不带电时：
.................1 分
A、B 带电时：
.................2 分
解得：
.................1 分
（2）C 自由落体：
.................1 分
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B、C 相碰：
.................1 分
C 速度最大的位置为平衡位置：
................1 分
此过程静电力与重力做功为：
.................2 分
弹簧弹力做功：
.................2 分
对B、C 列动能定理得：
................2 分
由以上公式解得;
.................1 分
（3）与B 碰前C 的速度为
................1 分
B、C 相碰：
.................1 分
因为开始弹簧压缩
，结束弹簧伸长
，故整个过程弹簧的弹性势能没变，弹簧做的
功为0
对B、C 列动能定理：
.................2 分
得：
解得：
.................2 分
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