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专题20 电学综合计算题
一、解答题
1．（2023·全国·统考高考真题）如图，水平桌面上固定一光滑U 型金属导轨，其平行
部分的间距为，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区
域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为
。一质量为
、电阻为
、长度
也为的金属棒P 静止在导轨上。导轨上质量为
的绝缘棒Q 位于P 的左侧，以大小
为
的速度向P 运动并与P 发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P 和Q 先后
从导轨的最右端滑出导轨，并落在地面上同一地点。P 在导轨上运动时，两端与导轨
接触良好，P 与Q 始终平行。不计空气阻力。求
（1）金属棒P 滑出导轨时的速度大小；
（2）金属棒P 在导轨上运动过程中产生的热量；
（3）与P 碰撞后，绝缘棒Q 在导轨上运动的时间。
2．（2023·全国·统考高考真题）如图，等边三角形
位于竖直平面内，AB 边水平，
顶点C 在AB 边上方，3 个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB 边中点M
处的电场强度方向竖直向下，BC 边中点N 处的电场强度方向竖直向上，A 点处点电荷
的电荷量的绝对值为q，求
（1）B 点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3 个点电荷的正负；
（2）C 点处点电荷的电荷量。
3．（2023·天津·统考高考真题）如图，有一正方形线框，质量为m，电阻为R，边长
为l，静止悬挂着，一个三角形磁场垂直于线框所在平面，磁感线垂直纸面向里，且线
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框中磁区面积为线框面积一半，磁感应强度变化B = kt（k > 0），己知重力加速度
g，求：
（1）感应电动势E；
（2）线框开始向上运动的时刻t0；
4．（2023·浙江·统考高考真题）某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图
所示，它由两根竖直导轨、承载火箭装置（简化为与火箭绝缘的导电杆MN）和装置A
组成，并形成闭合回路。装置A 能自动调节其输出电压确保回路电流I 恒定，方向如
图所示。导轨长度远大于导轨间距，不论导电杆运动到什么位置，电流I 在导电杆以
上空间产生的磁场近似为零，在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小
（其中k 为常量），方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的
磁场近似为匀强磁场，大小
，方向与B1相同。火箭无动力下降到导轨顶端时
与导电杆粘接，以速度v0进入导轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落
停。已知火箭与导电杆的总质量为M，导轨间距
，导电杆电阻为R。导电杆
与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻力和摩擦力，不计导轨电阻和装置A 的内阻。
在火箭落停过程中，
（1）求导电杆所受安培力的大小F 和运动的距离L；
（2）求回路感应电动势E 与运动时间t 的关系；
（3）求装置A 输出电压U 与运动时间t 的关系和输出的能量W；
（4）若R 的阻值视为0，装置A 用于回收能量，给出装置A 可回收能量的来源和大小。
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5．（2023·山东·统考高考真题）如图所示，在
，
的区域中，存在
沿y 轴正方向、场强大小为E 的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀
强磁场。一个质量为m，电量为q 的带正电粒子从OP 中点A 进入电场（不计粒子重
力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN 第二次离开电场后，垂直NP 再次进
入电场，求磁场的磁感应强度B 的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A 点沿y 轴正方向第一次进入电场、
离开电场后从P 点第二次进入电场，在电场的作用下从Q 点离开。
（i）求改变后电场强度
的大小和粒子的初速度
；
（ii）通过计算判断粒子能否从P 点第三次进入电场。
6．（2023·山东·统考高考真题）电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭
火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，
设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正
对高楼，与高楼之间的水平距离
，灭火弹出膛速度
，方向与水平面
3
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夹角
，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小
，
。
（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
（2）已知电容器储存的电能
，转化为灭火弹动能的效率
，灭火弹
的质量为
，电容
，电容器工作电压U 应设置为多少？
7．（2023·北京·统考高考真题）2022 年，我国阶段性建成并成功运行了“电磁撬”，
创造了大质量电磁推进技术的世界最高速度纪录。一种两级导轨式电磁推进的原理如
图所示。两平行长直金属导轨固定在水平面，导轨间垂直安放金属棒。金属棒可沿导
轨无摩擦滑行，且始终与导轨接触良好，电流从一导轨流入，经过金属棒，再从另一
导轨流回，图中电源未画出。导轨电流在两导轨间产生的磁场可视为匀强磁场，磁感
应强度B 与电流i 的关系式为
（k 为常量）。金属棒被该磁场力推动。当金属棒
由第一级区域进入第二级区域时，回路中的电流由I 变为
。已知两导轨内侧间距为
L，每一级区域中金属棒被推进的距离均为s，金属棒的质量为m。求：
（1）金属棒经过第一级区域时受到安培力的大小F；
（2）金属棒经过第一、二级区域的加速度大小之比
；
（3）金属棒从静止开始经过两级区域推进后的速度大小v。
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8．（2023·天津·统考高考真题）信号放大器是一种放大电信号的仪器，如图1，其可
以通过在相邻极板间施加电压，使阴极逸出的电子，击中极板时，激发出更多电子，
从而逐级放大电信号。己知电子质量m，带电量e。
（1）如图2，在极板上建系。极板上方空间内存在磁场，其强度为B，方向平行z 轴。
极板间电压U 极小，几乎不影响电子运动。如图，某次激发中，产生了2 个电子a 和
b，其初速度方向分别在xOy 与zOy 平面内，且与y 轴正方向成
角，则：
（i）判断B 的方向；
（ii）a、b 两个电子运动到下一个极板的时间
和
；
（2）若单位时间内阴极逸出的电子数量不变，每个电子打到极板上可以激发出
个电
子，且
，阳极处接收电子产生的电流为I，在答题纸给出坐标系里画出表示U 和
I 关系的图像并说出这样画的理由。
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9．（2023·海南·统考高考真题）如图所示，U 形金属杆上边长为
，质量为
，下端插入导电液体中，导电液体连接电源，金属杆所在空间有垂直纸
面向里
的匀强磁场。
（1）若插入导电液体部分深
，闭合电键后，金属杆飞起后，其下端离液面
高度
，设杆中电流不变，求金属杆离开液面时的速度大小和金属杆中的电流
有多大；
（2）若金属杆下端刚与导电液体接触，改变电动势的大小，通电后金属杆跳起高度
，通电时间
，求通过金属杆截面的电荷量。
10．（2023·辽宁·统考高考真题）如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板
长是板间距离的
倍。金属板外有一圆心为O 的圆形区域，其内部存在磁感应强度大
小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子沿中
线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P 点飞出电场，并沿PO 方向从图
中O'点射入磁场。己知圆形磁场区域半径为
，不计粒子重力。
（1）求金属板间电势差U；
（2）求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ；
（3）仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动
时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的侧形磁场区
域的圆心M。
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11．（2023·江苏·统考高考真题）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。
Oxy 平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为
B。质量为m、电荷量为e 的电子从O 点沿x 轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电
子沿x 轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在
最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
（1）求电场强度的大小E；
（2）若电子入射速度为
，求运动到速度为
时位置的纵坐标y1；
（3）若电子入射速度在0 < v < v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标
位置的
电子数N 占总电子数N0的百分比。
12．（2023·浙江·统考高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。
如图所示，Oxy 平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x 轴的
区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度
大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x 轴重合。位于
处的
离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x 轴夹角为60°的正离子束，沿纸
面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t；
（2）若
，求能到达
处的离子的最小速度v2；
（3）若
，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在
范围，
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求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。
13．（2023·山西·统考高考真题）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板
上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密
度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b 在重力和空气阻力的作用下竖直向下
匀速运动，速率分别为v0、
；两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快
达到相同的速率
，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油
滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
（1）求油滴a 和油滴b 的质量之比；
（2）判断油滴a 和油滴b 所带电荷的正负，并求a、b 所带电荷量的绝对值之比。
14．（2023·湖南·统考高考真题）如图，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨
间距为
，两导轨及其所构成的平面均与水平面成
角，整个装置处于垂直于导轨平
面斜向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为
．现将质量均为
的金属棒
垂直导
轨放置，每根金属棒接入导轨之间的电阻均为
。运动过程中金属棒与导轨始终垂直
且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，重力加速度为
。
（1）先保持棒
静止，将棒
由静止释放，求棒
匀速运动时的速度大小
；
（2）在（1）问中，当棒
匀速运动时，再将棒
由静止释放，求释放瞬间棒
的加速
度大小
；
（3）在（2）问中，从棒
释放瞬间开始计时，经过时间
，两棒恰好达到相同的速
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度，求速度的大小，以及时间
内棒
相对于棒
运动的距离
。
15．（2023·湖北·统考高考真题）如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于
xOy 平面向里的匀强磁场。t = 0 时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y 轴正方向
射入，第一次到达点O 时与运动到该点的带正电粒子乙发生正碰。碰撞后，粒子甲的
速度方向反向、大小变为碰前的3 倍，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两
个圆周。己知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q。假设所有碰撞均为弹性正
碰，碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力
的影响。求：
（1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小；
（2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小；
（3）
时刻粒子甲、乙的位置坐标，及从第一次碰撞到
的过程中粒子
乙运动的路程。（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可）
16．（2023·山西·统考高考真题）一边长为L、质量为m 的正方形金属细框，每边电阻
为R0，置于光滑的绝缘水平桌面（纸面）上。宽度为2L 的区域内存在方向垂直于纸面
的匀强磁场，磁感应强度大小为B，两虚线为磁场边界，如图（a）所示。
（1）使金属框以一定的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的左、右边框
始终与磁场边界平行，金属框完全穿过磁场区域后，速度大小降为它初速度的一半，
求金属框的初速度大小。
（2）在桌面上固定两条光滑长直金属导轨，导轨与磁场边界垂直，左端连接电阻R1
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= 2R0，导轨电阻可忽略，金属框置于导轨上，如图（b）所示。让金属框以与（1）中
相同的初速度向右运动，进入磁场。运动过程中金属框的上、下边框处处与导轨始终
接触良好。求在金属框整个运动过程中，电阻R1产生的热量。
17．（2023·浙江·高考真题）探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x
轴上方存在垂直
平面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。x 轴下方的分析器由
两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M 和N 组成，其中位于x 轴的M 板中心有一
小孔C（孔径忽略不计），N 板连接电流表后接地。位于坐标原点O 的离子源能发射
质量为m、电荷量为q 的正离子，其速度方向与y 轴夹角最大值为
；且各个方向均
有速度大小连续分布在
和
之间的离子射出。已知速度大小为
、沿y 轴正方
向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x 轴射入孔C。未能射入孔C 的其它离子被分析
器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的
碰撞。
（1）求孔C 所处位置的坐标
；
（2）求离子打在N 板上区域的长度L；
（3）若在N 与M 板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0 时的电压
；
（4）若将分析器沿着x 轴平移，调节加载在N 与M 板之间的电压，求电流表示数刚为
0 时的电压
与孔C 位置坐标x 之间关系式。
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18．（2023·浙江·高考真题）如图1 所示，刚性导体线框由长为L、质量均为m 的两根
竖杆，与长为
的两轻质横杆组成，且
。线框通有恒定电流
，可以绕其中心
竖直轴转动。以线框中心O 为原点、转轴为z 轴建立直角坐标系，在y 轴上距离O 为a
处，固定放置一半径远小于a，面积为S、电阻为R 的小圆环，其平面垂直于y 轴。在
外力作用下，通电线框绕转轴以角速度
匀速转动，当线框平面与
平面重合时为
计时零点，圆环处的磁感应强度的y 分量
与时间的近似关系如图2 所示，图中
已
知。
（1）求0 到
时间内，流过圆环横截面的电荷量q；
（2）沿y 轴正方向看以逆时针为电流正方向，在
时间内，求圆环中的电流与时
间的关系；
（3）求圆环中电流的有效值；
（4）当撤去外力，线框将缓慢减速，经
时间角速度减小量为
，设线框
与圆环的能量转换效率为k，求
的值（当
，有
）。
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19．（2022·天津·高考真题）直流电磁泵是利用安培力推动导电液体运动的一种设备，
可用图1 所示的模型讨论其原理，图2 为图1 的正视图。将两块相同的矩形导电平板
竖直正对固定在长方体绝缘容器中，平板与容器等宽，两板间距为，容器中装有导电
液体，平板底端与容器底部留有高度可忽略的空隙，导电液体仅能从空隙进入两板间。
初始时两板间接有直流电源，电源极性如图所示。若想实现两板间液面上升，可在两
板间加垂直于
面的匀强磁场，磁感应强度的大小为
，两板间液面上升时两板外
的液面高度变化可忽略不计。已知导电液体的密度为
、电阻率为
，重力加速度为
。
（1）试判断所加磁场的方向；
（2）求两板间液面稳定在初始液面高度2 倍时的电压
；
（3）假定平板与容器足够高，求电压
满足什么条件时两板间液面能够持续上升。
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20．（2022·天津·高考真题）如图所示，M 和N 为平行金属板，质量为m，电荷量为q
的带电粒子从M 由静止开始被两板间的电场加速后，从N 上的小孔穿出，以速度v 由
C 点射入圆形匀强磁场区域，经D 点穿出磁场，CD 为圆形区域的直径。已知磁场的磁
感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，粒子速度方向与磁场方向垂直，重力略不
计。
（1）判断粒子的电性，并求M、N 间的电压U；
（2）求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r；
（3）若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等，求粒子在磁场中运动的时间t。
21．（2022·福建·高考真题）如图（a），一倾角为
的绝缘光滑斜面固定在水平地面
上，其顶端与两根相距为L 的水平光滑平行金属导轨相连；导轨处于一竖直向下的匀
强磁场中，其末端装有挡板M、N．两根平行金属棒G、H 垂直导轨放置，G 的中心用
一不可伸长绝缘细绳通过轻质定滑轮与斜面底端的物块A 相连；初始时刻绳子处于拉
紧状态并与G 垂直，滑轮左侧细绳与斜面平行，右侧与水平面平行．从
开始，H
在水平向右拉力作用下向右运动；
时，H 与挡板M、N 相碰后立即被锁定．G 在
后的速度一时间图线如图（b）所示，其中
段为直线．已知：磁感应强度大
小
，
，G、H 和A 的质量均为
，G、H 的电阻均为
；导轨电
阻、细绳与滑轮的摩擦力均忽略不计；H 与挡板碰撞时间极短；整个运动过程A 未与
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滑轮相碰，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好：
，
，重力加
速度大小取
，图（b）中e 为自然常数，
．求：
（1）在
时间段内，棒G 的加速度大小和细绳对A 的拉力大小；
（2）
时，棒H 上拉力的瞬时功率；
（3）在
时间段内，棒G 滑行的距离．
22．（2022·重庆·高考真题）某同学以金属戒指为研究对象，探究金属物品在变化磁场
中的热效应。如图所示，戒指可视为周长为L、横截面积为S、电阻率为
的单匝圆形
线圈，放置在匀强磁场中，磁感应强度方向垂直于戒指平面。若磁感应强度大小在
时间内从0 均匀增加到
，求：
（1）戒指中的感应电动势和电流；
（2）戒指中电流的热功率。
23．（2022·北京·高考真题）指南针是利用地磁场指示方向的装置，它的广泛使用促进
了人们对地磁场的认识。现代科技可以实现对地磁场的精确测量。
（1）如图1 所示，两同学把一根长约10m 的电线两端用其他导线连接一个电压表，迅
速摇动这根电线。若电线中间位置的速度约10m/s，电压表的最大示数约2mV。粗略
估算该处地磁场磁感应强度的大小B 地；
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（2）如图2 所示，一矩形金属薄片，其长为a，宽为b，厚为c。大小为I 的恒定电流
从电极P 流入、从电极Q 流出，当外加与薄片垂直的匀强磁场时，M、N 两电极间产
生的电压为U。已知薄片单位体积中导电的电子数为n，电子的电荷量为e。求磁感应
强度的大小B；
（3）假定（2）中的装置足够灵敏，可用来测量北京地区地磁场磁感应强度的大小和
方向，请说明测量的思路。
24．（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N 之间距离为d，两板
所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从M 板由静止释放。不计带
电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N 板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动
距离时撤去所加电压，求该粒子从M 板运动到N 板经历的
时间t。
25．（2022·江苏·高考真题）某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩
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形
区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，
方向沿竖直方向交替变化，
边长为
，
边长为
，质量为m、电荷量为
的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为
，入射角为
，在纸面内运动，
不计重力及粒子间的相互作用力。
（1）当
时，若粒子能从
边射出，求该粒子通过电场的时间t；
（2）当
时，若粒子从
边射出电场时与轴线
的距离小于d，求入射角
的范围；
（3）当
，粒子在
为
范围内均匀射入电场，求从
边出射的粒子
与入射粒子的数量之比
。
26．（2022·江苏·高考真题）利用云室可以知道带电粒子的性质，如图所示，云室中存
在磁感应强度大小为B 的匀强磁场，一个质量为m、速度为v 的电中性粒子在A 点分
裂成带等量异号电荷的粒子a 和b，a、b 在磁场中的径迹是两条相切的圆弧，相同时
间内的径迹长度之比
，半径之比
，不计重力及粒子间的相互作用
力，求：
（1）粒子a、b 的质量之比
；
（2）粒子a 的动量大小
。
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27．（2022·海南·高考真题）光滑的水平长直轨道放在匀强磁场
中，轨道宽
，一导体棒长也为
，质量
，电阻
，它与导轨接触良好。当开
关与a 接通时，电源可提供恒定的
电流，电流方向可根据需要进行改变，开关与b
接通时，电阻
，若开关的切换与电流的换向均可在瞬间完成，求：
①当棒中电流由M 流向N 时，棒的加速度的大小和方向是怎样的；
②当开关始终接a，要想在最短时间内使棒向左移动
而静止，则棒的最大速度是多
少；
③要想棒在最短时间内向左移动
而静止，则棒中产生的焦耳热是多少。
28．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为
L。
区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外
的细金属杆M 以初速度
向右运动，磁场内的细金属杆N 处于静止状态。两金属杆与
导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均
为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M 刚进入磁场时受到的安培力F 的大小和方向；
（2）若两杆在磁场内未相撞且N 出磁场时的速度为
，求：①N 在磁场内运动过程
中通过回路的电荷量q；②初始时刻N 到
的最小距离x；
（3）初始时刻，若N 到
的距离与第（2）问初始时刻的相同、到
的距离为
，求M 出磁场后不与N 相撞条件下k 的取值范围。
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29．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面
和竖直面内的光滑
圆弧导轨
在B 点平滑连接，导轨半径为R。质量为m 的带正电小球将轻质弹簧压缩至A 点后由
静止释放，脱离弹簧后经过B 点时的速度大小为
，之后沿轨道
运动。以O 为
坐标原点建立直角坐标系
，在
区域有方向与x 轴夹角为
的匀强电场，
进入电场后小球受到的电场力大小为
。小球在运动过程中电荷量保持不变，重
力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A 点时的弹性势能；
（2）小球经过O 点时的速度大小；
（3）小球过O 点后运动的轨迹方程。
30．（2022·湖北·统考高考真题）如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左
右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里。正方形单匝线框abcd 的边长L = 0.2m、回
路电阻R = 1.6 × 10 - 3Ω、质量m = 0.2kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad 边
与磁场左边界平齐，ab 边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加与水平向右方向
成θ = 45°角、大小为
的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab
边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc 边进入磁场时，bc 边恰好到达磁场
右边界。重力加速度大小取g = 10m/s2，求：
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（1）ab 边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小；
（2）磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热；
（3）磁场区域的水平宽度。
31．（2022·浙江·统考高考真题）离子速度分析器截面图如图所示。半径为R 的空心转
筒P，可绕过O 点、垂直xOy 平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可
调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方
有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q 与y 轴交于A 点。离子源M 能沿着x 轴射出
质量为m、电荷量为 – q（q > 0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离
子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y 轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上
的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。
（1）①求磁感应强度B 的大小；
②若速度大小为v0的离子能打在板Q 的A 处，求转筒P 角速度ω 的大小；
（2）较长时间后，转筒P 每转一周有N 个离子打在板Q 的C 处，OC 与x 轴负方向的
夹角为θ，求转筒转动一周的时间内，C 处受到平均冲力F 的大小；
（3）若转筒P 的角速度小于
，且A 处探测到离子，求板Q 上能探测到离子的其他
θ′的值（θ′为探测点位置和O 点连线与x 轴负方向的夹角）。
32．（2022·浙江·统考高考真题）舰载机电磁弹射是现在航母最先进的弹射技术，我国
在这一领域已达到世界先进水平。某兴趣小组开展电磁弹射系统的设计研究，如图1
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所示，用于推动模型飞机的动子（图中未画出）与线圈绝缘并固定，线圈带动动子，
可在水平导轨上无摩擦滑动。线圈位于导轨间的辐向磁场中，其所在处的磁感应强度
大小均为B。开关S 与1 接通，恒流源与线圈连接，动子从静止开始推动飞机加速，飞
机达到起飞速度时与动子脱离；此时S 掷向2 接通定值电阻R0，同时施加回撤力F，
在F 和磁场力作用下，动子恰好返回初始位置停下。若动子从静止开始至返回过程的
v-t 图如图2 所示，在t1至t3时间内F=(800－10v）N，t3时撤去F。已知起飞速度
v1=80m/s，t1=1.5s，线圈匝数n=100 匝，每匝周长l=1m，飞机的质量M=10kg，动子和
线圈的总质量m=5kg，R0=9.5Ω，B=0.1T，不计空气阻力和飞机起飞对动子运动速度的
影响，求
（1）恒流源的电流I；
（2）线圈电阻R；
（3）时刻t3。
33．（2022·广东·高考真题）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因
此获得了1923 年的诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相
距为d 的足够大金属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰
撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为
、位于同一竖直线上的球形小油
滴A 和B，在时间t 内都匀速下落了距离
。此时给两极板加上电压U（上极板接正
极），A 继续以原速度下落，B 经过一段时间后向上匀速运动。B 在匀速运动时间t 内
上升了距离
，随后与A 合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动
直至匀速。已知球形油滴受到的空气阻力大小为
，其中k 为比例系数，m 为
油滴质量，v 为油滴运动速率，不计空气浮力，重力加速度为g。求：
（1）比例系数k；
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（2）油滴A、B 的带电量和电性；B 上升距离
电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
34．（2022·湖南·统考高考真题）如图，两个定值电阻的阻值分别为
和
，直流电
源的内阻不计，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为
，板长为
，极板间
存在方向水平向里的匀强磁场。质量为
、带电量为
的小球以初速度沿水平方向
从电容器下板左侧边缘
点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电容器上板右侧边缘
离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为
，忽略空气阻
力。
（1）求直流电源的电动势
；
（2）求两极板间磁场的磁感应强度
；
（3）在图中虚线的右侧设计一匀强电场，使小球离开电容器后沿直线运动，求电场强
度的最小值
。
35．（2022·山东·统考高考真题）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该
装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标
系
中，
空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x 轴正方向；
，
的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为
，方向平行于
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平面，与x 轴正方向夹角为
；
，
的空间内充满沿y 轴负方向的匀强
电场。质量为m、带电量为
的离子甲，从
平面第三象限内距
轴为
的点
以
一定速度出射，速度方向与轴正方向夹角为
，在
平面内运动一段时间后，经
坐标原点
沿轴正方向进入磁场I。不计离子重力。
（1）当离子甲从
点出射速度为
时，求电场强度的大小
；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度
；
（3）离子甲以
的速度从
点沿轴正方向第一次穿过
面进入磁场I，求第四
次穿过
平面的位置坐标（用d 表示）；
（4）当离子甲以
的速度从
点进入磁场I 时，质量为
、带电量为
的离子乙，
也从
点沿轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们
运动轨迹第一个交点的时间差
（忽略离子间相互作用）。
36．（2022·全国·统考高考真题）光点式检流计是一种可以测量微小电流的仪器，其简
化的工作原理示意图如图所示。图中A 为轻质绝缘弹簧，C 为位于纸面上的线圈，虚
线框内有与纸面垂直的匀强磁场；M 为置于平台上的轻质小平面反射镜，轻质刚性细
杆D 的一端与M 固连且与镜面垂直、另一端与弹簧下端相连，
为圆弧形的、带有
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均匀刻度的透明读数条，
的圆心位于M 的中心。使用前需调零:使线圈内没有电流
通过时，M 竖直且与纸面垂直；入射细光束沿水平方向经
上的O 点射到M 上后沿
原路反射。线圈通入电流后弹簧长度改变，使M 发生倾斜，入射光束在M 上的入射点
仍近似处于
的圆心，通过读取反射光射到
上的位置，可以测得电流的大小。已
知弹簧的劲度系数为k，磁场磁感应强度大小为B，线圈C 的匝数为N。沿水平方向的
长度为l，细杆D 的长度为d，圆弧
的半径为r﹐
，d 远大于弹簧长度改变量
的绝对值。
（1）若在线圈中通入的微小电流为I，求平衡后弹簧长度改变量的绝对值
及
上
反射光点与O 点间的弧长s；
（2）某同学用此装置测一微小电流，测量前未调零，将电流通入线圈后，
上反射
光点出现在O 点上方，与O 点间的弧长为
、保持其它条件不变，只将该电流反向接
入，则反射光点出现在О 点下方，与O 点间的弧长为
。求待测电流的大小。
37．（2022·全国·统考高考真题）如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长
为
的正方形金属框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向
垂直于金属框所在平面的匀强磁场。已知构成金属框的导线单位长度的阻值为
；在
到
时间内，磁感应强度大小随时间t 的变化关系为
。求:
（1）
时金属框所受安培力的大小；
（2）在
到
时间内金属框产生的焦耳热。
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38．（2022·浙江·统考高考真题）如图为研究光电效应的装置示意图，该装置可用于分
析光子的信息。在xOy 平面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N 与y 轴平行放置，
板N 中间有一小孔O。有一由x 轴、y 轴和以O 为圆心、圆心角为90°的半径不同的两
条圆弧所围的区域Ⅰ，整个区域Ⅰ内存在大小可调、方向垂直纸面向里的匀强电场和
磁感应强度大小恒为B1、磁感线与圆弧平行且逆时针方向的磁场。区域Ⅰ右侧还有一
左边界与y 轴平行且相距为l、下边界与x 轴重合的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度为a，长
度足够长，其中的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小可调。光电子从板M 逸出
后经极板间电压U 加速（板间电场视为匀强电场），调节区域Ⅰ的电场强度和区域Ⅱ
的磁感应强度，使电子恰好打在坐标为（a+2l，0）的点上，被置于该处的探测器接收。
已知电子质量为m、电荷量为e，板M 的逸出功为W0，普朗克常量为h。忽略电子的
重力及电子间的作用力。当频率为ν 的光照射板M 时有光电子逸出，
（1）求逸出光电子的最大初动能Ekm，并求光电子从O 点射入区域Ⅰ时的速度v0的大
小范围；
（2）若区域Ⅰ的电场强度大小
，区域Ⅱ的磁感应强度大小
，
求被探测到的电子刚从板M 逸出时速度vM的大小及与x 轴的夹角
；
（3）为了使从O 点以各种大小和方向的速度射向区域Ⅰ的电子都能被探测到，需要调
节区域Ⅰ的电场强度E 和区域Ⅱ的磁感应强度B2，求E 的最大值和B2的最大值。
39．（2022·浙江·统考高考真题）如图所示，水平固定一半径r=0.2m 的金属圆环，长
均为r，电阻均为R0的两金属棒沿直径放置，其中一端与圆环接触良好，另一端固定
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在过圆心的导电竖直转轴OO′上，并随轴以角速度
=600rad/s 匀速转动，圆环内左半
圆均存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场。圆环边缘、与转轴良好接触的电刷分别与
间距l1的水平放置的平行金属轨道相连，轨道间接有电容C=0.09F 的电容器，通过单
刀双掷开关S 可分别与接线柱1、2 相连。电容器左侧宽度也为l1、长度为l2、磁感应
强度大小为B2的匀强磁场区域。在磁场区域内靠近左侧边缘处垂直轨道放置金属棒
ab，磁场区域外有间距也为l1的绝缘轨道与金属轨道平滑连接，在绝缘轨道的水平段
上放置“［”形金属框fcde。棒ab 长度和“［”形框的宽度也均为l1、质量均为
m=0.01kg，de 与cf 长度均为l3=0.08m，已知l1=0.25m，l2=0.068m，B1=B2=1T、方向均
为竖直向上；棒ab 和“［”形框的cd 边的电阻均为R=0.1
，除已给电阻外其他电阻
不计，轨道均光滑，棒ab 与轨道接触良好且运动过程中始终与轨道垂直。开始时开关
S 和接线柱1 接通，待电容器充电完毕后，将S 从1 拨到2，电容器放电，棒ab 被弹出
磁场后与“［”形框粘在一起形成闭合框abcd，此时将S 与2 断开，已知框abcd 在倾
斜轨道上重心上升0.2m 后返回进入磁场。
（1）求电容器充电完毕后所带的电荷量Q，哪个极板（M 或N）带正电？
（2）求电容器释放的电荷量
；
（3）求框abcd 进入磁场后，ab 边与磁场区域左边界的最大距离x。
40．（2021·重庆·高考真题）如图1 所示的
竖直平面内，在原点O 有一粒子源，可
沿x 轴正方向发射速度不同、比荷均为
的带正电的粒子。在
的区域仅有垂直于
平面向内的匀强磁场；
的区域仅有如图2 所示的电场，
时间内和
时刻后
的匀强电场大小相等，方向相反（
时间内电场方向竖直向下），
时间内电
场强度为零。在磁场左边界
直线上的某点，固定一粒子收集器（图中未画出）。
0 时刻发射的A 粒子在
时刻经过左边界进入磁场，最终被收集器收集；B 粒子在
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时刻以与A 粒子相同的发射速度发射，第一次经过磁场左边界的位置坐标为
；
C 粒子在
时刻发射，其发射速度是A 粒子发射速度的
，不经过磁场能被收集器收
集。忽略粒子间相互作用力和粒子重力，不考虑边界效应。
(1)求电场强度E 的大小；
(2)求磁感应强度B 的大小；
(3)设
时刻发射的粒子能被收集器收集，求其有可能的发射速度大小。
41．（2021·福建·统考高考真题）如图（a），同一竖直平面内A、B、M、N 四点距O
点的距离均为
，O 为水平连线
的中点，M、N 在
连线的中垂线上。A、B
两点分别固定有一点电荷，电荷量均为Q（
）。以O 为原点，竖直向下为正方向
建立x 轴。若取无穷远处为电势零点，则
上的电势
随位置x 的变化关系如图
（b）所示。一电荷量为Q（
）的小球
以一定初动能从M 点竖直下落，一段时
间后经过N 点，其在
段运动的加速度大小a 随位置x 的变化关系如图（c）所示。
图中g 为重力加速度大小，k 为静电力常量。
（1）求小球
在M 点所受电场力大小。
（2）当小球
运动到N 点时，恰与一沿x 轴负方向运动的不带电绝缘小球
发生弹性
碰撞。已知
与
的质量相等，碰撞前、后
的动能均为
，碰撞时间极短。求
碰撞前
的动量大小。
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（3）现将
固定在N 点，为保证
能运动到N 点与之相碰，
从M 点下落时的初动
能须满足什么条件？
42．（2021·江苏·高考真题）如图1 所示，回旋加速器的圆形匀强磁场区域以O 点为圆
心，磁感应强度大小为B，加速电压的大小为U、质量为m、电荷量为q 的粒子从O 附
近飘入加速电场，多次加速后粒子经过P 点绕O 做圆周运动，半径为R，粒子在电场
中的加速时间可以忽略。为将粒子引出磁场，在P 位置安装一个“静电偏转器”，如
图2 所示，偏转器的两极板M 和N 厚度均匀，构成的圆弧形狭缝圆心为Q、圆心角为
，当M、N 间加有电压时，狭缝中产生电场强度大小为E 的电场，使粒子恰能通过
狭缝，粒子在再次被加速前射出磁场，不计M、N 间的距离。求：
（1）粒子加速到P 点所需要的时间t；
（2）极板N 的最大厚度
；
（3）磁场区域的最大半径
。
43．（2021·江苏·高考真题）贯彻新发展理念，我国风力发电发展迅猛，2020 年我国
风力发电量高达4000 亿千瓦时。某种风力发电机的原理如图所示，发电机的线圈固定，
磁体在叶片驱动下绕线圈对称轴转动，已知磁体间的磁场为匀强磁场，磁感应强度的
大小为
，线圈的匝数为100、面积为
，电阻为
，若磁体转动的角速度
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为
，线圈中产生的感应电流为
。求：
（1）线圈中感应电动势的有效值E；
（2）线圈的输出功率P。
44．（2021·海南·高考真题）如图，间距为l 的光滑平行金属导轨，水平放置在方向竖
直向下的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，导轨左端接有阻值为R 的定值电
阻，一质量为m 的金属杆放在导轨上。金属杆在水平外力作用下以速度v0向右做匀速
直线运动，此时金属杆内自由电子沿杆定向移动的速率为u0。设金属杆内做定向移动
的自由电子总量保持不变，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，除了电阻R 以外不计
其它电阻。
（1）求金属杆中的电流和水平外力的功率；
（2）某时刻撤去外力，经过一段时间，自由电子沿金属杆定向移动的速率变为
，
求：
（i）这段时间内电阻R 上产生的焦耳热；
（ii）这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离。
45．（2021·湖北·统考高考真题）如图（a）所示，两根不计电阻、间距为L 的足够长
平行光滑金属导轨，竖直固定在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里，磁感应
强度大小为B。导轨上端串联非线性电子元件Z 和阻值为R 的电阻。元件Z 的
图
像如图（b）所示，当流过元件Z 的电流大于或等于
时，电压稳定为Um。质量为
m、不计电阻的金属棒可沿导轨运动，运动中金属棒始终水平且与导轨保持良好接触。
忽略空气阻力及回路中的电流对原磁场的影响，重力加速度大小为g。为了方便计算，
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取
，
。以下计算结果只能选用m、g、B、L、R 表示。
（1）闭合开关S。，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v1；
（2）断开开关S，由静止释放金属棒，求金属棒下落的最大速度v2；
（3）先闭合开关S，由静止释放金属棒，金属棒达到最大速度后，再断开开关S。忽
略回路中电流突变的时间，求S 断开瞬间金属棒的加速度大小a。
46．（2021·辽宁·统考高考真题）如图所示，在x>0 区域内存在垂直纸面向里、磁感应
强度大小为B 的匀强磁场；在x<0 区域内存在沿x 轴正方向的匀强电场。质量为m、电
荷量为q（q>0）的粒子甲从点S（-a，0）由静止释放，进入磁场区域后，与静止在点
P（a，a）、质量为
的中性粒子乙发生弹性正碰，且有一半电量转移给粒子乙。
（不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互作用，忽略电场、磁场变化引起的效应）
（1）求电场强度的大小E；
（2）若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在x≤0 区域内加上与x>0 区域内相同的磁
场，求从两粒子碰撞到下次相遇的时间△t；
（3）若两粒子碰撞后，粒子乙首次离开第一象限时，撤去电场和磁场，经一段时间后，
在全部区域内加上与原x>0 区域相同的磁场，此后两粒子的轨迹恰好不相交，求这段
时间内粒子甲运动的距离L。
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47．（2021·天津·高考真题）霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系
统中。长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系
，如图所示。半导体中有电荷量均为e 的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作
带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n 和p。当半导体
材料通有沿
方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强
度的大小为B，沿
方向，于是在z 方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已
知电场强度大小为E，沿
方向。
（1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
（2）若自由电子定向移动在沿
方向上形成的电流为
，求单个自由电子由于定向
移动在z 方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小
；
（3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在z 方向定向移动的速率分别为
、
，求
时间内运动到半导体z 方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在
z 方向上形成的电流应满足的条件。
48．（2021·天津·高考真题）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨
、
间
距
，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成
角，N、Q 两端
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接有
的电阻。一金属棒
垂直导轨放置，
两端与导轨始终有良好接触，已
知
的质量
，电阻
，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，
磁感应强度大小
。
在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度
沿
导轨向上开始运动，可达到最大速度
。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力
加速度
。
（1）求拉力的功率P；
（2）
开始运动后，经
速度达到
，此过程中
克服安培力做功
，求该过程中
沿导轨的位移大小x。
49．（2021·北京·高考真题）类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：物体从静止开始下落，除受到重力作用外，还受到一个与运动方向相反
的空气阻力
（k 为常量）的作用。其速率v 随时间t 的变化规律可用方程
（①式）描述，其中m 为物体质量，G 为其重力。求物体下落的最大速率
。
（2）情境2：如图1 所示，电源电动势为E，线圈自感系数为L，电路中的总电阻为
R。闭合开关S，发现电路中电流I 随时间t 的变化规律与情境1 中物体速率v 随时间t
的变化规律类似。类比①式，写出电流I 随时间t 变化的方程；并在图2 中定性画出I -
t 图线。
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（3）类比情境1 和情境2 中的能量转化情况，完成下表。
情境1
情境2
物体重力势能的减少量
物体动能的增加量
电阻R 上消耗的电能
50．（2021·北京·高考真题）如图所示，M 为粒子加速器；N 为速度选择器，两平行导
体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应
强度为B。从S 点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，经M 加速
后恰能以速度v 沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。
（1）求粒子加速器M 的加速电压U；
（2）求速度选择器N 两板间的电场强度E 的大小和方向；
（3）仍从S 点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q 的带正电粒子，离开N 时
粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N 时的动能
。
51．（2021·山东·高考真题）某离子实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，
左边界与x 轴垂直交于坐标原点O，其内充满垂直于
平面向里的匀强磁场，磁感
应强度大小为
；Ⅱ区宽度为L，左边界与x 轴垂直交于
点，右边界与x 轴垂直交
于
点，其内充满沿y 轴负方向的匀强电场。测试板垂直x 轴置于Ⅱ区右边界，其中
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心C 与
点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m 的正离子，加速后沿x 轴
正方向过O 点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时
速度方向与x 轴正方向的夹角为
。忽略离子间的相互作用，不计重力。
（1）求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；
（2）求Ⅱ区内电场强度的大小E；
（3）保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为B
（数值未知）方向相反且平行y 轴的匀强磁场，如图乙所示。为使离子的运动轨迹与
测试板相切于C 点，需沿x 轴移动测试板，求移动后C 到
的距离S。
52．（2021·浙江·高考真题）如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为
d 的中间有小孔的两平行金属板M、N 和边长为L 的立方体构成，其后端面P 为喷口。
以金属板N 的中心O 为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立x、y 和z 坐标轴。
M、N 板之间存在场强为E、方向沿z 轴正方向的匀强电场；立方体内存在磁场，其磁
感应强度沿z 方向的分量始终为零，沿x 和y 方向的分量
和
随时间周期性变化规
律如图乙所示，图中
可调。氙离子（
）束从离子源小孔S 射出，沿z 方向匀速
运动到M 板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面P 射出，测得离子经电场加速后
在金属板N 中心点O 处相对推进器的速度为v0。已知单个离子的质量为m、电荷量为
，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。
（1）求离子从小孔S 射出时相对推进器的速度大小vS；
（2）不考虑在磁场突变时运动的离子，调节
的值，使得从小孔S 射出的离子均能从
喷口后端面P 射出，求
的取值范围；
（3）设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P 射出的离
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子数为n，且
。求图乙中
时刻离子束对推进器作用力沿z 轴方向的分力。
53．（2021·浙江·高考真题）一种探测气体放电过程的装置如图甲所示，充满氖气（
）的电离室中有两电极与长直导线连接，并通过两水平长导线与高压电源相连。在
与长直导线垂直的平面内，以导线为对称轴安装一个用阻值
的细导线绕制、
匝数
的圆环形螺线管，细导线的始末两端c、d 与阻值
的电阻连接。
螺线管的横截面是半径
的圆，其中心与长直导线的距离
。气体
被电离后在长直导线回路中产生顺时针方向的电流I，其
图像如图乙所示。为便于
计算，螺线管内各处的磁感应强度大小均可视为
，其中
。
（1）求
内通过长直导线横截面的电荷量Q；
（2）求
时，通过螺线管某一匝线圈的磁通量
；
（3）若规定
为电流的正方向，在不考虑线圈自感的情况下，通过计算，画
出通过电阻R 的
图像；
（4）若规定
为电流的正方向，考虑线圈自感，定性画出通过电阻R 的
图像。
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54．（2021·广东·高考真题）图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心
圆a、b、c 围成的区域，圆a 内为无场区，圆a 与圆b 之间存在辐射状电场，圆b 与圆
c 之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区感应强度恒定，
大小不同，方向均垂直纸面向外。电子以初动能
从圆b 上P 点沿径向进入电场，电
场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a 与圆b 之间电势差为
U，圆b 半径为R，圆c 半径为
，电子质量为m，电荷量为e，忽略相对论效应，
取
。
（1）当
时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨
迹的夹角
均为45°，最终从Q 点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁
感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q 点出射时的动能；
（2）已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射。当
时，
要保证电子从出射区域出射，求k 的最大值。
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55．（2021·全国·高考真题）如图，一倾角为
的光滑固定斜面的顶端放有质量
的U 型导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻
的金属棒
的两
端置于导体框上，与导体框构成矩形回路
；
与斜面底边平行，长度
。
初始时
与
相距
，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距
离
后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面
底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬
间，导体框的
边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与
导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小
，重力加速度大小取
。求：
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
（3）导体框匀速运动的距离。
56．（2021·全国·高考真题）如图，长度均为l 的两块挡板竖直相对放置，间距也为
l，两挡板上边缘P 和M 处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的
匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的
匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水
平向右发射，恰好从P 点处射入磁场，从两挡板下边缘Q 和N 之间射出磁场，运动过
程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ 的夹角为60°，不计重
力。
（1）求粒子发射位置到P 点的距离；
（2）求磁感应强度大小的取值范围；
（3）若粒子正好从QN 的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN 的最近距
离。
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57．（2021·河北·高考真题）如图，一对长平行栅极板水平放置，极板外存在方向垂直
纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，极板与可调电源相连，正极板上O 点处
的粒子源垂直极板向上发射速度为
、带正电的粒子束，单个粒子的质量为m、电荷
量为q，一足够长的挡板
与正极板成
倾斜放置，用于吸收打在其上的粒子，
C、P 是负极板上的两点，C 点位于O 点的正上方，P 点处放置一粒子靶（忽略靶的大
小），用于接收从上方打入的粒子，
长度为
，忽略栅极的电场边缘效应、粒子
间的相互作用及粒子所受重力。
。
（1）若粒子经电场一次加速后正好打在P 点处的粒子靶上，求可调电源电压
的大
小；
（2）调整电压的大小，使粒子不能打在挡板
上，求电压的最小值
；
（3）若粒子靶在负极板上的位置P 点左右可调，则负极板上存在H、S 两点（
，H、S 两点末在图中标出）、对于粒子靶在
区域内的每一点，当电
压从零开始连续缓慢增加时，粒子靶均只能接收到n（
）种能量的粒子，求
和
的长度（假定在每个粒子的整个运动过程中电压恒定）。
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58．（2021·湖南·高考真题）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术
之一、带电粒子流（每个粒子的质量为
、电荷量为
）以初速度垂直进入磁场，
不计重力及带电粒子之间的相互作用。对处在
平面内的粒子，求解以下问题。
（1）如图（a），宽度为
的带电粒子流沿
轴正方向射入圆心为
、半径为
的圆形匀强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点
，求该磁场磁感
应强度
的大小；
（2）如图（a），虚线框为边长等于
的正方形，其几何中心位于
。在虚线
框内设计一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到
点的带电粒子流经过该区域后宽
度变为
，并沿
轴正方向射出。求该磁场磁感应强度
的大小和方向，以及该磁场
区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；
（3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于
的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等
于
的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度
为
的带电粒子流沿
轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ后汇聚到坐标原点
，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽
度变为
，并沿
轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场
磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过
程）。
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59．（2021·浙江·统考高考真题）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。
如图所示是离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然
后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆
（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为
B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向
分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一
圆环，其两端中心位置M 和N 处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是
同一边长为L 的正方体，其偏转系统的底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当
偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O 点（即图中坐标原点，x
轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过
电场和磁场偏转的角度都很小。当α 很小时，有
，
。求：
(1)离子通过速度选择器后的速度大小v 和磁分析器选择出来离子的比荷；
(2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明
理由。
60．（2021·浙江·统考高考真题）嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明
知道月球上没有空气，无法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图
所示，该装置由船舱、间距为l 的平行导轨、产生垂直船舱导轨平面的磁感应强度大小
为B 的匀强磁场的磁体和“∧”型刚性线框组成，“∧”型线框ab 边可沿导轨滑动并
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接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m1整个装置竖直着陆到月球表面
前瞬间的速度大小为v0，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨下
方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r，“∧”型线框的
质量为m2，其7 条边的边长均为l，电阻均为r；月球表面的重力加速度为g/6。整个运
动过程中只有ab 边在磁场中，线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。
(1)求着陆装置接触到月球表面后瞬间线框ab 边产生的电动势E；
(2)通过画等效电路图，求着陆装置接触到月球表面后瞬间流过ab 型线框的电流I0；
(3)求船舱匀速运动时的速度大小v；
(4)同桌小张认为在磁场上方、两导轨之间连接一个电容为C 的电容器，在着陆减速过
程中还可以回收部分能量，在其他条件均不变的情况下，求船舱匀速运动时的速度大
小
和此时电容器所带电荷量q。
61．（2020·海南·统考高考真题）如图，虚线MN 左侧有一个正三角形ABC，C 点在
MN 上，AB 与MN 平行，该三角形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场；MN 右侧
的整个区域存在垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带正电的离子（重力不计）以初速
度
从AB 的中点O 沿OC 方向射入三角形区域，偏转
后从MN 上的Р 点（图中未
画出）进入MN 右侧区域，偏转后恰能回到O 点。已知离子的质量为m，电荷量为q，
正三角形的边长为d：
(1)求三角形区域内磁场的磁感应强度；
(2)求离子从O 点射入到返回O 点所需要的时间；
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(3)若原三角形区域存在的是一磁感应强度大小与原来相等的恒磁场，将MN 右侧磁场
变为一个与MN 相切于P 点的圆形匀强磁场让离子从P 点射入圆形磁场，速度大小仍
为
，方向垂直于BC，始终在纸面内运动，到达О 点时的速度方向与OC 成
角，
求圆形磁场的磁感应强度。
62．（2020·北京·统考高考真题）某试验列车按照设定的直线运动模式，利用计算机控
制制动装置，实现安全准确地进站停车。制动装置包括电气制动和机械制动两部分。
图1 所示为该列车在进站停车过程中设定的加速度大小
随速度的变化曲线。
(1)求列车速度从
降至
经过的时间t 及行进的距离x。（保留1 位小数）
(2)有关列车电气制动，可以借助图2 模型来理解。图中水平平行金属导轨处于竖直方
向的匀强磁场中，回路中的电阻阻值为
，不计金属棒
及导轨的电阻。
沿导
轨向右运动的过程，对应列车的电气制动过程，可假设
棒运动的速度与列车的速
度、棒的加速度与列车电气制动产生的加速度成正比。列车开始制动时，其速度和电
气制动产生的加速度大小对应图1 中的
点。论证电气制动产生的加速度大小随列车
速度变化的关系，并在图1 中画出图线。
(3)制动过程中，除机械制动和电气制动外，列车还会受到随车速减小而减小的空气阻
力。分析说明列车从
减到
的过程中，在哪个速度附近所需机械制动最强?
(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明)
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63．（2020·北京·统考高考真题）如图甲所示，真空中有一长直细金属导线
，与导
线同轴放置一半径为
的金属圆柱面。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，已
知电子质量为
，电荷量为。不考虑出射电子间的相互作用。
(1)可以用以下两种实验方案测量出射电子的初速度：
a.在柱面和导线之间，只加恒定电压；
b.在柱面内，只加与
平行的匀强磁场。
当电压为
或磁感应强度为
时，刚好没有电子到达柱面。分别计算出射电子的初速
度
。
(2)撤去柱面，沿柱面原位置放置一个弧长为
、长度为
的金属片，如图乙所示。在
该金属片上检测到出射电子形成的电流为
，电子流对该金属片的压强为
。求单位
长度导线单位时间内出射电子的总动能。
64．（2020·北京·统考高考真题）如图甲所示，
匝的线圈（图中只画了2 匝），
电阻
，其两端与一个
的电阻相连，线圈内有指向纸内方向的磁场。线
圈中的磁通量按图乙所示规律变化。
(1)判断通过电阻
的电流方向；
(2)求线圈产生的感应电动势
；
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(3)求电阻
两端的电压
。
65．（2020·江苏·统考高考真题）空间存在两个垂直于
平面的匀强磁场，y 轴为两
磁场的边界，磁感应强度分别为
、
。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O
沿x 轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1 次、第2 次经过y 轴的位置分别为P、Q，其
轨迹如图所示。甲经过Q 时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m，电荷量为
q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
(1)Q 到O 的距离d；
(2)甲两次经过P 点的时间间隔
；
(3)乙的比荷
可能的最小值。
66．（2020·江苏·统考高考真题）如图所示，电阻为
的正方形单匝线圈
的边
长为
，
边与匀强磁场边缘重合。磁场的宽度等于线圈的边长，磁感应强度大小
为
。在水平拉力作用下，线圈以
的速度向右穿过磁场区域。求线圈在上述过
程中：
(1)感应电动势的大小E；
(2)所受拉力的大小F；
(3)感应电流产生的热量Q。
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67．（2020·天津·统考高考真题）多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实
验仪器，其基本原理如图所示，从离子源A 处飘出的离子初速度不计，经电压为U 的
匀强电场加速后射入质量分析器。质量分析器由两个反射区和长为l 的漂移管（无场区
域）构成，开始时反射区1、2 均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开
始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射
区的离子能够反射回漂移管。离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2 时，
撤去反射区的电场，离子打在荧光屏B 上被探测到，可测得离子从A 到B 的总飞行时
间。设实验所用离子的电荷量均为q，不计离子重力。
（1）求质量为m 的离子第一次通过漂移管所用的时间
；
（2）反射区加上电场，电场强度大小为E，求离子能进入反射区的最大距离x；
（3）已知质量为
的离子总飞行时间为
，待测离子的总飞行时间为
，两种离子在
质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量
。
68．（2020·天津·统考高考真题）如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度
B 随时间t 均匀变化。正方形硬质金属框abcd 放置在磁场中，金属框平面与磁场方向
垂直，电阻
，边长
。求
（1）在
到
时间内，金属框中的感应电动势E；
（2）
时，金属框ab 边受到的安培力F 的大小和方向；
（3）在
到
时间内，金属框中电流的电功率P。
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69．（2020·山东·统考高考真题）某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。M、N 为竖直
放置的两金属板，两板间电压为U，Q 板为记录板，分界面P 将N、Q 间区域分为宽
度均为d 的I、Ⅱ两部分，M、N、P、Q 所在平面相互平行，a、b 为M、N 上两正对
的小孔。以a、b 所在直线为z 轴，向右为正方向，取z 轴与Q 板的交点O 为坐标原点，
以平行于Q 板水平向里为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向，建立空间直角坐标系
Oxyz。区域I、Ⅱ内分别充满沿x 轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、
电场强度大小分别为B 和E。一质量为m，电荷量为+q 的粒子，从a 孔飘入电场（初
速度视为零），经b 孔进入磁场，过P 面上的c 点（图中未画出）进入电场，最终打
到记录板Q 上。不计粒子重力。
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的半径R 以及c 点到z 轴的距离L；
（2）求粒子打到记录板上位置的x 坐标；
（3）求粒子打到记录板上位置的y 坐标（用R、d 表示）；
（4）如图乙所示，在记录板上得到三个点s1、s2、s3，若这三个点是质子
、氚核
、
氦核
的位置，请写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的相互作用，不
要求写出推导过程）。
70．（2020·浙江·统考高考真题）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存
在边界为矩形
、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，探测板
平行于
水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c 三束宽度不计、间
距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界
水平射入磁场，b 束中的离子在
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磁场中沿半径为R 的四分之一圆弧运动后从下边界
竖直向下射出，并打在探测板的
右边缘D 点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为
，探
测板
的宽度为
，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作
用。
(1)求离子速度v 的大小及c 束中的离子射出磁场边界
时与H 点的距离s；
(2)求探测到三束离子时探测板与边界
的最大距离
；
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F
与板到
距离L 的关系。
71．（2020·浙江·统考高考真题）如图1 所示，在绝缘光滑水平桌面上，以O 为原点、
水平向右为正方向建立x 轴，在
区域内存在方向竖直向上的匀强磁场。桌
面上有一边长
、电阻
的正方形线框
，当平行于磁场边界的
边进入磁场时，在沿x 方向的外力F 作用下以
的速度做匀速运动，直到
边
进入磁场时撤去外力。若以
边进入磁场时作为计时起点，在
内磁感应强
度B 的大小与时间t 的关系如图2 所示，在
内线框始终做匀速运动。
(1)求外力F 的大小；
(2)在
内存在连续变化的磁场，求磁感应强度B 的大小与时间t 的关系；
(3)求在
内流过导线横截面的电荷量q。
72．（2020·全国·统考高考真题）如图，一边长为l0的正方形金属框abcd 固定在水平
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面内，空间存在方向垂直于水平面、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。一长度大于
的均匀导体棒以速率v 自左向右在金属框上匀速滑过，滑动过程中导体棒始终与
ac 垂直且中点位于ac 上，导体棒与金属框接触良好。已知导体棒单位长度的电阻为
r，金属框电阻可忽略。将导体棒与a 点之间的距离记为x，求导体棒所受安培力的大
小随x（
）变化的关系式。
73．（2020·全国·统考高考真题）如图，在0≤x≤h，
区域中存在方向垂直于
纸面的匀强磁场，磁感应强度B 的大小可调，方向不变。一质量为m，电荷量为q
（q>0）的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x 轴进入磁场，不计重力。
（1）若粒子经磁场偏转后穿过y 轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这
种情况下磁感应强度的最小值Bm；
（2）如果磁感应强度大小为
，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒
子在该点的运动方向与x 轴正方向的夹角及该点到x 轴的距离。
74．（2020·全国·统考高考真题）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O
为圆心，半径为R 的圆，AB 为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q（q>0）的
带电粒子在纸面内自A 点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。
已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C 点以速率v0穿出电场，AC 与AB 的
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夹角θ=60°。运动中粒子仅受电场力作用。
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速度应为
多大？
75．（2020·浙江·高考真题）通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数
率（即打到探测板上质子数与衰变产生总质子数N 的比值），可研究中子（
）的
衰变。中子衰变后转化成质子和电子，同时放出质量可视为零的反中微子
。如图所
示，位于P 点的静止中子经衰变可形成一个质子源，该质子源在纸面内各向均匀地发
射N 个质子。在P 点下方放置有长度
以O 为中点的探测板，P 点离探测板的
垂直距离
为a。在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B 的匀
强磁场。
已知电子质量
，中子质量
，质子质
量
（c 为光速，不考虑粒子之间的相互作用）。
若质子的动量
。
（1）写出中子衰变的核反应式，求电子和反中微子的总动能（以
为能量单位）；
（2）当
，
时，求计数率；
（3）若
取不同的值，可通过调节
的大小获得与（2）问中同样的计数率，求
与
的关系并给出
的范围。
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76．（2020·浙江·高考真题）如图甲所示，在
水平面内，固定放置着间距为l 的两
平行金属直导轨，其间连接有阻值为R 的电阻，电阻两端连接示波器（内阻可视为无
穷大），可动态显示电阻R 两端的电压。两导轨间存在大小为B、方向垂直导轨平面
的匀强磁场。
时一质量为m、长为l 的导体棒在外力F 作用下从
。位置开始
做简谐运动，观察到示波器显示的电压随时间变化的波形是如图乙所示的正弦曲线。
取
，则简谐运动的平衡位置在坐标原点O。不计摩擦阻力和其它电阻，导
体棒始终垂直导轨运动。（提示：可以用
图象下的“面积”代表力F 所做的功）
（1）求导体棒所受到的安培力
随时间t 的变化规律；
（2）求在0 至0.25T 时间内外力F 的冲量；
（3）若
时外力
，求外力
与安培力大小相等时棒的位置坐标和速度。
77．（2019·海南·高考真题）如图，一水平面内固定有两根平行的长直金属导轨，导轨
间距为l；两根相同的导体棒AB、CD 置于导轨上并与导轨垂直，长度均为l；棒与导
轨间的动摩擦因数为
（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）：整个装置处于匀强磁场中，
磁感应强度大小为B，方向竖直向下。从
时开始，对AB 棒施加一外力，使AB 棒
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从静止开始向右做匀加速运动，直到
时刻撤去外力，此时棒中的感应电流为；
已知CD 棒在
时刻开始运动，运动过程中两棒均与导轨接触良好。两棒
的质量均为m，电阻均为R，导轨的电阻不计。重力加速度大小为g。
(1)求AB 棒做匀加速运动的加速度大小；
(2)求撤去外力时CD 棒的速度大小；
(3)撤去外力后，CD 棒在
时刻静止，求此时AB 棒的速度大小。
78．（2019·江苏·高考真题）如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B．磁场中的水
平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被
反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．
质量为m、电荷量为-q 的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在
磁场中做圆周运动的半径为d，且d<L，粒子重力不计，电荷量保持不变．
（1）求粒子运动速度的大小v；
（2）欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M 的最大距离dm；
（3）从P 点射入的粒子最终从Q 点射出磁场，PM=d，QN=
，求粒子从P 到Q 的运
动时间t．
79．（2019·江苏·高考真题）如图所示，匀强磁场中有一个用软导线制成的单匝闭合线
圈，线圈平面与磁场垂直．已知线圈的面积S=0.3m2、电阻R=0.6Ω，磁场的磁感应强
度B=0.2T.现同时向两侧拉动线圈，线圈的两边在Δt=0.5s 时间内合到一起．求线圈在
上述过程中
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（1）感应电动势的平均值E；
（2）感应电流的平均值I，并在图中标出电流方向；
（3）通过导线横截面的电荷量q．
80．（2019·北京·高考真题）如图所示，垂直于纸面的匀强磁场磁感应强度为B．纸面
内有一正方形均匀金属线框abcd，其边长为L，总电阻为R，ad 边与磁场边界平行．
从ad 边刚进入磁场直至bc 边刚要进入的过程中，线框在向左的拉力作用下以速度v 匀
速运动，求：
（1）感应电动势的大小E；
（2）拉力做功的功率P；
（3）ab 边产生的焦耳热Q．
81．（2019·天津·高考真题）2018 年，人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生，
这种引擎不需要燃料，也无污染物排放．引擎获得推力的原理如图所示，进入电离室
的气体被电离成正离子，而后飘入电极
、
之间的匀强电场（初速度忽略不计），
、
间电压为
，使正离子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力．
单位时间内飘入的正离子数目为定值，离子质量为
，电荷量为
，其中
是正整数，
是元电荷．
（1）若引擎获得的推力为
，求单位时间内飘入
、
间的正离子数目
为多少；
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（2）加速正离子束所消耗的功率
不同时，引擎获得的推力
也不同，试推导
的
表达式；
（3）为提高能量的转换效率，要使
尽量大，请提出增大
的三条建议．
82．（2019·天津·高考真题）如图所示，固定在水平面上间距为的两条平行光滑金属
导轨，垂直于导轨放置的两根金属棒
和
长度也为、电阻均为
，两棒与导轨
始终接触良好．
两端通过开关
与电阻为
的单匝金属线圈相连，线圈内存在竖
直向下均匀增加的磁场，磁通量变化率为常量
．图中虚线右侧有垂直于导轨平面向
下的匀强磁场，磁感应强度大小为
．
的质量为
，金属导轨足够长，电阻忽略不
计．
（1）闭合
，若使
保持静止，需在其上加多大的水平恒力
，并指出其方向；
（2）断开
，
在上述恒力作用下，由静止开始到速度大小为
的加速过程中流过
的电荷量为
，求该过程安培力做的功
．
83．（2019·全国·高考真题）空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P 是电场中的
两点．从O 点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m 的小球A、B．A 不带电，
B 的电荷量为q（q>0）．A 从O 点发射时的速度大小为v0，到达P 点所用时间为t；B
从O 点到达P 点所用时间为
．重力加速度为g，求
（1）电场强度的大小；
（2）B 运动到P 点时的动能．
84．（2019·全国·高考真题）如图，两金属板P、Q 水平放置，间距为d。两金属板正
中间有一水平放置的金属网G，PQG 的尺寸相同。G 接地，P、Q 的电势均为
（
>0）。质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子自G 的左端上方距离G 为h 的位置，以速
度v0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。
（1）求粒子第一次穿过G 时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大
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小；
（2）若粒子恰好从G 的下方距离G 也为h 的位置离开电场，则金属板的长度最短应为
多少？
85．（2019·全国·高考真题）如图，在直角三角形OPN 区域内存在匀强磁场，磁感应
强度大小为B、方向垂直于纸面向外．一带正电的粒子从静止开始经电压U 加速后，
沿平行于x 轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP 边上某点以垂直于x 轴的方
向射出．已知O 点为坐标原点，N 点在y 轴上，OP 与x 轴的夹角为30°，粒子进入磁
场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力．求
（1）带电粒子的比荷；
（2）带电粒子从射入磁场到运动至x 轴的时间．
86．（2019·浙江·高考真题）有一种质谱仪由静电分析器和磁分析器组成，其简化原理
如图所示．左侧静电分析器中有方向指向圆心O、与O 点等距离各点的场强大小相同
的径向电场，右侧的磁分析器中分布着方向垂直于纸面向外的匀强磁场，其左边界与
静电分析器的右边界平行，两者间距近似为零．离子源发出两种速度均为v0、电荷量
均为q、质量分别为m 和0.5m 的正离子束，从M 点垂直该点电场方向进入静电分析器．
在静电分析器中，质量为m 的离子沿半径为r0的四分之一圆弧轨道做匀速圆周运动，
从N 点水平射出，而质量为0.5m 的离子恰好从ON 连线的中点P 与水平方向成θ 角射
出，从静电分析器射出的这两束离子垂直磁场方向射入磁分析器中，最后打在放置于
磁分析器左边界的探测板上，其中质量为m 的离子打在O 点正下方的Q 点．已知
OP=0.5r0，OQ=r0，N、P 两点间的电势差
，
，不计重力和离子间
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相互作用。
（1）求静电分析器中半径为r0处的电场强度E0和磁分析器中的磁感应强度B 的大小；
（2）求质量为0.5m 的离子到达探测板上的位置与O 点的距离l（用r0表示）；
（3）若磁感应强度在（B—△B）到（B＋△B）之间波动，要在探测板上完全分辨出
质量为m 和0.5m 的两束离子，求
的最大值。
87．（2019·浙江·高考真题）【加试题】如图所示，倾角θ=370、间距l＝0.1m 的足够
长金属导轨底端接有阻值R=0.1Ω 的电阻，质量m=0.1kg 的金属棒ab 垂直导轨放置，
与导轨间的动摩擦因数μ=0.45．建立原点位于底端、方向沿导轨向上的坐标轴x．在
0.2m≤x≤0.8m 区间有垂直导轨平面向上的匀强磁场．从t=0 时刻起，棒ab 在沿x 轴正
方向的外力F 作用下从x=0 处由静止开始沿斜面向上运动，其速度与位移x 满足v=kx
（可导出a=kv）k=5s-1．当棒ab 运动至x1=0.2m 处时，电阻R 消耗的电功率
P=0.12W，运动至x2=0.8m 处时撤去外力F，此后棒ab 将继续运动，最终返回至x=0 处．
棒ab 始终保持与导轨垂直，不计其它电阻，求：（提示：可以用F－x 图象下的“面
积”代表力F 做的功
（1）磁感应强度B 的大小
（2）外力F 随位移x 变化的关系式；
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（3）在棒ab 整个运动过程中，电阻R 产生的焦耳热Q．
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