文档内容
专题 07 利用导函数研究函数零点问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题.................2
题型二：证明唯一零点问题...............................7
题型三：根据零点（根）的个数求参数....................11
三、专项训练.............................................18
一、必备秘籍
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的
零点．
（2）三个等价关系
方程f (x)=0有实数根⇔函数y=f (x)的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数y=f (x)
有零点．
2、函数零点的判定
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得
，这个 也就是 的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
3、利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思
想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函
数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
4、利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数( )后，将原问题转化为 的值域(最值)问题或转化为直线与 的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
二、典型题型
题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题
1．（2024·广东梅州·二模）已知函数 ， ， （
）．
(1)证明：当 时， ；
(2)讨论函数 在 上的零点个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)当 时， 在 上没有零点：当 时， 在 上有且仅有1个零点．
【分析】（1）结合已知不等式构造函数 ，对其求导，结合导数
与单调性关系即可证明；
（2）对 求导，结合导数与单调性关系及函数零点存在定理对 的范围进行分类讨论
即可求解．
【详解】（1）证明，令 ，
则 ，
记 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减：在 上单调递增，
从而在 上， ，
所以 在 上单调递增，
因此在 上， ，即 ；
（2） ， ，
，在 上， ，
所以， 在 上递增， ，即函数 在 上无零点；，记 ，
则 ， 在 上递增，
而 ，
故存在 ，使 ，
当 时， 递减， 时， 递增， ，
而 ， ，
在 上无零点，在 , 上有唯一零点，
综上，当 时， 在 上没有零点：
当 时， 在 上有且仅有1个零点．
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关
系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 为 的导函
数， ．
(1)求 的值;
(2)求 在 上的零点个数．
【答案】(1)1
(2)1
【分析】（1）求导，利用 可解；
（2）设 ，利用导数研究函数单调性，结合零点存在定理可确定零点个数.
【详解】（1）由
则
又 ，所以 即 ；
（2）由（1）可知
设
则 ，
则当 时， ，则 单调递增，当 时， ，则 单调递减，
所以当 时， ，
又 ， ，
所以 在 上无零点，在 上有一个零点；
从而 在 上有1个零点.
【点睛】方法点睛：处理有关三角函数与导数综合问题的主要手段有：
（1）分段处理：结合三角函数的有界性与各不同区间的值域分段判断导函数符号；
（2）高阶导数的应用：讨论端点（特殊点）与单调性的关系，注意高阶导数的应用，能清
楚判断所讨论区间的单调性是关键；
（3）关注三角函数的有界性与常用不等式放缩．
3．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数 ，（ ）．
(1)讨论 的单调性；
(2)讨论 的零点个数．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）含参数的单调性讨论问题，先求导，再分 和 导函数的正负来求原
函数的单调性即可；
（2）零点问题即方程根个数问题，首先讨论特殊情况即当 时根的情况；再讨论当
时，构造函数 ，求导后分 、 、 时讨论 的单调性和极值情
况，然后函数 与函数 图像交点的情况即可得到结果.
【详解】（1） ，
分当 时， 恒成立， 在 上单调递减．
当 时，令 ，得 ；令 ，得
在 上单调递增，在 上单调递减．
综上所述：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）令 ，
当 时，方程不成立， 0不是 的零点，当 时， ，令 ，则
当 时， ， 在 上单调递减，且 ．
当 时， ， 在 上单调递减， ，
， ，
当 时， ， 在 上单调递增，
即 ，
当 时，直线 与函数 有两个交点，函数 有两个零点，
当 时，直线 与函数 有一个交点，函数 有一个零点，
当 时，直线 与函数 没有交点，函数 没有零点，
当 时，直线 与函数 有一个交点，函数 有一个零点
综上所述，当 时，函数 有两个零点；
当 时，函数 有一个零点；
当 时，函数 没有零点.
4．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，试判断函数 与 的图象的交点个数，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)无交点，理由见解析
【分析】（1）求导可得 ，分类讨论当 、 时函数 对应的单调
性即可求解；
（2）由 得 ，令 ，利用二次导数讨论函数 的
性质可得 ，即可下结论.
【详解】（1）函数 的定义域为R，且 ，
当 时 恒成立，所以 在R上单调递减，当 时，令 ，解得 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
综上可得：当 时 在R上单调递减；
当 时 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2） ，则 ，令 ，即 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以当 时 ，则 单调递减，且 ，
当 时 ，则 单调递增，
又 ， ，故当 时 ，
所以当 时 ，则 单调递减，
当 时 ，则 单调递增，
所以 ，所以方程 无实根，
所以函数 与 的图象无交点.
5．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）给定函数.
(1)求 的极值;
(2)讨论 解的个数.
【答案】(1)极小值为 ，无极大值.
(2)答案见解析
【分析】（1）对原函数求导数，并根据导数的符号判断函数在对应区间内的单调性，从而
求得极值；
（2）根据（1）中的单调性与极值讨论函数 的图像与水平线 的图象交点个数
即可.
【详解】（1）∵
∴ ，
令 得 ，
令 得 ，∴函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，
∴当 时， 取得极小值为 ，无极大值.
（2）由（1）知函数 在区间 上单调递减，且当 时，
；
当 时， 取得极小值为 ，
从而得知，当 时， 图象恒在 轴下方，
且当 时， ，即以 轴为渐近线，
∴当 时，方程有一个解；
当 时，方程有一个解；当 时，方程有0个解；
当 时，两图象有两个交点，方程有两根.
综上，当 或 时，方程有一个解；
当 时，方程有两个解，当 时，方程解的个数为0.
题型二：证明唯一零点问题
1．（2024·浙江杭州·二模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点，
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）证明：函数 有且只有一个零点．
【答案】(1)答案见解析；
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，再分 、 、 三种情况，分别求出函
数的单调区间；
（2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，且 ，
当 时， 恒成立，所以 在 单调递减；
当 时，令 ，即 ，解得 ，
，
因为 ，所以 ，则 ，
所以当 时 ，
当 时 ，
当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上单调递减；
当 时，此时 ，
所以 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上可得：当 时 在 单调递减；
当 时 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）（ⅰ）由（1）可知 ．
（ⅱ）由（1） 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
又 ，所以 ，则 ，
又 ，
又 ，
所以 在 上没有零点，又 ，则 ，则 ， ，
则 ，
所以 ，所以 在 上存在一个零点，
综上可得函数 有且只有一个零点．
2．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数 在区间 内恰有
一个极值点，其中 为自然对数的底数.
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： 在区间 内有唯一零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导得 ，分 和 讨论 的单调性，并保证在 内有唯一
零点 即可；
（2）利用导数确定 在区间 上的单调性，根据零点存在性定理证明即可.
【详解】（1）由题意可得 ，当 时， ，
①当 时， 在 上单调递增，没有极值点，不合题意；
②当 时，令 ，则在 上 ，
所以 在 上单调递减，
因为 ，且 连续不间断，
所以 ，解得 ，
由零点存在定理，此时 在 内有唯一零点 ，
所以当 时， ；当 时， ，所以 在 内有唯一极大值点 ，符合题意，
综上，实数 的取值范围为 .
（2）由（1）知 ，当 时， ，
所以在 上 ， 在 上单调递减，
所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
又因为 ，所以在 内无零点，
当 时，因为 ， ，且 连续不间断，
所以由零点存在定理， 在 内有唯一零点，即 在 内有唯一零点.
3．（2024高三上·全国·专题练习）已知 ，函数 ， .证
明：函数 ， 都恰有一个零点.
【答案】证明见解析
【分析】先求导确定函数单调性，然后利用零点存在定理来证明即可.
【详解】证明：函数 的定义域为 ， ，
时， ， 时， ，
在 上单调递减， 在 上单调递减增，
时， ， ， ，
函数 恰有一个零点.
函数 的定义域为 ， ，
时， ， 时， ，
在 上单调递减， 在 上单调递增，
时， ， ，
令 （ 表示 中最大的数）， ，
函数 恰有一个零点.
4．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数 ， ，且函数的零点是函数 的零点．
(1)求实数a的值；
(2)证明： 有唯一零点．
【答案】(1)1
(2)证明见详解
【分析】（1）易判断 单调递增，令 ，即可得 ，令
即可求 ；
（2）由导数判断 单调递增， 即可得证.
【详解】（1）由 易判断 在 单调递增，
且 ， ，
所以可令 ，
得 ， 所以 ，
由题意 ，即 ，
所以 ；
（2） ，则 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递
增，所以 ，
所以 ，
结合（1）可得存在唯一 ，使得 ，即函数 有唯一零点.
【点睛】关键点点睛：解决本题（1）的关键是通过同构得出 ；（2）的关键是二
次求导确定函数的单调性.
题型三：根据零点（根）的个数求参数
1．（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数 .(1) 时，证明： 时， ；
(2)讨论 的单调性；
(3)若 有两个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）直接由指数函数与一次函数的单调性证明即可；
（2）先求导函数，分类讨论求单调性即可；
（3）结合（2）的结论先得 ，再利用其最小值小于零结合 的单调性
计算得 ，根据零点存在性定理验证即可.
【详解】（1）由 知 ，易知其R上单调递减，
所以 时，有 ，得证；
（2）易知 ，
显然 时， ，此时函数 在R上单调递减；
若 ，则 时， ， 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增；
综上： 时， 在R上单调递减； 时， 在 上单调递减，
在 上单调递增；
（3）由上可知 时， 在R上单调递减，不存在两个零点，
所以 ，即 ，
令
要满足题意需 ，
易知 在 上单调递增，且
所以 ，
取 ，则 ，取 ，则 ，
令 ，
则 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，即 ，
即 ，
则 在 及 上分别有两个零点，显然符合题意，
故 .
2．（2024·宁夏固原·一模）已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)若 有两个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)首先求解所给函数的导函数，然后利用导数研究函数的单调性即可求出最小
值；
(2)结合（1）可知，只需 求解计算即可得出结果．
【详解】（1） ,
当 时，即 ，则 ，
当 时，即 ，则 ，
即当 时， ，函数单调递减，当 时， 为增，
在 处取最小值，∴ .
（2）由（1）可知， ，
由 有两个零点，
时， ， 时， ，
所以， ，即 ，解得： .
∴ 的取值范围为 .3．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数 ．
(1)当 的图象与 轴相切时，求实数 的值；
(2)若关于 的方程 有两个不同的实数根，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意设切点为 ，再根据导数的几何意义列出方程组，即可得解；
（2）关于 的方程 有两个不同的实数根，即方程 有两个不同的实数
根，即函数 的图象有两个不同的交点，构造函数 ，利用导数求
出其单调区间及极值，作出大致图象，结合图象即可得解.
【详解】（1）由题意设切点为 ，
，
则 ，解得 ，
所以 ；
（2）函数 的定义域为 ，
关于 的方程 有两个不同的实数根，
即方程 有两个不同的实数根，
即函数 的图象有两个不同的交点，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
又当 时， ，当 时， 且 ，作出函数 的大致图象，如图所示，
由图可知 ，
所以 .
4．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数 ， ， 为自然对数的
底数.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)判断函数 能否有3个零点？若能，试求出 的取值范围；若不能，请说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)不能有3个零点，利用见解析
【分析】（1）求导得 ，即可根据 的分类，确定 的正负，即可
求解单调性，
（2）根据函数的单调性可得必有 或 ，结合函数的极值，即可求解.
【详解】（1）由 ，
所以 ，
当 时， ，令 ，则 ，此时 单调递增，
令 ，则 ，此时 单调递减，
当 时，令 ，则 或 ，此时 单调递增，
令 ，则 ，此时 单调递减，
当 时，令 ，则 或 ，此时 单调递增，
令 ，则 ，此时 单调递减，
当 时，令 恒成立，此时 在 单调递增，综上可得：当 时， 在 单调递增，在 单调递减，
当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减，
当 时， 在 单调递增，
当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减，
（2）若 有3个零点，则由（1）知必有 或 ，
若 ，则 在 处取极大值，在 处取极小值，
，
令 ，则 ，
令 则 ，
故 在 单调递增， ，故 在 单调递减，
当 时， ，故 ，
因此 在 上恒成立，故 不可能有3个零点，
若 ，则 在 处取极小值，在 处取极大值，
且 ，故 不可能有3个零点，
综上可得 不可能有3个零点，
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范
围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分
离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，
就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
5．（23-24高二下·天津·阶段练习）若函数 ，当 时，函数 有极
值 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若方程 有3个不同的根，求实数 的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）对 求导后，由已知列方程组，求出 ，再由导数的意义得到切线
的斜率和点 代入曲线方程，得到 ，最后由点斜式得到直线方程；
（2）先求出 的单调区间和极值，画出函数图象，数形结合求出实数 的取值范
围.
【详解】（1） ，
由题意得 ，
解得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
（2）由（1）得 ，
令 ，解得 或 ，
所以
0 0
递增 递减 递增
所以，当 时， 有极大值 ；当 时， 有极小值 ，
所以 得图像大致如下：若 有3个不同的根，则直线 与函数 的图像有3个交点，
所以 .
6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数 ， .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若方程 有三个不同的实根，求 的取值范围．
【答案】(1) 单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式即可求出单调区间；
（2）由 ，可得 为 的一个根，
所以 有两个不同于 的实根，令 ，利用导数说明函数的
单调性，从而得到当 时 且 ，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）当 时，函数 ，
则 ，令 得 或
当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递增，在 上单调递减，
即当 时， 单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ．
（2） ，所以 为 的一个根，
故 有两个不同于 的实根，
令 ，则 ，
①当 时， ，故 在 上单调递增，不符合题意；②当 时，令 ，得 ，
当 时， ，故 在区间 上单调递增，
当 时， ，故 在区间 上单调递减，
并且当 时， ；当 时， ；
所以若要满足题意，只需 且 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为
三、专项训练
1．（2024·全国·模拟预测）设函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)设函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围.（其中 是自然对数的底数）
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）根据题意，求导可得 ，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得 ，构造函数 ，其中 ，转化为
最值问题，即可求解.
【详解】（1）当 时， 的定义域为 ，
，
令 ，则 ，解得 ，
令 ，则 ，解得 .
函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .（2）令 ，则 .
令 ，其中 ，
则 .
令 ，解得 ，令 ，解得 .
的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
.
又 ，函数 在 上有两个零点，
的取值范围是 .
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且曲线 在点 处
的切线方程为 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)证明：函数 有两个零点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解；
（2）利用转化的思想将原问题转化为函数 有两个零点，利用导数研究函
数 的单调性，结合零点的存在性定理即可证明.
【详解】（1）由题意可得 ，由切线方程可知其斜率为 ，
所以 ，解得 ；
（2）由 可得 ，所以 ．
函数 有两个零点即函数 有两个零点．
，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
又 ， ， 0，
所以 ， ．
由零点存在定理可得 使得 ， 使得 ，
所以函数 有两个零点．
3．（2024·福建·模拟预测）已知函数 在 处的切线在 轴上的截距
为 ．
(1)求 的值；
(2)若 有且仅有两个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）借助函数与方程的关系，可将 有且仅有两个零点转化为方程 有两个
根，构造对应函数并借助导数研究单调性及值域即可得.
【详解】（1） ， ， ，
则函数 在 处的切线为： ，
即 ，令 ，则有 ，即 ；
（2）由 ，即 ，
若 有且仅有两个零点，则方程 有两个根，
即方程 有两个根，
令 ，则 ，
则当 时， ，则当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
又 时， ， 时， ，故当 时，方程 有两个根，即 有且仅有两个零点.
4．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数 ，曲线 在点
处切线斜率为
(1)求 的值；
(2)求证： 有且只有一个极值点；
(3)求证：方程 无解．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出函数 的导数，利用导数的几何意义求出 的值.
（2）由（1）的结论，探讨 导数的零点，结合函数 的单调性推理即得.
（3）根据给定条件，构造函数 ，利用导数探讨函数 单调性，再分
析判断函数值情况得证.
【详解】（1）函数 ，求导得 ，
由曲线 在点 处切线斜率为 ，得 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）知，函数 的定义域为 ， 在 上单调递
减，
而 ， ，则存在 ，使得 ，
当 时， ，当 时， ，因此函数 在 上递增，在
上递减，
所以函数 有且只有一个极值点.
（3）令函数 ，求导得 ，
当 时， ，则 单调递减，
且 ，由（2）可得 在 上单调递减，
当 时， ，因此当 时， ，即 在 上单调
递减，
又当 时， ，则 ，
当 时， ，因此当 时， ，从而 时， 恒成立，
所以函数 无零点，即方程 无解．
5．（2024·辽宁·二模）已知函数 ．
(1)求曲线 的平行于x轴的切线的切点横坐标；
(2)证明曲线 与x轴恰有两个交点．
【答案】(1) ，
(2)证明见详解
【分析】（1）根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式求出函数的导函数，再令
，求出 ，即可求出切点坐标；
（2）利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可得结果.
【详解】（1）因为 ，
所以
，
即 ，
依题意若曲线 的切线平行于x轴，则切线的斜率为 ，
令 ，即 ，解得 或 ，
又 ， ，即切点坐标为 ， .
（2）由（1）可知 时 或 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
又有 ， ，
而对于函数 ，当 时， ，且
，
所以当 时， 恒成立，
且当 时， ，所以只存在 ，使得 ；存在 ，使得 ，
即曲线 与x轴恰有两个交点．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，方程 有两个解，求参数 的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间是 ，单调递增区间是
(2)
【分析】（1）求出函数定义域并求导，研究单调性即可.
（2）研究函数当 时的单调性及最值并结合图像求出 的取值范围.
【详解】（1）由题意知函数 的定义域为 ， .
令 ，得 .
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .
（2）当 时， ，则 ，函数 的定义域为 ，
令 ，得 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
所以当 时， 取得最小值，为 .
又当 时， ，
画出 的大致图象，如图：
因为方程 有两个解，所以 ，即 .
7．（23-24高二下·浙江·期中）设
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)若方程 有3个不同的实根， 求a的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）求出函数 的导数，再解导函数小于0的不等式即得.
（2）求出函数的极小、极大值，再利用三次函数的图象与性质求出a的取值范围.
【详解】（1）函数 的定义域为R，求导得
，
由 ，得 ，
所以函数 的单调递减区间是 .
（2）由（1）知，当 时， 或 ，因此函数 在 上单调
递增，
函数 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ，
显然当 时，直线 与函数 的图象有3个公共点，
所以方程 有3个不同的实根，a的取值范围是 .
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ， .
(1)若 的最小值为0，求 的值；
(2)当 时，证明：方程 在 上有解.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数的最小值求参数即可；
（2）转化为 在 上有解，根据 图象特征即可证明；
【详解】（1）由已知得 ，则 .
令 ，解得 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.所以 ，所以 .
（2）要证 在 上有解，即证 在 上有解，
即证 在 上有解.
令 ，则 .
设 ，则 .
当 时， ；当 时， .
所以 即 在 上单调递增，在 上单调递减.
又因为 ， ，
，
所以由零点存在性定理知， ，使 ，即 ，
所以当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 .
因为 ，所以 ，即 ，且 时，
，所以当 时，直线 与函数 的图像在 上有交
点，即 在 上有解.
【点睛】思路点睛：将方程 在 上有解转化为 在 上有
解，求出 在 上的单调性，则直线 与函数 的图
像在 上有交点即可证明；
9．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数 在 处
取得极值．
(1)确定 的值并求 的单调区间；
(2)若关于 的方程 至多有两个根，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ，单调递增区间是 和 ，单调递减区间是
(2) 或
【分析】（1）由 求 的值，再利用导数和函数单调性的关系，即可求解；（2）将方程的实数根据转化为函数图象的交点个数问题，利用数形结合，即可求解.
【详解】（1）由函数可知， ， ，得 ，
即 ， ，
令 ，得 或 ，
当 ，得 或 ，当 ，得
所以函数 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ；
（2）由（1）可知， ，
函数在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ，
若方程 至多有两个根，即 与 至多有2个交点，
如图，即 或 .
10．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间与极值；
(2)关于x的方程 有两个不同的实数解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)函数 的单调增区间为 和 ，减区间为 上和 ，极大
值为 ，极小值为 .
(2)
【分析】（1）求出导函数，解导函数不等式得单调区间，再利用极值概念求解即可；
（2）把方程有两个不同的解转化为 与 的图象有两个不同的交点，结
合函数的零点及单调性作出函数图象，数形结合即可求解.【详解】（1）易知函数 的定义域为 ，
，
令 得 或 ，令 得 或 ，
令 得 或 ，
所以函数 在 和 上单调递增，在 上和 上单调递减，
所以 时函数 有极大值为 ， 时函数 有极小值为 .
（2）显然 不是方程 的解，所以方程 有两个不同的实
数解
等价于 有两个不同的实数解，即 与 的图象有两个不同
的交点，
令 得 ， ， ，当 趋向于负无穷大时， 趋向于0.
结合（1）中函数 的单调性，作出函数 的图象：
由图可知， 与 的图象有两个不同的交点时， 或 ，
所以实数a的取值范围 .
