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专题20 电学综合计算题
一、解答题
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，水平桌面上固定一光滑U 型金属导轨，其平行
部分的间距为，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区
域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为
。一质量为
、电阻为
、长度
也为的金属棒P 静止在导轨上。导轨上质量为
的绝缘棒Q 位于P 的左侧，以大小
为
的速度向P 运动并与P 发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P 和Q 先后
从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点。P 在导轨上运动时，两端与导轨
接触良好，P 与Q 始终平行。不计空气阻力。求
（1）金属棒P 滑出导轨时的速度大小；
（2）金属棒P 在导轨上运动过程中产生的热量；
（3）与P 碰撞后，绝缘棒Q 在导轨上运动的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由于绝缘棒Q 与金属棒P 发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可
得
联立解得
，
由题知，碰撞一次后，P 和Q 先后从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点，
则金属棒P 滑出导轨时的速度大小为
1
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（2）根据能量守恒有
解得
（3）P、Q 碰撞后，对金属棒P 分析，根据动量定理得
又
，
联立可得
由于Q 为绝缘棒，无电流通过，做匀速直线运动，故Q 运动的时间为
2．（2023·全国·统考高考真题）如图，等边三角形
位于竖直平面内，AB 边水平，
顶点C 在AB 边上方，3 个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB 边中点M
处的电场强度方向竖直向下，BC 边中点N 处的电场强度方向竖直向上，A 点处点电荷
的电荷量的绝对值为q，求
（1）B 点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3 个点电荷的正负；
（2）C 点处点电荷的电荷量。
【答案】（1）
，A、B、C 均为正电荷；（2）
【详解】（1）因为M 点电场强度竖直向下，则C 为正电荷，根据场强的叠加原理，
可知A、B 两点的电荷在M 点的电场强度大小相等，方向相反，则B 点电荷带电量为
，电性与A 相同，又
点电场强度竖直向上，可得
处电荷在
点的场强垂直BC
2
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沿AN 连线向右上，如图所示
可知A 处电荷为正电荷，所以A、B、C 均为正电荷。
（2）如图所示
由几何关系
即
其中
解得
3．（2023·天津·统考高考真题）如图，有一正方形线框，质量为m，电阻为R，边长
为l，静止悬挂着，一个三角形磁场垂直于线框所在平面，磁感线垂直纸面向里，且线
框中磁区面积为线框面积一半，磁感应强度变化B = kt（k > 0），己知重力加速度
g，求：
（1）感应电动势E；
（2）线框开始向上运动的时刻t0；
3
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律有
（2）由图可知线框受到的安培力为
当线框开始向上运动时有
mg = FA
解得
4．（2023·浙江·统考高考真题）某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图
所示，它由两根竖直导轨、承载火箭装置（简化为与火箭绝缘的导电杆MN）和装置A
组成，并形成闭合回路。装置A 能自动调节其输出电压确保回路电流I 恒定，方向如
图所示。导轨长度远大于导轨间距，不论导电杆运动到什么位置，电流I 在导电杆以
上空间产生的磁场近似为零，在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小
（其中k 为常量），方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的
磁场近似为匀强磁场，大小
，方向与B1相同。火箭无动力下降到导轨顶端时
与导电杆粘接，以速度v0进入导轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落
4
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停。已知火箭与导电杆的总质量为M，导轨间距
，导电杆电阻为R。导电杆
与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻力和摩擦力，不计导轨电阻和装置A 的内阻。
在火箭落停过程中，
（1）求导电杆所受安培力的大小F 和运动的距离L；
（2）求回路感应电动势E 与运动时间t 的关系；
（3）求装置A 输出电压U 与运动时间t 的关系和输出的能量W；
（4）若R 的阻值视为0，装置A 用于回收能量，给出装置A 可回收能量的来源和大小。
【答案】（1）3Mg；
；（2）
；（3）
；
；（4）装置A 可回收火箭的动能和重力势能；
【详解】（1）导体杆受安培力
方向向上，则导体杆向下运动的加速度
解得
a=-2g
导体杆运动的距离
（2）回路的电动势
5
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其中
解得
（3）右手定则和欧姆定律可得：
可得
电源输出能量的功率
在
时间内输出的能量对应
图像的面积，可得：
（4）装置A 可回收火箭的动能和重力势能，及磁场能；从开始火箭从速度v0到平台速
度减为零，则
若R 的阻值视为0
装置A 可回收能量为
5．（2023·山东·统考高考真题）如图所示，在
，
的区域中，存在
沿y 轴正方向、场强大小为E 的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀
强磁场。一个质量为m，电量为q 的带正电粒子从OP 中点A 进入电场（不计粒子重
力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN 第二次离开电场后，垂直NP 再次进
6
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入电场，求磁场的磁感应强度B 的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A 点沿y 轴正方向第一次进入电场、
离开电场后从P 点第二次进入电场，在电场的作用下从Q 点离开。
（i）求改变后电场强度
的大小和粒子的初速度
；
（ii）通过计算判断粒子能否从P 点第三次进入电场。
【答案】（1）
；（2）（i）
，
；（ii）不会
【详解】（1）由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
粒子从上边界垂直QN 第二次离开电场后，垂直NP 再次进入电场，轨迹如图
根据几何关系可知
联立可得
（2）（i）由题意可知，做出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图
7
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在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知
解得
所以有
，
洛伦兹力提供向心力
带电粒子从A 点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有
再一次进入电场后做类似斜抛运动，沿x 方向有
沿y 方向上有
其中根据牛顿第二定律有
联立以上各式解得
8
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（ii）粒子从P 到Q 根据动能定理有
可得从Q 射出时的速度为
此时粒子在磁场中的半径
根据其几何关系可知对应的圆心坐标为
，
而圆心与P 的距离为
故不会再从P 点进入电场。
6．（2023·山东·统考高考真题）电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭
火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，
设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正
对高楼，与高楼之间的水平距离
，灭火弹出膛速度
，方向与水平面
夹角
，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小
，
。
（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
（2）已知电容器储存的电能
，转化为灭火弹动能的效率
，灭火弹
的质量为
，电容
，电容器工作电压U 应设置为多少？
9
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【答案】（1）60m；（2）
【详解】（1）灭火弹做斜向上抛运动，则水平方向上有
竖直方向上有
代入数据联立解得
（2）根据题意可知
又因为
联立可得
7．（2023·北京·统考高考真题）2022 年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁撬”，
创造了大质量电磁推进技术的世界最高速度纪录。一种两级导轨式电磁推进的原理如
图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面，导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导
轨无摩擦滑行，且始终与导轨接触良好，电流从一导轨流入，经过金属棒，再从另一
导轨流回，图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场，磁感
应强度B 与电流i 的关系式为
（k 为常量）。金属棒被该磁场力推动。当金属棒
由第一级区域进入第二级区域时，回路中的电流由I 变为
。已知两导轨内侧间距为
L，每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金属棒的质量为m。求：
（1）金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小F；
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（2）金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比
；
（3）金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小v。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由题意可知第一级区域中磁感应强度大小为
金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小为
（2）根据牛顿第二定律可知，金属棒经过第一级区域的加速度大小为
第二级区域中磁感应强度大小为
金属棒经过第二级区域时受到安培力的大小为
金属棒经过第二级区域的加速度大小为
则金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比为
（3）金属棒从静止开始经过两级区域推进后，根据动能定理可得
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解得金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小为
8．（2023·天津·统考高考真题）信号放大器是一种放大电信号的仪器，如图1，其可
以通过在相邻极板间施加电压，使阴极逸出的电子，击中极板时，激发出更多电子，
从而逐级放大电信号。己知电子质量m，带电量e。
（1）如图2，在极板上建系。极板上方空间内存在磁场，其强度为B，方向平行z 轴。
极板间电压U 极小，几乎不影响电子运动。如图，某次激发中，产生了2 个电子a 和
b，其初速度方向分别在xOy 与zOy 平面内，且与y 轴正方向成
角，则：
（i）判断B 的方向；
（ii）a、b 两个电子运动到下一个极板的时间
和
；
（2）若单位时间内阴极逸出的电子数量不变，每个电子打到极板上可以激发出
个电
子，且
，阳极处接收电子产生的电流为I，在答题纸给出坐标系里画出表示U 和
I 关系的图像并说出这样画的理由。
【答案】（1）（ⅰ）沿z 轴反方向；（ⅱ）
，
（2）见解析
【详解】（1）（ⅰ）a 电子，初速度方向在xoy 平面内，与y 轴正方向成θ 角；若磁
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场方向沿z 轴正方向，a 电子在洛伦兹力作用下向x 轴负方向偏转，不符合题题意；若
磁场方向沿z 轴反方向，a 电子在洛伦兹力作用下向x 轴正方向偏转，符合题意；
b 电子，初速度方向在zoy 平面内，与y 轴正方向成θ 角。将b 电子初速度沿坐标轴分
解，沿z 轴的分速度与磁感线平行不受力，沿y 轴方向的分速度受到洛伦兹力使得电子
沿x 轴正方向偏转，根据左手定则可知，磁场方向沿z 轴反方向。符合题意；
综上可知，磁感应强度B 的方向沿z 轴反方向。
（ⅱ）a 电子在洛伦兹力作用下运动轨迹如图，由图可知电子运动到下一个极板的时
间
b 电子，沿z 轴的分速度与磁感线平行不受力，对应匀速直线运动；沿y 轴方向的分速
度受到洛伦兹力使电子向右偏转，电子运动半个圆周到下一个极板的时间
（2）设
，单位时间内阴极逸出的电子数量N0不变，每个电子打到极板上可以
激发δ 个电子，经过n 次激发阳极处接收电子数量
对应的电流
可得I-U 图像如图
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9．（2023·海南·统考高考真题）如图所示，U 形金属杆上边长为
，质量为
，下端插入导电液体中，导电液体连接电源，金属杆所在空间有垂直纸
面向里
的匀强磁场。
（1）若插入导电液体部分深
，闭合电键后，金属杆飞起后，其下端离液面
高度
，设杆中电流不变，求金属杆离开液面时的速度大小和金属杆中的电流
有多大；
（2）若金属杆下端刚与导电液体接触，改变电动势的大小，通电后金属杆跳起高度
，通电时间
，求通过金属杆截面的电荷量。
【答案】（1）
，4A；（2）0.085C
【详解】（1）对金属杆，跳起的高度为
，竖直上抛运动由运动学关系式
解得
通电过程金属杆收到的安培力大小为
由动能定理得
解得
（2）对金属杆，通电时间
，由动量定理有
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由运动学公式
通过金属杆截面的电荷量
联立解得
10．（2023·辽宁·统考高考真题）如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板
长是板间距离的
倍。金属板外有一圆心为O 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大
小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子沿中
线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P 点飞出电场，并沿PO 方向从图
中O'点射入磁场。己知圆形磁场区域半径为
，不计粒子重力。
（1）求金属板间电势差U；
（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ；
（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动
时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的侧形磁场区
域的圆心M。
【答案】（1）
；（2）
或
；（3）
【详解】（1）设板间距离为
，则板长为
，带电粒子在板间做类平抛运动，两板
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间的电场强度为
根据牛顿第二定律得，电场力提供加速度
解得
设粒子在平板间的运动时间为
，根据类平抛运动的运动规律得
，
联立解得
（2）设粒子出电场时与水平方向夹角为
，则有
故
则出电场时粒子的速度为
粒子出电场后沿直线匀速直线运动，接着进入磁场，根据牛顿第二定律，洛伦兹力提
供匀速圆周运动所需的向心力得
解得
已知圆形磁场区域半径为
，故
粒子沿
方向射入磁场即沿半径方向射入磁场，故粒子将沿半径方向射出磁场，粒子
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射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为
，则粒子在磁场中运动圆弧轨迹对应的
圆心角也为
，由几何关系可得
故粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为
或
；
（3）带电粒子在该磁场中运动的半径与圆形磁场半径关系为
，根据几何关系
可知，带电粒子在该磁场中运动的轨迹一定为劣弧，故劣弧所对应轨迹圆的弦为磁场
圆的直径时粒子在磁场中运动的时间最长。则相对应的运动轨迹和弦以及圆心M 的位
置如图所示：
11．（2023·江苏·统考高考真题）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。
Oxy 平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为
B。质量为m、电荷量为e 的电子从O 点沿x 轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电
子沿x 轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在
最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
（1）求电场强度的大小E；
（2）若电子入射速度为
，求运动到速度为
时位置的纵坐标y1；
（3）若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标
位置的
电子数N 占总电子数N0的百分比。
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【答案】（1）v0B；（2）
；（3）90%
【详解】（1）由题知，入射速度为v0时，电子沿x 轴做直线运动则有
Ee = ev0B
解得
E = v0B
（2）电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛
伦兹力不做功，且由于电子入射速度为
，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电
子向上偏转，根据动能定理有
解得
（3）若电子以v 入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理
有
由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有
F 合 = evmB－eE
在最低点有
F 合 = eE－evB
联立有
要让电子达纵坐标
位置，即
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y ≥ y2
解得
则若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，能到达纵坐标
位置的电子
数N 占总电子数N0的90%。
12．（2023·浙江·统考高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。
如图所示，Oxy 平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x 轴的
区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度
大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x 轴重合。位于
处的
离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x 轴夹角为60°的正离子束，沿纸
面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t；
（2）若
，求能到达
处的离子的最小速度v2；
（3）若
，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在
范围，
求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。
【答案】（1）
；
（2）
（3）60%
【详解】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系
解得
r1=2L
根据
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解得
在磁场中运动的周期
运动时间
（2）若B2=2B1，根据
可知
粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2与磁场边界夹角为α，由几何关系
解得
r2=2L
根据
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解得
（3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x 轴，则由动量定理
即
求和可得
粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x 轴上的过程中
解得
则速度在
~
之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围
在
~
，又粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象
限的粒子占粒子总数的比例为
η=60%
13．（2023·山西·统考高考真题）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板
上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密
度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b 在重力和空气阻力的作用下竖直向下
匀速运动，速率分别为v0、
；两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快
达到相同的速率
，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油
滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
（1）求油滴a 和油滴b 的质量之比；
21
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（2）判断油滴a 和油滴b 所带电荷的正负，并求a、b 所带电荷量的绝对值之比。
【答案】（1）8:1；（2）油滴a 带负电，油滴b 带正电；4:1
【详解】（1）设油滴半径r，密度为ρ，则油滴质量
则速率为v 时受阻力
则当油滴匀速下落时
解得
可知
则
（2）两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率
，可知
油滴a 做减速运动，油滴b 做加速运动，可知油滴a 带负电，油滴b 带正电；当再次匀
速下落时，对a 由受力平衡可得
其中
对b 由受力平衡可得
22
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其中
联立解得
14．（2023·湖南·统考高考真题）如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨
间距为
，两导轨及其所构成的平面均与水平面成
角，整个装置处于垂直于导轨平
面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为
．现将质量均为
的金属棒
垂直导
轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为
。运动过程中金属棒与导轨始终垂直
且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为
。
（1）先保持棒
静止，将棒
由静止释放，求棒
匀速运动时的速度大小
；
（2）在（1）问中，当棒
匀速运动时，再将棒
由静止释放，求释放瞬间棒
的加速
度大小
；
（3）在（2）问中，从棒
释放瞬间开始计时，经过时间
，两棒恰好达到相同的速
度，求速度的大小，以及时间
内棒
相对于棒
运动的距离
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）a 导体棒在运动过程中重力沿斜面的分力和a 棒的安培力相等时做匀速
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运动，由法拉第电磁感应定律可得
有闭合电路欧姆定律及安培力公式可得
，
a 棒受力平衡可得
联立记得
（2）由右手定则可知导体棒b 中电流向里，b 棒 沿斜面向下的安培力，此时电路中电
流不变，则b 棒牛顿第二定律可得
解得
（3）释放b 棒后a 棒受到沿斜面向上的安培力，在到达共速时对a 棒动量定理
b 棒受到向下的安培力，对b 棒动量定理
联立解得
此过程流过b 棒的电荷量为q，则有
由法拉第电磁感应定律可得
联立b 棒动量定理可得
15．（2023·湖北·统考高考真题）如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于
xOy 平面向里的匀强磁场。t = 0 时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y 轴正方向
射入，第一次到达点O 时与运动到该点的带正电粒子乙发生正碰。碰撞后，粒子甲的
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速度方向反向、大小变为碰前的3 倍，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两
个圆周。己知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q。假设所有碰撞均为弹性正
碰，碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力
的影响。求：
（1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小；
（2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小；
（3）
时刻粒子甲、乙的位置坐标，及从第一次碰撞到
的过程中粒子
乙运动的路程。（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可）
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）甲（－6a，0），乙（0，0），67πa
【详解】（1）由题知，粒子甲从点P（2a，0）沿y 轴正方向射入到达点O，则说明粒
子甲的半径
r = a
根据
解得
（2）由题知，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周，则
T 甲 = 2T 乙
根据
，有
则
25
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粒子甲、乙碰撞过程，取竖直向下为正有
mv 甲0＋m 乙v 乙0= －mv 甲1＋m 乙v 乙1
解得
v 乙0= －5v 甲0，v 乙1= 3v 甲0
则第一次碰撞后粒子乙的速度大小为
。
（3）已知在
时，甲、乙粒子发生第一次碰撞且碰撞后有
v 甲1= －3v 甲0，v 乙1= 3v 甲0
则根据
，可知此时乙粒子的运动半径为
可知在
时，甲、乙粒子发生第二次碰撞，且甲、乙粒子发生第一次碰撞到第
二次碰撞过程中乙粒子运动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为
S1= 6πa
且在第二次碰撞时有
mv 甲1＋m 乙v 乙1= mv 甲2＋m 乙v 乙2
解得
v 甲2= v 甲0，v 乙2= －5v 甲0
可知在
时，甲、乙粒子发生第三次碰撞，且甲、乙粒子发生第二次碰撞到第
三次碰撞过程中乙粒子运动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为
S2= 10πa
且在第三次碰撞时有
mv 甲2＋m 乙v 乙2= mv 甲3＋m 乙v 乙3
解得
26
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v 甲3= －3v 甲0，v 乙3= 3v 甲0
依次类推
在
时，甲、乙粒子发生第九次碰撞，且甲、乙粒子发生第八次碰撞到第九次
碰撞过程中乙粒子运动了2 圈，此过程中乙粒子走过的路程为
S8= 10πa
且在第九次碰撞时有
mv 甲8＋m 乙v 乙8= mv 甲9＋m 乙v 乙9
解得
v 甲9=－3v 甲0，v 乙9= 3v 甲0
在
到
过程中，甲粒子刚好运动半周，且甲粒子的运动半径为
r 甲1 = 3a
则
时甲粒子运动到P 点即（－6a，0）处。
在
到
过程中，乙粒子刚好运动一周，则
时乙粒子回到坐标
原点，且此过程中乙粒子走过的路程为
S0 = 3πa
故整个过程中乙粒子走过总路程为
S = 4 × 6πa＋4 × 10πa＋3πa = 67πa
16．（2023·山西·统考高考真题）一边长为L、质量为m 的正方形金属细框，每边电阻
为R0，置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上。宽度为2L 的区域内存在方向垂直于纸面
的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边界，如图（a）所示。
（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框
始终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，
求金属框的初速度大小。
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R1
= 2R0，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示。让金属框以与（1）中
相同的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终
接触良好。求在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量。
27
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）金属框进入磁场过程中有
则金属框进入磁场过程中流过回路的电荷量为
则金属框完全穿过磁场区域的过程中流过回路的电荷量为
且有
联立有
（2）设金属框的初速度为v0，则金属框进入磁场时的末速度为v1，向右为正方向。由
于导轨电阻可忽略，此时金属框上下部分被短路，故电路中的总电
再根据动量定理有
解得
28
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则在此过程中根据能量守恒有
解得
其中
此后线框完全进入磁场中，则线框左右两边均作为电源，且等效电路图如下
则此时回路的总电阻
设线框刚离开磁场时的速度为v2，再根据动量定理有
解得
v2= 0
则说明线框刚离开磁场时就停止运动了，则再根据能量守恒有
其中
则在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量
17．（2023·浙江·高考真题）探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x
29
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轴上方存在垂直
平面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。x 轴下方的分析器由
两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M 和N 组成，其中位于x 轴的M 板中心有一
小孔C（孔径忽略不计），N 板连接电流表后接地。位于坐标原点O 的离子源能发射
质量为m、电荷量为q 的正离子，其速度方向与y 轴夹角最大值为
；且各个方向均
有速度大小连续分布在
和
之间的离子射出。已知速度大小为
、沿y 轴正方
向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x 轴射入孔C。未能射入孔C 的其它离子被分析
器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的
碰撞。
（1）求孔C 所处位置的坐标
；
（2）求离子打在N 板上区域的长度L；
（3）若在N 与M 板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0 时的电压
；
（4）若将分析器沿着x 轴平移，调节加载在N 与M 板之间的电压，求电流表示数刚为
0 时的电压
与孔C 位置坐标x 之间关系式。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）当
时，
【详解】（1）速度大小为
、沿y 轴正方向射出的离子经磁场偏转后轨迹如图
30
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由洛伦兹力提供向心力
解得半径
孔C 所处位置的坐标
（2）速度大小为的离子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力
解得半径
若要能在C 点入射，则由几何关系可得
解得
如图
31
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由几何关系可得
（3）不管从何角度发射
由（2）可得
根据动力学公式可得
，
联立解得
（4）孔C 位置坐标x
其中
联立可得
，
解得
在此范围内，和（3）相同，只与
相关，可得
解得
32
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根据动力学公式可得
，
解得
18．（2023·浙江·高考真题）如图1 所示，刚性导体线框由长为L、质量均为m 的两根
竖杆，与长为
的两轻质横杆组成，且
。线框通有恒定电流
，可以绕其中心
竖直轴转动。以线框中心O 为原点、转轴为z 轴建立直角坐标系，在y 轴上距离O 为a
处，固定放置一半径远小于a，面积为S、电阻为R 的小圆环，其平面垂直于y 轴。在
外力作用下，通电线框绕转轴以角速度
匀速转动，当线框平面与
平面重合时为
计时零点，圆环处的磁感应强度的y 分量
与时间的近似关系如图2 所示，图中
已
知。
（1）求0 到
时间内，流过圆环横截面的电荷量q；
（2）沿y 轴正方向看以逆时针为电流正方向，在
时间内，求圆环中的电流与时
间的关系；
（3）求圆环中电流的有效值；
（4）当撤去外力，线框将缓慢减速，经
时间角速度减小量为
，设线框
与圆环的能量转换效率为k，求
的值（当
，有
）。
33
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）由法拉第电磁感应定律
由闭合电路欧姆定律
由电流定义式
联立可得
（2）在
时
在
时
34
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（3）从能量角度
解得
（4）由能量传递
化简可得
即
解得
19．（2022·天津·高考真题）直流电磁泵是利用安培力推动导电液体运动的一种设备，
可用图1 所示的模型讨论其原理，图2 为图1 的正视图。将两块相同的矩形导电平板
竖直正对固定在长方体绝缘容器中，平板与容器等宽，两板间距为，容器中装有导电
液体，平板底端与容器底部留有高度可忽略的空隙，导电液体仅能从空隙进入两板间。
初始时两板间接有直流电源，电源极性如图所示。若想实现两板间液面上升，可在两
板间加垂直于
面的匀强磁场，磁感应强度的大小为
，两板间液面上升时两板外
的液面高度变化可忽略不计。已知导电液体的密度为
、电阻率为
，重力加速度为
。
（1）试判断所加磁场的方向；
（2）求两板间液面稳定在初始液面高度2 倍时的电压
；
（3）假定平板与容器足够高，求电压
满足什么条件时两板间液面能够持续上升。
35
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【答案】（1）沿轴负方向；（2）
；（3）
【详解】（1）想实现两板间液面上升，导电液体需要受到向上的安培力，由图可知电
流方向沿
轴正方向，根据左手定则可知，所加磁场的方向沿轴负方向。
（2）设平板宽度为
，两板间初始液面高度为，当液面稳定在高度
时，两板间液
体的电阻为
，则有
当两板间所加电压为
时，设流过导电液体的电流为
，由欧姆定律可得
外加磁场磁感应强度大小为
时，设液体所受安培力的大小为
，则有
两板间液面稳定在高度
时，设两板间高出板外液面的液体质量为
，则有
两板间液体受到的安培力与两板间高出板外液面的液体重力平衡，则有
联立以上式子解得
（3）设两板间液面稳定时高度为nh，则两板间比容器中液面高出的部分液体的高度
为(n－1)h，与（2）同理可得
36
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整理上式，得
平板与容器足够高，若使两板间液面能够持续上升，则n 趋近无穷大，即
无限趋
近于1，可得
20．（2022·天津·高考真题）如图所示，M 和N 为平行金属板，质量为m，电荷量为q
的带电粒子从M 由静止开始被两板间的电场加速后，从N 上的小孔穿出，以速度v 由
C 点射入圆形匀强磁场区域，经D 点穿出磁场，CD 为圆形区域的直径。已知磁场的磁
感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与磁场方向垂直，重力略不
计。
（1）判断粒子的电性，并求M、N 间的电压U；
（2）求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r；
（3）若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间t。
【答案】（1）正电，
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子在磁场中运动，根据左手定则可知粒子带正电。粒子在电场中
运动由动能定理可知
解得
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，所受洛伦兹力提供向心力，有
37
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解得
（3）设粒子运动轨道圆弧对应的圆心角为
，如图
依题意粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，由几何关系，得
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，有
带电粒子在磁场中运动的时间
联立各式解得
21．（2022·福建·高考真题）如图（a），一倾角为
的绝缘光滑斜面固定在水平地面
上，其顶端与两根相距为L 的水平光滑平行金属导轨相连；导轨处于一竖直向下的匀
强磁场中，其末端装有挡板M、N．两根平行金属棒G、H 垂直导轨放置，G 的中心用
一不可伸长绝缘细绳通过轻质定滑轮与斜面底端的物块A 相连；初始时刻绳子处于拉
紧状态并与G 垂直，滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧与水平面平行．从
开始，H
在水平向右拉力作用下向右运动；
时，H 与挡板M、N 相碰后立即被锁定．G 在
后的速度一时间图线如图（b）所示，其中
段为直线．已知：磁感应强度大
小
，
，G、H 和A 的质量均为
，G、H 的电阻均为
；导轨电
阻、细绳与滑轮的摩擦力均忽略不计；H 与挡板碰撞时间极短；整个运动过程A 未与
滑轮相碰，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好：
，
，重力加
速度大小取
，图（b）中e 为自然常数，
．求：
38
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（1）在
时间段内，棒G 的加速度大小和细绳对A 的拉力大小；
（2）
时，棒H 上拉力的瞬时功率；
（3）在
时间段内，棒G 滑行的距离．
【答案】（1）
；
；（2）
；（3）
【详解】（1）由
图像可得在
内，棒G 做匀加速运动，其加速度为
依题意物块A 的加速度也为
，由牛顿第二定律可得
解得细绳受到拉力
（2）由法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律推导出“双棒”回路中的电流为
由牛顿运动定律和安培力公式有
由于在
内棒G 做匀加速运动，回路中电流恒定为
，两棒速度差为
保持不变，这说明两棒加速度相同且均为a；
对棒H 由牛顿第二定律可求得其受到水平向右拉力
由
图像可知
时，棒G 的速度为
此刻棒H 的速度为
39
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其水平向右拉力的功率
．
（3）棒H 停止后，回路中电流发生突变，棒G 受到安培力大小和方向都发生变化，
棒G 是否还拉着物块A 一起做减速运动需要通过计算判断，假设绳子立刻松弛无拉力，
经过计算棒G 加速度为
物块A 加速度为
说明棒H 停止后绳子松弛，物块A 做加速度大小为
的匀减速运动，棒G 做加
速度越来越小的减速运动；由动量定理、法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律可
以求得，在
内
棒G 滑行的距离
这段时间内物块A 速度始终大于棒G 滑行速度，绳子始终松弛。
22．（2022·重庆·高考真题）某同学以金属戒指为研究对象，探究金属物品在变化磁场
中的热效应。如图所示，戒指可视为周长为L、横截面积为S、电阻率为
的单匝圆形
线圈，放置在匀强磁场中，磁感应强度方向垂直于戒指平面。若磁感应强度大小在
时间内从0 均匀增加到
，求：
（1）戒指中的感应电动势和电流；
（2）戒指中电流的热功率。
40
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【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）设戒指的半径为，则有
磁感应强度大小在
时间内从0 均匀增加到
，产生的感应电动势为
可得
戒指的电阻为
则戒指中的感应电流为
（2）戒指中电流的热功率为
23．（2022·北京·高考真题）指南针是利用地磁场指示方向的装置，它的广泛使用促进
了人们对地磁场的认识。现代科技可以实现对地磁场的精确测量。
（1）如图1 所示，两同学把一根长约10m 的电线两端用其他导线连接一个电压表，迅
速摇动这根电线。若电线中间位置的速度约10m/s，电压表的最大示数约2mV。粗略
估算该处地磁场磁感应强度的大小B 地；
41
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（2）如图2 所示，一矩形金属薄片，其长为a，宽为b，厚为c。大小为I 的恒定电流
从电极P 流入、从电极Q 流出，当外加与薄片垂直的匀强磁场时，M、N 两电极间产
生的电压为U。已知薄片单位体积中导电的电子数为n，电子的电荷量为e。求磁感应
强度的大小B；
（3）假定（2）中的装置足够灵敏，可用来测量北京地区地磁场磁感应强度的大小和
方向，请说明测量的思路。
【答案】（1）数量级为10－5T；（2）
；（3）见解析
【详解】（1）由E = BLv 可估算得该处地磁场磁感应强度B 地的大小的数量级为10－
5T。
（2）设导电电子定向移动的速率为v，t 时间内通过横截面的电量为q，
有
导电电子定向移动过程中，在
方向受到的电场力与洛伦兹力平衡，有
得
（3）如答图3 建立三维直角坐标系Oxyz
42
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设地磁场磁感应强度在三个方向的分量为Bx、By、Bz。把金属薄片置于xOy 平面内，
M、N 两极间产生电压Uz仅取决于Bz。由（2）得
由Uz的正负（M、N 两极电势的高低）和电流I 的方向可以确定Bz的方向。
同理，把金属薄片置于xOz 平面内，可得By的大小和方向；把金属薄片置于yOz 平面
内，可得Bx的大小和方向，则地磁场的磁感应强度的大小为
根据Bx、By、Bz的大小和方向可确定此处地磁场的磁感应强度的方向。
24．（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N 之间距离为d，两板
所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从M 板由静止释放。不计带
电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N 板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动
距离时撤去所加电压，求该粒子从M 板运动到N 板经历的
时间t。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）两极板间的场强
43
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带电粒子所受的静电力
（2）带电粒子从静止开始运动到N 板的过程，根据功能关系有
解得
（3）设带电粒子运动
距离时的速度大小为v′，根据功能关系有
带电粒子在前
距离做匀加速直线运动，后
距离做匀速运动，设用时分别为t1、t2，
有
，
则该粒子从M 板运动到N 板经历的时间
25．（2022·江苏·高考真题）某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩
形
区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，
方向沿竖直方向交替变化，
边长为
，
边长为
，质量为m、电荷量为
的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为
，入射角为
，在纸面内运动，
不计重力及粒子间的相互作用力。
（1）当
时，若粒子能从
边射出，求该粒子通过电场的时间t；
（2）当
时，若粒子从
边射出电场时与轴线
的距离小于d，求入射角
的范围；
（3）当
，粒子在
为
范围内均匀射入电场，求从
边出射的粒子
44
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与入射粒子的数量之比
。
【答案】（1）
；（2）
或
；（3）
【详解】（1）电场方向竖直向上，粒子所受电场力在竖直方向上，粒子在水平方向上
做匀速直线运动，速度分解如图所示
粒子在水平方向的速度为
根据
可知
解得
（2）粒子进入电场时的初动能
粒子进入电场沿电场方向做减速运动，由牛顿第二定律可得
45
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粒子从
边射出电场时与轴线
的距离小于d，则要求
解得
所以入射角的范围为
或
（3）设粒子入射角为
时，粒子恰好从D 点射出，由于粒子进入电场时，在水平方
向做匀速直线运动，在竖直方向反复做加速相同的减速运动，加速运动。粒子的速度
运动时间为
粒子在沿电场方向，反复做加速相同的减速运动，加速运动，则
则
则粒子在分层电场中运动时间相等，设为
，则
46
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且
代入数据化简可得
即
解得
（舍去）或
解得
则从
边出射的粒子与入射粒子的数量之比
26．（2022·江苏·高考真题）利用云室可以知道带电粒子的性质，如图所示，云室中存
在磁感应强度大小为B 的匀强磁场，一个质量为m、速度为v 的电中性粒子在A 点分
裂成带等量异号电荷的粒子a 和b，a、b 在磁场中的径迹是两条相切的圆弧，相同时
间内的径迹长度之比
，半径之比
，不计重力及粒子间的相互作用
力，求：
（1）粒子a、b 的质量之比
；
（2）粒子a 的动量大小
。
47
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）分裂后带电粒子在磁场中偏转做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
则有
解得
由题干知半径之比
，故
因为相同时间内的径迹长度之比
，则分裂后粒子在磁场中的速度为
联立解得
（2）中性粒子在A 点分裂成带等量异号电荷的粒子a 和b，分裂过程中，没有外力作
用，动量守恒，根据动量守恒定律
因为分裂后动量关系为
，联立解得
27．（2022·海南·高考真题）光滑的水平长直轨道放在匀强磁场
中，轨道宽
，一导体棒长也为
，质量
，电阻
，它与导轨接触良好。当开
关与a 接通时，电源可提供恒定的
电流，电流方向可根据需要进行改变，开关与b
接通时，电阻
，若开关的切换与电流的换向均可在瞬间完成，求：
①当棒中电流由M 流向N 时，棒的加速度的大小和方向是怎样的；
②当开关始终接a，要想在最短时间内使棒向左移动
而静止，则棒的最大速度是多
少；
③要想棒在最短时间内向左移动
而静止，则棒中产生的焦耳热是多少。
48
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【答案】①
，方向向右；②
；③
【详解】①当电流从M 流向N 时，由左手定则可判断安培力向右，故加速度方向向右。
根据牛顿第二定律有
代入数据可得
②开关始终接a 时，电流N 到M，经过时间
后电流变为M 到N，再经时间
速度减
为零，前
s，则有
后
s，则有
根据
联立解得
③先接a 一段时间
，电流由N 到M，再接到b 端一段时间
，再接到a 端一段时间
，
电流由M 到N，最后接到b 静止
第一段，则有
第二段，则有由动量定理
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且
则有
第二段末的加速度与第三段相同，则第三段，
又
解得
v＇=1m/s
故
28．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为
L。
区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外
的细金属杆M 以初速度
向右运动，磁场内的细金属杆N 处于静止状态。两金属杆与
导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均
为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M 刚进入磁场时受到的安培力F 的大小和方向；
50
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（2）若两杆在磁场内未相撞且N 出磁场时的速度为
，求：①N 在磁场内运动过程
中通过回路的电荷量q；②初始时刻N 到
的最小距离x；
（3）初始时刻，若N 到
的距离与第（2）问初始时刻的相同、到
的距离为
，求M 出磁场后不与N 相撞条件下k 的取值范围。
【答案】（1）
，方向水平向左；（2）①
，②
；（3）
【详解】（1）细金属杆M 以初速度
向右刚进入磁场时，产生的动生电动势为
电流方向为
，电流的大小为
则所受的安培力大小为
安培力的方向由左手定则可知水平向左；
（2）①金属杆N 在磁场内运动过程中，由动量定理有
且
联立解得通过回路的电荷量为
②设两杆在磁场中相对靠近的位移为
，有
51
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整理可得
联立可得
若两杆在磁场内刚好相撞，N 到
的最小距离为
（3）两杆出磁场后在平行光滑长直金属导轨上运动，若N 到
的距离与第（2）问初
始时刻的相同、到
的距离为
，则N 到cd 边的速度大小恒为
，根据动量
守恒定律可知
解得N 出磁场时，M 的速度大小为
由题意可知，此时M 到cd 边的距离为
若要保证M 出磁场后不与N 相撞，则有两种临界情况：
①M 减速出磁场，出磁场的速度刚好等于N 的速度，一定不与N 相撞，对M 根据动量
定理有
联立解得
②M 运动到cd 边时，恰好减速到零，则对M 由动量定理有
52
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同理解得
综上所述，M 出磁场后不与N 相撞条件下k 的取值范围为
29．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面
和竖直面内的光滑
圆弧导轨
在B 点平滑连接，导轨半径为R。质量为m 的带正电小球将轻质弹簧压缩至A 点后由
静止释放，脱离弹簧后经过B 点时的速度大小为
，之后沿轨道
运动。以O 为
坐标原点建立直角坐标系
，在
区域有方向与x 轴夹角为
的匀强电场，
进入电场后小球受到的电场力大小为
。小球在运动过程中电荷量保持不变，重
力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A 点时的弹性势能；
（2）小球经过O 点时的速度大小；
（3）小球过O 点后运动的轨迹方程。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球从A 到B，根据能量守恒定律得
（2）小球从B 到O，根据动能定理有
解得
53
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（3）小球运动至O 点时速度竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x 轴和
y 轴，则x 轴方向有
竖直方向有
解得
，
说明小球从O 点开始以后的运动为x 轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y 轴方向
做匀速直线运动，即做类平抛运动，则有
，
联立解得小球过O 点后运动的轨迹方程
30．（2022·湖北·统考高考真题）如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左
右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里。正方形单匝线框abcd 的边长L = 0.2m、回
路电阻R = 1.6 × 10 - 3Ω、质量m = 0.2kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad 边
与磁场左边界平齐，ab 边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加与水平向右方向
成θ = 45°角、大小为
的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab
边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc 边进入磁场时，bc 边恰好到达磁场
右边界。重力加速度大小取g = 10m/s2，求：
（1）ab 边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小；
（2）磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热；
（3）磁场区域的水平宽度。
54
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【答案】（1）ax = 20m/s2，ay = 10m/s2；（2）B = 0.2T，Q = 0.4J；（3）X =
1.1m
【详解】（1）ab 边进入磁场前，对线框进行受力分析，在水平方向有
max = Fcosθ
代入数据有
ax = 20m/s2
在竖直方向有
may = Fsinθ - mg
代入数据有
ay = 10m/s2
（2）ab 边进入磁场开始，ab 边在竖直方向切割磁感线；ad 边和bc 边的上部分也开始
进入磁场，且在水平方向切割磁感线。但ad 和bc 边的上部分产生的感应电动势相互
抵消，则整个回路的电源为ab，根据右手定则可知回路的电流为adcba，则ab 边进入
磁场开始，ab 边受到的安培力竖直向下，ad 边的上部分受到的安培力水平向右，bc 边
的上部分受到的安培力水平向左，则ad 边和bc 边的上部分受到的安培力相互抵消，
故线框abcd 受到的安培力的合力为ab 边受到的竖直向下的安培力。由题知，线框从
ab 边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动，有
Fsinθ - mg - BIL = 0
E = BLvy
vy2 = 2ayL
联立有
B = 0.2T
由题知，从ab 边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc 边进入磁场时，bc
边恰好到达磁场右边界。则线框进入磁场的整个过程中，线框受到的安培力为恒力，
则有
Q = W 安 = BILy
y = L
Fsinθ - mg = BIL
联立解得
Q = 0.4J
（3）线框从开始运动到进入磁场的整个过程中所用的时间为
vy = ayt1
55
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L = vyt2
t = t1 + t2
联立解得
t = 0.3s
由（2）分析可知线框在水平方向一直做匀加速直线运动，则在水平方向有
则磁场区域的水平宽度
X = x + L = 1.1m
31．（2022·浙江·统考高考真题）离子速度分析器截面图如图所示。半径为R 的空心转
筒P，可绕过O 点、垂直xOy 平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可
调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方
有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q 与y 轴交于A 点。离子源M 能沿着x 轴射出
质量为m、电荷量为 – q（q > 0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离
子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y 轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上
的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。
（1）①求磁感应强度B 的大小；
②若速度大小为v0的离子能打在板Q 的A 处，求转筒P 角速度ω 的大小；
（2）较长时间后，转筒P 每转一周有N 个离子打在板Q 的C 处，OC 与x 轴负方向的
夹角为θ，求转筒转动一周的时间内，C 处受到平均冲力F 的大小；
（3）若转筒P 的角速度小于
，且A 处探测到离子，求板Q 上能探测到离子的其他
θ′的值（θ′为探测点位置和O 点连线与x 轴负方向的夹角）。
【答案】（1）①
，②
，k = 0，1，2，3…；（2）
56
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，n = 0，1，2，…；（3）
，
，
【详解】（1）①离子在磁场中做圆周运动有
则
②离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度
，k = 0，1，2，3…
（2）设速度大小为v 的离子在磁场中圆周运动半径为
，有
离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度
ω′t′ = 2nπ + θ
转筒的转动角速度
，n = 0，1，2，…
动量定理
，n = 0，1，2，…
（3）转筒的转动角速度
57
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其中
k = 1，
，n = 0，2 或者
可得
，
，
32．（2022·浙江·统考高考真题）舰载机电磁弹射是现在航母最先进的弹射技术，我国
在这一领域已达到世界先进水平。某兴趣小组开展电磁弹射系统的设计研究，如图1
所示，用于推动模型飞机的动子（图中未画出）与线圈绝缘并固定，线圈带动动子，
可在水平导轨上无摩擦滑动。线圈位于导轨间的辐向磁场中，其所在处的磁感应强度
大小均为B。开关S 与1 接通，恒流源与线圈连接，动子从静止开始推动飞机加速，飞
机达到起飞速度时与动子脱离；此时S 掷向2 接通定值电阻R0，同时施加回撤力F，
在F 和磁场力作用下，动子恰好返回初始位置停下。若动子从静止开始至返回过程的
v-t 图如图2 所示，在t1至t3时间内F=(800－10v）N，t3时撤去F。已知起飞速度
v1=80m/s，t1=1.5s，线圈匝数n=100 匝，每匝周长l=1m，飞机的质量M=10kg，动子和
线圈的总质量m=5kg，R0=9.5Ω，B=0.1T，不计空气阻力和飞机起飞对动子运动速度的
影响，求
（1）恒流源的电流I；
（2）线圈电阻R；
（3）时刻t3。
【答案】（1）80A；（2）
；（3）
【详解】（1）由题意可知接通恒流源时安培力
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动子和线圈在0~t1时间段内做匀加速直线运动，运动的加速度为
根据牛顿第二定律有
代入数据联立解得
（2）当S 掷向2 接通定值电阻R0时，感应电流为
此时安培力为
所以此时根据牛顿第二定律有
由图可知在
至
期间加速度恒定，则有
解得
，
（3）根据图像可知
故
；在0~t2时间段内的位移
而根据法拉第电磁感应定律有
电荷量的定义式
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可得
从t3时刻到最后返回初始位置停下的时间段内通过回路的电荷量，根据动量定理有
联立可得
解得
33．（2022·广东·高考真题）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因
此获得了1923 年的诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相
距为d 的足够大金属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰
撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为
、位于同一竖直线上的球形小油
滴A 和B，在时间t 内都匀速下落了距离
。此时给两极板加上电压U（上极板接正
极），A 继续以原速度下落，B 经过一段时间后向上匀速运动。B 在匀速运动时间t 内
上升了距离
，随后与A 合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动
直至匀速。已知球形油滴受到的空气阻力大小为
，其中k 为比例系数，m 为
油滴质量，v 为油滴运动速率，不计空气浮力，重力加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B 的带电量和电性；B 上升距离
电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
60
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【答案】（1）
；（2）油滴A 不带电，油滴B 带负电，电荷量
，电势能的变化量
；（3）见解析
【详解】（1）未加电压时，油滴匀速时的速度大小
匀速时
又
联立可得
（2）加电压后，油滴A 的速度不变，可知油滴A 不带电，油滴B 最后速度方向向上，
可知油滴B 所受电场力向上，极板间电场强度向下，可知油滴B 带负电，油滴B 向上
匀速运动时，速度大小为
根据平衡条件可得
解得
根据
61
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又
联立解得
（3）油滴B 与油滴A 合并后，新油滴的质量为
，新油滴所受电场力
若
，即
可知
新油滴速度方向向上，设向上为正方向，根据动量守恒定律
可得
新油滴向上加速，达到平衡时
解得速度大小为
速度方向向上；
若
，即
可知
设向下为正方向，根据动量守恒定律
62
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可知
新油滴向下加速，达到平衡时
解得速度大小为
速度方向向下。
34．（2022·湖南·统考高考真题）如图，两个定值电阻的阻值分别为
和
，直流电
源的内阻不计，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为
，板长为
，极板间
存在方向水平向里的匀强磁场。质量为
、带电量为
的小球以初速度沿水平方向
从电容器下板左侧边缘
点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电容器上板右侧边缘
离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为
，忽略空气阻
力。
（1）求直流电源的电动势
；
（2）求两极板间磁场的磁感应强度
；
（3）在图中虚线的右侧设计一匀强电场，使小球离开电容器后沿直线运动，求电场强
度的最小值
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球在电磁场中做匀速圆周运动，则电场力与重力平衡，可得
63
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两端的电压
根据欧姆定律得
联立解得
（2）如图所示
设粒子在电磁场中做圆周运动的半径为，根据几何关系
解得
根据
解得
（3）由几何关系可知，射出磁场时，小球速度方向与水平方向夹角为
，要使小球
做直线运动，当小球所受电场力与小球重力在垂直小球速度方向的分力相等时，电场
力最小，电场强度最小，可得
解得
64
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35．（2022·山东·统考高考真题）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该
装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标
系
中，
空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x 轴正方向；
，
的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为
，方向平行于
平面，与x 轴正方向夹角为
；
，
的空间内充满沿y 轴负方向的匀强
电场。质量为m、带电量为
的离子甲，从
平面第三象限内距
轴为
的点
以
一定速度出射，速度方向与轴正方向夹角为
，在
平面内运动一段时间后，经
坐标原点
沿轴正方向进入磁场I。不计离子重力。
（1）当离子甲从
点出射速度为
时，求电场强度的大小
；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度
；
（3）离子甲以
的速度从
点沿轴正方向第一次穿过
面进入磁场I，求第四
次穿过
平面的位置坐标（用d 表示）；
（4）当离子甲以
的速度从
点进入磁场I 时，质量为
、带电量为
的离子乙，
也从
点沿轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们
运动轨迹第一个交点的时间差
（忽略离子间相互作用）。
65
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【答案】（1）
；（2）
；（3）（d，d，）；（4）
【详解】（1）如图所示
将离子甲从
点出射速度为
分解到沿
轴方向和轴方向，离子受到的电场力沿
轴
负方向，可知离子沿轴方向做匀速直线运动，沿
轴方向做匀减速直线运动，从
到
的过程，有
联立解得
（2）离子从坐标原点
沿轴正方向进入磁场I 中，在磁场I 中做匀速圆周运动，经
66
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过磁场I 偏转后从
轴进入磁场II 中，继续做匀速圆周运动，如图所示
由洛伦兹力提供向心力可得
，
可得
为了使离子在磁场中运动，则离子磁场I 运动时，不能从磁场I 上方穿出。在磁场II 运
动时，不能xOz 平面穿出，则离子在磁场用运动的轨迹半径需满足
，
联立可得
要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为
；
（3）离子甲以
的速度从
点沿z 轴正方向第一次穿过
面进入磁场I，离子在
磁场I 中的轨迹半径为
离子在磁场II 中的轨迹半径为
离子从
点第一次穿过到第四次穿过
平面的运动情景，如图所示
67
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离子第四次穿过
平面的
坐标为
离子第四次穿过
平面的
坐标为
故离子第四次穿过
平面的位置坐标为（d，d，）。
（4）设离子乙的速度为
，根据离子甲、乙动能相同，可得
可得
离子甲、离子乙在磁场I 中的轨迹半径分别为
，
离子甲、离子乙在磁场II 中的轨迹半径分别为
，
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点在离子乙第一次穿过x 轴的位置，
如图所示
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从
点进入磁场到第一个交点的过程，有
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为
36．（2022·全国·统考高考真题）光点式检流计是一种可以测量微小电流的仪器，其简
化的工作原理示意图如图所示。图中A 为轻质绝缘弹簧，C 为位于纸面上的线圈，虚
线框内有与纸面垂直的匀强磁场；M 为置于平台上的轻质小平面反射镜，轻质刚性细
杆D 的一端与M 固连且与镜面垂直、另一端与弹簧下端相连，
为圆弧形的、带有
均匀刻度的透明读数条，
的圆心位于M 的中心。使用前需调零:使线圈内没有电流
通过时，M 竖直且与纸面垂直；入射细光束沿水平方向经
上的O 点射到M 上后沿
原路反射。线圈通入电流后弹簧长度改变，使M 发生倾斜，入射光束在M 上的入射点
仍近似处于
的圆心，通过读取反射光射到
上的位置，可以测得电流的大小。已
知弹簧的劲度系数为k，磁场磁感应强度大小为B，线圈C 的匝数为N。沿水平方向的
长度为l，细杆D 的长度为d，圆弧
的半径为r﹐
，d 远大于弹簧长度改变量
的绝对值。
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（1）若在线圈中通入的微小电流为I，求平衡后弹簧长度改变量的绝对值
及
上
反射光点与O 点间的弧长s；
（2）某同学用此装置测一微小电流，测量前未调零，将电流通入线圈后，
上反射
光点出现在O 点上方，与O 点间的弧长为
、保持其它条件不变，只将该电流反向接
入，则反射光点出现在О 点下方，与O 点间的弧长为
。求待测电流的大小。
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）由题意当线圈中通入微小电流I 时，线圈中的安培力为
F = NBIl
根据胡克定律有
F = NBIl = k│x│
如图所示
设此时细杆转过的弧度为θ，则可知反射光线转过的弧度为2θ，又因为
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d >> x，r >> d
则
sinθ ≈ θ，sin2θ ≈ 2θ
所以有
x = dθ
s = r2θ
联立可得
（2）因为测量前未调零，设没有通电流时偏移的弧长为s′，当初始时反射光点在O 点
上方，通电流I′后根据前面的结论可知有
当电流反向后有
联立可得
同理可得初始时反射光点在O 点下方结果也相同，故待测电流的大小为
37．（2022·全国·统考高考真题）如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长
为
的正方形金属框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向
垂直于金属框所在平面的匀强磁场。已知构成金属框的导线单位长度的阻值为
；在
到
时间内，磁感应强度大小随时间t 的变化关系为
。求:
（1）
时金属框所受安培力的大小；
（2）在
到
时间内金属框产生的焦耳热。
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【答案】（1）
；（2）0.016J
【详解】（1）金属框的总电阻为
金属框中产生的感应电动势为
金属框中的电流为
t=2.0s 时磁感应强度为
金属框处于磁场中的有效长度为
此时金属框所受安培力大小为
（2）
内金属框产生的焦耳热为
38．（2022·浙江·统考高考真题）如图为研究光电效应的装置示意图，该装置可用于分
析光子的信息。在xOy 平面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N 与y 轴平行放置，
板N 中间有一小孔O。有一由x 轴、y 轴和以O 为圆心、圆心角为90°的半径不同的两
条圆弧所围的区域Ⅰ，整个区域Ⅰ内存在大小可调、方向垂直纸面向里的匀强电场和
磁感应强度大小恒为B1、磁感线与圆弧平行且逆时针方向的磁场。区域Ⅰ右侧还有一
左边界与y 轴平行且相距为l、下边界与x 轴重合的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度为a，长
度足够长，其中的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小可调。光电子从板M 逸出
后经极板间电压U 加速（板间电场视为匀强电场），调节区域Ⅰ的电场强度和区域Ⅱ
的磁感应强度，使电子恰好打在坐标为（a+2l，0）的点上，被置于该处的探测器接收。
已知电子质量为m、电荷量为e，板M 的逸出功为W0，普朗克常量为h。忽略电子的
重力及电子间的作用力。当频率为ν 的光照射板M 时有光电子逸出，
（1）求逸出光电子的最大初动能Ekm，并求光电子从O 点射入区域Ⅰ时的速度v0的大
小范围；
72
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（2）若区域Ⅰ的电场强度大小
，区域Ⅱ的磁感应强度大小
，
求被探测到的电子刚从板M 逸出时速度vM的大小及与x 轴的夹角
；
（3）为了使从O 点以各种大小和方向的速度射向区域Ⅰ的电子都能被探测到，需要调
节区域Ⅰ的电场强度E 和区域Ⅱ的磁感应强度B2，求E 的最大值和B2的最大值。
【答案】（1）
；
；（2）
；
；（3）
；
【详解】（1）光电效应方程，逸出光电子的最大初动能
（2）速度选择器
73
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如图所示，几何关系
（3）由上述表达式可得
由
而v0sinθ 等于光电子在板逸出时沿y 轴的分速度，则有
即
联立可得B2的最大值
39．（2022·浙江·统考高考真题）如图所示，水平固定一半径r=0.2m 的金属圆环，长
均为r，电阻均为R0的两金属棒沿直径放置，其中一端与圆环接触良好，另一端固定
在过圆心的导电竖直转轴OO′上，并随轴以角速度
=600rad/s 匀速转动，圆环内左半
圆均存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场。圆环边缘、与转轴良好接触的电刷分别与
间距l1的水平放置的平行金属轨道相连，轨道间接有电容C=0.09F 的电容器，通过单
刀双掷开关S 可分别与接线柱1、2 相连。电容器左侧宽度也为l1、长度为l2、磁感应
74
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强度大小为B2的匀强磁场区域。在磁场区域内靠近左侧边缘处垂直轨道放置金属棒
ab，磁场区域外有间距也为l1的绝缘轨道与金属轨道平滑连接，在绝缘轨道的水平段
上放置“［”形金属框fcde。棒ab 长度和“［”形框的宽度也均为l1、质量均为
m=0.01kg，de 与cf 长度均为l3=0.08m，已知l1=0.25m，l2=0.068m，B1=B2=1T、方向均
为竖直向上；棒ab 和“［”形框的cd 边的电阻均为R=0.1
，除已给电阻外其他电阻
不计，轨道均光滑，棒ab 与轨道接触良好且运动过程中始终与轨道垂直。开始时开关
S 和接线柱1 接通，待电容器充电完毕后，将S 从1 拨到2，电容器放电，棒ab 被弹出
磁场后与“［”形框粘在一起形成闭合框abcd，此时将S 与2 断开，已知框abcd 在倾
斜轨道上重心上升0.2m 后返回进入磁场。
（1）求电容器充电完毕后所带的电荷量Q，哪个极板（M 或N）带正电？
（2）求电容器释放的电荷量
；
（3）求框abcd 进入磁场后，ab 边与磁场区域左边界的最大距离x。
【答案】（1）0.54C；M 板；（2）0.16C；（3）0.14m
【详解】（1）开关S 和接线柱1 接通，电容器充电充电过程，对绕转轴OO′转动的棒
由右手定则可知其动生电源的电流沿径向向外，即边缘为电源正极，圆心为负极，则
M 板充正电；
根据法拉第电磁感应定律可知
则电容器的电量为
（2）电容器放电过程有
棒ab 被弹出磁场后与“［”形框粘在一起的过程有
棒的上滑过程有
75
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联立解得
（3）设导体框在磁场中减速滑行的总路程为
，由动量定理
可得
匀速运动距离为
则
40．（2021·重庆·高考真题）如图1 所示的
竖直平面内，在原点O 有一粒子源，可
沿x 轴正方向发射速度不同、比荷均为
的带正电的粒子。在
的区域仅有垂直于
平面向内的匀强磁场；
的区域仅有如图2 所示的电场，
时间内和
时刻后
的匀强电场大小相等，方向相反（
时间内电场方向竖直向下），
时间内电
场强度为零。在磁场左边界
直线上的某点，固定一粒子收集器（图中未画出）。
0 时刻发射的A 粒子在
时刻经过左边界进入磁场，最终被收集器收集；B 粒子在
时刻以与A 粒子相同的发射速度发射，第一次经过磁场左边界的位置坐标为
；
C 粒子在
时刻发射，其发射速度是A 粒子发射速度的
，不经过磁场能被收集器收
集。忽略粒子间相互作用力和粒子重力，不考虑边界效应。
(1)求电场强度E 的大小；
(2)求磁感应强度B 的大小；
76
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(3)设
时刻发射的粒子能被收集器收集，求其有可能的发射速度大小。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
、
、
【详解】（1）由
粒子类平抛
粒子先类平抛后匀直，
可得
或
解得
（2）对
粒子类平抛
得
77
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A 进入磁场时速度与
轴正方向夹角为
，则
得
即
A 粒子做匀圆，速度为
半径为
，有
由
可得
对
粒子类平抛运动的时间为
可得
78
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由几何关系
得
联立解得
（3）①设
直接类平抛过D 点，即
解得
②设
先类平抛后匀圆过D 点，刚进入磁场时与
轴夹角为
、偏移的距离为
，
则
79
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整理得
令
，则上式变成
观察可得
是其中一解，所以上方程等价于
可得其解是
或
（另一解
不符合题意，舍去）
则有
或
综上所述，能够被粒子收集器收集的粒子速度有：
、
、
。
41．（2021·福建·统考高考真题）如图（a），同一竖直平面内A、B、M、N 四点距O
点的距离均为
，O 为水平连线
的中点，M、N 在
连线的中垂线上。A、B
两点分别固定有一点电荷，电荷量均为Q（
）。以O 为原点，竖直向下为正方向
建立x 轴。若取无穷远处为电势零点，则
上的电势
随位置x 的变化关系如图
80
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（b）所示。一电荷量为Q（
）的小球
以一定初动能从M 点竖直下落，一段时
间后经过N 点，其在
段运动的加速度大小a 随位置x 的变化关系如图（c）所示。
图中g 为重力加速度大小，k 为静电力常量。
（1）求小球
在M 点所受电场力大小。
（2）当小球
运动到N 点时，恰与一沿x 轴负方向运动的不带电绝缘小球
发生弹性
碰撞。已知
与
的质量相等，碰撞前、后
的动能均为
，碰撞时间极短。求
碰撞前
的动量大小。
（3）现将
固定在N 点，为保证
能运动到N 点与之相碰，
从M 点下落时的初动
能须满足什么条件？
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设A 到M 点的距离为
，A 点的电荷对小球
的库仑力大小为
，
由库仑定律有
①
设小球
在
点所受电场力大小为
，由力的合成有
②
联立①②式，由几何关系并代入数据得
81
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③
（2）设O 点下方
处为
点，
与
的距离为
，小球
在
处所受的库仑力大小
为
，由库仑定律和力的合成有
④
式中
设小球
的质量为
，小球
在
点的加速度大小为
，由牛顿第二定律有
⑤
由图（c）可知，式中
联立④⑤式并代入数据得
⑥
设
的质量为
，碰撞前、后
的速度分别为
，
，
碰撞前、后的速度分别为
，
，取竖直向下为正方向。由动量守恒定律和能量守恒定律有
⑦
⑧
设小球S2碰撞前的动量为
，由动量的定义有
⑨
依题意有
82
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联立⑥⑦⑧⑨式并代入数据，得
⑩
即碰撞前
的动量大小为
。
（3）设O 点上方
处为D 点。根据图（c）和对称性可知，
在D 点所受的电场力大
小等于小球的重力大小，方向竖直向上，
在此处加速度为0；
在D 点上方做减速
运动，在D 点下方做加速运动，为保证
能运动到N 点与
相碰，
运动到D 点时的
速度必须大于零。
设M 点与D 点电势差为
，由电势差定义有
⑪
设小球
初动能为
，运动到D 点的动能为
，由动能定理有
⑫
⑬
由对称性，D 点与C 点电势相等，M 点与N 点电势相等，依据图（b）所给数据，并
联立⑥⑪⑫⑬式可得
⑭
42．（2021·江苏·高考真题）如图1 所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O 点为圆
心，磁感应强度大小为B，加速电压的大小为U、质量为m、电荷量为q 的粒子从O 附
近飘入加速电场，多次加速后粒子经过P 点绕O 做圆周运动，半径为R，粒子在电场
中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P 位置安装一个“静电偏转器”，如
图2 所示，偏转器的两极板M 和N 厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为
，当M、N 间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E 的电场，使粒子恰能通过
83
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狭缝，粒子在再次被加速前射出磁场，不计M、N 间的距离。求：
（1）粒子加速到P 点所需要的时间t；
（2）极板N 的最大厚度
；
（3）磁场区域的最大半径
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设粒子在P 的速度大小为
，则根据
可知半径表达式为
对粒子在静电场中的加速过程，根据动能定理有
粒子在磁场中运动的周期为
粒子运动的总时间为
解得
84
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（2）由粒子的运动半径
，结合动能表达式
变形得
则粒子加速到P 前最后两个半周的运动半径为
，
由几何关系有
结合
解得
（3）设粒子在偏转器中的运动半径为
，则在偏转器中，要使粒子半径变大，电场力
应和洛伦兹力反向，共同提供向心力，即
设粒子离开偏转器的点为
，圆周运动的圆心为
。由题意知，
在
上，且粒子
飞离磁场的点与
、
在一条直线上，如图所示。
粒子在偏转器中运动的圆心在
点，从偏转器飞出，即从
点离开，又进入回旋加速
器中的磁场，此时粒子的运动半径又变为
，然后轨迹发生偏离，从偏转器的
点飞
出磁场，那么磁场的最大半径即为
85
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将等腰三角形
放大如图所示。
虚线为从
点向
所引垂线，虚线平分
角，则
解得最大半径为
43．（2021·江苏·高考真题）贯彻新发展理念，我国风力发电发展迅猛，2020 年我国
风力发电量高达4000 亿千瓦时。某种风力发电机的原理如图所示，发电机的线圈固定，
磁体在叶片驱动下绕线圈对称轴转动，已知磁体间的磁场为匀强磁场，磁感应强度的
大小为
，线圈的匝数为100、面积为
，电阻为
，若磁体转动的角速度
为
，线圈中产生的感应电流为
。求：
（1）线圈中感应电动势的有效值E；
（2）线圈的输出功率P。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）电动势的最大值
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有效值
解得
带入数据得
（2）输出电压
输出功率
解得
代入数据得
44．（2021·海南·高考真题）如图，间距为l 的光滑平行金属导轨，水平放置在方向竖
直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，导轨左端接有阻值为R 的定值电
阻，一质量为m 的金属杆放在导轨上。金属杆在水平外力作用下以速度v0向右做匀速
直线运动，此时金属杆内自由电子沿杆定向移动的速率为u0。设金属杆内做定向移动
的自由电子总量保持不变，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，除了电阻R 以外不计
其它电阻。
（1）求金属杆中的电流和水平外力的功率；
（2）某时刻撤去外力，经过一段时间，自由电子沿金属杆定向移动的速率变为
，
求：
（i）这段时间内电阻R 上产生的焦耳热；
（ii）这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离。
【答案】（1）
，
；（2）（i）
，（ii）
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【详解】（1）金属棒切割磁感线产生的感应电动势
E = Blv0
则金属杆中的电流
由题知，金属杆在水平外力作用下以速度v0向右做匀速直线运动则有
根据功率的计算公式有
（2）（i）设金属杆内单位体积的自由电子数为n，金属杆的横截面积为S，则金属杆
在水平外力作用下以速度v0向右做匀速直线运动时的电流由微观表示为
解得
当电子沿金属杆定向移动的速率变为
时，有
解得
v′ =
根据能量守恒定律有
解得
（ii）由（i）可知在这段时间内金属杆的速度由v0变到
，设这段时间内一直在金属
杆内的自由电子沿杆定向移动的距离为d，规定水平向右为正方向，则根据动量定理
有
由于
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解得
45．（2021·湖北·统考高考真题）如图（a）所示，两根不计电阻、间距为L 的足够长
平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应
强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z 和阻值为R 的电阻。元件Z 的
图
像如图（b）所示，当流过元件Z 的电流大于或等于
时，电压稳定为Um。质量为
m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。
忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，
取
，
。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R 表示。
（1）闭合开关S。，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v1；
（2）断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v2；
（3）先闭合开关S，由静止释放金属棒，金属棒达到最大速度后，再断开开关S。忽
略回路中电流突变的时间，求S 断开瞬间金属棒的加速度大小a。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】[关键能力]本题考 查法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律等知识，意在
考查考生综合电磁学知识以及力学规律处理问题的能力。
[压轴题透析] 3 第（1）问通过对金属棒的受力分析以及运动分析，求出当金属棒的加
速度为零时的最大速度；第（2）问首先应分析比较第（1）问中的电流与图（b）中Z
元件的电压达到最大时的电流大小关系，然后通过定值电阻表示出回路中的最大电流，
89
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进而求出金属棒的最大速度；第（3）问的关键在于求出开关断开瞬间回路中的电流，
得出导体棒所受的安培力大小，再根据牛顿第二定律求出金属棒的加速度。
【详解】（1）闭合开关S，金属棒下落的过程中受竖直向下的重力、竖直向上的安培
力作用，当重力与安培力大小相等时，金属棒的加速度为零，速度最大，则
由法拉第电磁感应定律得
由欧姆定律得
解得
（2）由第（1）问得
由于
断开开关S 后，当金属棒的速度达到最大时，元件Z 两端的电压恒为
此时定值电阻两端的电压为
回路中的电流为
又由欧姆定律得
解得
（3）开关S 闭合，当金属棒的速度最大时，金属棒产生的感应电动势为
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断开开关S 的瞬间，元件Z 两端的电压为
则定值电阻两端的电压为
电路中的电流为
金属棒受到的安培力为
对金属棒由牛顿第二定律得
解得
46．（2021·辽宁·统考高考真题）如图所示，在x>0 区域内存在垂直纸面向里、磁感应
强度大小为B 的匀强磁场；在x<0 区域内存在沿x 轴正方向的匀强电场。质量为m、电
荷量为q（q>0）的粒子甲从点S（-a，0）由静止释放，进入磁场区域后，与静止在点
P（a，a）、质量为
的中性粒子乙发生弹性正碰，且有一半电量转移给粒子乙。
（不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用，忽略电场、磁场变化引起的效应）
（1）求电场强度的大小E；
（2）若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在x≤0 区域内加上与x>0 区域内相同的磁
场，求从两粒子碰撞到下次相遇的时间△t；
（3）若两粒子碰撞后，粒子乙首次离开第一象限时，撤去电场和磁场，经一段时间后，
在全部区域内加上与原x>0 区域相同的磁场，此后两粒子的轨迹恰好不相交，求这段
时间内粒子甲运动的距离L。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子甲匀速圆周运动过P 点，则在磁场中运动轨迹半径
R=a
则
则
粒子从S 到O，有动能定理可得
可得
（2）甲乙粒子在P 点发生弹性碰撞，设碰后速度为
、
，取向上为正，则有
计算可得
两粒子碰后在磁场中运动
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解得
两粒子在磁场中一直做轨迹相同的匀速圆周运动，周期分别为
则两粒子碰后再次相遇
解得再次相遇时间
（3）乙出第一象限时甲在磁场中偏转角度为
撤去电场磁场后，两粒子做匀速直线运动，乙粒子运动一段时间后，再整个区域加上
相同的磁场，粒子在磁场中仍做半径为a 的匀速圆周运动，要求轨迹恰好不相切，则
如图所示
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设撤销电场、磁场到加磁场乙运动了
，由余弦定理可得
则从撤销电场、磁场到加磁场乙运动的位移
47．（2021·天津·高考真题）霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系
统中。长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系
，如图所示。半导体中有电荷量均为e 的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作
带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n 和p。当半导体
材料通有沿
方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强
度的大小为B，沿
方向，于是在z 方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已
知电场强度大小为E，沿
方向。
（1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
（2）若自由电子定向移动在沿
方向上形成的电流为
，求单个自由电子由于定向
移动在z 方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小
；
（3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在z 方向定向移动的速率分别为
、
，求
时间内运动到半导体z 方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在
z 方向上形成的电流应满足的条件。
【答案】（1）自由电子受到的洛伦兹力沿
方向；（2）
；（3）
见解析所示
【详解】（1）自由电子受到的洛伦兹力沿
方向；
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（2）设t 时间内流过半导体垂直于x 轴某一横截面自由电子的电荷量为q，由电流定
义式，有
设自由电子在x 方向上定向移动速率为
，可导出自由电子的电流微观表达式为
单个自由电子所受洛伦兹力大小为
霍尔电场力大小为
自由电子在z 方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同，联立得其合力大小为
（3）设
时间内在z 方向上运动到半导体上表面的自由电子数为
、空穴数为
，
则
霍尔电场建立后，半导体z 方向的上表面的电荷量就不再发生变化，则应
即在任何相等时间内运动到上表面的自由电子数与空穴数相等，这样两种载流子在z
方向形成的电流应大小相等、方向相反。
48．（2021·天津·高考真题）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨
、
间
距
，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成
角，N、Q 两端
接有
的电阻。一金属棒
垂直导轨放置，
两端与导轨始终有良好接触，已
知
的质量
，电阻
，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，
磁感应强度大小
。
在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度
沿
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导轨向上开始运动，可达到最大速度
。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力
加速度
。
（1）求拉力的功率P；
（2）
开始运动后，经
速度达到
，此过程中
克服安培力做功
，求该过程中
沿导轨的位移大小x。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）在
运动过程中，由于拉力功率恒定，
做加速度逐渐减小的加速运
动，速度达到最大时，加速度为零，设此时拉力的大小为F，安培力大小为
，有
设此时回路中的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律，有
设回路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律，有
受到的安培力
由功率表达式，有
联立上述各式，代入数据解得
（2）
从速度
到
的过程中，由动能定理，有
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代入数据解得
49．（2021·北京·高考真题）类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：物体从静止开始下落，除受到重力作用外，还受到一个与运动方向相反
的空气阻力
（k 为常量）的作用。其速率v 随时间t 的变化规律可用方程
（①式）描述，其中m 为物体质量，G 为其重力。求物体下落的最大速率
。
（2）情境2：如图1 所示，电源电动势为E，线圈自感系数为L，电路中的总电阻为
R。闭合开关S，发现电路中电流I 随时间t 的变化规律与情境1 中物体速率v 随时间t
的变化规律类似。类比①式，写出电流I 随时间t 变化的方程；并在图2 中定性画出I -
t 图线。
（3）类比情境1 和情境2 中的能量转化情况，完成下表。
情境1
情境2
物体重力势能的减少量
物体动能的增加量
电阻R 上消耗的电能
【答案】（1）
；（2）a.
，b.
；（3）见解析
【详解】（1）当物体下落速度达到最大速度
时，加速度为零，有
得
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（2）a.由闭合电路的欧姆定理有
b.由自感规律可知，线圈产生的自感电动势阻碍电流，使它逐渐变大，电路稳定后自
感现象消失，I - t 图线如答图2
（3）各种能量转化的规律如图所示
情境1
情境2
电源提供的电能
线圈磁场能的增加量
克服阻力做功消耗的机械
能
50．（2021·北京·高考真题）如图所示，M 为粒子加速器；N 为速度选择器，两平行导
体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应
强度为B。从S 点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，经M 加速
后恰能以速度v 沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。
（1）求粒子加速器M 的加速电压U；
（2）求速度选择器N 两板间的电场强度E 的大小和方向；
（3）仍从S 点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q 的带正电粒子，离开N 时
粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N 时的动能
。
【答案】（1）
；（2）
，方向垂直导体板向下；（3）
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【详解】（1）粒子直线加速，根据功能关系有
解得
（2）速度选择器中电场力与洛伦兹力平衡
得
方向垂直导体板向下。
（3）粒子在全程电场力做正功，根据功能关系有
解得
51．（2021·山东·高考真题）某离子实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，
左边界与x 轴垂直交于坐标原点O，其内充满垂直于
平面向里的匀强磁场，磁感
应强度大小为
；Ⅱ区宽度为L，左边界与x 轴垂直交于
点，右边界与x 轴垂直交
于
点，其内充满沿y 轴负方向的匀强电场。测试板垂直x 轴置于Ⅱ区右边界，其中
心C 与
点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m 的正离子，加速后沿x 轴
正方向过O 点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时
速度方向与x 轴正方向的夹角为
。忽略离子间的相互作用，不计重力。
（1）求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；
（2）求Ⅱ区内电场强度的大小E；
（3）保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为B
（数值未知）方向相反且平行y 轴的匀强磁场，如图乙所示。为使离子的运动轨迹与
测试板相切于C 点，需沿x 轴移动测试板，求移动后C 到
的距离S。
99
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设离子在Ⅰ区内做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得
①
根据几何关系得
②
联立①②式得
（2）离子在Ⅱ区内只受电场力，x 方向做匀速直线运动，y 方向做匀变速直线运动，
设从进入电场到击中测试板中心C 的时间为t，y 方向的位移为
，加速度大小为a，
由牛顿第二定律得
由运动的合成与分解得
，
，
联立得
（3）Ⅱ区内填充磁场后，离子在垂直y 轴的方向做线速度大小为vcosθ 的匀速圆周运
动，如图所示。设左侧部分的圆心角为
，圆周运动半径为
，运动轨迹长度为
，
由几何关系得
100
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，
由于在y 轴方向的运动不变，离子的运动轨迹与测试板相切于C 点，则离子在Ⅱ区内
的运动时间不变，故有
C 到
的距离
联立得
52．（2021·浙江·高考真题）如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为
d 的中间有小孔的两平行金属板M、N 和边长为L 的立方体构成，其后端面P 为喷口。
以金属板N 的中心O 为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立x、y 和z 坐标轴。
M、N 板之间存在场强为E、方向沿z 轴正方向的匀强电场；立方体内存在磁场，其磁
感应强度沿z 方向的分量始终为零，沿x 和y 方向的分量
和
随时间周期性变化规
律如图乙所示，图中
可调。氙离子（
）束从离子源小孔S 射出，沿z 方向匀速
运动到M 板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面P 射出，测得离子经电场加速后
在金属板N 中心点O 处相对推进器的速度为v0。已知单个离子的质量为m、电荷量为
，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。
（1）求离子从小孔S 射出时相对推进器的速度大小vS；
（2）不考虑在磁场突变时运动的离子，调节
的值，使得从小孔S 射出的离子均能从
喷口后端面P 射出，求
的取值范围；
101
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（3）设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P 射出的离
子数为n，且
。求图乙中
时刻离子束对推进器作用力沿z 轴方向的分力。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，方向沿z 轴负方向
【详解】（1）离子从小孔S 射出运动到金属板N 中心点O 处，根据动能定理有
解得离子从小孔S 射出时相对推进器的速度大小
（2）当磁场仅有沿x 方向的分量取最大值时，离子从喷口P 的下边缘中点射出，根据
几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
当磁场在x 和y 方向的分量同取最大值时，离子从喷口P 边缘交点射出，根据几何关
系有
102
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此时
；根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
故
的取值范围为
；
（3）粒子在立方体中运动轨迹剖面图如图所示
由题意根据洛伦兹力提供向心力有
且满足
所以可得
所以可得
离子从端面P 射出时，在沿z 轴方向根据动量定理有
根据牛顿第三定律可得离子束对推进器作用力大小为
103
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方向沿z 轴负方向。
53．（2021·浙江·高考真题）一种探测气体放电过程的装置如图甲所示，充满氖气（
）的电离室中有两电极与长直导线连接，并通过两水平长导线与高压电源相连。在
与长直导线垂直的平面内，以导线为对称轴安装一个用阻值
的细导线绕制、
匝数
的圆环形螺线管，细导线的始末两端c、d 与阻值
的电阻连接。
螺线管的横截面是半径
的圆，其中心与长直导线的距离
。气体
被电离后在长直导线回路中产生顺时针方向的电流I，其
图像如图乙所示。为便于
计算，螺线管内各处的磁感应强度大小均可视为
，其中
。
（1）求
内通过长直导线横截面的电荷量Q；
（2）求
时，通过螺线管某一匝线圈的磁通量
；
（3）若规定
为电流的正方向，在不考虑线圈自感的情况下，通过计算，画
出通过电阻R 的
图像；
（4）若规定
为电流的正方向，考虑线圈自感，定性画出通过电阻R 的
图像。
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析；（4）见解析
104
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【详解】（1）由电量和电流的关系
可知
图像下方的面积表示电荷量，因此
有
代入数据解得
（2）由磁通量的定义可得
代入数据可得
（3）在
时间内电流均匀增加，有楞次定律可知感应电流的方向
，产生恒定的感应电动势
由闭合回路欧姆定律可得
代入数据解得
在
电流恒定，穿过圆形螺旋管的磁场恒定，因此感应电动势为零，
感应电流为零，而在
时间内电流随时间均匀变化，斜率大小和
大小相同，因此电流大小相同，由楞次定律可知感应电流的方向为
，则图像如图所示
105
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（4）考虑自感的情况下，线框会产生自感电动势阻碍电流的变化，因此开始时电流是
缓慢增加的，过一段时间电路达到稳定后自感消失，电流的峰值和之前大小相同，在
时间内电路中的磁通量不变化电流要减小为零，因此自感电动势
会阻碍电流的减小，使得电流缓慢减小为零。同理，在
内电流缓
慢增加，过一段时间电路达到稳定后自感消失，在
之后，电路中的磁通量不
变化电流要减小为零，因此自感电动势会阻碍电流的减小，使得电流缓慢减小为零。
图像如图
54．（2021·广东·高考真题）图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心
圆a、b、c 围成的区域，圆a 内为无场区，圆a 与圆b 之间存在辐射状电场，圆b 与圆
c 之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区感应强度恒定，
大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能
从圆b 上P 点沿径向进入电场，电
场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a 与圆b 之间电势差为
U，圆b 半径为R，圆c 半径为
，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，
取
。
106
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（1）当
时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨
迹的夹角
均为45°，最终从Q 点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁
感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q 点出射时的动能；
（2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当
时，
要保证电子从出射区域出射，求k 的最大值。
【答案】（1）
，
，
；（2）
【详解】（1）电子在电场中加速有
在磁场Ⅰ中，由几何关系可得
联立解得
在磁场Ⅰ中的运动周期为
由几何关系可得，电子在磁场Ⅰ中运动的圆心角为
在磁场Ⅰ中的运动时间为
107
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联立解得
从Q 点出来的动能为
（2）在磁场Ⅰ中的做匀速圆周运动的最大半径为
，此时圆周的轨迹与Ⅰ边界相切，
由几何关系可得
解得
由于
联立解得
55．（2021·全国·高考真题）如图，一倾角为
的光滑固定斜面的顶端放有质量
的U 型导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻
的金属棒
的两
端置于导体框上，与导体框构成矩形回路
；
与斜面底边平行，长度
。
初始时
与
相距
，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距
离
后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面
底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬
间，导体框的
边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与
导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小
，重力加速度大小取
108
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。求：
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
（3）导体框匀速运动的距离。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【分析】、
【详解】（1）根据题意可得金属棒和导体框在没有进入磁场时一起做匀加速直线运动，
由动能定理可得
代入数据解得
金属棒在磁场中切割磁场产生感应电动势，由法拉第电磁感应定律可得
由闭合回路的欧姆定律可得
则导体棒刚进入磁场时受到的安培力为
（2）金属棒进入磁场以后因为瞬间受到安培力的作用，根据楞次定律可知金属棒的安
培力沿斜面向上，之后金属棒相对导体框向上运动，因此金属棒受到导体框给的沿斜
面向下的滑动摩擦力，因匀速运动，可有
此时导体框向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得
设磁场区域的宽度为x，则金属棒在磁场中运动的时间为
109
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当金属棒刚好离开磁场区域时，则此时导体框的速度为
则导体框的位移
因此导体框和金属棒的相对位移为
由题意当金属棒离开磁场时金属框的上端EF 刚好进入磁场，则有位移关系
金属框进入磁场时匀速运动，此时的电动势为
导体框受到向上的安培力和滑动摩擦力，因此可得
联立以上可得
（3）金属棒出磁场以后，速度小于导体框的速度，因此受到向下的摩擦力，做加速运
动，则有
金属棒向下加速，导体框匀速，当共速时导体框不再匀速，则有
导体框匀速运动的距离为
110
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代入数据解得
56．（2021·全国·高考真题）如图，长度均为l 的两块挡板竖直相对放置，间距也为
l，两挡板上边缘P 和M 处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的
匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的
匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水
平向右发射，恰好从P 点处射入磁场，从两挡板下边缘Q 和N 之间射出磁场，运动过
程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ 的夹角为60°，不计重
力。
（1）求粒子发射位置到P 点的距离；
（2）求磁感应强度大小的取值范围；
（3）若粒子正好从QN 的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN 的最近距
离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）粒子运动轨迹见解析，
【详解】（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律可知
①
②
粒子射入磁场时的速度方向与PQ 的夹角为60°，有
③
粒子发射位置到P 点的距离
111
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④
由①②③④式得
⑤
（2）带电粒子在磁场运动在速度
⑥
带电粒子在磁场中运动两个临界轨迹（分别从Q、N 点射出）如图所示
由几何关系可知，最小半径
⑦
最大半径
⑧
带电粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，由向心力公式可知
⑨
由⑥⑦⑧⑨解得，磁感应强度大小的取值范围
（3）若粒子正好从QN 的中点射出磁场时，带电粒子运动轨迹如图所示。
由几何关系可知
112
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⑩
带电粒子的运动半径为
⑪
粒子在磁场中的轨迹与挡板MN 的最近距离
⑫
由⑩⑪⑫式解得
⑬
57．（2021·河北·高考真题）如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直
纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，极板与可调电源相连，正极板上O 点处
的粒子源垂直极板向上发射速度为
、带正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷
量为q，一足够长的挡板
与正极板成
倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子，
C、P 是负极板上的两点，C 点位于O 点的正上方，P 点处放置一粒子靶（忽略靶的大
小），用于接收从上方打入的粒子，
长度为
，忽略栅极的电场边缘效应、粒子
间的相互作用及粒子所受重力。
。
（1）若粒子经电场一次加速后正好打在P 点处的粒子靶上，求可调电源电压
的大
小；
（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板
上，求电压的最小值
；
113
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（3）若粒子靶在负极板上的位置P 点左右可调，则负极板上存在H、S 两点（
，H、S 两点末在图中标出）、对于粒子靶在
区域内的每一点，当电
压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到n（
）种能量的粒子，求
和
的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；
【详解】（1）从O 点射出的粒子在板间被加速，则
粒子在磁场中做圆周运动，则半径
由
解得
（2）当电压有最小值时，当粒子穿过下面的正极板后，圆轨道与挡板OM 相切，此时
粒子恰好不能打到挡板上，则
114
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从O 点射出的粒子在板间被加速，则
粒子在负极板上方的磁场中做圆周运动
粒子从负极板传到正极板时速度仍减小到v0，则
由几何关系可知
联立解得
（3）结合（2）分析可知，当粒子经上方磁场再进入下方磁场时，轨迹与挡板相切时，
粒子运动轨迹半径分别为r2、r3，则
①当粒子在下方区域磁场的运动轨迹正好与OM 相切，再进入上方磁场区域做圆周运
动，轨迹与负极板的交点记为H2，当增大两极板的电压，粒子在上方磁场中恰好运动
到H2点时，粒子靶恰好能够接收2 种能量的粒子，此时H2点为距C 点最近的位置，是
接收2 种能量的粒子的起点，运动轨迹如图所示
115
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由几何关系可得
②同理可知当粒子靶接收3 种能量的粒子的运动轨迹如图所示
第③个粒子经过下方磁场时轨迹与MN 相切，记该粒子经过H2后再次进入上方磁场区
域运动时轨迹与负极板的交点为H3 (S2) ，则该点为接收两种粒子的终点，同时也是接
收3 种粒子的起点。由几何关系可得
可知，粒子靶接收n 种、n+1 种粒子的起点（即粒子靶接收n 种粒子的起点与终点）始
终相距
当粒子靶接收n 种能量的粒子时，可得
58．（2021·湖南·高考真题）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术
之一、带电粒子流（每个粒子的质量为
、电荷量为
）以初速度垂直进入磁场，
不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在
平面内的粒子，求解以下问题。
116
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（1）如图（a），宽度为
的带电粒子流沿
轴正方向射入圆心为
、半径为
的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点
，求该磁场磁感
应强度
的大小；
（2）如图（a），虚线框为边长等于
的正方形，其几何中心位于
。在虚线
框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到
点的带电粒子流经过该区域后宽
度变为
，并沿
轴正方向射出。求该磁场磁感应强度
的大小和方向，以及该磁场
区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；
（3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于
的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等
于
的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度
为
的带电粒子流沿
轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点
，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽
度变为
，并沿
轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场
磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过
程）。
【答案】（1）
；（2）
，垂直与纸面向里，
；（3）
，
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，
，
【详解】（1）粒子垂直
进入圆形磁场，在坐标原点
汇聚，满足磁聚焦的条件，即
粒子在磁场中运动的半径等于圆形磁场的半径
，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供
向心力
解得
（2）粒子从
点进入下方虚线区域，若要从聚焦的
点飞入然后平行
轴飞出，为磁
发散的过程，即粒子在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的
边界如图所示，图中圆形磁场即为最小的匀强磁场区域
磁场半径为
，根据
可知磁感应强度为
根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为
（3）粒子在磁场中运动，3 和4 为粒子运动的轨迹圆，1 和2 为粒子运动的磁场的圆
周
118
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根据
可知I 和III 中的磁感应强度为
，
图中箭头部分的实线为粒子运动的轨迹，可知磁场的最小面积为叶子形状，取I 区域
如图
图中阴影部分面积的一半为四分之一圆周
与三角形
之差，所以阴影部分的面
积为
类似地可知IV 区域的阴影部分面积为
根据对称性可知II 中的匀强磁场面积为
119
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59．（2021·浙江·统考高考真题）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。
如图所示是离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然
后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆
（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为
B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向
分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一
圆环，其两端中心位置M 和N 处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是
同一边长为L 的正方体，其偏转系统的底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当
偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O 点（即图中坐标原点，x
轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过
电场和磁场偏转的角度都很小。当α 很小时，有
，
。求：
(1)离子通过速度选择器后的速度大小v 和磁分析器选择出来离子的比荷；
(2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明
理由。
【答案】(1)
，
；(2)（
，0）；(3)（0，
）；(4)见解析
120
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【详解】(1)通过速度选择器离子的速度
从磁分析器中心孔N 射出离子的运动半径为
由
得
(2)经过电场后，离子在x 方向偏转的距离
离开电场后，离子在x 方向偏移的距离
位置坐标为(
，0)
(3)离子进入磁场后做圆周运动半径
经过磁场后，离子在y 方向偏转距离
离开磁场后，离子在y 方向偏移距离
则
121
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位置坐标为(0，
)
(4)注入晶圆的位置坐标为(
，
),电场引起的速度增量对y 方向的运动不产
生影响。
60．（2021·浙江·统考高考真题）嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明
知道月球上没有空气，无法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图
所示，该装置由船舱、间距为l 的平行导轨、产生垂直船舱导轨平面的磁感应强度大小
为B 的匀强磁场的磁体和“∧”型刚性线框组成，“∧”型线框ab 边可沿导轨滑动并
接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m1整个装置竖直着陆到月球表面
前瞬间的速度大小为v0，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨下
方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r，“∧”型线框的
质量为m2，其7 条边的边长均为l，电阻均为r；月球表面的重力加速度为g/6。整个运
动过程中只有ab 边在磁场中，线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。
(1)求着陆装置接触到月球表面后瞬间线框ab 边产生的电动势E；
(2)通过画等效电路图，求着陆装置接触到月球表面后瞬间流过ab 型线框的电流I0；
(3)求船舱匀速运动时的速度大小v；
(4)同桌小张认为在磁场上方、两导轨之间连接一个电容为C 的电容器，在着陆减速过
程中还可以回收部分能量，在其他条件均不变的情况下，求船舱匀速运动时的速度大
小
和此时电容器所带电荷量q。
122
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【答案】(1)Blv0；(2)
；(3)
；(4)
，
【详解】(1)导体切割磁感线，电动势
(2)等效电路图如图
并联总电阻
电流
(3)匀速运动时线框受到安培力
123
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根据牛顿第三定律，质量为m1的部分受力F=FA，方向竖直向上，匀速条件
得
(4)匀速运动时电容器不充放电，满足
电容器两端电压为
电荷量为
61．（2020·海南·统考高考真题）如图，虚线MN 左侧有一个正三角形ABC，C 点在
MN 上，AB 与MN 平行，该三角形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场；MN 右侧
的整个区域存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带正电的离子（重力不计）以初速
度
从AB 的中点O 沿OC 方向射入三角形区域，偏转
后从MN 上的Р 点（图中未
画出）进入MN 右侧区域，偏转后恰能回到O 点。已知离子的质量为m，电荷量为q，
正三角形的边长为d：
(1)求三角形区域内磁场的磁感应强度；
(2)求离子从O 点射入到返回O 点所需要的时间；
(3)若原三角形区域存在的是一磁感应强度大小与原来相等的恒磁场，将MN 右侧磁场
变为一个与MN 相切于P 点的圆形匀强磁场让离子从P 点射入圆形磁场，速度大小仍
为
，方向垂直于BC，始终在纸面内运动，到达О 点时的速度方向与OC 成
角，
求圆形磁场的磁感应强度。
124
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【答案】(1)
；(2)
；(3)见解析
【详解】(1)画出粒子运动轨迹如图
粒子在三角形ABC 中运动时，有
又粒子出三角形磁场时偏转
，由几何关系可知
125
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联立解得
(2)粒子从D 运动到P，由几何关系可知
运动时间
粒子在MN 右侧运动的半径为
则有
运动时间
故粒子从O 点射入到返回O 点所需要的时间
(3)若三角形ABC 区域磁场方向向里，则粒子运动轨迹如图中①所示，有
解得
此时根据
有
若三角形ABC 区域磁场方向向外，则粒子运动轨迹如图中②所示，有
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解得
此时根据
有
62．（2020·北京·统考高考真题）某试验列车按照设定的直线运动模式，利用计算机控
制制动装置，实现安全准确地进站停车。制动装置包括电气制动和机械制动两部分。
图1 所示为该列车在进站停车过程中设定的加速度大小
随速度的变化曲线。
(1)求列车速度从
降至
经过的时间t 及行进的距离x。（保留1 位小数）
(2)有关列车电气制动，可以借助图2 模型来理解。图中水平平行金属导轨处于竖直方
向的匀强磁场中，回路中的电阻阻值为
，不计金属棒
及导轨的电阻。
沿导
轨向右运动的过程，对应列车的电气制动过程，可假设
棒运动的速度与列车的速
度、棒的加速度与列车电气制动产生的加速度成正比。列车开始制动时，其速度和电
气制动产生的加速度大小对应图1 中的
点。论证电气制动产生的加速度大小随列车
速度变化的关系，并在图1 中画出图线。
(3)制动过程中，除机械制动和电气制动外，列车还会受到随车速减小而减小的空气阻
力。分析说明列车从
减到
的过程中，在哪个速度附近所需机械制动最强?
(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明)
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【答案】. (1)
，
；(2) 列车电气制动产生的加速度与列车的速度成
正比，为过P 点的正比例函数，论证过程见解析。画出的图线如下图所示：
(3)
【详解】（1）列车速度从
降至
的过程中做匀减速直线运动，根据
运动学公式可得
（2）设金属棒MN 的质量为m，磁感应强度为B，导轨宽度为l，MN 棒在任意时刻的
速度大小为vMN。MN 棒切割磁感线产生的感应电动势为
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回路中的电流为
MN 棒所受安培力大小为
MN 棒的加速度大小为
由上式可知
与
成正比。又因为MN 棒运动的速度与列车的速度、棒的加速度与
列车电气化制动产生的加速度成正比，所以电气制动产生的加速度a 电气与列车的速度
v 成正比，则电气制动产生的加速度大小随列车速度变化图线如图1 所示。
（3）制动过程中，列车受到的阻力是由电气制动、机械制动和空气阻力共同引起的。
由（2）可知，电气制动的阻力与列车速度成正比；空气阻力随速度的减小而减小；由
题图1 并根据牛顿第二定律可知，列车速度在20m/s 至3m/s 区间所需合力最大且不变。
综合以上分析可知，列车速度在3m/s 左右所需机械制动最强。
63．（2020·北京·统考高考真题）如图甲所示，真空中有一长直细金属导线
，与导
线同轴放置一半径为
的金属圆柱面。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，已
知电子质量为
，电荷量为。不考虑出射电子间的相互作用。
(1)可以用以下两种实验方案测量出射电子的初速度：
a.在柱面和导线之间，只加恒定电压；
b.在柱面内，只加与
平行的匀强磁场。
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当电压为
或磁感应强度为
时，刚好没有电子到达柱面。分别计算出射电子的初速
度
。
(2)撤去柱面，沿柱面原位置放置一个弧长为
、长度为
的金属片，如图乙所示。在
该金属片上检测到出射电子形成的电流为
，电子流对该金属片的压强为
。求单位
长度导线单位时间内出射电子的总动能。
【答案】（1）a.
，b.
；（2）
【详解】（1）a.在柱面和导线之间，只加恒定电压
，粒子刚好没有电子到达柱面，
此时速度为零，根据动能定理有
解得
b.在柱面内，只加与
平行的匀强磁场，磁感应强度为
时，刚好没有电子到达柱
面，设粒子的偏转半径为r，根据几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力，则有
解得
（2）撤去柱面，设单位时间单位长度射出的电子数为n，则单位时间打在金属片的粒
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子数
金属片上形成电流为
所以
根据动量定理得金属片上的压强为
解得
故总动能为
64．（2020·北京·统考高考真题）如图甲所示，
匝的线圈（图中只画了2 匝），
电阻
，其两端与一个
的电阻相连，线圈内有指向纸内方向的磁场。线
圈中的磁通量按图乙所示规律变化。
(1)判断通过电阻
的电流方向；
(2)求线圈产生的感应电动势
；
(3)求电阻
两端的电压
。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【详解】(1)根据图像可知，线圈中垂直于纸面向里的磁场增大，为了阻碍线圈中磁通
量的增大，根据楞次定律可知线圈中感应电流产生的磁场垂直于纸面向外，根据安培
定则可知线圈中的感应电流为逆时针方向，所通过电阻
的电流方向为
。
(2)根据法拉第电磁感应定律
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(3)电阻
两端的电压为路端电压，根据分压规律可知
65．（2020·江苏·统考高考真题）空间存在两个垂直于
平面的匀强磁场，y 轴为两
磁场的边界，磁感应强度分别为
、
。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O
沿x 轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1 次、第2 次经过y 轴的位置分别为P、Q，其
轨迹如图所示。甲经过Q 时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m，电荷量为
q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
(1)Q 到O 的距离d；
(2)甲两次经过P 点的时间间隔
；
(3)乙的比荷
可能的最小值。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【详解】(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由
得，
，
Q、O 的距离为：
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(2)由(1)可知，完成一周期运动上升的距离为d，粒子再次经过P，经过N 个周期，
所以，再次经过P 点的时间为
由匀速圆周运动的规律得
，
绕一周的时间为
所以，再次经过P 点的时间为
两次经过P 点的时间间隔为
(3)由洛伦兹力提供向心力，由
得，
，
完成一周期运动上升的距离
若乙粒子从第一象限进入第二象限的过程中与甲粒子在Q 点相遇，则
，
结合以上式子，n 无解。
若乙粒子从第二象限进入第一象限的过程中与甲离子在Q 点相遇，则
，
计算可得
（n=1，2，3……）
由于甲乙粒子比荷不同，则n=2 时，乙的比荷
最小，为
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66．（2020·江苏·统考高考真题）如图所示，电阻为
的正方形单匝线圈
的边
长为
，
边与匀强磁场边缘重合。磁场的宽度等于线圈的边长，磁感应强度大小
为
。在水平拉力作用下，线圈以
的速度向右穿过磁场区域。求线圈在上述过
程中：
(1)感应电动势的大小E；
(2)所受拉力的大小F；
(3)感应电流产生的热量Q。
【答案】(1)0.8V；(2)0.8N；(3)0.32J
【详解】(1)由题意可知当线框切割磁感线是产生的电动势为
(2)因为线框匀速运动故所受拉力等于安培力，有
根据闭合电路欧姆定律有
结合(1)联立各式代入数据可得F=0.8N；
(3)线框穿过磁场所用的时间为
故线框穿越过程产生的热量为
67．（2020·天津·统考高考真题）多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实
验仪器，其基本原理如图所示，从离子源A 处飘出的离子初速度不计，经电压为U 的
匀强电场加速后射入质量分析器。质量分析器由两个反射区和长为l 的漂移管（无场区
域）构成，开始时反射区1、2 均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开
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始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射
区的离子能够反射回漂移管。离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2 时，
撤去反射区的电场，离子打在荧光屏B 上被探测到，可测得离子从A 到B 的总飞行时
间。设实验所用离子的电荷量均为q，不计离子重力。
（1）求质量为m 的离子第一次通过漂移管所用的时间
；
（2）反射区加上电场，电场强度大小为E，求离子能进入反射区的最大距离x；
（3）已知质量为
的离子总飞行时间为
，待测离子的总飞行时间为
，两种离子在
质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设离子经加速电场加速后的速度大小为v，有
①
离子在漂移管中做匀速直线运动，则
②
联立①②式，得
③
（2）根据动能定理，有
④
得
⑤
（3）离子在加速电场中运动和反射区电场中每次单向运动均为匀变速直线运动，平均
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速度大小均相等，设其为，有
⑥
通过⑤式可知，离子在反射区的电场中运动路程是与离子本身无关的，所以不同离子
在电场区运动的总路程相等，设为
，在无场区的总路程设为
，根据题目条件可知，
离子在无场区速度大小恒为v，设离子的总飞行时间为
。有
⑦
联立①⑥⑦式，得
⑧
可见，离子从A 到B 的总飞行时间与
成正比。由题意可得
可得
⑨
68．（2020·天津·统考高考真题）如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
B 随时间t 均匀变化。正方形硬质金属框abcd 放置在磁场中，金属框平面与磁场方向
垂直，电阻
，边长
。求
（1）在
到
时间内，金属框中的感应电动势E；
（2）
时，金属框ab 边受到的安培力F 的大小和方向；
（3）在
到
时间内，金属框中电流的电功率P。
【答案】（1）0.08V；（2）0.016N，方向垂直于ab 向左；（3）0.064W
【详解】（1）在
到
的时间
内，磁感应强度的变化量
，设穿过
金属框的磁通量变化量为
，有
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①
由于磁场均匀变化，金属框中产生的电动势是恒定的，有
②
联立①②式，代入数据，解得
③
（2）设金属框中的电流为I，由闭合电路欧姆定律，有
④
由图可知，
时，磁感应强度为
，金属框ab 边受到的安培力
⑤
联立①②④⑤式，代入数据，解得
⑥
方向垂直于ab 向左。⑦
（3）在
到
时间内，金属框中电流的电功率
⑧
联立①②④⑧式，代入数据，解得
⑨
69．（2020·山东·统考高考真题）某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N 为竖直
放置的两金属板，两板间电压为U，Q 板为记录板，分界面P 将N、Q 间区域分为宽
度均为d 的I、Ⅱ两部分，M、N、P、Q 所在平面相互平行，a、b 为M、N 上两正对
的小孔。以a、b 所在直线为z 轴，向右为正方向，取z 轴与Q 板的交点O 为坐标原点，
以平行于Q 板水平向里为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向，建立空间直角坐标系
Oxyz。区域I、Ⅱ内分别充满沿x 轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、
电场强度大小分别为B 和E。一质量为m，电荷量为+q 的粒子，从a 孔飘入电场（初
速度视为零），经b 孔进入磁场，过P 面上的c 点（图中未画出）进入电场，最终打
到记录板Q 上。不计粒子重力。
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的半径R 以及c 点到z 轴的距离L；
（2）求粒子打到记录板上位置的x 坐标；
（3）求粒子打到记录板上位置的y 坐标（用R、d 表示）；
（4）如图乙所示，在记录板上得到三个点s1、s2、s3，若这三个点是质子
、氚核
、
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氦核
的位置，请写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的相互作用，不
要求写出推导过程）。
【答案】（1）
，
；（2）
；
（3）
；（4）s1、s2、s3分别对应氚核
、氦核
、质子
的位置
【详解】（1）设粒子经加速电场到b 孔的速度大小为v，粒子在区域I 中，做匀速圆
周运动对应圆心角为α，在M、N 两金属板间，由动能定理得
在区域I 中，粒子做匀速圆周运动，磁场力提供向心力，由牛顿第二定律得
联立解得
根据题意，画出运动轨迹如图所示
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由几何关系得
，
，
联立解得
（2）设区域Ⅱ中粒子沿z 轴方向的分速度为
，沿x 轴正方向加速度大小为a，位移
大小为x，运动时间为t，由牛顿第二定律得
粒子在z 轴方向做匀速直线运动，由运动合成与分解的规律得
，
粒子在x 方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式得
联立解得
（3）设粒子沿y 方向偏离z 轴的距离为y，其中在区域Ⅱ中沿y 方向偏离的距离为y'，
由运动学公式得
由题意得
联立解得
（4）s1、s2、s3分别对应氚核
、氦核
、质子
的位置。
70．（2020·浙江·统考高考真题）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存
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在边界为矩形
、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，探测板
平行于
水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c 三束宽度不计、间
距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界
水平射入磁场，b 束中的离子在
磁场中沿半径为R 的四分之一圆弧运动后从下边界
竖直向下射出，并打在探测板的
右边缘D 点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为
，探
测板
的宽度为
，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作
用。
(1)求离子速度v 的大小及c 束中的离子射出磁场边界
时与H 点的距离s；
(2)求探测到三束离子时探测板与边界
的最大距离
；
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F
与板到
距离L 的关系。
【答案】(1)
，0.8R；(2)
；(3)当
时：
；当
时：
；当
时：
【详解】(1)离子在磁场中做圆周运动
得粒子的速度大小
令c 束中的离子运动轨迹对应的圆心为O，从磁场边界
边的Q 点射出，则由几何关
系可得
，
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(2)a 束中的离子运动轨迹对应的圆心为O’，从磁场边界
边射出时距离H 点的距离
为x，由几何关系可得
即a、c 束中的离子从同一点Q 射出，离开磁场的速度分别于竖直方向的夹角为
、
，
由几何关系可得
探测到三束离子，则c 束中的离子恰好达到探测板的D 点时，探测板与边界
的距离
最大，
则
(3)a 或c 束中每个离子动量的竖直分量
当
时所有离子都打在探测板上，故单位时间内离子束对探测板的平均作用
力
当
时， 只有b 和c 束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测
板的平均作用力为
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当
时， 只有b 束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均
作用力为
71．（2020·浙江·统考高考真题）如图1 所示，在绝缘光滑水平桌面上，以O 为原点、
水平向右为正方向建立x 轴，在
区域内存在方向竖直向上的匀强磁场。桌
面上有一边长
、电阻
的正方形线框
，当平行于磁场边界的
边进入磁场时，在沿x 方向的外力F 作用下以
的速度做匀速运动，直到
边
进入磁场时撤去外力。若以
边进入磁场时作为计时起点，在
内磁感应强
度B 的大小与时间t 的关系如图2 所示，在
内线框始终做匀速运动。
(1)求外力F 的大小；
(2)在
内存在连续变化的磁场，求磁感应强度B 的大小与时间t 的关系；
(3)求在
内流过导线横截面的电荷量q。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【详解】(1)由图2 可知
，则回路电流
安培力
所以外力
(2)匀速出磁场，电流为0，磁通量不变
，
时，
，磁通量
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，则t 时刻，磁通量
解得
(3)
电荷量
电荷量
总电荷量
72．（2020·全国·统考高考真题）如图，一边长为l0的正方形金属框abcd 固定在水平
面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。一长度大于
的均匀导体棒以速率v 自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与
ac 垂直且中点位于ac 上，导体棒与金属框接触良好。已知导体棒单位长度的电阻为
r，金属框电阻可忽略。将导体棒与a 点之间的距离记为x，求导体棒所受安培力的大
小随x（
）变化的关系式。
【答案】
【详解】当导体棒与金属框接触的两点间棒的长度为l 时，由法第电磁感应定律可知导
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体棒上感应电动势的大小为
由欧姆定律可知流过导体棒的感应电流为
式中R 为这一段导体棒的电阻。按题意有
此时导体棒所受安培力大小为
由题设和几何关系有
联立各式得
73．（2020·全国·统考高考真题）如图，在0≤x≤h，
区域中存在方向垂直于
纸面的匀强磁场，磁感应强度B 的大小可调，方向不变。一质量为m，电荷量为q
（q>0）的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x 轴进入磁场，不计重力。
（1）若粒子经磁场偏转后穿过y 轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这
种情况下磁感应强度的最小值Bm；
（2）如果磁感应强度大小为
，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒
子在该点的运动方向与x 轴正方向的夹角及该点到x 轴的距离。
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【答案】（1）磁场方向垂直于纸面向里；
；（2）
；
【详解】（1）由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向
垂直于纸面向里。设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆
周运动规律，有
①
由此可得
②
粒子穿过y 轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y 轴正半轴上，半径
应满足
③
由②可得，当磁感应强度大小最小时，设为Bm，粒子的运动半径最大，由此得
④
（2）若磁感应强度大小为
，粒子做圆周运动的圆心仍在y 轴正半轴上，由②④式
可得，此时圆弧半径为
⑤
粒子会穿过图中P 点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在P 点的运动方向与x 轴
正方向的夹角为α，
由几何关系
⑥
即
⑦
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由几何关系可得，P 点与x 轴的距离为
⑧
联立⑦⑧式得
⑨
74．（2020·全国·统考高考真题）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O
为圆心，半径为R 的圆，AB 为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q（q>0）的
带电粒子在纸面内自A 点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。
已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C 点以速率v0穿出电场，AC 与AB 的
夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为
多大？
【答案】（1）
；（2）
；（3）0 或
【详解】（1）由题意知在A 点速度为零的粒子会沿着电场线方向运动，由于q>0，故
电场线由A 指向C，根据几何关系可知
所以根据动能定理有
解得
（2）根据题意可知要使粒子动能增量最大则沿电场线方向移动距离最多，做AC 垂线
并且与圆相切，切点为D，即粒子要从D 点射出时沿电场线方向移动距离最多，粒子
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在电场中做类平抛运动，根据几何关系有
而电场力提供加速度有
联立各式解得粒子进入电场时的速度
（3）因为粒子在电场中做类平抛运动，粒子穿过电场前后动量变化量大小为mv0，即
在电场方向上速度变化为v0，过C 点做AC 垂线会与圆周交于B 点
故由题意可知粒子会从C 点或B 点射出。当从B 点射出时由几何关系有
电场力提供加速度
联立解得
当粒子从C 点射出时初速度为0，粒子穿过电场前后动量变化量的大小为
，该粒子
进入电场时的速率应为或
。
另解：
由题意知，初速度为0 时，动量增量的大小为
，此即问题的一个解。自A 点以不
同的速率垂直于电场方向射入电场的粒子，动量变化都相同，自B 点射出电场的粒子，
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其动量变化量也恒为
，由几何关系及运动学规律可得，此时入射速率为
75．（2020·浙江·高考真题）通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数
率（即打到探测板上质子数与衰变产生总质子数N 的比值），可研究中子（
）的
衰变。中子衰变后转化成质子和电子，同时放出质量可视为零的反中微子
。如图所
示，位于P 点的静止中子经衰变可形成一个质子源，该质子源在纸面内各向均匀地发
射N 个质子。在P 点下方放置有长度
以O 为中点的探测板，P 点离探测板的
垂直距离
为a。在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B 的匀
强磁场。
已知电子质量
，中子质量
，质子质
量
（c 为光速，不考虑粒子之间的相互作用）。
若质子的动量
。
（1）写出中子衰变的核反应式，求电子和反中微子的总动能（以
为能量单位）；
（2）当
，
时，求计数率；
（3）若
取不同的值，可通过调节
的大小获得与（2）问中同样的计数率，求
与
的关系并给出
的范围。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）核反应方程满足质量数和质子数守恒：
核反应过程中：
148
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根据动量和动能关系：
则总动能为：
（2）质子运动半径：
如图甲所示：
打到探测板对应发射角度：
可得质子计数率为：
（3）在确保计数率为
的情况下：
即：
如图乙所示：
149
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恰能打到探测板左端的条件为：
即：
76．（2020·浙江·高考真题）如图甲所示，在
水平面内，固定放置着间距为l 的两
平行金属直导轨，其间连接有阻值为R 的电阻，电阻两端连接示波器（内阻可视为无
穷大），可动态显示电阻R 两端的电压。两导轨间存在大小为B、方向垂直导轨平面
的匀强磁场。
时一质量为m、长为l 的导体棒在外力F 作用下从
。位置开始
做简谐运动，观察到示波器显示的电压随时间变化的波形是如图乙所示的正弦曲线。
取
，则简谐运动的平衡位置在坐标原点O。不计摩擦阻力和其它电阻，导
体棒始终垂直导轨运动。（提示：可以用
图象下的“面积”代表力F 所做的功）
（1）求导体棒所受到的安培力
随时间t 的变化规律；
（2）求在0 至0.25T 时间内外力F 的冲量；
（3）若
时外力
，求外力
与安培力大小相等时棒的位置坐标和速度。
【答案】(1)
150
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(2)
(3)
和
；
和
；
和
【详解】（1）由显示的波形可得
安培力随时间变化规律：
（2）安培力的冲量：
由动量定理，有：
解得：
（3）棒做简谐运动，有：
当
时：
当
时，设
，
根据动能定理：
151
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解得：
和
；
和
77．（2019·海南·高考真题）如图，一水平面内固定有两根平行的长直金属导轨，导轨
间距为l；两根相同的导体棒AB、CD 置于导轨上并与导轨垂直，长度均为l；棒与导
轨间的动摩擦因数为
（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）：整个装置处于匀强磁场中，
磁感应强度大小为B，方向竖直向下。从
时开始，对AB 棒施加一外力，使AB 棒
从静止开始向右做匀加速运动，直到
时刻撤去外力，此时棒中的感应电流为；
已知CD 棒在
时刻开始运动，运动过程中两棒均与导轨接触良好。两棒
的质量均为m，电阻均为R，导轨的电阻不计。重力加速度大小为g。
(1)求AB 棒做匀加速运动的加速度大小；
(2)求撤去外力时CD 棒的速度大小；
(3)撤去外力后，CD 棒在
时刻静止，求此时AB 棒的速度大小。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【详解】(1)设AB 棒做匀加速运动的加速度大小为a，在t=t0时刻AB 棒的速度为
v0=at0，
此时对CD 棒：
联立解得：
(2)在t1时刻，AB 棒的速度
；
此时
152
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解得
(3)撤去外力后到CD 棒静止，对CD 棒由动量定理：
，
对AB 棒：
联立解得：
78．（2019·江苏·高考真题）如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B．磁场中的水
平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被
反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．
质量为m、电荷量为-q 的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在
磁场中做圆周运动的半径为d，且d<L，粒子重力不计，电荷量保持不变．
（1）求粒子运动速度的大小v；
（2）欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M 的最大距离dm；
（3）从P 点射入的粒子最终从Q 点射出磁场，PM=d，QN=
，求粒子从P 到Q 的运
动时间t．
【答案】（1）
；（2）
；（3）A.当
时，
，B.当
时，
【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力有：
153
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，解得：
由题可得：
解得
；
（2）如图所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切
由几何关系得dm=d（1+sin60°）
解得
（3）粒子的运动周期
设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为t'，则
A.当
时，粒子斜向上射出磁场
解得
B.当
时，粒子斜向下射出磁场
解得
．
79．（2019·江苏·高考真题）如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线
圈，线圈平面与磁场垂直．已知线圈的面积S=0.3m2、电阻R=0.6Ω，磁场的磁感应强
度B=0.2T.现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边在Δt=0.5s 时间内合到一起．求线圈在
上述过程中
（1）感应电动势的平均值E；
（2）感应电流的平均值I，并在图中标出电流方向；
154
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（3）通过导线横截面的电荷量q．
【答案】（1）E=0.12V；（2）I=0.2A（电流方向见图）
；（3）
q=0.1C
【详解】（1）由法拉第电磁感应定律有：
感应电动势的平均值
磁通量的变化
解得：
代入数据得：E=0.12V；
（2）由闭合电路欧姆定律可得：
平均电流
代入数据得I=0.2A
由楞次定律可得，感应电流方向如图：
（3）由电流的定义式
可得：电荷量q=I∆t 代入数据得q=0.1C．
80．（2019·北京·高考真题）如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度为B．纸面
内有一正方形均匀金属线框abcd，其边长为L，总电阻为R，ad 边与磁场边界平行．
从ad 边刚进入磁场直至bc 边刚要进入的过程中，线框在向左的拉力作用下以速度v 匀
速运动，求：
155
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（1）感应电动势的大小E；
（2）拉力做功的功率P；
（3）ab 边产生的焦耳热Q．
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【详解】由导体棒切割磁感线产生电动势综合闭合电路欧姆定律和
解题．
(1)从ad 边刚进入磁场到bc 边刚要进入的过程中，只有ad 边切割磁感线，所以产生的
感应电动势为：
；
(2)线框进入过程中线框中的电流为：
ad 边安培力为：
由于线框匀速运动，所以有拉力与安培力大小相等，方向相反，即
所以拉力的功率为：
联立以上各式解得：
；
(3) 线框进入过程中线框中的电流为：
进入所用的时间为：
ad 边的电阻为：
焦耳热为：
联立解得：
．
81．（2019·天津·高考真题）2018 年，人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生，
这种引擎不需要燃料，也无污染物排放．引擎获得推力的原理如图所示，进入电离室
156
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的气体被电离成正离子，而后飘入电极
、
之间的匀强电场（初速度忽略不计），
、
间电压为
，使正离子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力．
单位时间内飘入的正离子数目为定值，离子质量为
，电荷量为
，其中
是正整数，
是元电荷．
（1）若引擎获得的推力为
，求单位时间内飘入
、
间的正离子数目
为多少；
（2）加速正离子束所消耗的功率
不同时，引擎获得的推力
也不同，试推导
的
表达式；
（3）为提高能量的转换效率，要使
尽量大，请提出增大
的三条建议．
【答案】（1）
（2）
（3）用质量大的离子；用带电量少
的离子；减小加速电压．
【详解】（1）设正离子经过电极
时的速度为
，根据动能定理，有
①
设正离子束所受的电场力为
，根据牛顿第三定律，有
②
设引擎在
时间内飘入电极间的正离子个数为
，由牛顿第二定律，有
③
联立①②③式，且
得
④
（2）设正离子束所受的电场力为
，由正离子束在电场中做匀加速直线运动，有
⑤
157
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考虑到牛顿第三定律得到
，联立①⑤式得
⑥
（3）为使
尽量大，分析⑥式得到
三条建议：用质量大的离子；用带电量少的离子；减小加速电压．
82．（2019·天津·高考真题）如图所示，固定在水平面上间距为的两条平行光滑金属
导轨，垂直于导轨放置的两根金属棒
和
长度也为、电阻均为
，两棒与导轨
始终接触良好．
两端通过开关
与电阻为
的单匝金属线圈相连，线圈内存在竖
直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量
．图中虚线右侧有垂直于导轨平面向
下的匀强磁场，磁感应强度大小为
．
的质量为
，金属导轨足够长，电阻忽略不
计．
（1）闭合
，若使
保持静止，需在其上加多大的水平恒力
，并指出其方向；
（2）断开
，
在上述恒力作用下，由静止开始到速度大小为
的加速过程中流过
的电荷量为
，求该过程安培力做的功
．
【答案】（1）
，方向水平向右；（2）
【详解】（1）设线圈中的感应电动势为
，由法拉第电磁感应定律
，则
①
设
与
并联的电阻为
，有
②
闭合
时，设线圈中的电流为
，根据闭合电路欧姆定律得
③
158
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设
中的电流为
，有
④
设
受到的安培力为
，有
⑤
保持
静止，由受力平衡，有ⅠⅡⅢⅣ
⑥
联立①②③④⑤⑥式得
⑦
方向水平向右．
（2）设
由静止开始到速度大小为
的加速过程中，
运动的位移为
，所用时间
为
，回路中的磁通量变化为
，平均感应电动势为
，有
⑧
其中
⑨
设
中的平均电流为
，有
⑩
根据电流的定义得
⑪
由动能定理，有
⑫
联立⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬式得
⑬
83．（2019·全国·高考真题）空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P 是电场中的
两点．从O 点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m 的小球A、B．A 不带电，
159
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B 的电荷量为q（q>0）．A 从O 点发射时的速度大小为v0，到达P 点所用时间为t；B
从O 点到达P 点所用时间为
．重力加速度为g，求
（1）电场强度的大小；
（2）B 运动到P 点时的动能．
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设电场强度的大小为E，小球B 运动的加速度为a．根据牛顿定律、运
动学公式和题给条件，有
mg+qE=ma①
②
解得
③
（2）设B 从O 点发射时的速度为v1，到达P 点时的动能为Ek，O、P 两点的高度差为
h，根据动能定理有
④
且有
⑤
⑥
联立③④⑤⑥式得
⑦
84．（2019·全国·高考真题）如图，两金属板P、Q 水平放置，间距为d。两金属板正
中间有一水平放置的金属网G，PQG 的尺寸相同。G 接地，P、Q 的电势均为
（
>0）。质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子自G 的左端上方距离G 为h 的位置，以速
度v0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。
（1）求粒子第一次穿过G 时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大
小；
（2）若粒子恰好从G 的下方距离G 也为h 的位置离开电场，则金属板的长度最短应为
多少？
160
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【答案】（1）
；
（2）
【详解】（1）PG、QG 间场强大小相等，均为E，粒子在PG 间所受电场力F 的方向
竖直向下，设粒子的加速度大小为a，有
①
F=qE=ma②
设粒子第一次到达G 时动能为Ek，由动能定理有
③
设粒子第一次到达G 时所用时间为t，粒子在水平方向的位移为l，则有
④
l=v0t⑤
联立①②③④⑤式解得
⑥
⑦
（2）设粒子穿过G 一次就从电场的右侧飞出，则金属板的长度最短，由对称性知，此
时金属板的长度L 为
⑧
85．（2019·全国·高考真题）如图，在直角三角形OPN 区域内存在匀强磁场，磁感应
强度大小为B、方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压U 加速后，
沿平行于x 轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP 边上某点以垂直于x 轴的方
向射出．已知O 点为坐标原点，N 点在y 轴上，OP 与x 轴的夹角为30°，粒子进入磁
场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力．求
161
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（1）带电粒子的比荷；
（2）带电粒子从射入磁场到运动至x 轴的时间．
【答案】（1）
（2）
【详解】（1）粒子从静止被加速的过程，根据动能定理得：
，解得：
根据题意，下图为粒子的运动轨迹，由几何关系可知，该粒子在磁场中运动的轨迹半
径为：
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即：
联立方程得：
（2）根据题意，粒子在磁场中运动的轨迹为四分之一圆周，长度
粒子射出磁场后到运动至
轴，运动的轨迹长度
粒子从射入磁场到运动至
轴过程中，一直匀速率运动，则
162
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解得：
或
86．（2019·浙江·高考真题）有一种质谱仪由静电分析器和磁分析器组成，其简化原理
如图所示．左侧静电分析器中有方向指向圆心O、与O 点等距离各点的场强大小相同
的径向电场，右侧的磁分析器中分布着方向垂直于纸面向外的匀强磁场，其左边界与
静电分析器的右边界平行，两者间距近似为零．离子源发出两种速度均为v0、电荷量
均为q、质量分别为m 和0.5m 的正离子束，从M 点垂直该点电场方向进入静电分析器．
在静电分析器中，质量为m 的离子沿半径为r0的四分之一圆弧轨道做匀速圆周运动，
从N 点水平射出，而质量为0.5m 的离子恰好从ON 连线的中点P 与水平方向成θ 角射
出，从静电分析器射出的这两束离子垂直磁场方向射入磁分析器中，最后打在放置于
磁分析器左边界的探测板上，其中质量为m 的离子打在O 点正下方的Q 点．已知
OP=0.5r0，OQ=r0，N、P 两点间的电势差
，
，不计重力和离子间
相互作用。
（1）求静电分析器中半径为r0处的电场强度E0和磁分析器中的磁感应强度B 的大小；
（2）求质量为0.5m 的离子到达探测板上的位置与O 点的距离l（用r0表示）；
（3）若磁感应强度在（B—△B）到（B＋△B）之间波动，要在探测板上完全分辨出
质量为m 和0.5m 的两束离子，求
的最大值。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）0.12
163
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【详解】（1）在静电分析器中，电场力提供向心力，有
解得
离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
解得
（2）对离子，由动能定理
解得
离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有
解得
距离
解得
（3）恰好能分辨的条件
解得
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87．（2019·浙江·高考真题）【加试题】如图所示，倾角θ=370、间距l＝0.1m 的足够
长金属导轨底端接有阻值R=0.1Ω 的电阻，质量m=0.1kg 的金属棒ab 垂直导轨放置，
与导轨间的动摩擦因数μ=0.45．建立原点位于底端、方向沿导轨向上的坐标轴x．在
0.2m≤x≤0.8m 区间有垂直导轨平面向上的匀强磁场．从t=0 时刻起，棒ab 在沿x 轴正
方向的外力F 作用下从x=0 处由静止开始沿斜面向上运动，其速度与位移x 满足v=kx
（可导出a=kv）k=5s-1．当棒ab 运动至x1=0.2m 处时，电阻R 消耗的电功率
P=0.12W，运动至x2=0.8m 处时撤去外力F，此后棒ab 将继续运动，最终返回至x=0 处．
棒ab 始终保持与导轨垂直，不计其它电阻，求：（提示：可以用F－x 图象下的“面
积”代表力F 做的功
（1）磁感应强度B 的大小
（2）外力F 随位移x 变化的关系式；
（3）在棒ab 整个运动过程中，电阻R 产生的焦耳热Q．
【答案】（1）
；（2）无磁场区间：
；有磁场区间：
；（3）
【详解】（1）由
E=Blv，
解得
（2）无磁场区间：
，a=5v=25x
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有磁场区间：
（3）上升过程中克服安培力做功（梯形面积）
撤去外力后，棒ab 上升的最大距离为s，再次进入磁场时的速度为v＇，则：
解得v＇=2m/s
由于
故棒再次进入磁场后做匀速运动；
下降过程中克服安培力做功：
166
