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专题20 磁场对运动电荷的作用
题型一 对洛伦兹力的理解和应用.......................................................................................................1
题型二 带电粒子做圆周运动分析思路...............................................................................................3
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动...............................................................................6
类型1 带电粒子在直线边界磁场中运动....................................................................................8
类型2 带电粒子在圆形边界磁场中运动..................................................................................10
类型3 带电粒子在矩形边界磁场中运动..................................................................................13
类型4 带电粒子在三角形边界磁场中运动...............................................................................15
题型四 带电粒子在磁场运动的临界和极值问题.............................................................................19
类型1 带电粒子在磁场中运动的临界问题...............................................................................20
类型2 带电粒子在磁场中运动的极值问题...............................................................................23
题型一 对洛伦兹力的理解和应用
1．洛伦兹力
磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力．
2．洛伦兹力的方向
(1)判定方法
左手定则：掌心——磁感线垂直穿入掌心；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
大拇指——指向洛伦兹力的方向．
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F 垂直于B 和v 决定的平面(注意：洛伦兹力不做功)．
3．洛伦兹力的大小
(1)v∥B 时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°)
1
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(2)v⊥B 时，洛伦兹力F＝qvB.(θ＝90°)
(3)v＝0 时，洛伦兹力F＝0.
[题型专练1]. （2023•海南）如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强
磁场，关于小球运动和受力说法正确的是（ ）
A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B．小球运动过程中的速度不变
C．小球运动过程的加速度保持不变
D．小球受到的洛伦兹力对小球做正功
【解答】解：A．带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场中，小球受洛伦兹力和重
力的作用做曲线运动，根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，故A
正确；
B．小球受洛伦兹力和重力的作用，做曲线运动，速度的方向时刻变化，故B 错误；
C.小球受洛伦兹力和重力的作用做曲线运动，重力始终竖直向下，洛伦兹力始终与速度方向垂
直，且速度方向时刻变化，合力方向时刻变化，根据牛顿第二定律，加速度的方向时刻变化，
故C 错误。
D．小球受洛伦兹力和重力的作用做曲线运动，洛伦兹力始终与速度方向垂直，根据功的定义，
洛伦兹力永不做功，故D 错误。
故选A。
[题型专练2]. （2023 春•定远县校级期末）如图所示，质量为m、带电荷量为+q 的物块，
在水平向外的匀强磁场中，沿着竖直绝缘墙壁由静止开始下滑，已知物块与墙壁间的动摩擦因
数为μ，磁感应强度为B，墙壁无限高，下列说法正确的是（ ）
A．物块在下滑过程中只受重力、摩擦力和洛伦兹力
2
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B．物块下滑过程中先做加速度减小的加速运动，后匀速运动
C．物块下滑的最大速度为μmg
Bq
D．物块在下滑过程中，受到的洛伦兹力不做功，物块机械能守恒
【解答】解：A、物块在下滑过程中受重力、支持力、摩擦力和洛伦兹力，故A 错误；
B、物块下滑过程中，根据牛顿第二定律得 mg﹣f＝ma 摩擦力为 f＝μFN＝μqvB 所以物块下滑
过程中做加速度减小的加速运动，最终做匀速运动，故B 正确；
C、当物块匀速时，速度最大，有 mg﹣μqvB＝0 解得 v = mg
μqB ，故C 错误；
D、物块在下滑过程中，尽管物块受到洛伦兹力作用，但洛伦兹力不做功，而摩擦力做功，所以
物块的机械能减小。故D 错误。
故选：B。
[题型专练3]. （2023 春•河北区期末）如图所示，一个带负电荷的物体从粗糙的斜面顶端
滑到斜面底端时的速度为v，加上一个垂直于纸面指向读者方向的磁场，则物体滑到底端时（
）
A．速度小于v
B．速度大于v
C．速度等于v
D．可能离开斜面
【解答】解：物体从顶端滑到底端的过程中，有能量守恒定律知减小的重力势能等于物体到达
底端时的动能与摩擦生热之和，当加上一个垂直于纸面指向读者方向的磁场时，物体将受到垂
直斜面向下的洛伦兹力，所以斜面对物体的支持力增大，摩擦力增大，摩擦生热增加，而减小
的重力势能不变，由能量守恒定律知到达底端时的动能减小，速度减小，故BCD 错误，A 正确。
故选：A。
题型二 带电粒子做圆周运动分析思路
1．匀速圆周运动的规律
若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v 做匀速圆周运动．
3
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2．圆心的确定
(1)已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和
出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图3 甲所示，P 为入射点，M 为出射点)．
图3
(2)已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出
射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P 为入射点，M 为出射
点)．
3．半径的确定
可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小．
4．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ 时，其运动时间表示为
t＝T(或t＝)．
[题型专练4]. （2023 春•玉林期末）在现代科学技术中，利用云室进行粒子物理实验。在
一个云室中，创建了一个磁感应强度大小为B 的匀强磁场，一个质量为m、速度为v 的电中性
粒子在A 点分裂成质量相等的异号电荷粒子a 和b，如图所示，a、b 在磁场中的径迹是两条相
切的圆弧，半径之比rₐ：rb＝6：1，相同时间内的径迹长度之比sa：sb＝3：1，不计重力及粒
子间的相互作用力，则下列说法正确的是（ ）
4
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A．粒子a 电性为正
B．粒子a、b 的动量之比pa：pb＝1：3
C．粒子a、b 在磁场中做圆周运动的周期之比Tₐ：Tb＝1：2
D．粒子b 的动量大小pb= 1
4 mv
【解答】解：A．由图中知粒子a 顺时针分析偏转，根据左手定则可知，粒子a 带负电，故A 错
误；
B．已知相同时间内的径迹长度之比为：sa：sb＝3：1
由线速度v= s
t ，可知粒子a、b 的速率之比为：va：vb＝sa：sb＝3：1
已知粒子a 和b 的质量相等，即：ma＝mb
粒子a、b 的动量大小之比为：pa：pb＝mava：mbvb＝va：vb＝3：1，故B 错误；
D．电中性粒子分裂过程满足动量守恒定律，以分裂前电中性粒子的速度为正方向，可得：
mv＝pa+pb
由B 选项结论：pa：pb＝3：1
解得粒子b 的动量大小为：pb= 1
4 mv，故D 正确；
C．粒子运动周期：T = 2πr
v '
由B 选项分析有：va：vb＝3：1，已知半径之比ra：rb＝6：1
可得粒子a、b 在磁场中做圆周运动的周期之比为：Ta：Tb= ra
va
× vb
rb
= 6
1 × 1
3 =2：1，故C 错误。
故选：D。
[题型专练5]. （2023 春•房山区期中）如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中，有a、b
两个电子从同一处沿垂直磁感线方向开始运动，a 的初速度为v，b 的初速度为2v，则
（ ）
A．a 做圆周运动的轨道半径大
5
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B．b 做圆周运动的周期大
C．a、b 同时回到出发点
D．a、b 在纸面内做逆时针方向的圆周运动
【解答】解：A、电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
evB＝mv
2
ra
，e×2vB＝m(2v)
2
rb
，解得：ra= mv
eB ，rb= 2mv
eB =2ra，a 做圆周运动的轨道半径小，故
A 错误；
BC、电子在磁场中做匀速圆周运动的周期T= 2πr
v
= 2πm
eB ，电子做匀速圆周运动的周期与电子
的速度无关，两电子做匀速圆周运动的周期相等，两电子同时回到出发点，故B 错误，C 正确；
D、由左手定则可知，电子刚射入磁场时电子所受洛伦兹力水平向右，电子沿顺时针方向做匀速
圆周运动，故D 错误。
故选：C。
[题型专练6]. （2023•沙坪坝区校级模拟）如图所示，空间中分布有垂直纸面向里的匀强
磁场，磁感应强度为B，有一质量为M，电荷量为q（q＞0）的粒子静止在O 点。某时刻，该
粒子炸裂成P、Q 两部分，P 粒子质量为M
3 、电荷量为q
3 ，Q 粒子质量为2 M
3 、电荷量为2q
3 。
不计粒子重力，则下列说法正确的是（ ）
A．P 粒子与Q 粒子半径之比r1：r2＝2：1
B．P 粒子与Q 粒子半径之比r1：r2＝1：2
C．P 粒子与Q 粒子周期之比T1：T2＝2：1
D．P 粒子与Q 粒子周期之比T1：T2＝1：2
【解答】解：AB、粒子炸裂过程动量守恒，根据动量守恒定律可得P、Q 两部分的动量大小相
等，再根据洛伦兹力提供向心力，有qvB = m v
2
r
，解得粒子的轨迹半径r= mv
qB = p
qB ；
6
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由此可知P 粒子和Q 粒子的半径之比与电荷量成反比，即r1
r2
= q2
q1
=
2
3 q
1
3 q
=2，故A 正确，B 错误；
CD 、粒子的周期公式T= 2πr
v
= 2πm
qB ，据此可知P 粒子与Q 粒子周期之比
T 1
T 2
=
2π m1
q1B
2π m2
q2B
= m1q2
m2q1
=
M
3 × 2q
3
2 M
3 × q
3
=1，故CD 错误。
故选：A。
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动
带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图7 所示)
图7
2．平行边界(存在临界条件，如图8 所示)
图8
3．圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图9 所示)
图9
7
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4．分析带电粒子在匀强磁场中运动的关键是：
(1)画出运动轨迹；
(2)确定圆心和半径；
(3)利用洛伦兹力提供向心力列式．
类别
特点
图示
直线
边界
进出磁
场具有
对称性
平行
边界
存在临界条件
圆形
边界
沿径向射
入必沿径
向射出
环形
边界
与边界相切
类型1 带电粒子在直线边界磁场中运动
[题型专练7]. （2023 秋•浑南区校级期中）如图所示，质量均为m、电荷量大小均为q 的
正离子，从磁场边界上的一点A 以初速度v0（与磁场边界夹角为30°）射入到匀强磁场中。已
知磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，重力忽略不计。则（ ）
A．该粒子可能从图中C 点离开
B．该粒子在磁场中运动的轨道半径为m v0
Bq
C．该粒子在磁场中运动的时间为πm
3 Bq
8
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D．该粒子离开磁场的位置与A 点的距离为2mv0
Bq
【解答】解：A、该粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，作出粒子轨迹示
意图，见下图，粒子从A 点左侧D 点离开磁场，故A 错误；
B、由洛伦兹力提供向心力，对粒子有：q v0 B = m v0
2
R
，解得：R = mv0
qB ，故B 正确；
C、根据几何关系有，粒子在磁场中转过的圆心角为θ = 5 π
3 ，则有粒子在磁场中运动的时间为t
= θ
2π T=
5
3 π
2π
•2πm
qB = 5 πm
3qB ，故C 错误；
D、该粒子离开磁场的位置与A 点的距离为x =2× R×sin30° = mv0
Bq ，故D 错误。
故选：B。
[题型专练8]. （2023•贵州开学）如图所示，在水平虚线MN 边界的下方是一垂直纸面向
里的匀强磁场，现有两个带正电的粒子，带电粒子1 的质量为m1，电荷量为q1，带电粒子2
的质量为m2，电荷量为q2，已知m1＝m2，q1＝2q2，先后从边界上的A 点沿与虚线成θ 角的方
向射入磁场，两粒子均从B 点射出磁场。不计粒子受到的重力，则（ ）
A．粒子1 与粒子2 在磁场中运动的时间相等
B．粒子1 与粒子2 在磁场中运动的动能相同
C．粒子1 与粒子2 在磁场中运动的速度大小之比为2：1
D．粒子1 与粒子2 在磁场中运动的轨道半径之比为2：1
【解答】解：AD．根据题意可知，两粒子从同一点沿相同的方向射入磁场，然后从同一点离开
9
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磁场，粒子在磁场中做匀速圆周运动，则它们在磁场中运动的轨迹相同，运动时间为
t = θ
2π T = θm
qB
两粒子的运动轨迹相同，则它们的轨道半径也一定相同，因为q 不同，所以运动时间不相等，故
AD 错误；
C．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
qvB =m v
2
r
解得r = mv
qB
设粒子1 在磁场中运动的速度大小为v1，粒子2 在磁场中运动的速度大小为v2，则有
m1v1
q1B = m2v2
q2B
解得
v1
v2
= m2q1
m1q2
= 2
1，故C 正确；
B．设粒子1 的动能为E1，粒子2 的动能为E2，则有
E1
E2
=
1
2 m1v1
2
1
2 m2v2
2 = 4
1 ，故B 错误。
故选：C。
[题型专练9]. （2023•东莞市校级模拟）如图所示，质量为m、电荷量为q 的带正电粒子
从M 点以大小为v0、方向与竖直方向成θ 角斜向下的初速度垂直于磁场方向射入边界线竖直
的匀强磁场，最后从边界上的N 点射出磁场。已知磁场的磁感应强度大小为B，不计粒子受到
的重力，则M、N 两点间的距离为（ ）
A．mv0cosθ
qB
B．mv0 sinθ
qB
10
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C．2mv0cosθ
qB
D．2mv0 sinθ
qB
【解答】解：设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律：q v0 B =m v0
2
r
根据几何关系可知，M、N 两点间的距离：d＝2rcos（90°﹣θ）
联立解得：d = 2mv0 sinθ
qB
，故ABC 错误，D 正确。
故选：D。
类型2 带电粒子在圆形边界磁场中运动
[题型专练10].（2022 秋•香坊区校级期末）如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直
于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在
纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分
之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在四分之一圆周上。不计重力及带电粒
子之间的相互作用，则v1：v2为（ ）
A．√2：1
B．√2：√3
C．1：√2
D．√3：√2
【解答】解：当粒子的速度为v1时，粒子出射点分布在六分之一圆周，则粒子能达到的最远的
位置为如图所示的A 点，设粒子的轨道半径为r1，磁场的半径为R
根据图中的几何关系满足2r1= PA = R
当粒子的速度为v2时，粒子能到达的最远的位置为B 点，设粒子的轨道半径为r2，同理可得
11
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根据几何关系可得2r2= PB =√2 R
即
r1
r2
= 1
√2
而由于r = mv
qB
可得
v1
v2
= 1
√2
故选：C。
[题型专练11].（2023 春•东莞市校级月考）如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，
带电粒子从圆周上的M 点沿直径MON 方向射入磁场。粒子第一次在磁场中运动的轨迹半径为
r1，离开磁场时速度方向偏转90°；第二次在磁场中运动的轨迹半径为r2，离开磁场时速度方
向偏转60°，不计重力，则r1
r2
为（ ）
A．1
2
B．√3
3
C．√3
2
D．3
【解答】解：粒子沿半径方向进入磁场，出射时速度方向反向延长线过圆心，作出两种情况下
粒子轨迹对应的半径，如图所示：
12
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设磁场所在圆的半径为R，根据几何关系可得：r1＝R
第二次粒子离开磁场时速度方向偏转60°，则θ= 1
2 ×60° =30°
所以有：r2=
R
tanθ =
R
tan30° =√3R
则
r1
r2
=
R
√3 R = √3
3 ，故B 正确、ACD 错误。
故选：B。
[题型专练12].（2023 春•新乡期末）如图所示，一半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向
里的匀强磁场，一负电荷（所受重力忽略不计）沿正对着圆心O 的方向射入磁场，从磁场中
射出时速度方向改变了θ 角。则带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为（ ）
A．
R
tan θ
2
B．Rtan θ
2
C．Rsin θ
2
D．Rcos θ
2
【解答】解：根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示
13
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在直角三角形中，由几何关系有：R
r = tan θ
2
解得粒子做匀速圆周运动的半径：r =
R
tan θ
2
，故BCD 错误，A 正确。
故选：A。
类型3 带电粒子在矩形边界磁场中运动
[题型专练13].（2023 秋•兴庆区校级期中）如图所示，一束电子以大小不同的速率沿垂直
于磁场边界线方向飞入正方形区域的匀强磁场（磁场的方向垂直于正方形区域），下列判断正
确的是（ ）
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹越长
B．电子在磁场中圆周运动半径越大，则运动时间越短
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同
【解答】解：A、电子在磁场中做圆周运动的周期：T= 2πr
v
= 2πm
eB 相同，电子在磁场中的运动
时间：t= θ
2π T，电子在磁场中运动时间越长，电子运动轨迹对应的圆心角θ 越大，电子的运动
轨迹不一定越长，故A 错误；
B、电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：evB＝mv
2
r ，解
得：r= mv
eB ，电子速率v 越大，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径越大，但运动时间不一
定越短，如从磁场右边界射出磁场的电子轨道半径不同但运动时间相等，半径大的电子运动时
14
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间不一定短，故B 错误；
C、从磁场左边界离开磁场的电子在磁场中的运动时间相等，电子速度不同运动轨迹不同，由此
可知，运动时间相同的电子运动轨迹不一定重合，故C 正确；
D、电子在磁场中做圆周运动的周期：T= 2πr
v
= 2πm
eB 相同，电子在磁场中的运动时间：t= θ
2π
T，电子运动轨迹对应的圆心角θ 相同，电子在磁场中的运动时间相等，它们的速率不一定相同，
如从磁场右边界离开磁场的电子运动时间相同而速率不同，故D 错误。
故选：C。
[题型专练14].（2023 春•广州期末）如图所示的虚线框内有一垂直纸面向里的匀强磁场，
一束粒子以不同速率垂直于磁场方向，沿图中方向射入磁场后，分别从A、B、C 三点射出磁
场，设其在磁场中运动的时间分别为tA、tB、tC，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．从A 点出射粒子速度最大
C．tA＞tB
D．tB＜tC
【解答】解：A、粒子从A、B、C 射出，受到向右的洛伦兹力，根据左手定则，粒子带负电，
故A 正确；
B、根据qvB =m v
2
r
解得v = qrB
m
三种情况下从A、B、C 射出的轨迹如图所示
根据粒子的轨迹可知，粒子从A 射出的半径最小，则A 速度最小，故B 错误；
CD、以看出从粒子从A、B 射出偏转了180°，从C 射出的偏转角小于180°，而在磁场中运动的
时间取决于圆心角的大小，即
15
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t =
α
360° T
粒子在磁场中做圆周运动的周期
T = 2πm
qB
可知
tA＝tB＞tC，故CD 错误。
故选：A。
[题型专练15].（多选）（2023•叙州区校级二模）如图所示，在正方形MNPQ 中存在垂直
纸面向里的匀强磁场，比荷相同、电性可能不同的带电粒子a、b、c 自MN 中点O 以垂直MN
方向的不同大小的速度射入磁场，轨迹如图，粒子分别自P 点、QM 中点、N 点离开磁场，不
计粒子重力和粒子之间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．粒子a、b、c 的速率之比va：vb：vc＝4：2：1
B．粒子a、b、c 的速率之比va：vb：vc＝5：2：1
C．粒子a、c 在磁场中运动的时间之比ta：tc＝1：4
D．粒子b、c 在磁场中运动的时间之比tb：tc＝1：2
【解答】解：AB、设正方形边长为L.根据几何关系ra
2=L2+（ra- L
2 ）2，解得：ra= 5
4 L.同理根据
几何关系解得：rb= 1
2L，rc= 1
4 L
根据洛伦兹力提供向心力有：qvB＝mv
2
r
解得半径之比即为速率之，即粒子a、b、c 的速率之比va：vb：vc＝5：2：1，故A 错误，B 正确；
CD、在磁场中的运动时间t= θ
2π T
则粒子在磁场运动的时间正比于转过的圆心角，b 圆心角为90°.c 圆心角为180°，a 圆心角不等
于45°，所以粒子b、c 在磁场中运动的时间之比tb：tc＝1：2，粒子a、c 在磁场中运动的时间之
16
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比ta：tc≠1：4，故C 错误，D 正确。
故选：BD。
类型4 带电粒子在三角形边界磁场中运动
[题型专练16].（2023•兰州模拟）如图所示，直角三角形ABC 区域内存在垂直于纸面向里
的匀强磁场，∠B＝90°，∠C＝30°。某种带电粒子（重力不计）以不同速率从BC 边上D 点垂
直BC 边射入磁场，速率为v1时粒子垂直AC 边射出磁场，速率为v2时粒子从BC 边射出磁场
且运动轨迹恰好与AC 边相切，粒子在磁场中运动轨迹半径为r1、r2，运动时间为t1、t2。下列
说法正确的是（ ）
A．粒子带正电
B．r1：r2＝2：1
C．v1：v2＝3：1
D．t1：t2＝1：4
【解答】解：A、由题意可知粒子在磁场中顺时针偏转，由左手定则判断可知粒子带负电，故A
错误；
B、根据题意做出粒子在磁场中运动的轨迹如下图所示：
由图中几何关系可得：r1＝r2+
r2
sin∠C
解得粒子在磁场中运动得半径之比：r1：r2＝3：1，故B 错误；
C、根据洛伦兹力充当向心力有：Bqv =m v
2
r
，解得粒子在磁场中运动时的速度：v = Bqr
m
由此可知粒子在磁场中运动的速度之比等于轨迹半径之比，即v1：v2＝r1：r2＝3：1，故C 正确；
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D、根据粒子在磁场中运动得轨迹可知，速率为v1时粒子在场中偏转了30°，速率为v2时粒子在
磁场中偏转了180°，而同一种粒子在相同磁场中运动得周期相同均为：T = 2πm
qB ，则可知粒子
在磁场中运动的时间之比等于偏转角度之比，即t1：t2＝30°：180°＝1：6，故D 错误。
故选：C。
[题型专练17].（2023•安徽开学）如图所示，在直角三角形abc 区域（含边界）内存在垂
直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，ac＝2ab，边长bc＝L，一个粒子源在a 点将
质量为3m、电荷量为q 的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间
最长的粒子中，下列说法正确的是（ ）
A．粒子运动时间为πm
3qB
B．入射点与出射点的间距为√3 L
C．粒子运动速度的最大值为√3qBL
6m
D．与ac 边的最大距离为√3 L
6
【解答】解：根据题意可知，粒子沿ab 边界方向射入磁场从ac 边射出磁场时转过的圆心角最大，
粒子在磁场中的运动时间最长，粒子速度最大时运动轨迹与bc 相切，粒子运动轨迹，如图所示
由几何关系可得∠a＝60°，∠b＝90°，bc＝L
则ab= √3
3 L
因为四边形abdO 是正方形，所以粒子做圆周运动的半径r = √3
3 L
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粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得q vm B =3m vm
2
r
解得vm= √3qBL
9m
则粒子在磁场中运动的时间为t = 1
3 T = 2πm
qB
入射点与出射点的间距为d =√3r = L 解得r = √3 L
3
与ac 边的最大距离为d2=r -rsin30° = 1
2 r = √3 L
6
，故ABC 错误，D 正确。
故选：D。
[题型专练18].（2022 秋•沙坪坝区校级期末）如图所示，在直角三角形ABC 内存在垂直纸
面向外的匀强磁场，AB 边长度为d，∠C = π
6 ，现垂直AB 边以相同的速度射入一群质量均为
m、电荷量均为q 的带正电粒子（粒子不计重力、不考虑电荷间的相互作用），已知垂直AC
边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，则下列判断中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的最长时间为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小是πm
4 qt0
C．如果粒子带的是负电，不可能有粒子垂直BC 边射出磁场
D．若有粒子能再次回到AB 边，则该粒子在磁场中运动的速度最大为π(2√3-3)d
2t0
【解答】解：AB、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的
时间是t0= 1
4 T，则得周期T＝4t0
则粒子又回到AB 边处磁场时，其运动时间最长，在磁场中运动的最长时间为2t0；结合周期公
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式T = 2πm
qB 可得磁感应强度B = 2πm
qT = πm
2qt0
，故AB 错误；
C、如果粒子带的是负电，粒子向上偏转，以B 点为圆心，转过的圆心角为π
3 的粒子垂直BC 边
射出磁场，故C 错误；
D、若有粒子能再次回到AB 边，转过的圆心角为π，最长半径如图所示
由几何关系可得最大半径为rmax = m vmax
qB
=√3d ⋅tan π
12
解得：vmax = qBrmax
m
= π(2√3-3)d
2t0
，故D 正确。
故选：D。
题型四 带电粒子在磁场运动的临界和极值问题
（1）动态放缩法
当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v 大小或磁场的强弱B 变化时，粒子做圆周
运动的轨道半径r 随之变化。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放
缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件。如图所示，粒子进入长方形边界OABC 形成的临界
情景为②和④。
图
（2）定圆旋转法
当带电粒子射入磁场时的速率v 大小一定，但射入的方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径
r 是确定的。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨
迹，从而探索出临界条件，如图所示为粒子进入单边界磁场时的情景。
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类型1 带电粒子在磁场中运动的临界问题
[题型专练19].（2023 秋•桃城区校级期中）如图，垂直于纸面向里的匀强磁场存在于两个
同心圆之间，内圆的半径为2R，外圆的半径为3R。一带电粒子以一定速度正对圆心射入该磁
场区域，轨迹恰好与内圆相切，不计粒子重力，则该粒子的轨道半径为（ ）
A．3
4 R
B．1
2 R
C．5
4 R
D．5
8 R
【解答】解：粒子的运动轨迹如图所示
设粒子轨道半径为r，由几何关系可得r2+（3R）2﹣（2R+r）2
解得r = 5
4 R
故C 正确，ABD 错误。
故选：C。
[题型专练20].（2022 秋•香坊区校级期末）如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为
B 的匀强磁场被边长为L 的等边三角形AOC 分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形
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顶点A 处有一质子源，能沿∠OAC 的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有
质子均能通过C 点，质子比荷q
m =k，则以下说法正确的是（ ）
A．质子的速度可能为2
3 BkL
B．质子的速度可能为2
5 BkL
C．质子由A 到C 的时间可能为2π
3kB
D．质子由A 到C 的时间可能为π
4 kB
【解答】解：AB．因质子带正电，且经过C 点，质子在三角形内磁场中可能的轨迹如图所示
所有圆弧所对圆心角均为60°，质子可能的运动半径r = L
n （n＝1，2，3，…）
质子在三角形内磁场中，由洛伦兹力提供向心力得Bqv =m v
2
r
即v = Bqr
m = Bk L
n （n＝1，2，3，…）
则质子的速度不可能为2
3 BkL和2
5 BkL，故AB 错误；
CD．由周期公式可知，质子由A 到C 的时间可能为
t = 1
6 ×n× 2πm
qB = nπm
3qB = nπ
3kB （n＝1，2，3，…）
故C 正确；D 错误。
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故选：C。
[题型专练21].（2023 春•德阳期末）如图所示，竖直平行线MN、PQ 间距离为a，其间存
在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），磁感应强度大小为B，MN 上O 处的粒子源能沿
不同方向释放速度大小相等、方向均垂直磁场的带负电粒子，电荷量为q，质量为m。粒子间
的相互作用及重力不计，其中沿θ＝60°射入的粒子，恰好垂直PQ 射出，则（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为√3a
B．粒子的速率为aqB
m
C．沿θ＝60°射入的粒子，在磁场中的运动时间为πm
3qB
D．PQ 边界上有粒子射出的长度为2√3a
【解答】解：AB、粒子沿θ＝60°射入时，恰好垂直PQ 射出，则粒子在磁场中转过30°，如图所
示
所以有Rsin30°＝a
解得R＝2a
由洛伦兹力提供向心力qBv =m v
2
r
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则v = 2aqB
m
故AB 错误；
C、沿θ＝60°射入的粒子，在磁场中的运动时间为t = 30°
360° T = 1
12 × 2πR
v
= πR
6 v = πm
6qB
故C 错误；
D、θ＝0°时，粒子离开磁场在PQ 上O 的水平线上方√3a处
当θ 增大时，粒子离开磁场在PQ 上的位置下移，直到粒子运动轨迹与PQ 相切；θ 继续增大，
则粒子不能从PQ 边界射出；粒子运动轨迹与PQ 相切时，由半径R＝2a，可知，粒子转过的角
度为60°，所以，出射点在O 的水平线下方√3a处；所以，PQ 边界上有粒子射出的长度为
2√3a，故D 正确。
故选：D。
类型2 带电粒子在磁场中运动的极值问题
[题型专练22].（2023•甘肃二模）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向
外，其边界如图中虚线所示，bc 为半径为r 的半圆，ab、cd 与直径bc 共线，ab 间的距离等于
半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内从a 点垂直于ab 射入磁场，
这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。从abcd 边界射出磁场所用时间最短的粒
子的速度大小为（ ）
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A．Bqr
m
B．2Bqr
m
C．2Bqr
3m
D．4 Bqr
3m
【解答】解：当轨迹圆弧所对应的弦与bc 半圆形边界相切时，轨迹圆弧所对应的弦与ab 的夹角
最大，那么轨迹的圆心角θ 最小，运动时间最短，其轨迹如图所示，圆心恰好位于b 点，由r
= mv
qB ，解得v= Bqr
m ，故A 正确，BCD 错误；
故选：A。
[题型专练23].（2023 秋•宁波期中）如图所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强
度为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD 和EF，速度为v 的电子从边界CD 外
侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入射方向跟CD 的夹角为θ，已知电子的质量为m、带电荷量
为e，为使电子能从另一边界EF 射出，电子的速率应满足的条件是（ ）
A．v＞
Bed
m(1+cosθ)
B．v＜
Bed
m(1+cosθ)
C．v＞
Bed
m(1+ sinθ)
D．v＜
Bed
m(1+ sinθ)
【解答】解：电子从EF 射出的临界条件为到达边界EF 时，速度与EF 平行，轨迹与EF 相切，
电子运动轨迹如图所示；
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由几何知识得：R+Rcosθ＝d
解得：R=
d
1+cosθ ，
电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：evB＝mv
2
R
解得：v=
eBd
m(1+cosθ)，
电子要从EF 边界射出，电子速度：v＞
eBd
m(1+cosθ)，故A 正确，BCD 错误；
故选：A。
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