文档内容
秘籍 06 空间表达能力的培养
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、实验题、计算题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 结合力的平衡、牛顿第二定律、抛体运动、电场、磁场考查
力的平衡、牛顿定律、抛体规律、电场强度、磁感应强度、安培力、洛伦兹力
从不同角度画出平面图
一、抛体运动中的空间表达
例1、一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为 L 和L ，中间球网高度为h。
1 2
发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为
3h。不计空气的作用，重力加速度大小为 g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，
就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A.＜v＜L
1
B.＜v＜
C.＜v＜
D.＜v＜
二、类抛体运动中的空间表达例2、如图所示的光滑固定斜面长为 、宽为 、倾角为 ，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点 沿
水平方向射入，恰好从底端右侧 点离开斜面，已知重力加速度为 ，不计空气阻力，求：
（1）物块加速度的大小 ；
（2）物块由 运动到 所用的时间 ；
（3）物块由 点水平射入时初速度的大小 。
三、平衡问题中的空间表达
例3、 (多选)张鹏同学在家帮妈妈洗完衣服后，挂在如图所示的晾衣架上晾晒，A、B为竖直墙壁上等高的
两点，AO、BO为长度相等的两根轻绳，CO为一根轻杆。转轴C在AB中点D的正下方，A、O、B在同一
水平面上。∠AOB＝60°，∠DOC＝30°，衣服质量为m，重力加速度为g。则( )
A.CO杆所受的压力大小为2mg
B.CO杆所受的压力大小为mg
C.AO绳所受的拉力大小为mg
D.BO绳所受的拉力大小为mg
例4、如图所示，矩形平板ABCD的AD边固定在水平面上，平板与水平面夹角为θ，AC与AB的夹角也为
θ。质量为m的物块在平行于平板的拉力作用下，沿AC方向匀速运动。物块与平板间的动摩擦因数μ＝tan
θ，重力加速度大小为g，拉力大小为( )A.2mgsin θcos B.2mgsin θ
C.2mgsin D.mgsin θcos
四、电磁感应过程的空间表达
例5、如图甲所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距L＝1 m，导轨平面与水
平面成θ＝37°角，上端连接阻值为R＝2 Ω的电阻．匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁感应强度B＝0.4 T．
质量m＝0.2 kg、电阻r＝1 Ω的金属棒ab，以初速度v 从导轨底端向上滑行，金属棒ab在安培力和一与棒
0
垂直且平行于导轨平面的外力F的共同作用下做匀变速直线运动，速度—时间图象如图乙所示．设金属棒与
导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数μ＝0.25.已知g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)金属棒产生的感应电动势的最大值；
(2)当金属棒速度为向上3 m/s时，施加在金属棒上外力F做功的功率；
(3)金属棒在00且平行于xoy的平面
B. 一定是在xoy平面
C. 一定是z<0且平行于xoy的平面
D. 只要是过坐标原点O的任意平面内均可
5.（高2023届学业质量调研抽测（第二次））离子注入是芯片制造中一道重要工序，如图是其工作示意图，
离子源发出质量为m的离子沿水平方向进入速度选择器，然后从M点进入磁分析器（截面为内外半径分别
为 和 的四分之一圆环），从N点射出，M、N分别为磁分析器 边界和 边界的中点，接着从棱
长为L的正方体偏转系统上表面中心沿 竖直注入，偏转后落在与偏转系统底面平行的距离为 的水平
面晶圆上（O为坐标原点）。已知各器件的电场强度均为E，磁感应强度均为B，偏转系统中的电场、磁场方向与晶圆面x轴正方向同向。不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过偏转系统的角度都很小。当
很小时，有 。求：
（1）离子通过速度选择器后的速度大小v及磁分析器选择出来离子的电荷量；
（2）偏转系统仅加电场时，离子在穿出偏转系统整个过程中电势能的变化量；
（3）偏转系统仅加磁场时，离子注入晶圆的位置坐标 （用 、 及L表示）。
6.（银川一中、昆明一中高三联合考试一模）如图所示为一边长为d的正方体，在FE、ND两边放置足够
长直导线，通有相等的电流I，电流方向如图所示。若一根无限长直导线通过电流I时，所产生的磁场在距
离导线d处的磁感应强度大小为B，则图中C点处的磁感应强度大小为（ ）A. 0 B. 2B C. B D.
7.（渭南市2023年高三教学质量检测（Ⅱ））如图所示为某离子实验装置结构图。Ⅰ区为电加速区，由间
距为d中间有小孔S、O的两正方形平行金属板M、N构成，金属板边长为 ，其中离子源紧贴小
孔S；Ⅱ、Ⅲ区为长方体形状的磁偏转区，水平间距分别为d、 ，其竖直截面与金属板形状相同。Ⅲ区
左右截面的中心分别为 ，以 为坐标原点，垂直长方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、
N间有垂直于金属板的水平向右的匀强电场；Ⅱ、Ⅲ区的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别沿
、 方向。某时刻离子源有一电量为 、质量为m的粒子无初速的飘入小孔S，经过一段时间后恰
好能返回到小孔S，不考虑粒子的重力。
（1）求粒子经过小孔O时速度v的大小及Ⅰ区电场强度E的大小；
（2）求粒子在磁场中相邻两次经过小孔O时运动的时间；
（3）若在Ⅱ区中 方向增加一个附加匀强磁场，可使粒子经过小孔O后恰好不能进入Ⅲ区、并直接从Ⅱ
区前表面（ 方向一侧）P点飞出，求P点坐标为 。
8.（汉中市2023届高三年级教学质量第二次检测考试）如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑的特色之一。
铺设瓦片时，屋顶结构可简化为图乙所示，建筑工人将瓦片轻放在两根相互平行的檩条正中间，若瓦片能
静止在檩条上。已知檩条间距离为d，以下说法正确的是（ ）A. 减小檩条间的距离d时，瓦片可能会下滑
B. 减小檩条的倾斜角度 时，瓦片与檩条间的弹力变小
C. 增大檩条间的距离d时，瓦片与檩条间的摩擦力变大
D. 增大檩条间的距离d时，瓦片与檩条间的弹力变小
9.（汉中市2023届高三年级教学质量第二次检测考试）（多选）如图所示，a、b、c、d四个质量均为m的
带电小球恰好构成“三星拱月”之形，其中a、b、c三个完全相同的带电小球在光滑绝缘水平面内的同一圆
周上绕O点做半径为R的匀速圆周运动，三小球所在位置恰好将圆周等分。小球 d位于O点正上方h处，
且在外力F作用下恰好处于静止状态，已知 a、b、c三小球的电荷量均为q，d球的电荷量为 ，
，重力加速度为g，静电力常量为k，则下列说法正确的是（ ）
A. 小球d一定带负电
B. 小球b的周期为
C. 外力F大小等于
D. 小球c的加速度大小为10.（宜春市2023年高三年级模拟考试）（多选）2022年令全世界瞩目的世界杯于12月18日在卡塔尔落
下了帷幕，由巨星梅西率领的阿根廷队拿下了冠军，捧起了大力神杯。某运动员的弹跳性能较好，如图是
其在日常训练弹跳性。7人制足球门高 ，宽 ，P点是地面球门线的中点，PQ垂直球门线且
，该运动员在Q点正上方跳起将球以一定的初速度水平向右顶出，运动员跳起后的高度为
，球视为质点，不计空气阻力及人的宽度， ， ，以下说法正确的是（
）
A. 球进入球门的最小时间为
B. 球落在 点的时间为
C. 球进入球门的最小发球速度约为
D. 球进入球门的最大发球速度约为参考答案
一、抛体运动中的空间表达
例1、一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为 L 和L ，中间球网高度为h。
1 2
发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为
3h。不计空气的作用，重力加速度大小为 g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，
就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A.＜v＜L
1
B.＜v＜
C.＜v＜
D.＜v＜
答案 D
解析 发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动。当速度v最小时，球沿中线恰好过网，有：
3h－h＝①
＝vt②
11
联立①②得v＝
1
当速度最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有
＝vt③
22
3h＝gt④
联立③④得v＝
2
所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v的最大取值范围为
＜v＜，选项D正确。
二、类抛体运动中的空间表达
例2、如图所示的光滑固定斜面长为 、宽为 、倾角为 ，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点 沿水平方向射入，恰好从底端右侧 点离开斜面，已知重力加速度为 ，不计空气阻力，求：
（1）物块加速度的大小 ；
（2）物块由 运动到 所用的时间 ；
（3）物块由 点水平射入时初速度的大小 。
答案：（1） ；（2） ；（3）
【解析】
（1）物块合力沿斜面向下，所以
解得
（2）沿斜面方向
解得
（3）沿水平方向有
解得
.三、平衡问题中的空间表达
例3、 (多选)张鹏同学在家帮妈妈洗完衣服后，挂在如图所示的晾衣架上晾晒，A、B为竖直墙壁上等高的
两点，AO、BO为长度相等的两根轻绳，CO为一根轻杆。转轴C在AB中点D的正下方，A、O、B在同一
水平面上。∠AOB＝60°，∠DOC＝30°，衣服质量为m，重力加速度为g。则( )
A.CO杆所受的压力大小为2mg
B.CO杆所受的压力大小为mg
C.AO绳所受的拉力大小为mg
D.BO绳所受的拉力大小为mg
答案 AD
解析 设绳AO和绳BO拉力的合力为F，以O点为研究对象，O点受到衣服的拉力(大小等于衣服的重力
mg)、CO杆的支持力F 和两绳的合力F，受力分析如图甲所示，根据平衡条件得：F ＝＝2mg，由牛顿第
1 1
三定律可知CO杆所受的压力大小为2mg，故A正确，B错误；
甲
乙
F＝mgtan 60°＝mg，将F分解，如图乙所示，绳AO和绳BO所受拉力的大小均为F，由F＝2Fcos 30°，
2 2
解得F＝mg，故C错误，D正确。
2
例4、如图所示，矩形平板ABCD的AD边固定在水平面上，平板与水平面夹角为θ，AC与AB的夹角也为
θ。质量为m的物块在平行于平板的拉力作用下，沿AC方向匀速运动。物块与平板间的动摩擦因数μ＝tan
θ，重力加速度大小为g，拉力大小为( )A.2mgsin θcos B.2mgsin θ
C.2mgsin D.mgsin θcos
答案 A
解析 对物块受力分析，如图甲、乙所示，重力沿斜面向下的分力为mgsin θ，支持力F ＝mgcos θ，滑动
N
摩擦力F＝μF ＝mgsin θ，则拉力F＝2mgsin θcos，故A正确。
f N
四、电磁感应过程的空间表达
例5、如图甲所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距L＝1 m，导轨平面与水
平面成θ＝37°角，上端连接阻值为R＝2 Ω的电阻．匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁感应强度B＝0.4 T．
质量m＝0.2 kg、电阻r＝1 Ω的金属棒ab，以初速度v 从导轨底端向上滑行，金属棒ab在安培力和一与棒
0
垂直且平行于导轨平面的外力F的共同作用下做匀变速直线运动，速度—时间图象如图乙所示．设金属棒与
导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数μ＝0.25.已知g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)金属棒产生的感应电动势的最大值；
(2)当金属棒速度为向上3 m/s时，施加在金属棒上外力F做功的功率；
(3)金属棒在00且平行于xoy的平面
B. 一定是在xoy平面
C. 一定是z<0且平行于xoy的平面
D. 只要是过坐标原点O的任意平面内均可
【答案】A
【解析】在z>0的区域，磁场的方向是斜向上的圆锥形状，带负电的微粒若能在平行于xoy的平面内做圆
周运动，所受的洛伦兹力与磁感线垂直为斜向上的方向，重力竖直向下，合力的方向水平指向z轴，故可
满足做圆周运动的条件，故选项A正确，BCD错误。
故选A。
5.（高2023届学业质量调研抽测（第二次））离子注入是芯片制造中一道重要工序，如图是其工作示意图，
离子源发出质量为m的离子沿水平方向进入速度选择器，然后从M点进入磁分析器（截面为内外半径分别
为 和 的四分之一圆环），从N点射出，M、N分别为磁分析器 边界和 边界的中点，接着从棱长为L的正方体偏转系统上表面中心沿 竖直注入，偏转后落在与偏转系统底面平行的距离为 的水平
面晶圆上（O为坐标原点）。已知各器件的电场强度均为E，磁感应强度均为B，偏转系统中的电场、磁
场方向与晶圆面x轴正方向同向。不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过偏转系统的角度都很小。当
很小时，有 。求：
（1）离子通过速度选择器后的速度大小v及磁分析器选择出来离子的电荷量；
（2）偏转系统仅加电场时，离子在穿出偏转系统整个过程中电势能的变化量；
（3）偏转系统仅加磁场时，离子注入晶圆的位置坐标 （用 、 及L表示）。
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【解析】（1）粒子通过速度选择器时，根据平衡条件，有
可得离子速度为的
从磁分析器中心孔N射出离子 运动半径为
根据洛伦兹力提供向心力
可得
（2）经过电场后，粒子在x方向偏转的距离为
加速度为
运动时间
解得
离子在穿出偏转系统整个过程中电势能的变化量为
（3）偏转系统仅加磁场时，离子沿y轴正方向偏转，则有
x=0
作出粒子在偏转系统中的轨迹如图所示根据几何关系有
，
当 很小时，有
，
解得
即离子注入晶圆的位置坐标为 。
6.（银川一中、昆明一中高三联合考试一模）如图所示为一边长为d的正方体，在FE、ND两边放置足够
长直导线，通有相等的电流I，电流方向如图所示。若一根无限长直导线通过电流I时，所产生的磁场在距
离导线d处的磁感应强度大小为B，则图中C点处的磁感应强度大小为（ ）A. 0 B. 2B C. B D.
【答案】D
【解析】根据右手螺旋定则，放置在FE边的电流在C点产生的磁场大小为B、方向沿CM；放置在ND边
的电流在C点产生的磁场大小为B、方向沿FC；故C点处的磁感应强度大小为
故选D。
7.（渭南市2023年高三教学质量检测（Ⅱ））如图所示为某离子实验装置结构图。Ⅰ区为电加速区，由间
距为d中间有小孔S、O的两正方形平行金属板M、N构成，金属板边长为 ，其中离子源紧贴小
孔S；Ⅱ、Ⅲ区为长方体形状的磁偏转区，水平间距分别为d、 ，其竖直截面与金属板形状相同。Ⅲ区
左右截面的中心分别为 ，以 为坐标原点，垂直长方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、
N间有垂直于金属板的水平向右的匀强电场；Ⅱ、Ⅲ区的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别沿
、 方向。某时刻离子源有一电量为 、质量为m的粒子无初速的飘入小孔S，经过一段时间后恰
好能返回到小孔S，不考虑粒子的重力。
（1）求粒子经过小孔O时速度v的大小及Ⅰ区电场强度E的大小；
（2）求粒子在磁场中相邻两次经过小孔O时运动的时间；
（3）若在Ⅱ区中 方向增加一个附加匀强磁场，可使粒子经过小孔O后恰好不能进入Ⅲ区、并直接从Ⅱ
区前表面（ 方向一侧）P点飞出，求P点坐标为 。【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【解析】（1）粒子在磁场中运动轨迹如图所示
由几何关系得
根据牛顿第二定律得
得粒子经过小孔O时速度v的大小为
粒子由S到O过程，由动能定理得
联立上式解得
的
（2）粒子在磁场中 周期为
粒子在磁场中运动的时间联立方程，解得
（3）如图所示
粒子恰好与Ⅱ、Ⅲ区边界相切时由P射出，对应半径
即
解得
，
由几何关系得
解得
，
则有即P点坐标为
8.（汉中市2023届高三年级教学质量第二次检测考试）如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑的特色之一。
铺设瓦片时，屋顶结构可简化为图乙所示，建筑工人将瓦片轻放在两根相互平行的檩条正中间，若瓦片能
静止在檩条上。已知檩条间距离为d，以下说法正确的是（ ）
A. 减小檩条间的距离d时，瓦片可能会下滑
B. 减小檩条的倾斜角度 时，瓦片与檩条间的弹力变小
C. 增大檩条间的距离d时，瓦片与檩条间的摩擦力变大
D. 增大檩条间的距离d时，瓦片与檩条间的弹力变小
【答案】A
【解析】檩条对瓦片的两个弹力等大，合力等于 ，当减小檩条间的距离d时，两弹力夹角减小，
则弹力减小，最大静摩擦力减小，瓦片可能会下滑，A正确；减小檩条的倾斜角度 时，则 增大，
瓦片与檩条间的弹力变大，B错误；增大檩条间的距离d时，两弹力夹角增大，则弹力增大，但摩擦力等
于 不变，CD错误。
故选A。
9.（汉中市2023届高三年级教学质量第二次检测考试）（多选）如图所示，a、b、c、d四个质量均为m的带电小球恰好构成“三星拱月”之形，其中a、b、c三个完全相同的带电小球在光滑绝缘水平面内的同一圆
周上绕O点做半径为R的匀速圆周运动，三小球所在位置恰好将圆周等分。小球 d位于O点正上方h处，
且在外力F作用下恰好处于静止状态，已知 a、b、c三小球的电荷量均为q，d球的电荷量为 ，
，重力加速度为g，静电力常量为k，则下列说法正确的是（ ）
A. 小球d一定带负电
B. 小球b的周期为
C. 外力F大小等于
D. 小球c的加速度大小为
【答案】BCD
【解析】A．由题意，已知a、b、c三小球的电荷量均为q，三小球在光滑绝缘水平面内的同一圆周上绕O
点做匀速圆周运动，可知d小球与a、b、c三小球是异性电荷，由于a、b、c三小球的电性未知，所以小
球d不一定带负电，A错误；
BD．设db的连线与水平方向的夹角为 ，则有
α
可得
α=60°
对b小球，由库仑定律和牛顿第二定律可得解得
由于a、b、c三小球的加速度大小相等，因此小球c的加速度大小为 ，BD正确；
C．对d小球，由平衡条件可得外力F大小为
C正确。
故选BCD。
10.（宜春市2023年高三年级模拟考试）（多选）2022年令全世界瞩目的世界杯于12月18日在卡塔尔落
下了帷幕，由巨星梅西率领的阿根廷队拿下了冠军，捧起了大力神杯。某运动员的弹跳性能较好，如图是
其在日常训练弹跳性。7人制足球门高 ，宽 ，P点是地面球门线的中点，PQ垂直球门线且
，该运动员在Q点正上方跳起将球以一定的初速度水平向右顶出，运动员跳起后的高度为
，球视为质点，不计空气阻力及人的宽度， ， ，以下说法正确的是（
）A. 球进入球门的最小时间为
B. 球落在 点的时间为
C. 球进入球门的最小发球速度约为
D. 球进入球门的最大发球速度约为
【答案】BD
【解析】A．根据题意可知，球做平抛运动，下落高度最小时，时间最短，由 可得，最短时间
为
故A错误；
B．由 可得，球落在 点的时间为
故B正确；
CD．根据题意，由 和 可知，球的初速度为
可知，当水平位移最小，下落高度最大时，初速度最小，则球从 点进门时发球速度最小，最小发球速度
为
当水平位移最大，下落高度最小时，初速度最大，则球从球门上角进入时初速度最大，此时水平位移为下落高度为
则最大速度
故C错误，D正确。
故选BD。
