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秘籍07 碰撞类问题与动量守恒的综合应用
【解密高考】
【题型一】“滑块—弹簧”模型
【题型二】 “光滑圆弧轨道＋滑块”模型
【题型三】悬绳模型
【题型四】“滑块—木板”模型
【题型五】“子弹打木块”模型
：高考对动量守恒定律及其应用的考查主要集中在“碰撞”类问题，主要考查方式有两种：
（1）以碰撞为模型考查动量守恒定律的应用；（2）以生活中的实例为背景，考查规律的灵活运运用。
：掌握弹性碰撞和非弹性碰撞的概念，记住两个物体碰撞的几个基本公式，能运用动量守
恒定律并结合能量关系解决简单的碰撞问题。
【题型一】“滑块—弹簧”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。
(2)在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动能将发生变化；若系统所受的外力和
除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展
模型)。
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结束时)。
【例1】如图所示，物块A、B 静止在光滑水平地面上，A 与轻弹簧相连，C 沿水平面以一定初速度向右运
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动，与B 碰后粘在一起，二者向右运动一小段距离后与弹簧接触，一段时间后与弹簧分离，则（ ）
A．A 加速过程中，加速度越来越大
B．A、B、C 共速时，B 所受合力为0
C．A、B、C 共速时，弹簧弹性势能最大
D．B、C 碰撞过程中，B、C 系统机械能守恒
【答案】C
【详解】A．A 加速过程中，一开始弹簧压缩量逐渐增大，之后弹簧压缩量又逐渐减小，所以A 受到的弹簧
弹力先增大后减小，则A 的加速度先增大后减小，故A 错误；
BC．A、B、C 共速时，弹簧的压缩量达到最大，弹簧弹性势能最大，此时BC 受到的弹力不为0，BC 的加速
度不为0，则B 的加速度不为0，所受合力不为0，故B 错误，C 正确；
D．B、C 碰后粘在一起，属于完全非弹性碰撞，所以B、C 碰撞过程中，B、C 系统机械能不守恒，故D 错
误。
故选C。
“弹簧类”模型的解题思路
(1)系统的动量守恒。
(2)系统的机械能守恒。
(3)应用临界条件：两物体共速时，弹簧的弹性势能最大。
【变式1】如图甲所示，在光滑水平面上，小球A 以初动量
沿直线运动，与静止的带轻质弹簧的小球B
发生正碰，此过程中，小球A 的动量p 随时间t 变化的部分图像如图乙所示，
时刻图线的切线斜率最大，
此时纵坐标为
，
时刻纵坐标为零。已知小球A、B 的直径相同，则（ ）
A．小球A、B 的质量之比为
B．
时刻弹簧的弹性势能最大
C．小球A 的初动能和弹簧最大弹性势能之比为
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D．0~
时间内，小球B 的动量变化量为
【答案】C
【详解】B．
时刻图线的切线斜率最大，则小球A 的动量变化率最大，根据
可知小球A 的速度变化率最大，即加速度最大，根据牛顿第二定律
可知此时弹簧弹力最大，由胡克定律可知，此时弹簧形变量最大，则此时弹簧的弹性势能最大，故B 错误；
A．
时刻两小球共速，设速度大小均为v，则小球A 的质量
根据动量守恒有
则小球B 的质量
由此可知两小球的质量之比为
故A 错误；
C．根据机械能守恒有
小球A 的初动能和弹簧最大弹性势能之比
故C 正确；
D．
时间内，小球B 的动量变化量
故D 错误。
故选C。
【变式2】（多选）如图甲所示，光滑水平面上两物块A、B 用轻质橡皮绳水平连接，橡皮绳恰好处于原长。
t = 0 时，A 以水平向左的初速度v0开始运动，B 的初速度为0，A、B 运动的v − t 图像如图乙所示。已知A
的质量为m，0 ~ t0时间内B 的位移为x0，t = 3t0时二者发生碰撞并粘在一起，则（ ）
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A．B 的质量为2m
B．橡皮绳的最大弹性势能为
C．橡皮绳的原长为
D．橡皮绳的原长为v0t0
【答案】AD
【详解】A．由图乙及动量守恒定律得
解得
故A 正确；
CD．由图乙知，2t0时刻橡皮绳处于原长，设此时A、B 的速度分别为vA、vB，由动量守恒定律及能量守恒
定律得
解得
，
橡皮绳的原长
故C 错误，D 正确；
B．由能量守恒定律，橡皮绳的最大弹性势能
故B 错误。
故选AD。
【题型二】“光滑圆弧轨道＋滑块”模型
1．模型图示
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2．模型特点
(1)最高点：m 与M 具有共同水平速度v 共。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v 共；系统机械能守恒，
mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h 为滑块上升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度(完全非弹性碰撞拓展模
型)。
(2)最低点：m 与M 分离点。水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv＝mv＋Mv(弹性碰
撞拓展模型)。
【例1】（多选）如图所示，质量为M 的四分之一光滑圆弧滑块下端与光滑水平面相切。给质量为m 的小
球一水平向右的初速度，如果圆弧滑块固定，小球运动过程中距离水平面的最大高度为
R （R 为圆弧的
半径），如果圆弧滑块不固定，小球运动过程中距离水平面的最大高度为
R。重力加速度为g，下列说
法正确的是（ ）
A．小球的初速度大小为
B．M=2m
C．如果圆弧滑块不固定，小球滑离圆弧滑块到最高点的过程中，水平位移为R
D．如果圆弧滑块不固定，小球最终的速度大小为
【答案】AD
【详解】A．如果圆弧滑块固定，则由机械能守恒定律
解得小球的初速度大小为
选项A 正确；
B．如果圆弧滑块不固定，设小球离开圆弧时水平速度为vx，则由水平方向动量守恒
由能量关系
联立解得
M=0.5m
选项B 错误；
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C．如果圆弧滑块不固定，小球滑离圆弧滑块到最高点过程的时间
水平位移为
选项C 错误；
D．如果圆弧滑块不固定，小球最终落回到槽中并从槽中滑出时槽的速度最大，此时由动量守恒和能量关
系
解得小球和圆弧槽的速度大小分别为
选项D 正确。
故选AD。
【例2】如图甲所示，一小车静止在光滑水平地面上，上表面PQ 是以O 为圆心、半径为R 的四分之一光
滑圆弧轨道，左端P 与平台等高且平滑对接（不粘连）。一小球以某一水平速度冲上小车。测得在水平方
向上小球与小车的速度大小分别为
，作出
图像，如图乙所示。已知P 点距地面高
，重力
加速度为g，则（ ）
A．小车质量是小球质量的2 倍
B．小球上升到最高点时的速度为
C．小球上升的最大高度为R
D．小球落地时与小车左端P 点的水平距离为2R
【答案】B
【详解】A．设小球质量为m，小车质量为M，小球和小车组成的系统在水平方向所受合力为零，所以水
平方向动量守恒，由图乙数据可得，
时总动量
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时总动量
又有
解得
故A 错误；
B．小球上升到最高点时与小车具有共同速度，设为
，则
解得
故B 正确；
C．设小球上升的最大高度为H，对小球、小车组成的系统，根据机械能守恒定律有
解得
故C 错误；
D．小球滑回至P 点时，设小球和小车的速度分别为
和
，根据动量守恒定律和机械能守恒定律分别有
，
解得
，
则小球离开小车后做自由落体运动，设运动时间为t，有
t 时间内小车做匀速直线运动，所以小球落地时与小车左端P 点的水平距离为
故D 错误。
故选B。
【变式1】（多选）如图，小车的上面固定一个光滑弯曲圆管道，整个小车（含管道）的质量为m，原来
静止在光滑的水平面上。有一个可以看做质点的小球，质量也为m，半径略小于管道半径，以水平速度v
从左端滑上小车，小球恰好能到达管道的最高点，然后从管道右端滑离小车。不计空气阻力，关于这个过
程，下列说法正确的是（ ）
A．小球滑离小车时，小车回到原来位置
B．小球滑离小车时的速度大小为v
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C．到达最高点时小球上升的竖直高度为
D．小球从滑进管道到滑到最高点的过程中，小车所受合外力冲量大小为
【答案】BCD
【详解】A．由题意，小球与小车组成的系统在水平方向上不受外力，所以系统在水平方向动量守恒。小
球从左端滑上小车到从右端滑离小车的过程中，小车水平方向先加速后减速，小球水平方向先减速后加速，
在整个过程中小车一直向右运动，不会回到原来位置，故A 错误；
B．由动量守恒可得
其中
是小球速度，
是小车速度。
由机械能守恒定律可得
解得
，
小球滑离小车时的速度大小是v，故B 正确；
C．小球恰好到达管道的最高点后，则小球和小车的速度相同为
，由动量守恒定律可得
解得
根据机械能守恒定律可得
解得
故C 正确；
D．小球滑到管道的最高点时，根据动量定理可得，小车所受合外力冲量为
故D 正确。
故选BCD。
【变式2】（多选）如图，水平地面上有一质量为m 的“
”形木板A，其水平部分表面粗糙，长度
为2R，
圆弧部分的半径为R、表面光滑，两部分平滑连接。现将质量也为m、可视为质点的滑块B 从圆
弧的顶端由静止释放。若地面粗糙，滑块B 恰好能滑到此木板的最左端，此过程中木板A 始终处于静止状
态，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．此过程中，A 对水平地面的最大压力为4mg B．B 与A 水平部分上表面的动摩擦因数为0.2
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C．若水平地面光滑，滑块B 将从木板A 的左端滑出D．若水平地面光滑，A 向右运动的最大位移为
1.5R
【答案】AD
【详解】A．若地面粗糙，B 滑到低端时
根据
可得FN=3mg
可知此过程中，A 对水平地面的最大压力为FNm=4mg
选项A 正确；
B．若地面粗糙，根据能量关系
解得B 与A 水平部分上表面的动摩擦因数为
选项B 错误；
C．若水平地面光滑，则当B 相对A 静止时由水平方向动量守恒
即两物体的速度均为零，根据能量关系
可得
即滑块B 仍停在木板A 的左端，选项C 错误；
D．若水平地面光滑，水平动量守恒可得
解得x=1.5R
即A 向右运动的最大位移为1.5R，选项D 正确。
故选AD。
【变式3】（多选）质量为
的光滑半圆形凹槽静止在光滑水平地面上，在凹槽左侧与圆心等高处由静止
释放一质量为
、可视为质点的小球，小球相对地面运动的轨迹为半个椭圆，如图甲中虚线所示。运动过
程中小球的动能随时间变化图像如图乙所示，已知椭圆半长轴与半短轴之比为
。下列说法正确的是（
）
A．半圆形凹槽与小球组成的系统动量不守恒
B．小球质量与凹槽质量之比
C．
时刻，小球受到凹槽的支持力方向与速度垂直
D．
时刻，小球受到凹槽的支持力大于小球的重力
【答案】ABD
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【详解】A．小球向下运动过程中，在竖直方向的分加速度方向先向下后向上，小球先处于失重后处于超
重状态，可知，半圆形凹槽与小球组成的系统所受外力的合力不为0，即半圆形凹槽与小球组成的系统动
量不守恒，故A 正确；
B．令凹槽半径为R，根据图中所示半个椭圆可知，半长轴为R，则半短轴为
，短轴为
，即小球在水
平方向的分位移
半圆形凹槽与小球组成的系统在水平方向动量守恒，则有
其中
解得
故B 正确；
C．根据图乙的对称性可知，
时刻小球位于凹槽最低点，则
时刻小球位于释放点与凹槽最低点之间的某
一位置，小球相对地面运动的轨迹为半个椭圆，轨迹的最低点即为凹槽的最低点，
时刻小球受到凹槽的
支持力方向指向凹槽圆心，速度方向沿半椭圆轨迹切线方向，可知，
时刻，小球受到凹槽的支持力方向
与速度方向不垂直，故C 错误；
D．结合上述可知，
时刻小球位于凹槽最低点，小球相对于凹槽做圆周运动，小球在最低点相对于凹槽
的速度方向水平向右，由于小球小球相对于凹槽做圆周运动，则小球在最低点沿半径方向的合力提供向心
力，此时加速度方向竖直向上，则
时刻，小球受到凹槽的支持力大于小球的重力，故D 正确。
故选ABD。
【题型三】悬绳模型
悬绳模型(如图所示)与“光滑圆弧轨道＋滑块(小球)”模型特点类似，即系统机械能守恒，水平方向动量守
恒，解题时需关注物体运动的最高点和最低点。
【例1】（多选） 如图所示，质量为0.3kg 的滑块套在水平固定的光滑轨道上，质量为0.2kg 的小球（视为
质点）通过长为0.75m 的轻杆与滑块上的光滑轴O 连接，可绕O 点在竖直平面内自由转动。初始时滑块静
止，轻杆处于水平状态。小球以3m/s 竖直向下的初速度
开始运动，g 取
，则（ ）
A．小球从初始位置到第一次到达最低点的过程中，滑块向右移动了0.30m
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B．小球第一次到达最低点时，滑块的速度大小为2m/s
C．小球第一次到达最低点时，轻杆对小球的拉力为5.84N
D．小球相对于初始位置可以上升的最大高度为0.45m
【答案】AD
【详解】A．小球从初始位置到第一次到达最低点的过程中，设滑块在水平轨道上向右移动的距离为
，小
球的质量为m，滑块的质量为M，取向左为正方向，根据水平动量守恒有
解得
A 正确；
B．小球从初始位置到第一次到达最低点的过程中，小球和滑块系统水平方向动量守恒，取水平向左为正
方向，设小球到最低点时的瞬时速度为
，滑块的速度为
，则有
根据能量守恒则有
联立解得
，
此时小球相对于地面的速度
故小球受到杆的拉力为
代入数据解得
BC 错误；
D．设小球相对于初始位置可以上升的最大高度为h，此时竖直方向速度为0，根据水平动量守恒得
根据能量守恒可得
解得
D 正确。
故选AD。
【例2】质量为2m 的物体A 穿在光滑的水平杆上，用长为L 的细绳与质量为m 的小球B 相连，如图甲所示，
初始时A、B 在同一水平面上（细绳平行于水平杆），且细绳刚好拉直，将小球B 由静止释放，当细绳刚
好竖直、小球B 运动到最低点时绳子恰好绷断，已知A、B 均可视为质点，重力加速度为g，求：
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(1)小球B 运动到最低点时，物体A 的速度大小以及A 相对于初始位置运动的距离；
(2)细绳的最大张力；
(3)以A 物体的初始位置为坐标原点建立如图乙所示平面直角坐标系xOy，求出绳断之前小球B 运动的轨迹
方程。
【答案】(1)
；
；(2)
；(3)
【详解】（1）小球B 从初始位置到第一次到达最低点的过程中，小球B 和A 物体系统水平方向动量守恒，
取水平向左为正方向，可得
设A 相对于初始位置运动的距离为
，可得
解得
根据能量守恒有
联立，解得
（2）小球B 运动到最低点速度
小球B 运动到最低点时绳子恰好绷断，有
解得
即细绳的最大张力为
。
（3）设小球位置坐标为（x，y）时，此时A 物体运动的位移为
，则水平动量守恒
由几何关系可知
解得小球从出发至最低点过程的轨迹方程
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【变式1】如图所示，轻杆两端分别系着质量为
的圆环A 和质量为
的小球B，轻杆与A 的
连接处有光滑铰链，轻杆可以绕铰链自由转动，A 套在光滑的水平固定横杆上且能自由滑动，A、B 静止不
动时B 球恰好与光滑地面接触，在B 的左侧是半径为
的
圆弧，质量为
的小球C 以
的速度向左与B 球发生正碰，已知碰后C 小球恰好能做平抛运动，小球B 在运动过程中恰好能与
横杆接触。重力加速度取
，则：
(1)碰后C 球平抛的水平位移大小；
(2)碰后瞬间B 球的速度大小；
(3)A、B 间轻杆的长度。
【答案】(1)
；(2)3m/s；(3)0.3m
【详解】（1）碰后C 球恰好能做平抛运动，则C 球在圆弧顶端，根据牛顿第二定律有
C 做平抛运动，在水平方向上有
在竖直方向上有
解得
（2）碰撞过程中，B 球和C 球组成的系统动量守恒，则有
解得
（3）碰后当B 球恰好与横杆接触时，A、B 二者具有相同的水平速度
，A、B 构成的系统水平方向动量
守恒，则有
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根据机械能守恒定律有
解得
【变式2】质量均为
的木块
和
，并排放在光滑水平面上，如图所示。
上固定一竖直轻杆，轻杆上
端的
点系一长为的细线，细线另一端系一质量也为
的球
。现将球
拉起使细线水平伸直，并由静
止释放球
。
(1)若木块
固定在水平面上，求球
向左摆动能达到的最大高度；
(2)若木块
不固定，求球
第一次摆到最低点时球
的位移大小。
【答案】(1)
；(2)
【详解】（1）对球
，下落过程机械能守恒有
对球
和木块
，水平方向动量守恒，取向左为正方向有
系统机械能守恒，有
联立解得
（2）对球
和A、B 组成的系统：设水平向左为正方向，水平方向平均动量守恒，有
即
又
，
联立得
【题型四】“滑块—木板”模型
【例1】如图所示，光滑水平地面上放置完全相同的两长板A 和B，滑块C（可视为质点）置于B 的右端，
三者质量均为
。A 以
的速度向右运动，B 和C 一起以
的速度向左运动，A 和B 发生碰撞后粘
在一起不再分开。已知A 和B 的长度均为0.75m，C 与A、B 间动摩擦因数均为0.5，则（ ）
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A．碰撞瞬间C 相对地面静止
B．碰撞后到三者相对静止，经历的时间为0.2s
C．碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为
D．碰撞后到三者相对静止，C 相对长板滑动的距离为0.6m
【答案】D
【详解】A．碰撞瞬间C 相对地面向左运动，选项A 错误；
B．向右为正方向，则AB 碰撞过程由动量守恒
解得
v1=1m/s
方向向右；当三者共速时
可知
v=0
即最终三者一起静止，可知经历的时间
选项B 错误；
C．碰撞到三者相对静止摩擦产生的热量
选项C 错误；
D．碰撞到三者相对静止由能量关系可知
可得
选项D 正确。
故选D。
【例2】如图甲所示，质量为
的薄板
静止在水平地面上，质量为
的物块
静止在
的右端。
时刻对
施加一水平向右的作用力
，
的大小随时间的变化关系如图乙所示。已知
与
之间、
与地面之间的动摩擦因数均为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
始终未脱离
。取
，
下列说法正确的是（ ）
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A．
时，
与
发生相对滑动
B．
时，
的加速度大小为
C．
时，
的速度大小为
D．
时，
、
动量之和为
【答案】C
【详解】A．设A、B 发生相对滑动时的最小外力为
，对A 受力分析，由牛顿第二定律可得
解得
对于B 而言，则有
联立上式解得
由乙图可知，外力
与时间的关系满足
当
时，
，A、B 没有发生相对滑动，A 错误；
B．根据上述分析可知，
时，
，A、B 具有共同的加速度，大小为
，B 错误；
C．根据动量定理，结合乙图可知
代入数据解得
C 正确；
D．根据乙图，结合动量定理可知，
时，A、B 系统具有的动量之和为
代入数据解得
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D 错误。
故选C。
【变式1】（多选）如图所示，足够长的木板M 放在光滑水平面上，滑块N 放在木板上的左端，二者之间
接触面粗糙，水平地面的右侧固定一竖直挡板。木板M 和滑块N 以相同的速度水平向右运动，木板M 和
挡板发生弹性碰撞，碰撞时间可忽略不计。以木板M 第一次与挡板发生碰撞的时刻为计时起点，水平向右
为正方向，以下描述木板M 和滑块N 的速度随时间变化规律的图像（用实线表示滑块N 的速度变化规律，
用虚线表示木板M 的速度变化规律）可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】A．若木板和滑块质量相等，则滑块向右减速的加速度大小等于木板向左减速的加速度大小，同
时减速为0，故A 正确；
BC．若木板质量大于滑块，则
两物体共速时速度向左，一起匀速运动，故B 正确，C 错误；
D．若木板质量小于滑块，两物块共速时速度向右，先匀速运动一段再和挡板碰撞，重复之前的过程，故D
正确。
故选ABD。
【变式2】（多选）如图甲所示，足够长的木板A 静止于光滑水平面上，t=0 时小物块B 以4m/s 的水平初
速度从左端滑上A，图乙为A 的动能Ek随时间t 变化的关系图像，t=0.4s 后图线为平行于t 轴的直线。已知
A、B 间的动摩擦因数为0.5，g 取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
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A．t=0.4s 时A、B 速度相同
B．B 的质量为2.0kg
C．A 的长度至少为1.0m
D．整个过程系统因摩擦产生的内能为4.0J
【答案】AD
【详解】A．由乙图知，
后A 的动能
不再发生变化，即
时A、B 速度相同，故A 正确；
B．B 在与A 共速前，B 的加速度为
设A、B 的共同速度为v，由速度公式
整理得末速度为
结合根据动量守恒
得二者质量相等，设都为m，共速后A 的动能
解得B 的质量为
故B 错误；
C．二者共速时相对静止，相对位移为
即A 的长度至少为
，故C 错误；
D．整个过程系统因摩擦产生的内能
故D 正确。
故选AD。
【变式3】质量为
的长木板A 在光滑水平面上以
的速度向左运动，某时刻质量为
的小木块B 以
的速度从左端向右滑上长木板，经过时间
小木块B 相对A 静止，求：
(1)两者相对静止时的运动速度。
(2)从木块滑上木板到相对木板静止的过程中，木板A 的动量变化量的大小。
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(3)小木块与长木板间的动摩擦因数
。
【答案】(1)
，方向水平向右；(2)
、(3)0.5
【详解】（1）（1）设水平向右为正方向，从开始到相对静止，水平方向动量守恒
解得
方向水平向右；
（2）长木板的动量变化量大小
（3）对小木块B，根据动量定理得
解得
“滑块—木板”模型的解题思路
(1)系统的动量守恒。
(2)在涉及滑块或木板的运动时间时，优先考虑用动量定理。
(3)在涉及滑块或木板的位移时，优先考虑用动能定理。
(4)在涉及滑块与木板的相对位移时，优先考虑用系统的能量守恒。
(5)滑块与木板不相对滑动时，两者达到共同速度。
【题型五】“子弹打木块”模型
1．模型图示
2．模型特点
(1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。
(2)系统的机械能有损失。
3．两种情境
(1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞)
动量守恒：mv0＝(m＋M)v；
能量守恒：Q＝Ff·s＝mv－(M＋m)v2。
(2)子弹穿透木块
动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2；
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能量守恒：Q＝Ff·d＝mv－。
【例1】如图所示，光滑的地面上有一个木块C，C 上面通过一个弹性棒连接木块B，弹性棒可以弯曲但不
改变长度。开始弹性棒处于竖直状态，一颗子弹A 以水平初速度
射入B 但没有穿出，射入过
程时间极短，之后 AB 整体在弹性棒上面反复左右摇摆。已知
，
，
，整
个运动过程C 始终没有脱离地面且没有翻倒，下列说法正确的是（ ）
A．子弹A 射入木块B 过程中AB 系统机械能守恒
B．弹性棒向右弯曲最大时AB 整体的速度为
C．弹性棒向右弯曲最大时具有的弹性势能大小等于子弹射入木块B 之后系统减少的动能
D．弹性棒第一次回到竖直状态时C 的速度大小为
【答案】D
【详解】A．子弹A 射入木块B 过程中机械能有损失，故A 错误；
B．弹性棒向右弯曲最大时，ABC 相对静止，具有相同的速度，由
得整体的速度为
故B 错误；
C．弹性棒向右弯曲最大时具有的弹性势能大小应等于子弹射入木块B 之后系统减少的动能与AB 减少的重
力势能之和，故弹性棒向右弯曲最大时具有的弹性势能大小应大于子弹射入木块B 之后系统减少的动能，
故C 错误；
D．A 射入B 过程中，由
得
弹性棒第一次回到竖直状态时，整个系统满足水平方向动量守恒和机械能守恒，由
，
可得
故D 正确。
故选D。
【例2】（多选）为了研究多层钢板在不同模式下的防弹效果，建立如下简化模型。如图所示，两完全相
同的钢板A、B 厚度均为d，质量均为m。第一次把A、B 焊接在一起静置在光滑水平面上，质量也为m 的
子弹水平射向钢板A，恰好将两钢板击穿。第二次把A、B 间隔一段距离水平放置，子弹以同样的速度水平
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射向A，穿出后再射向B，且两块钢板不会发生碰撞。设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，不计子弹的重
力，子弹可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A．第一次子弹穿过A、B 所用时间之比为
B．第二次子弹能击穿两钢板
C．第二次子弹不能击穿钢板B，进入钢板B 的深度为
D．第一次、第二次整个系统损失的机械能之比为
【答案】CD
【详解】A．第一次子弹相对A、B 做匀减速直线运动，恰好击穿时末速度为0，根据逆向思维，可以将看
成子弹相对A、B 做初速度为0 的反向匀加速直线运动，穿过B、A 的相对位移相等，则时间之比为
，所以穿过A、B 所用时间之比为
，故A 错误；
BC．设子弹的初速度为v0，受到的阻力大小为f，第一次穿过A、B 时共同速度为v，对系统，由动量守恒
有
由能量守恒有
可得
第二次子弹穿过A 时，设子弹速度为v1，A 的速度为u，假设不能穿透B，最后与B 的共同速度为v2，进入
B 的深度为d′，对子弹和A，由动量守恒有
由能量守恒有
可得
对子弹和B，由动量守恒有
由能量守恒有
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可得
假设成立，故B 错误，C 正确；
D．第一次系统损失的机械能
第二次系统损失的机械能
第一次、第二次系统损失的机械能之比为
故D 正确。
故选CD。
【变式1】如图所示，在有圆孔的水平支架上放置一物块，子弹从圆孔下方以大小为
的速度竖直向上击
中物块并留在物块中。已知子弹的质量为
，物块的质量为
，重力加速度大小为
。物块（含子弹）
在空中运动时所受阻力大小为它们所受总重力的
。子弹与物块相对运动的时间极短，不计物块厚度的影
响，求：
(1)子弹在物块中相对物块运动的过程中，系统损失的机械能；
(2)物块（含子弹）落回支架前瞬间的速度大小。
【答案】(1)
；(2)
【详解】（1）子弹射入物块过程，由动量守恒定律有
解得
子弹射入物块的过程中，系统损失的机械能
解得
（2）子弹射入物块后一起向上运动，由运动学公式有
由牛顿第二定律有
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子弹和物块落回支架的过程中，由牛顿第二定律有
由运动学公式有
解得子弹和物块落回支架前瞬间的速度大小
【变式2】
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