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5.3 平面向量的应用（精讲）（基础版）
考点呈现
例题剖析
考点一 证线段垂直
【例1-1】（2022·山西运城）在平面四边形 ABCD中， ， ，则该四边形的面积为
（ ）
A． B． C．13 D．26
【答案】C
【解析】∵ ，∴AC⊥BD，所以四边形ABCD面积为：
.故选：C.
【例1-2】（2022·广东）如图，在正方形 中， 为对角线 上任意一点（异于 、 两点），
， ，垂足分别为 、 ，连接 、 ，求证： .【答案】见解析
【解析】设正方形 的边长为 ， ，则 ， ， .，
，
，即 .
【一隅三反】
1．（2022·四川省峨眉）若平面四边形ABCD满足： ， ，则该四边形一定是
（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【解析】 ， ,所以四边形ABCD为平行四边形，
, ，所以BD垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.故选：B
2．（2022·福建·漳州三中）若O为 所在平面内一点，且满足 ，则
的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】B
【解析】 中，因 与 均为非零向量，则 ，即 ， 是直角三角形.故选：B
3．（2022·上海）在 中， ， 分别为边 上的点，且
．求证： ．
【答案】证明见解析.
【解析】因为 ， ．
由 且 ，得 ，
所以 .
考点二 夹角问题
【例2】（2022·全国·模拟预测）已知H为 的垂心，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意， ，同理 ．
由H为 ABC的垂心，得 ，即 ，
△
可知 ，即 ．同理有 ，即 ，可知 ，即 ，解得 ，
，又 ，所以 ．故选：C．
【一隅三反】
1．（2022·四川南充·三模（理））在 中， ， ， ， ，
，CN与BM交于点P，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】建立如图直角坐标系，则 ,得 ,
所以 ，故选：D.2．（2022·河南·南阳中学）直角三角形ABC中，斜边BC长为a，A是线段PE的中点，PE长为2a，当
最大时， 与 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，设 与 的夹角为 ， ，所以 ，
因为A是线段PE的中点，PE长为2a，所以 ， ，
又因为 ，所以
，
因为 ，所以 ，所以当 时 最大，此时 ， 最大的值为 .
故选：A.
3．（2022·福建省同安第一中学）在 中， ， ，动点 位于直线 上，当
取得最小值时， 的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】建立如图所示平面直角坐标系：
则 ,设 ，
因为动点 位于直线 上，直线 的方程为： ，
所以 ，
当 时， 取得最小值 ，此时 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，故选：C.
考点三 线段长度
【例3-1】（2022·福建·福州三中）在平行四边形 中， ，则
（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】由题意得| ，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和，
得： ，故选：
【例3-2】（2022·云南）已知 的面积为 ， ， ，则AC边的中线的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【解析】根据正弦定理由 ，
因为 ，所以 ，或 ，
当 时， ,不符合三角形内角和定理，
当 时， ，因此 ,
因此 ，因为 的面积为 ，
所以有 ，负值舍去，即 ，
由余弦定理可知： ，
设 边的中点为 ，所以有 ，因此
故选：C
【一隅三反】
1．（2022·云南师大附中） 中， ，∠A的平分线AD交边BC于D，已知 ，且
，则AD的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】如图，过 作 交 于 ，作 交 于 ，则 ，又
，
所以 ， ，所以 ，即 ，又 是 的平分线，所以 ，而 ，所以 ，
，
，所以 ，故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ，点 满足 ，若 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取 中点O，连接 ，
，即 ， M为BC边上靠近C的三等分点，
，
， ， ，
又 ， ， .故选：C.
3．（2022·重庆南开中学）如图所示在四边形 中， 是边长为4的等边三角形， ，
， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【解析】取 的中点为 ，因为 ，故 即 ，
故 ，所以 三点共线，故 与 重合，所以 ，
故 ，解得 或 ，
因为 且 ，故 ，故 ，故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ， ，，则 边上的中线长为（ ）
A．49 B．7 C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，故可得 ，
根据余弦定理可得 ，故 ，
不妨取 中点为 ，故 ，
故 .
即 边上的中线长为 .
故选： .
考点四 几何中的最值
【例4】（2022·海南·模拟预测）在直角梯形ABCD中， ， ，且 ， .若线段
CD上存在唯一的点E满足 ，则线段CD的长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 如图所示，以A为坐标原点， 和 分别为x轴和y轴正方向建立直角坐标系.则 , 设DE的长为x，则 ，
则 ， ，所以 ，解得 或 ，由题意知： ，
且点E存在于CD上且唯一，知CD的长的取值范围是 ，故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·安徽安庆）设点 是 的中线 上一个动点， 的最小值是 ，则中线
的长是___________.
【答案】3
【解析】设 ， 则
因为 为 边中点，所以 ，即 .
于是 .
当 ，即点 是中线 的中点时， 取得最小值
即 因此 故答案为：2．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院）点 是边长为2的正三角形 的三条边上任意一点，则
的最小值为___________.
【答案】
【解析】不妨假设 在 上且 ，如下图示，
所以， 在 且 ，设 ，
则 ， ， ，
所以 ，
故 ，
当 时， 的最小值为 .
故答案为：
3．（2022·上海市晋元高级中学）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹
克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），
则 的取值范围为___________.
【答案】
【解析】过点 作 于 所以 且
,其中 ,
当 点与 点重合时，
在 方向上的投影最大，此时 , 取得最大值为 ；
当 点与 点重合时，此时 ，即 ,故 ,取得的最小值为
的取值范围是 ．
故答案为： ．
4．（2022·四川省内江市第六中学）如图，在等腰 中，已知 ， ， 、 分别是边 、 的点，且 ， ，其中 且 ，若线段 、 的中点分
别为 、 ，则 的最小值是________．
【答案】
【解析】在等腰 中，∵ ， ，
∴ ；
∵ 、 分别是边 、 的点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
其中 ， ，即 ，∴当 时， 取得最小值 ，
∴ 的最小值是 ．故答案为： ．
考点五 三角形的四心
【例5】（2022·甘肃·兰州一中）（多选）点 在 所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）
A．若 ，则点O为 的重心B．若 ，则点 为 的垂心
C．若 ，则点 为 的外心
D．若 ，则点 为 的内心
【答案】AC
【解析】对于A，设边 、 、 的中点分别为 、 、
,则 ，所以
所以 、 、 三点共线，即点 在中线 上，同理点 在中线 上，
则 是 的重心.故A正确
对于B，若 ，则 ，所以
所以 为 的外心，故B错误
对于C，设边 、 、 的中点分别为点 、 、 ，
则 ,所以 为线段 的中垂线，
同理 、 分别为线段 、 的中垂线，所以 是 的外心，故C正确
对于D，由已知， ，
即 垂直 ，也即点 在边 的高上；同理，点 也在边 的高上，
所以则 是 的垂心，故D错误.故选：AC
【一隅三反】
1．（2022·全国·）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角
形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的
欧拉线定理.设 中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】如图：根据欧拉线定理可知，点O､H､G共线，且 .
对于A，∵ ，∴ ，故A正确；
对于B，G是重心，则延长AG与BC的交点 为BC中点，且AG＝2GD，则 ，
故B正确；对于C，
，故C正确；对于D， 显然不正确.故选：ABC.
2．（2022·广东·广州市第二中学）（多选）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心
依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该
定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且AB=4，AC=2，
则下列各式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由G是三角形ABC的重心可得 ，所以
= ，故A项错误；
过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，如图（1），易知D、E分别是AB、AC的
中点，则，故B项正确；
因为G是三角形ABC的重心，所以有 ，故
，
由欧拉线定理可得 ，故C项正确；
如图（2），由 可得 ，即 ，则有
，D项正确，
故选：BCD.
3．（2022·全国·课时练习）(多选题)已知O是四边形 内一点，若 ，则下列结
论错误的是（ ）
A．四边形 为正方形，点O是正方形 的中心
B．四边形 为一般四边形，点O是四边形 的对角线交点
C．四边形 为一般四边形，点O是四边形 的外接圆的圆心
D．四边形 为一般四边形，点O是四边形 对边中点连线的交点
【答案】ABC
【解析】对于A，若四边形 为正方形，点O是正方形 的中心，则必有 ，
但反过来，由 推不出四边形 为正方形，故A错误；对于BCD，如图所示，O是四边形 内一点，且
设AB，CD的中点分别为E，F，由向量加法的平行四边形法则知 ， ，
，即O是EF的中点；
同理，设AD，BC的中点分别为M，N，由向量加法的平行四边形法则知 ，
，即O是MN的中点；
所以O是EF，MN的交点，故BC错误，D正确；
故选：ABC
4．（2022·山东省平邑县第一中学）（多选）在 所在平面内有三点 ， ， ，则下列说法正确的
是（ ）
A．满足 ，则点 是 的外心
B．满足 ，则点 是 的重心
C．满足 ，则点 是 的垂心
D．满足 ，且 ，则 为等边三角形
【答案】ABCD
【解析】对于 ，因为 ，所以点 到 的三个顶点的距离相等，所以 为 的外
心，故 正确；对于B，如图所示， 为 的中点，由 得： ，所以 ，所以
是 的重心，故B正确；
对于C，由 得： ，即 ，所以 ；同理可得： ，
所以点 是 的垂心，故C正确；
对于D，由 得：角 的平分线垂直于 ，所以 ；
由 得： ，所以 ，所以 为等边三角形，故D正确．故选：ABCD．
考点六 三角的面积
【例6-1】（2022·全国·高三）点P菱形ABCD内部一点，若 ，则菱形ABCD的面积与
的面积的比为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【解析】如图，设 中点为 ， 中点为 ，
因为 ，即 ，则 ，即 ，
则 ，
所以 的面积与 的面积的比值是6.故选：B.
【例6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知点 为正 所在平面上一点，且满足，若 的面积与 的面积比值为 ，则 的值为（ ）
A． B．
C．2 D．3
【答案】B
【解析】 ， ．如图， ， 分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知 ， ，
故 ，在正三角形 中，
， ，
且三角形 与三角形 的底边相等，面积之比为 ,所以 ，得 ．故选：B
【一隅三反】
1．（2022·上海交大附中）设 为 所在平面内一点，满足 ，则 的面积与
的面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，因为 ，所以 ，所以O为 的重心，
设 ，所以 ，
则 ，所以 ，所以 ，
故选：A
2．（2022·全国·高三）P是 所在平面内一点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设， ，故 共线且 ，如下图示：
所以 .
故选：A
3．（2022·四川凉山）已知 为 内任意一点，若满足 ，则称 为
的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（ ）
①若 ，则点 为 的重心；
②若 ， ， ，则 ；
③若 ，则点 为 的垂心；
④若 ， ， 且 为 边中点，则 ．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个【答案】D
【解析】对于①，当 时， ；
设 中点为 ，则 ，即 ，
为 的重心，①正确；
对于②，当 ， ， 时， ， ，
取 中点 ， 中点 ，
， ， ，即 ，
到直线 距离 与 到直线 距离 之比为： ，即 ；
又 为 中点， 点 到直线 距离 ， ，
，即 ，②正确；
对于③，由 得： ，
，同理可得： ， ，
为 的垂心，③正确；
对于④，当 ， ， 时， ， ，
又 为 边中点， ，又 ， ， ，④正确.
故选：D.
