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大题09 带电粒子在叠加场、交变场中的运动
带电粒子在叠加场、交变场中的运动是高考物理电磁学压轴题的核心命题方向，近几
年新高考卷中占比约10%-15；2025 年高考对“带电粒子在叠加场、交变场中的运动”考
查将延续“重模型构建、强数学应用、拓科技前沿”的命题导向，突出电磁学核心素养与
复杂问题转化能力。备考需以动态场分析为核心抓手，强化跨学科思维与创新实验设计，
同时关注量子科技与新能源热点，做到“以场为纲，以动破难”。
题型1 带电粒子在交变场中的运动
例1.如图甲所示的xOy 平面内存在大小随时间周期性变化的匀强磁场和匀强电场，
变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，沿y 轴负方向为电场强度的
正方向)。在t＝0 时刻由原点O 发射一个初速度大小为v0、方向沿y 轴正方向的带正电粒子，粒子的比
荷q
m＝π
B0t0
，v0、B0、E0、t0均为已知量，不计粒子受到的重力。
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(1)求在0～t0内粒子运动轨迹的半径；
(2)求t＝2t0时，粒子的位置坐标；
(3)若粒子在t＝25t0时首次回到坐标原点，求电场强度E0与磁感应强度B0的大小关系。
例2.如图甲所示，一对平行金属板M、N，两板长为2L，两板间距离为L，置于
O1处的粒子发射源可沿两板的中线O1O 发射初速度为v0、电荷量为q、质量为m 的带正电的粒子，M、
N 板间加变化规律如图乙所示交变电压UMN，金属板的右边界与y 轴重合，板的中心线O1O 与x 轴重合，
y 轴右侧存在垂直坐标平面向里的匀强磁场。t＝0 时发射的粒子1 恰好贴着N 板右端垂直y 轴射出，时
刻发射的粒子2 与粒子1 的运动轨迹交于磁场中的P 点，已知P 点的横坐标为。不计粒子重力及相互间
作用力，求：
(1)U0的大小；
(2)磁场的磁感应强度的大小B。
解决带电粒子(体)在交变场中运动问题的“五步法”
1．在如图甲所示的正方形平面Oabc 内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度
的变化规律如图乙所示。一个质量为m、带电荷量为＋q 的粒子(不计重力)在t＝0 时刻平行于Oc 边从
O 点射入磁场中。已知正方形边长为L，磁感应强度的大小为B0，规定垂直于纸面向外的方向为磁场的
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正方向。
(1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0；
(2)若带电粒子不能从Oa 边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期T 的最大值；
(3)要使带电粒子从b 点沿着ab 方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T 及粒子射入
磁场时的速度大小。
题型二 带电粒子在叠加场中的运动
例3.（2024 河北张家口二模）如图所示，在竖直面内的直角坐标系xOy 中，在第
二象限内存在沿x 轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向里的匀强磁场；
在第一象限内存在方向竖直向上的匀强电场和磁感应强度大小也为B、方向垂直于坐标平面向外的匀强
磁场。一带正电的小球P 从x 轴上的A 点以某一速度沿AK 方向做直线运动，AK 与x 轴正方向的夹角θ
＝60°，从K 点进入第一象限后小球P 恰好做匀速圆周运动，经过x 轴时竖直向下击中紧贴x 轴上方静
止的带电小球Q，碰后两球结合为一个结合体M，之后M 从y 轴上的F 点离开第四象限，第四象限存在
匀强磁场，方向如图所示。已知重力加速度大小为g，小球P、Q 带电荷量均为q、质量均为m，不计
空气阻力。
（1）求第二象限与第一象限内电场的电场强度大小之比E2
E1
；
（2）求小球Q 静止的位置距O 点的距离；
（3）若结合体M 进入第四象限时的速度为v，M 在第四象限运动时的最大速度为2v，则当其速度为2v
时，结合体M 距x 轴的距离是多少？
例4.(2023 江西景德镇高三月考)如图所示，在区域Ⅰ有与水平方向成30°的匀强电
场，电场方向斜向左下方。在区域Ⅱ有竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，电场强度大
3
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小为E2＝，磁感应强度大小为B。质量为m、电荷量为－q 的粒子从区域Ⅰ的左边界P 点静止释放。粒
子沿水平虚线向右运动，进入区域Ⅱ，区域Ⅱ的宽度为d。粒子从区域Ⅱ右边界的Q 点(图中未画出)离
开，速度方向偏转了60°，重力加速度为g。求：
(1)区域Ⅰ的电场强度大小E1；
(2)粒子进入区域Ⅱ时的速度大小；
(3)粒子从P 点运动到Q 点的时间。
2.（2024 吉林白城二模）如图所示，水平放置的两块带电金属极板a、b 平行正对，极
板长度和极板间距都为L，板间存在方向竖直向下、电场强度大小为E 的匀强电场和垂直于纸面向里的
匀强磁场。一质量为m、带电荷量为＋q 的粒子，以水平速度v0从两极板的左端正中央射入极板间，恰
好做匀速直线运动。不计粒子的重力及空气阻力。
（1）求匀强磁场磁感应强度B 的大小；
解决带电粒子(体)在“叠加场”中运动问题的“三步曲”
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（2）若撤去电场，调整磁感应强度B 大小使粒子刚好能从极板a 右端射出，求粒子运动半径；
（3）若撤去磁场，粒子能从极板间射出，求粒子穿越电场过程中的动能增量ΔEk。
题型三 带电粒子的运动在现代科技应用
例5. (2023 惠州第三次调研)质谱仪被应用于分离同位素，图甲是其简化模型
大量质量为m＝1.60×10-27 kg、电荷量为q＝1.60×10-19 C 的质子，从粒子源A 下方以近似速度为0 飘
入电势差为U0＝450 V 的加速电场中，从中央位置进入平行板电容器．当平行板电容器不加电压时，粒
子将沿图中虚线从O 点进入磁感应强度B＝0.1 T 的匀强磁场中，经磁场偏转后打在水平放置的屏上．
已知磁场方向垂直纸面向外，电容器极板长度L＝6 cm，两极板间宽度d＝2 cm.现给平行板电容器加上
图乙所示的偏转电压，质子在电容器中运动的时间远小于电压变化的周期T，水平屏分布在电容器竖直
极板两侧，忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用力，求：
(1) 质子射出加速电场时速度的大小．
(2) 为使质子经偏转电场后能全部进入磁场，偏转电压的最大值Um.
(3) 质子打在水平放置的屏上的痕迹长度s.
甲
乙
例6.（2024 福建福州期中）某同学设计了一种磁防护模拟装置，装置截面图如图
所示，以O 点为圆心的内圆、外圆半径分别为R 和√3R，区域中的危险区内有垂直于纸面向外的匀强磁
场，磁感应强度的大小为B，外圆为绝缘薄板，外圆的左侧有两块平行金属薄板，其右板与外圆相切，
在切点处开有一小孔C。一质量为m、电荷量为＋q、不计重力的带电粒子从左板内侧的A 点由静止释放，
两板间电压为U，粒子经电场加速后从C 点沿CO 方向射入磁场，若恰好不进入安全区，求：
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（1）粒子通过C 点时的速度大小v0；
（2）若粒子恰好不进入安全区，求两板间电压U1；
（3）在（2）问中，若粒子每次与绝缘薄板碰撞后原速反弹，求粒子从离开电场到再次返回电场所需
的时间t。
3．(2024 广东一模)一种离子分析器的结构原理如图所示，两虚线间的环形区域内存
在顺时针的匀强磁场和垂直纸面向外的匀强电场，电场强度、磁感应强度大小分别为E 和B，外虚线环
的半径为R。环形区域外侧，第一象限其他区域存在垂直纸面向外的匀强磁场(未画出)，磁感应强度
B'大小可调。原点处有一个离子源，发射电荷量为q、质量为m 的正离子，速度方向与x 轴正方向成
60°夹角。x 轴正半轴装有足够大的薄荧光屏，用于接收打到x 轴上的离子。当调节B'＝B1(B1未知)时，
离子沿直线通过环形区域后沿着Oxy 平面运动，并垂直打在荧光屏上。(离子重力不计)
(1)求正离子的速度大小；
(2)求B1的大小及离子打在荧光屏上的位置。
1．如图所示，竖直平面xOy，其x 轴水平，在整个平面内存在沿x 轴正方向的匀强电
场E，在第三象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.2 T。现有一比荷为＝25 C/kg
的带电微粒，从第三象限内某点以速度v0向坐标原点O 做直线运动，v0与x 轴之间的夹角为θ＝45°，
重力加速度g 取10 m/s2。求：
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(1)微粒的电性及速度v0的大小；
(2)带电微粒在第一象限内运动时所达到最高点的坐标。
2．如图所示，在xOy 平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小随时间周期性变化，B 的变化周
期为4t0，E 的变化周期为2t0，变化规律分别如图甲、乙所示。在t＝0 时刻从O 点发射一带负电的粒子
(不计重力)，初速度大小为v0，方向沿y 轴正方向，在x 轴上有一点A(图中未标出)，坐标为。若规定垂
直纸面向里为磁感应强度的正方向，y 轴正方向为电场强度的正方向，v0、t0、B0为已知量，磁感应强
度与电场强度的大小满足＝；粒子的比荷满足＝。求：
(1)在t＝时，粒子的位置坐标；
(2)粒子偏离x 轴的最大距离；
(3)粒子运动至A 点的时间。
3．如图甲所示，水平放置的平行金属板P 和Q，相距为d，两板间存在周期性变化的电场或磁场。P、Q
间的电势差UPQ随时间的变化规律如图乙所示，磁感应强度B 随时间变化的规律如图丙所示，磁场方向
垂直纸面向里为正方向。t＝0 时刻，一质量为m、电荷量为＋q 的粒子(不计重力)，以初速度v0由P 板
左端靠近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间，q、m、d、v0、U0为已知量。
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(1)若仅存在交变电场，要使电荷飞到Q 板时，速度方向恰好与Q 板相切，求交变电场的周期T；
(2)若仅存在匀强磁场，且满足B0＝，粒子经一段时间恰能垂直打在Q 板上(不考虑粒子反弹)，求击中
点到出发点的水平距离。
4．（2024 江苏苏州一模）如图甲所示，xOy 平面内存在着变化电场和变化磁场，变化规律如图乙、丙所
示，磁感应强度的正方向为垂直于纸面向里、电场强度的正方向为＋y 方向。t＝0 时刻，一电荷量为＋
q、质量为m 的粒子从坐标原点O 以初速v0沿＋x 方向入射（不计粒子重力）。B-t 图像中B0＝2π m
qt0
，
E-t 图像中E0＝m v0
qt0
。求：
（1）t0
4
时刻粒子的坐标；
（2）0～4t0时间段内粒子速度沿－x 方向的时刻；
（3）0～7t0时间段内粒子轨迹纵坐标的最大值。
5．如图所示，坐标系xOy 在竖直平面内，整个空间存在竖直向上的匀强电场，y 轴两侧均有方向垂直纸面
向里的匀强磁场，左侧的磁感应强度大小是右侧的两倍。t＝0 时刻，一个带正电微粒从O 点以v＝2
m/s 的初速度射入y 轴右侧空间，初速度方向与x 轴正方向成60°，微粒恰能做匀速圆周运动，第一次
经过y 轴的点记为P，OP 长L＝0.8 m。已知微粒电荷量q＝＋4×10－6 C，质量m＝2×10－7 kg，重力
加速度g 取10m/s2，求：
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(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)y 轴右侧磁场的磁感应强度大小；
(3)粒子第二次经过P 点的时刻(结果可含π)。
6． (2024 江门一模)如图所示，在x<0 的区域存在方向竖直向上、大小为E0的匀强电场，在x>0 区域存在
垂直纸面向外的匀强磁场B(B 未知)．一个质量为m 的带正电粒子甲从A 点(－d,0)以速度v0沿x 轴正方
向进入电场，粒子从B 点进入磁场后，恰好与静止在C 点质量为的中性粒子乙沿x 轴正方向发生弹性
正碰，且有一半电荷量转移给粒子乙．已知C 点横坐标为xC＝d，不计粒子重力及碰撞后粒子间的相互
作用，忽略电场变化引起的效应．
(1) 求粒子甲的比荷．
(2) 求粒子甲刚进入磁场时的速率和磁感应强度B 的大小．
(3) 求若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在x<0 的区域加上与x>0 区域内相同的磁场，试通过
计算判断两粒子碰撞后能否再次相遇，如果能，求再次相遇的时间Δt.
7． (2024 山东潍坊模拟)如图所示，在空间坐标系x<0 区域中有竖直向上的匀强电场E1，在一、
四象限的正方形区域CDEF 内有方向如图所示的正交的匀强电场E2和匀强磁场B，已知CD＝2L，OC
＝L，E2＝4E1.在负x 轴上有一质量为m、电荷量为＋q 的金属a 球以速度v0沿x 轴向右匀速运动，并与
静止在坐标原点O 处用绝缘细支柱支撑的(支柱与b 球不粘连、无摩擦)质量为2m、不带电金属b 球发
生弹性碰撞．已知a、b 球体积大小、材料相同且都可视为点电荷，碰后电荷总量均分，重力加速度为
g，不计a、b 球间的静电力，不计a、b 球产生的场对电场、磁场的影响，求：
(1) 碰撞后，a、b 球的速度大小．
(2) a、b 碰后，经t＝时a 球到某位置P 点，求P 点的位置坐标．
(3) a、b 碰后，要使b 球不从CD 边界射出，求磁感应强度B 的取值．
8． (2024 佛山质检一)很多实验仪器为了不让运动的带电粒子从工作区逃逸，需要利用磁场对带
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电粒子进行约束．假设有一个如图所示的辐射状电场与匀强磁场，正方形边长为4a，圆的半径为a.正
方形的中心与圆的圆心同在O 点，圆心与圆周边沿的电势差为U.圆心处有一粒子源，向外释放出质量
为m、带电荷量为＋q 的粒子，粒子初速度近似为零，重力不计．
(1) 求粒子离开电场时的速度大小v.
(2) 若沿垂直于正方形边界的OA 方向从电场射出的粒子恰好飞不出磁场，此时匀强磁场的磁感应
强度B 多大？该粒子在磁场中运动时离O 点的最大距离L 多大？
9． (2024 广州综合测试一)如图所示，在边长为L 的正方体区域的右侧面，以中心O 为原点建立
直角坐标系xOy，x 轴平行于正方体底面．该正方体区域内加有方向均沿x 轴正方向、电场强度大小为
E 的匀强电场和磁感应强度大小为B 的匀强磁场，若电荷量为q、质量为m 的正离子以某一速度正对O
点并垂直右侧面射入该区域，则正离子在电磁场作用下发生偏转．
(1) 若正离子从右侧面坐标为(x0，y0)的P 点射出，求正离子通过该区域过程的动能增量．
(2) 若撤去电场只保留磁场，试判断入射速度v＝的正离子能否从右侧面射出．若能，求出射点坐
标；若不能，请说明理由．
答案 (1) Eqx0 (2) 能
解析 (1) 由题可知，整个过程中电场力做功，洛伦兹力不做功，故ΔEk＝Eqx0
(2) 正离子在磁场中做圆周运动，故Bqv＝m
解得r＝＝L
因为正离子轨道半径大于L，故能从右侧面射出，轨迹如图所示
(r－y1)2＋L2＝r2
解得y1＝L
出射点坐标为
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10．如图所示，空间区域Ⅰ、Ⅱ有匀强电场和匀强磁场，MN、PQ 为理想边界，Ⅰ区域高度为
d，Ⅱ区域的高度足够大．匀强电场方向竖直向上；Ⅰ、Ⅱ区域的磁感应强度均为B，方向分别为垂直
纸面向里和向外．一个质量为m、电荷量为q 的带电小球从磁场上方的O 点由静止开始下落，进入场
区后，恰能做匀速圆周运动．已知重力加速度为g.
(1) 试判断小球的电性并求出电场强度E 的大小．
(2) 若带电小球运动一定时间后恰能回到O 点，求它释放时距 MN 的高度h.
(3) 试讨论在h 取不同值时，带电小球第一次穿出Ⅰ区域的过程中，电场力所做的功．
11．(2024 梅州质检一)在芯片领域，技术人员往往通过离子注入方式来优化半导体．其中控制离
子流运动时，采用了如图所示的控制装置，在一个边长为L 的正方形ABCD 的空间里，沿对角线AC
将它分成Ⅰ、Ⅱ两个区域，其中Ⅰ区域有垂直于纸面的匀强磁场，在Ⅱ区域内有平行于DC 且由C 指
向D 的匀强电场．一正离子生成器不断有正离子生成，所有正离子从A 点沿AB 方向以v 的速度射入
Ⅰ区域，然后这些正离子从对角线AC 上F 点(图中未画出)进入Ⅱ区域，其中AF＝AC，最后这些正离
子恰好从D 点进入被优化的半导体．已知离子流的正离子带电荷量均为e，质量为m，不考虑离子的
重力以及离子间的相互作用力．求：
(1) Ⅰ区域磁感应强度B 的大小和方向．
(2) Ⅱ区域电场强度E 的大小．
(3) 正离子从A 点运动到D 点所用时间t.
1.(2023 江苏卷)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图8 所示的模型。Oxy 平面内存在竖
直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e 的电子从
O 点沿x 轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x 轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运
动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
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(1)求电场强度的大小E；
(2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1；
(3)若电子入射速度在0＜v＜v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y2＝位置的电子数N 占总电子数N0
的百分比。
2．（2024 广东高考）如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周
期为t0的交变电压。金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁
场。磁感应强度大小为B。一带电粒子在t＝0 时刻从左侧电场某处由静止释放，在t＝t0时刻从下板左
端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t＝2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入
磁场，并在t＝3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场。已知金属板的板长是板间距
离的π
3 倍，粒子质量为m。忽略粒子所受的重力和场的边缘效应。
（1）判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q；
（2）求金属板的板间距离D 和带电粒子在t＝t0时刻的速度大小v；
（3）求从t＝0 时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W。
3．(2023 浙江卷)利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术．如图所示，xOy 平面(纸
面)的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x 轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度
大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边
界与x 轴重合．位于(0，3L)处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x 轴夹角为60°的
正离子束，沿纸面射向磁场区域．不计离子重力及离子间的相互作用，忽略磁场的边界效应．
(1) 求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t.
(2) 若B2＝2B1，求能到达y＝处的离子的最小速度v2.
(3) 若B2＝y，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在～范围，求进入第四象限的离子数
与总离子数之比η.
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