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2025二轮复习专项训练26
直线与圆锥曲线的位置关系
[考情分析] 直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问
题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查，难度
为高档．
【练前疑难讲解】
一、弦长、面积问题
判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．
弦长公式：|AB|＝|x－x|，
1 2
或|AB|＝|y－y|.
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二、中点弦问题
解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
1．根与系数的关系法：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，
由根与系数的关系及中点坐标公式求解．
2．点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x ，y)，B(x ，y)，将这两点坐
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标代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦 AB的中点和直线AB的斜率有
关的式子，可以大大减少计算量．
三、圆锥曲线中二级结论的应用
1．椭圆焦点三角形面积为b2tan (α为|FF|的对角)．
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2．双曲线焦点三角形面积为(α为|FF|的对角)．
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3．抛物线的有关性质：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交
于两点A(x，y)，B(x，y)，则
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(1)|AB|＝x＋x＋p＝(α为直线l的倾斜角)．
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(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
(3)＋＝.
一、单选题
1．（22-23高三上·湖北武汉·期末）已知A是椭圆 ： 的上顶点，点
， 是 上异于A的两点， 是以A为直角顶点的等腰直角三角形.若满足条件的
有且仅有1个，则椭圆 离心率的取值范围是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（21-22高二上·天津和平·期末）双曲线 的两个焦点分别是 ，点 是双
曲线上一点且满足 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高二上·安徽淮北·期中）已知椭圆 的右焦点 与抛物线
的焦点重合，过点 的直线交 于 、 两点， 若 的中点坐标为 ，则
的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点 在抛物线 上，
过点 的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
5．（2023·云南昆明·模拟预测）在直角坐标系 中，已知抛物线 ： 的
焦点为 ，过点 的倾斜角为 的直线 与 相交于 ， 两点，且点 在第一象限，
学科网（北京）股份有限公司的面积是 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·广东深圳·二模）设抛物线C： 的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，
B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（ ）
A． 轴 B． C． D．
三、填空题
7．（2022高三·全国·专题练习）过椭圆 的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭
圆交于A，B两点，则 ．
8．（22-23高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知 ， 为椭圆 ： 的两个焦点，
P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为
．
9．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知椭圆 的一条弦所在的
直线方程是 ，弦的中点坐标是 ，则椭圆的离心率是 ．
【基础保分训练】
一、单选题
1．（21-22高二下·海南·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，过
且斜率为1的直线 交椭圆 于A、 两点，则 等于（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（22-23高三下·海南海口·期中）已知 ， 为椭圆 的两个焦点，P为椭圆上
一点且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
3．（2023·浙江宁波·二模）设椭圆 的右焦点为 ，点 在
椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为 ，则
椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023·云南·二模）已知椭圆 ， 为C的左、右焦点，P为C上一点，
且 ，若 交C点于点Q，则（ ）
A． 周长为8 B．
C． 面积为 D．
5．（2022·全国·模拟预测）双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，点P在C上.
若 是直角三角形，则 的面积为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C．4 D．2
6．（23-24高二上·江苏·阶段练习）设椭圆的方程为 ，斜率为k的直线不经过原
点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论不正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为 ，则直线方程为
C．若直线方程为 ，则点M坐标为
D．若直线方程为 ，则
三、填空题
7．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知圆 ，直线
，当圆 被直线 截得的弦长最短时，直线 的方程为
.
8．（2023高三·全国·专题练习）已知 是椭圆 上的点， 分别是椭圆的左、
右焦点，若 ，则 的面积为
9．（22-23高二下·陕西榆林·期末）已知 为双曲线 上两点，且线段 的中点
坐标为 ，则直线 的斜率为 .
四、解答题
10．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C： （ ， ）的长轴为
学科网（北京）股份有限公司，短轴长为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l： 与椭圆C交于不同两点A、B，且 ，求直线 的方程．
11．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知椭圆 长轴长为4，且椭圆
的离心率 ，其左右焦点分别为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设斜率为 且过 的直线 与椭圆 交于 两点，求 的面积．
12．（23-24高二上·安徽滁州·阶段练习）已知圆 的圆心 是抛物线 的焦
点．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若直线 交抛物线 于 两点，且点 是弦 的中点，求直线 的方程．
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·山东临沂·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为
，过 的直线与 的左、右两支分别交于点 ，且 ，则
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山西·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，准线为l，过F且斜
学科网（北京）股份有限公司率为 的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且 于点M，AB的垂直平分
线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为 ，则 （ ）
A． B．4 C． D．
3．（21-22高二上·江苏盐城·期末）椭圆 中以点 为中点的弦所在直线斜
率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023·山东临沂·一模）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，
沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射
后必过抛物线的焦点．已知抛物线 ， 为坐标原点，一束平行于 轴的光线 从
点 射入，经过 上的点 反射后，再经过 上另一点 反射后，沿直
线 射出，经过点 ，则（）
A．
B．延长 交直线 于点 ，则 ， ， 三点共线
C．
D．若 平分 ，则
5．（2022·湖南永州·二模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的
两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙
学科网（北京）股份有限公司日圆.已知椭圆 的离心率为 ， 、 分别为椭圆的左、右焦点，
点 在椭圆上，直线 ，则（ ）
A．直线 与蒙日圆相切
B． 的蒙日圆的方程为
C．记点 到直线 的距离为 ，则 的最小值为
D．若矩形 的四条边均与 相切，则矩形 的面积的最大值为
6．（23-24高三上·湖北武汉·阶段练习）直线 过抛物线 的焦点
且与该抛物线交于M，N两点，设O为坐标原点，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．抛物线E的准线方程是
C．以MN为直径的圆与定直线相切 D． 的大小为定值
三、填空题
7．（2024·辽宁大连·一模）已知抛物线 的焦点分别为 ，点
分别在( 上，且线段 平行于x轴.若 是等腰三角形，则 .
8．（2023·湖北·模拟预测）已知 为抛物线 的焦点，直线 与 交于 ， ，
与 的另一个交点为 ， 与 的另一个交点为 .若 与 的面积之比为
，则 .
9．（21-22高二上·上海杨浦·期末）过点 作斜率为 的直线与双曲线
相交于A，B两点，若M是线段 的中点，则双曲线 的离心率为 .
四、解答题
10．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知椭圆 的离心率为 ，
学科网（北京）股份有限公司椭圆上的点到焦点的最小距离是 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)倾斜角为 的直线 交椭圆于 两点，已知 ，求直线 的一般式方程．
11．（22-23高二下·陕西安康·期中）已知椭圆 的一个焦点为 ，
且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)不过原点 的直线 与椭圆C交于 两点，求 面积的最大值及此时直
线 的方程.
12．（23-24高二上·河北·期中）已知P是圆C： 上一动点，过P作x轴的垂线，
垂足为Q，点M满足 ，记点M的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为 ，求 的值．
13．（2023·广东肇庆·二模）设抛物线方程为 ，过点 的直线 分别与抛物线
相切于 两点，且点 在 轴下方，点 在 轴上方.
(1)当点 的坐标为 时，求 ；
(2)点 在抛物线上，且在 轴下方，直线 交 轴于点 .直线 交 轴于点 ，且
.若 的重心在 轴上，求 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司14．（2024·全国·高考真题）已知双曲线 ，点 在 上， 为常
数， ．按照如下方式依次构造点 ：过 作斜率为 的直线与 的左
支交于点 ，令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3)设 为 的面积，证明：对任意正整数 ， .
15．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知椭圆 的右焦点为F，直线l与椭圆
C交于A，B两点．
(1)若 ，且直线l的斜率为4，求直线 (点 为坐标原点)的斜率．
(2)若直线 ， 的斜率互为相反数，且直线l不与x轴垂直，探究：直线l是否过定点?
若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
学科网（北京）股份有限公司
