文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
秘籍04 曲线运动（抛体运动、圆锥摆模型、绳球和杆球模
型）
【解密高考】
【题型一】平抛运动
【题型二】 圆锥摆模型
【题型三】 绳球和杆球模型
【题型四】圆周运动与平抛运动的综合问题
【误区点拨】易错点：圆锥摆的临界和极值问题
：曲线运动主要以抛体运动和圆周运动为主，是高考必考内容，处理抛体运动时需要理解
分析思想——“化曲为直”，圆周运动需要掌握向心力的来源和作用；高考考查过程中除单独考查抛体与
圆周运动外，经常会将抛体运动与圆周运动综合在一起，再结合能量、动量一起考查，同时也引申到带电
粒子在组合场中的运动——在匀强电场中做类平抛运动，再进入磁场中做匀速圆周运动，这类试题经常作
为“压轴题”出现。
：理解清楚曲线运动的受力特点，根据受力判断质点的运动状态；无论是单独考查还是综合
能量、动量或引申到带电粒子在组合场中的运动，需要掌握抛体运动或圆周运动的基本规律，同时需要考
生借助数学中的几何关系处理问题。
【题型一】平抛运动
【例1】如图，在某军事演习区正上方距离地面4000m 高空悬停着上万只无人机形成无人机群（可视为质
点），每只无人机携带一颗炸弹，无人机群向水平方向及以下方向无死角的以初速度
抛出炸弹，
在距离地面2000m 处设置面积为
的拦截炸弹区，不计空气阻力，以面积比为拦截炸弹比，取
，
，则拦截炸弹比约为（ ）
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．0.5
B．0.25
C．0.05
D．0.025
1．“化曲为直”思想在平抛运动中的应用
根据合运动与分运动的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运
动：
(1)水平方向的匀速直线运动；
(2)竖直方向的自由落体运动。
2.做平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，应将平抛运动的知识与几何
知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解。
【例2】 人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示，出水管口最下端距水平地面一定高
度，出水管口横截面是圆，不计空气阻力，假如水从管口水平喷出的速度恒定，水流在空中不会中断，则
水柱落在水平地面上的形状大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】 如图所示，
是四分之一圆弧，固定在竖直面内，
是圆心，
竖直，
是圆弧上的一点，
是
上一点，
水平，
、
、三点将
四等分，在
、
、
、四点分别水平抛出一个小球，
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
小球均落在
点，若小球落在
点时能垂直打在圆弧面上，则小球的抛出点一定在（ ）
A．
点
B．
点
C．
点
D．点
【变式2】 如图所示，弹珠发射器（可视为质点）固定于足够高的支架顶端，支架沿着与竖直墙壁平行
的方向以速度v1水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发射器速度大小为v2
（v2>v1）的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x，竖直方向位移为y。已知发射器到墙
壁的垂直距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．x 的最小值为
B．x 的最小值为
C．y 的最小值为
D．y 的最小值为
【变式3】（多选）无人机依靠其强大的机动性与灵活性，在事故现场可以为救援工作提供有力的支持。
如图，某次救援演练中一架无人机正对一山坡水平匀速飞行，先、后释放几个相同的物资包均落到山坡上，
忽略空气阻力，则先释放的物资包落在山坡前瞬间（ ）
A．重力势能一定较大
B．动能一定较大
C．机械能一定较大
D．竖直方向速度一定较大
【题型二】 圆锥摆模型
圆锥摆模型
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)圆锥摆模型的受力特点
受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。
(2)运动实例
运动模型
向心力的来源图示
飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
物体在光滑半圆形碗
内做匀速圆周运动
(3)规律总结
①圆锥摆的周期
如图，摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ。
受力分析，由牛顿第二定律得：
mgtanθ＝mr
其中r＝Lsinθ
解得T＝2π＝2π。
②结论
a．摆高h＝Lcosθ，周期T 越小，圆锥摆转得越快，θ 越大。
b．摆线拉力F＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力F 越大。
c．摆球的加速度a＝gtanθ。
(4)圆锥摆对比分析的两种常见情况
情况1：具有相同摆角的圆锥摆(摆长不同)，如图甲所示。
由a＝gtanθ 知A、B 的向心加速度大小相等。由a＝ω2r 知ωA<ωB，由a＝知vA>vB。
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
情况2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。
由T＝2π 知摆高h 相同，则TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr 知vA>vB，由a＝ω2r 知aA>aB
【例1】 如图所示，让装有水的玻璃杯绕过其侧面的竖直轴匀速转动，杯中液面形状可能正确的是 （
）
A．
B．
C．
D．
圆周运动动力学问题的解题方法
(1)对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。
(2)确定圆周运动的轨道平面，确定圆心和轨道半径。
(3)应用牛顿运动定律和圆周运动知识列方程求解。
【例2】 如图甲所示，游乐场里有一种空中飞椅游戏，可以将之简化成如图乙所示的结构装置，装置可绕
竖直轴匀速转动，绳子与竖直方向夹角为θ，绳子长L，水平杆长L0，小球的质量为m。不计绳子重力和空
气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．装置中绳子的拉力为mgtanθ
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
B．装置转动的角速度为
C．装置转动的周期为
D．装置旋转一周，小球的动量变化为0
【变式1】 小车内固定有垂直于运动方向的水平横杆，物块M 套在横杆上，一个小铁球用轻质细线吊在
物块底部。当小车以恒定速率通过某一水平弯道时（可视为圆周运动），细线与竖直方向的夹角为
，
如图所示。若小车以更大的恒定速率通过该弯道，设小车在通过弯道的过程中，小球、物块与小车均保持
相对静止，下列说法错误的是（ ）
A．细线与竖直方向的夹角变大
B．细线对小球的拉力变大
C．横杆对物块的摩擦力变大
D．横杆对物块的支持力变大
【变式2】如图所示，制作陶瓷的圆形工作台上有A、B 两陶屑随工作台一起转动，转动角速度为
，A
在工作台边缘，B 在工作台内部．若A、B 与台面间的动摩擦因数相同，则下列说法正确的是（ ）
A．当工作台匀速转动，A、B 所受合力为0
B．当工作台匀速转动，A、B 线速度大小相等
C．当工作台角速度ω 逐渐增大，陶屑A 最先滑动
D．当工作台角速度ω 逐渐增大，A、B 所受的摩擦力始终指向轴
【变式3】（多选）一根轻质细线一端系一可视为质点的小球，细线另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图
1 所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为
，线的张力
随
变化的图像如图2 所示（图中
数值单位均为国际单位），
取
。下列说法正确的是（ ）
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．细线的长度为1m
B．细线的长度为0.5m
C．小球的质量为2kg
D．小球的质量为3kg
【题型三】绳球与杆球模型
1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与
绳连接、物体沿内轨道运动等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、物体在弯管内运
动等)，称为“杆(管)约束模型”。
2．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型
杆模型
常见
类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
受力
特征
除重力外，物体受到的弹力向下或
等于零
除重力外，物体受到的弹力向下、
等于零或向上
受力
示意图
过最高
点的临
界条件
由mg＝m 得v 临＝
由小球恰能做完整的圆周运动得v 临
＝0
讨论
分析
(1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，
绳、圆轨道对球产生弹力FN；
(2)不能过最高点时，v<，在到达最
高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0 时，FN＝mg，FN为支持
力，沿半径背离圆心；
(2)当0<v<时，mg－FN＝m，FN背离
圆心，随v 的增大而减小；
(3)当v＝时，FN＝0；
(4)当v>时，FN＋mg＝m，FN指向圆
心，并随v 的增大而增大
【例1】 （多选）某摩天轮的直径达120m，转一圈用时1600s。某同学乘坐摩天轮，随座舱在竖直平面内
做匀速圆周运动，依次从A 点经B 点运动到C 的过程中（ ）
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．角速度为
B．座舱对该同学的作用力一直指向圆心
C．重力对该同学做功的功率先增大后减小
D．如果仅增大摩天轮的转速，该同学在B 点受座舱的作用力将增大
【例2】 “泼水成冰”是一项极具视觉冲击力的冬日奇观。具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线
均匀快速地泼向空中，泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼
水成冰游戏的精彩瞬间，其示意图为图乙，P 为最高点，在最高点时杯口朝上，泼水过程中杯子的运动可
看成匀速圆周运动，人的手臂伸直，臂长为0.6m，人在0.4s 内把杯子旋转了240°，重力加速度
。
下列说法不正确的是（ ）
A．P 位置的小水珠速度方向沿b 方向
B．杯子在旋转时的角速度大小为
C．从Q 到P，杯子所受合外力的冲量为零
【变式1】 如图所示，支架固定在底座上，它们的总质量为M。质量分别为2m 和m 的小球A、B（可视
为质点）固定在一根长度为L 的轻杆两端，该轻杆通过光滑转轴O 安装在支架的横梁上，O、A 间的距离
为
，两小球和轻杆一起绕轴O 在竖直平面内做圆周运动，运动过程中支架和底座一直保持静止。当转动
到图示竖直位置时，小球A 的速度为v，重力加速度为g。对于该位置，下列说法正确的是（ ）
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．小球A、B 的向心加速度大小相等
B．小球A 的向心力大于B 球的向心力
C．若
，则底座对水平地面的压力为Mg＋2mg
D．A、B 两球恰好做匀速圆周运动
【变式2】 如图所示，一个光滑导轨长臂水平固定、短臂竖直，系有没有弹性轻绳的轻质圆环套在长臂
上，轻绳另一端与质量为
的小球相连。左手扶住圆环右手拿起小球将轻绳水平拉直，已知轻绳长度为
，此时圆环距短臂
，重力加速度为
，若将圆环与小球同时释放，则（ ）
A．小球开始做圆周运动
B．小球运动过程中机械能守恒
C．小球运动的最大速度大小为
D．小球运动到最低点前瞬间对绳子的拉力大小等于
竖直面内圆周运动问题的解题思路
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【题型四】圆周运动与平抛运动的综合问题
一圆周运动与平抛运动的综合问题，是高考的热点，也是高考的重点。此类综合问题主要是水平面内的圆
周运动与平抛运动的综合考查和竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合考查。一般分为两类：
一、水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
1．此类问题有时是一个物体做水平面上的圆周运动，另一个物体做平抛运动，特定条件下相遇，有时是
一个物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，有时还要结合能量关系分析求解，多以选择题
或计算题考查。
2．解题关键
(1)明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。
(2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。
(3)速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。
二、竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合问题
1．此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动，有时物体先做平抛运动，后做竖直
面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以选择题或计算题考查。
2．解题关键
(1)竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，一般要分析物体能够到达圆周最
高点的临界条件。
(2)速度也是联系前后两个过程的关键物理量。
【例1】（多选）如图所示，长为1.0m 的细绳一端固定在P 点，另一端拴接质量为1.0kg 的小球，小球与
P 点等高，细绳自然伸直。小球由静止释放后，摆动到某位置时，细绳突然断裂，继续运动0.5s 后，落在
地面上。已知细绳能承受的最大拉力为24N，不计空气阻力，取重力加速度
，下列说法正确的
是（ ）
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．轻绳断裂时小球的速度大小为2m/s
B．轻绳断裂时小球的速度大小为4m/s
C．小球落地点与P 点的水平距离为1m
D．小球落地点与P 点的水平距离为1.6m
【例2】 如图所示，半径为
的半圆弧轨道
竖直固定在水平面上，竖直半径
与倾斜半径
、
的夹角为
，且
，现让可视为质点的小球从
点由静止释放，当小球运动到
点时正好脱离
轨道，小球此时速度的大小为
（为未知量）；再把小球拿到
点，并使小球在
点获得大小为（为未
知量）、方向与
垂直斜向上的初速度，小球从
点运动到
点，运动轨迹的最高点为
点，重力加速
度为
，不计一切摩擦，不计空气作用。下列说法正确的是（ ）
A．小球在
点的向心加速度为
B．小球在
点的速度
为
C．小球从
到
的运动时间为
D．
、
两点的距离为
【变式1】 如图所示，一小学生站在圆形水泥管道最低点，以水平速度
将一个质量为
的小足球踢出，
球沿管道内壁在同一个竖直面内运动两圈多后在某一位置脱离管道，掉入小学生的背包里（背包口正好在
管道圆心处）。已知管道半径为
，重力加速度为
，不计空气阻力，小足球可以看作质点。求：
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(1)足球脱离管道的位置和圆心的连线与水平方向夹角
的正切值；
(2)从足球被踢出到球脱离管道，管道对足球做的功
。
【变式2】 为了进一步解决水资源短缺和人工成本增加等问题，越来越多的绿化工程采用自动灌溉系统。
如图所示，地下的水泵将水从水管（管壁厚度不计）底部
点推向上方，水沿着水管上升
后从水
平水管喷出，已知水管横截面积
，水的密度
，水管上端水平部分长
，
通过拍摄照片发现水落地时的速度方向与水平地面的夹角
，忽略摩擦和空气阻力，取重力加速度大
小
。
(1)求水管中水流的速度大小；
(2)求水泵对水做功的功率；
(3)为了能向各个方向喷水，现在让竖直水管沿竖直轴线匀速旋转，角速度
，求水落地点围成的
区域的面积。（结果保留两位有效数字）
易错点一：水平转盘上的圆周运动及其临界问题
水平转盘上圆周运动的临界问题，主要涉及与摩擦力和弹力有关的临界极值问题。
(1)如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，
则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。
(2)如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体在水平面上转动，其临界情况要根据题
设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
的拉力等)。
(3)运动实例
【例1】如图所示，A、B 两个带电小球放置在一个光滑绝缘水平面上，它们之间的距离为d，带电小球C
固定在
的垂直平分线上，三个小球刚好构成等边三角形，现在A、B 两个小球绕过C 的竖直轴转动（转
动角速度可变，
之间距离不变），已知三个小球均可视为质点，A、B 两个小球的质量均为m，带电量
均为
，小球C 的带电量大小为
，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．C 球带正电
B．A 球转动的角速度ωA为
C．若增大C 球电荷量，当A、B 小球刚好离开地面时，C 的电荷量
为
D．若增大C 球电荷量，当A、B 小球刚好离开地面时，B 球转动的角速度ωB为
【变式1】（多选）如图所示，水平圆盘可绕竖直轴转动，圆盘上放有小物体A、B、C，质量分别为
，A 放在B 上，C、B 离圆心
的距离分别为
。C、B 之间用细线相连，圆盘静止时细线刚好
伸直且无张力。已知C、B 与圆盘间的动摩擦因数以及A、B 间的动摩擦因数均为
，设最大静摩擦力等于
滑动摩擦力，重力加速度为
，现让圆盘从静止缓慢加速，若A、B 之间能发生相对滑动则认为A 立即飞走，
B 以后不再受A 物体的影响，且细线不会被拉断，则下列说法正确的是（ ）
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A．当
时，A 即将滑离B
B．当
时，细线张力为
C．无论
多大，B、C 都不会和圆盘发生相对滑动
D．当
时，剪断细线，C 将做离心运动
【变式2】如图，中空的水平圆形转盘内径r = 0.8 m，外径足够大，沿转盘某条直径有两条粗糙凹槽，凹
槽内有A、B 两个物块，两根不可伸长的轻绳一端系在C 物块上，另一端分别绕过转盘内侧的光滑小定滑
轮系在A、B 两个物块上，转盘不转动时两个物块放在距离竖直转轴R = 1.0 m 处系统恰好保持静止。每根
绳长L = 1.2 m，A、B 两个物块的质量均为m = 2.0 kg，C 物块的质量mC = 1.5 kg，所有物块均可视为质点，
取重力加速度g = 10 m/s2。
(1)启动转盘，缓慢增大转速，求A、B 与凹槽间摩擦力恰好为零时转盘的角速度ω1；
(2)ω2 = 4 rad/s 时，改变物块C 的质量，要使A、B 相对凹槽不滑动，求物块C 的质量最小值m0。
解决临界问题的注意事项
(1)先确定研究对象受力情况，看哪些力充当向心力，哪些力可能突变引起临界问题。
(2)注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随圆盘转速的变化而发生的变化。
(3)关注临界状态，例如静摩擦力达到最大值时，开始相对滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临
界角速度。
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
15
