文档内容
考情
分析
生活实 生活中的抛体运动，自行车、汽车、火车转弯等动力学及临界问题，
践类 水流星，体育运动中的圆周运动问题
试题
小船渡河模型，绳、杆速度分解模型，与斜面或圆弧面有关的平抛运
情境 学习探
动，圆周运动的传动问题，圆锥摆模型，水平面内、竖直面内圆周运
究类
动的临界问题，圆周运动中的轻绳、轻杆模型
第 1 课时 曲线运动 运动的合成与分解
目标要求 1.理解物体做曲线运动的条件，掌握曲线运动的特点。2.会用运动的合成与分解
处理小船渡河、关联速度等问题。3.理解运动的合成与分解是处理曲线运动的一种重要思想
方法。
考点一 曲线运动的条件和特征
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变
速运动。
(1)a恒定：匀变速曲线运动；
(2)a变化：非匀变速曲线运动。
3．做曲线运动的条件：
4．速率变化的判断
1．速度发生变化的运动，一定是曲线运动。( × )
2．做曲线运动的物体的位移一定小于路程。( √ )
3．做曲线运动的物体受到的合力一定是变力。( × )
4．做曲线运动的物体所受合力方向与速度方向有时可以在同一直线上。( × )
例1 (2023·全国乙卷·15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用
带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是( )
答案 D
解析 小车做曲线运动，所受合力指向曲线的凹侧，故A、B错误；小车沿轨道从左向右运
动，动能一直增加，故合力方向与运动方向的夹角始终为锐角，C错误，D正确。
曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
1．速度方向与运动轨迹相切；
2．合力方向指向曲线的“凹”侧；
3．运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。考点二 运动的合成与分解
1．基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动。
2．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
3．运动分解的原则
根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法。
4．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。
1．合运动的速度一定比分运动的速度大。( × )
2．只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。( × )
3．曲线运动一定不是匀变速运动。( × )
例2 跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静
止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成的动作越多
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
答案 C
解析 运动员同时参与了两个分运动，竖直方向向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两
个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间和
着地时竖直方向的速度不变，故A、B错误，C正确；水平风力越大，水平方向的速度越大，
则落地时的合速度越大，故D错误。
例3 (2023·河南新乡市检测)快递公司推出了用无人机配送快递的方法。某次配送快递无人机在飞行过程中，水平方向速度v 和竖直方向速度v 与飞行时间t的关系图像分别如图甲、
x y
乙所示。规定竖直向上为v 的正方向，下列关于无人机运动的说法正确的是( )
y
A．0～t 时间内，无人机做曲线运动
1
B．t 时刻，无人机运动到最高点
2
C．t～t 时间内，无人机做匀变速直线运动
3 4
D．t 时刻，无人机的速度大小为
2
答案 D
解析 在0～t 时间内，无人机在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向也
1
做初速度为零的匀加速直线运动，则合运动为匀加速直线运动，选项 A错误；在0～t 时间
4
内，无人机竖直方向速度一直为正，即一直向上运动，则在t 时刻，无人机还没有运动到最
2
高点，选项B错误；在t ～t 时间内，无人机水平方向做速度为v 的匀速直线运动，竖直方
3 4 0
向做匀减速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，选项C错误；在t 时刻，无人机的水平
2
速度为v、竖直速度为v，则合速度大小为，选项D正确。
0 2
判断两个直线运动的合运动性质的方法
1．分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以及合加速度与合
初速度的方向关系判断合运动的运动性质。
2．常见的情况：
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
如果v 与a 共线，为匀变速直线运动
合 合
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v 与a 不共线，为匀变速曲线运
合 合
动
考点三 绳(杆)端速度分解模型
例4 (2024·四川广安第二中学月考)质量为m的物体P置于倾角为θ 的固定光滑斜面上，
1轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v
水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向所成夹角为θ 时(如图)，下列
2
判断正确的是( )
A．P的速率为v
B．P的速率为vsin θ
2
C．P处于超重状态
D．P处于失重状态
答案 C
解析 将小车的速度v进行分解，如图所示，则有v ＝vcos θ，选项A、B错误；
P 2
小车向右运动，θ 减小，v不变，则v 逐渐增大，说明物体P沿斜面向上做加速运动，处于
2 P
超重状态，选项C正确，D错误。
例5 (2023·河南南阳市检测)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接，乙球
处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。无初速度
释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，甲球的速度为v，乙球的速
1
度为v，如图所示，下列说法正确的是( )
2
A．v∶v＝∶3
1 2
B．v∶v＝3∶7
1 2
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
答案 B
解析 设当乙球距离起点3 m时，轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v 在沿杆方向的分量为
1
v ＝vcos θ，v 在沿杆方向的分量为v ＝vsin θ，而v ＝v ，由题意有cos θ＝，sin θ
1杆 1 2 2杆 2 1杆 2杆
＝，解得＝，选项A错误，B正确；甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最
大，而乙球的速度为零，选项C、D错误。1．题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
2．明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3．解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速
度大小相等求解，常见的模型如图所示。
考点四 小船渡河模型
例6 (多选)(2023·福建泉州市二模)如图，小船以大小为v ＝5 m/s、船头与上游河岸成θ＝
1
60°角的速度(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d
＝180 m，则下列说法中正确的是( )
A．河中水流速度为2.5 m/s
B．小船以最短位移渡河的时间为24 s
C．小船渡河的最短时间为24 s
D．小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m
答案 BD
解析 河中水流速度为v ＝vcos 60°＝2.5 m/s，选项A错误；小船以最短位移渡河的时间为
2 1t＝＝ s＝24 s，选项B正确；当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时
间为t ＝＝ s＝36 s，选项C错误；小船以最短时间渡河时到达对岸沿水流方向的位移大
min
小是x＝v t ＝2.5×36 m＝90 m，则总位移大小s＝＝90 m，选项D正确。
2 min
拓展
1．若船头正对河岸渡河时，河水速度突然增大，渡河时间变化吗？
答案 渡河时间不变，渡河时间与河水速度无关。
2．若在A处下游180 m后为危险水段，要使船安全到达对岸，船的最小速度为多少？
答案 设船恰好到达危险水域边缘，图示方向船速最小，v′＝vsin α，tan α＝＝，得α＝
1 2
30°，所以船的最小速度为v′＝vsin 30°＝1.25 m/s。
1 2
小船渡河的两类情况
最短航程
最短时间
v >v v 6 m/s，故C错误。
6.在水平面上有A、B两物体，通过一根跨过光滑轻质定滑轮的轻绳相连，现A物体以v 的
1
速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面的夹角分别为 α、β时(如图所示)，B物体的速度
v 为(绳始终有拉力)( )
BA. B. C. D.
答案 D
解析 将两物体的速度分别沿绳方向和垂直绳方向分解，两物体沿绳方向的分速度大小相等，
则有vcos α＝v cos β，解得B物体的速度为v ＝，故选D。
1 B B
7.(多选)如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为d，M、N分别是甲、
乙两船的出发点，两船头与河岸均成α角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点，经过一段
时间乙船恰好到达P点，如果划船速度均为v，且两船相遇不影响各自的航行。下列说法正
0
确的是( )
A．水流方向向右，大小为vcos α
0
B．甲船沿岸方向水平位移为
C．甲乙两船不会在NP上某点相遇
D．两船同时到达河对岸，渡河时间均为
答案 AD
解析 由于乙船恰好到达P点，则水流方向向右，且乙船沿河岸方向的分速度恰好等于水
流的速度，即v ＝vcos α，故A正确；设甲船的过河时间为t，则d＝vtsin α，甲船水平
水 0 0
位移x ＝(vcos α＋v )t，联立解得x ＝，故B错误；由于乙船沿NP运动，在水流的作用
甲 0 水 甲
下，甲船到达对岸时，应在P点的右侧，而两船在垂直河岸方向速度相同，一定会相遇，
且在NP上某点相遇，故C错误；两船在垂直河岸方向的分速度都为v ＝vsin α，河宽d
垂直 0
一定，因此两船同时到达河对岸，渡河时间均为t＝＝，故D正确。
8．(2023·江苏卷·10)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向
右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的
几何图形是( )答案 D
解析 以罐子为参考系，沙子在水平方向向左做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向
做自由落体运动，合加速度恒定，沙子在空中排列在一条斜向左下的直线上，故选D。
9.(2024·山东泰安市模拟)如图所示，一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定
着一个小球A，轻杆靠在一个质量为M、高为h的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当物
块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，小球A的线速度大小为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，B点的线速度等于物块的速度
在垂直于杆方向上的分速度v ＝vsin θ，则杆的角速度ω＝＝＝，小球A的线速度大小v ＝
B A
Lω＝，故选A。
10.(2023·黑龙江哈尔滨市九中二模)如图所示，一竖直杆固定在小车上，杆与小车总质量为
M。杆上套有一质量为m的物块，杆与物块间的动摩擦因数为μ＝0.5。对小车施加一水平力，
同时释放物块，使小车和物块均由静止开始加速运动，测得 t时刻小车的速度为v＝gt，g为
重力加速度，不计空气阻力和地面摩擦。则t时刻物块的速度大小为( )
A.gt B.gt C．2gt D.gt
答案 B
解析 由于t时刻小车的速度为v＝gt，可知小车的加速度大小为g，方向水平向右，对物块
在水平方向有F ＝mg，在竖直方向有mg－μF ＝ma，v＝at，则t时刻物块的速度大小v
N N y t
＝，解得v＝gt，故选B。
t
11.(2023·山西大同市模拟)如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v 向左抛出一个
0质量为m的小球(可视为质点)，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过
一段时间小球运动到A点正下方的B点处，重力加速度为g，在此过程中，求：
(1)小球离A、B所在直线的最远距离；
(2)A、B两点间的距离；
(3)小球的最大速率v 。
max
答案 (1) (2)
(3)
解析 (1)将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向有F＝ma，v2＝2ax ，
x 0 x max
解得x ＝。
max
(2)水平方向速度减小为零所需时间t＝
1
由对称性知小球从A运动到B的总时间t＝2t
1
竖直方向上有y＝gt2＝。
(3)小球运动到B点时速率最大，
此时有v＝v，v＝gt，
x 0 y
则v ＝＝。
max
