文档内容
专题 07 利用导函数研究函数零点问题
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍...........................................................................................................1
二、典型题型...........................................................................................................2
题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题....................................................2
题型二：证明唯一零点问题..............................................................................6
题型三：根据零点（根）的个数求参数...........................................................9
三、专项训练.........................................................................................................14
一、必备秘籍
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的零点．
（2）三个等价关系
方程f (x)=0有实数根⇔函数y=f (x)的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数y=f (x)有零点．
2、函数零点的判定
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是 的根．我们
把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
3、利用导数确定函数零点的常用方法
(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画
草图时注意有时候需使用极限）．
(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极
值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
4、利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数( )后，将原问题转化为 的值域(最值)问题或转化为直线 与 的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
二、典型题型
题型一：判断（讨论）零点（根）个数问题
1．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的零点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当 时 ，则 ，
，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）函数 定义域为 ，
，
当 ，即 时 恒成立，所以 在 上单调递增，
又当 趋向于0时 ， ，所以函数 有一个零点；
当 ，即 时令 ，解得 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 趋向于0时 ，当 趋向于正无穷时 ，又 ，令 ，
则 ，所以 在 上单调递增，且 ，
若 ，即 时函数 有两个零点；
若 ，即 时函数 有一个零点；
若 ，即 时函数 没有零点；
综上，当 时函数 没有零点，当 或 时函数 有一个零点，当 时函数 有
两个零点.
2．（2023·陕西渭南·校考模拟预测）已知函数 ，其中e为自然对数的底数．
(1)求 的单调区间：
(2)讨论函数 在区间 上零点的个数．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）因为 ，所以 ，
当 时， 恒成立，
所以 的单调增区间为 ，无单调减区间．
当 时，令 ，得 ，
令 ，得 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2）由（1）知， ．
①当 时， 在区间 上单调递增且 ，
所以 在区间 上有一个零点．
②当 时， 在区间 上单调递减且 ，
所以 在区间 上有一个零点．
③当 时， 在区间 上单调递减，在 上单调递增，
而 ．
当 ，即 时， 在区间 上有两个零点．
当 ，即 时， 在区间 上有一个零点．
综上可知，当 或 时， 在 上有一个零点，当 时， 在区间 上有两个零点．
【点睛】方法点睛：利用导数处理函数零点常用方法
（1）构造新函数 ，利用导数研究 的性质，结合 的图象，判断函数零点的个数.
（2）利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.
3．（2023上·广东中山·高三校考阶段练习）设函数 ， ， .
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，讨论 与 图象的交点个数．
【答案】(1)单调递增区间是 ，单调递减区间是
(2)函数 与 的图象总有一个交点
【详解】（1）函数 的定义域为 ， .
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增．
综上，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
（2）令 ， ，
题中问题等价于求函数 的零点个数．
，
当 时， ，函数 为减函数，
因为 ， ，所以 有唯一零点；
当 时， 或 时， ； 时， ，
所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，
，
所以 有唯一零点．
综上，函数 有唯一零点，即函数 与 的图象总有一个交点．
4．（2023上·上海虹口·高三校考期中）函数 ，(1)求函数 在点 的切线方程；
(2)函数 ， ，是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由；
(3)若 ，请讨论关于x的方程 解的个数情况．
【答案】(1) ；
(2) 时无极值点； 时有极小值点 ，无极大值点.
(3)答案见解析.
【详解】（1）由题设 ，则 ，而 ，
所以，切线方为 ，即 .
（2）由题设 ，则 ，且 ，
当 时， 恒成立，故 在 上递增，无极值；
当 时， 时 ， 时 ，
则 在 上递减，在 上递增；
此时有极小值点为 ，无极大值点.
（3）由题意，只需讨论 在 上根的情况，
令 ，则 ，而 ，
当 时 ， 递增；当 时 ， 递减；
且 趋向0或 时 趋向 ，极大值为 ，
综上，当 ，原方程有无解；当 ，原方程有一个解；当 ，原方程有两个解；
5．（2023上·广东揭阳·高三统考期中）给定函数 .
(1)讨论函数 的单调性，并求出 的极值；
(2)讨论方程 解的个数.
【答案】(1) 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；极小值为 ，无极大值
(2)答案见解析
【详解】（1）函数的定义域为 ..
令 ，解得 ，
， 的变化情况如表所示.
-3
- 0 +
单调递减 单调递增
所以， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
当 时， 有极小值 ， 无极大值
（2）方程 的解的个数为函数 的图象与直线 的交点个数.
令 ，解得 .
当 时， ；当 时， .
又由（1）可知， 在 时有唯一极小值，也是最小值 .
所以， 的图象经过特殊点 ， ， .
且当 时，有 ；
当 时，有 .
如图，作出函数的图象
由图象可得，
当 时， 与 的图象没有交点，所以方程 的解为0个；当 或 时， 与 的图象只有一个交点，所以方程 的解为1个；
当 时， 与 的图象有两个交点，所以方程 的解为2个.
题型二：证明唯一零点问题
1．（2023上·广东珠海·高三校考阶段练习）已知函数 ， 为 的导
数．
(1)求曲线 在 处的切线方程：
(2)证明： 在区间 存在唯一零点；
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【详解】（1） ，所以切点为 ，
又 ，
所以 ，
所以切线方程为 ，即 ；
（2）由（1）知 ，令
则 ，
令 ，解得 ，此时 单调递增，
令 ，解得 ，此时 单调递减，
所以 ，
又 ，所以在区间 上 恒成立，
，所以存在 使得 ，
所以 在 上存在唯一的零点 ，即 在区间 存在唯一零点，得证.
【点睛】方法点睛：导数问题一般可以先通过求导得到函数的单调性，再由单调性判断函数的图像，根据
图像解决相关问题.
2．（2023上·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知函数 ， ，且函数 的零
点是函数 的零点．
(1)求实数a的值；
(2)证明： 有唯一零点．
【答案】(1)1
(2)证明见详解
【详解】（1）由 易判断 在 单调递增，
且 ， ，
所以可令 ，
得 ， 所以 ，
由题意 ，即 ，
所以 ；
（2） ，则 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，所以
，
所以 ，
结合（1）可得存在唯一 ，使得 ，即函数 有唯一零点.
【点睛】关键点点睛：解决本题（1）的关键是通过同构得出 ；（2）的关键是二次求导确定函数
的单调性.
3．（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 ， ．
(1)过坐标原点作 的切线，求该切线的方程；
(2)证明：当 时， 只有一个实数根．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）函数 的定义域为 ，设切点为 ，
，则 ，
故切线方程为 ，
由切线过原点 ，得 ，
所以所求切线方程为 ；
（2）要证明 时， 只有一个实数根，
即证 只有一个实数根，
令 ，
则 ，
即 单调递减，
当 时， ，
又 ，
由此可知， 的图象在 上有且只有一个公共点，
从而 时， 只有一个实数根．
【点睛】思路点睛：本题第二问解题思路是构造函数令 ，结合零点存在性定理
求解．
题型三：根据零点（根）的个数求参数
1．（2023上·北京·高三景山学校校考期中）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；(3)当 时，设 ，若 有两个不同的零点，求参数 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2)答案见解析；
(3) .
【详解】（1）由题设 ，则 ，故 ， ，
所以在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）由 ，
当 ，定义域为 ，此时 ，故 ，即 在 上递减；
当 ，定义域为 ，
若 ，则 ， 在 上递增；
若 ，则 ， 在 上递减；
（3）由题设， ，故 在 有两个不同零点，
所以 在在 有两个不同根，
令 ，则 ，
在 ，则 ， 在 上递减，
在 ，则 ， 在 上递增，且 ，
趋向于0或 时 都趋向于 ，故只需 ，满足题设.
2．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 上的值域；
(2)若函数 在 上仅有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当 时， ，所以 ，令 ，则 ，
0
单调递
极小值 单调递增
减
所以 ，又 ，
所以 在 上的值域为 .
（2）函数 在 上仅有两个零点，
令 ，则问题等价于 在 上仅有两个零点，
易求 ，因为 ，所以 .
①当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上没有零点，不符合题意；
②当 时，令 ，得 ，
所以在 上 ，在 上 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
因为 在 上有两个零点，
所以 ，所以 .
因为 ，
令 ，
所以在 上 ，在 上， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递
增；
所以 ，所以 ，
所以当 时， 在 和 内各有一个零点，即当 时， 在 上仅有两个零
点.
综上，实数 的取值范围是 .3．（2023上·重庆涪陵·高三重庆市涪陵高级中学校校考开学考试）已知函数
.
(1)若函数 在 上单调递增，求 的最小值；
(2)若函数 的图象与 有且只有一个交点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ， ，
因函数 在 上单调递增，
所以 在 恒成立，即 ， ，
的最小值为 ．
（2） 与 有且只有一个交点，
即 只有一个根，
只有一个根，
令 ，所以 的图象与 的图象只有一个交点，
，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 ，所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减， 的图象如
下所示：
，
又 的图象与 的图象只有一个交点，
.4．（2023下·湖南衡阳·高二校考阶段练习）已知函数 ， 其中
．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若方程 有三个根，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2) ．
【详解】（1）解：由题意得函数 的定义域为 ，
，
当 时， ，即 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
在 上单调递减，在 和 上单调递增；
当 时，由 得 或 ，由 得 ，
在 上单调递减，在 和 上单调递增，
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
（2）方程 有三个根，即 有三个根，
有三个根，显然 不是方程的根，
则 有三个根，即 与函数 的图象有三个交点，
，令 ，可得 ，
由 ，可得 或 ，由 ，可得 ，
则 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
在 处取得极大值为 ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，如图所示：
要使 与函数 的图象有三个交点，
只需 ， 的取值范围是 ．
5．（2023下·浙江衢州·高二统考期末）已知函数
(1)若过点 作函数 的切线有且仅有两条，求 的值；
(2)若对于任意 ，直线 与曲线 都有唯一交点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设过点 作函数 切线的切点为 ，
因为 ，所以切线方程为 ，即 ，
又因为切线过点 ，所以 .
令 ，则 ，
所以 ， ， 递减；
， ， 递增；
， ， 递减.
当 时， 取极小值 ；当 时， 取极小值 ，
， 时 ； 时 ，
根据以上信息作出 的大致图象，由题意，直线 与 的图象有且仅有两个交点，
所以 .
（2）由题可得 有唯一解，即 有唯一解．
令 ，
若 ，则 与题设 ，矛盾，故 .
又因为 ， ； ， ，
结合题意可得 在 上单调递增，
即 ，所以 ，
结合（1）可得 ，所以 .
三、专项训练
一、单选题
1．（2024上·广东江门·高三统考阶段练习）直线 与函数 的图象公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】联立 与 ，消去y得， ，
令 ，求导得 ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
因此 ，函数 有唯一零点1，
所以直线 与函数 的图象公共点的个数为1．故选：B
2．（2023上·河北·高三校联考期末）已知函数 有两个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令 ，则 ，
注意函数 与函数 互为反函数，它们的图象关于直线 对称，
则要使函数 有两个零点，只需 与直线 有两个交点即可，
即关于 的方程 有两个根，即 在 上有两个根，
设 ，则 ，
易知当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则 ，且 时， ，当 时， ，
故 ，
故选：A．
3．（2023下·广东阳江·高二校考期中）若函数 在 上只有一个零点，则常数 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令 ，则 ，
构建 ，原题意等价于 与 有且仅有一个交点，
因为 ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
可得 在 处取到极大值 ，在 处取到极小值 ，
且当 趋近于 时， 趋近于 ，当 趋近于 时， 趋近于 ，结合 的图象可知：若 与 有且仅有一个交点，则 或 ，
所以常数 的取值范围是 .
故选：D.
二、填空题
4．（2023上·江苏常州·高三统考期中）若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范
围是 ．
【答案】
【详解】令 且 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时 ，即 递增；当 时 ，即 递减；
所以 ，故 恒成立，即 在 、 上递减，
而 时 ； 时 ； 时 ；
所以 的图象如下图示，故 有两个根 ．
故答案为：
5．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知函数 ，若关于 的不等式 恰
有一个整数解，则实数 的取值范围为 .
【答案】【详解】当 时， ，
即函数 在 上单调递增
函数 的图像如下图所示：
由 得出 ，
当 时，显然不成立.
但 时，解得 ，使得不等式只有唯一整数解，此时 .
即 时，唯一整数解是 ，
当 时， ，使得不等式只有唯一整数解，此时 ，
即 时，唯一整数解是 .
综上， .
故答案为：
6．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）已知函数 的图象与函数 的图
象有两个交点，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为 ， ，
且 在 上单调递增，可知 在 上单调递增，
由题意可知：函数 的图象与函数 的图象有两个交点，
又因为 ，
设切点坐标为 ，则切线斜率 ，切线方程为 ，
若切线过原点，则 ，解得 ，
结合图象可知：若函数 的图象与函数 的图象有两个交点，则 ，
所以实数 的取值范围是 .故答案为： .
三、问答题
7．（2023上·山东·高三济南一中校联考期中）已知函数 ．
(1)若函数 在 上单调递增，求 的取值范围；
(2)若函数 的图象与 有且只有一个交点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 ，则 ，
因为函数 在 上单调递增，
所以 在 恒成立，
即 ，
而 在 上单调递增，
当 时， ，
所以 的取值范围 ．
（2） 与 有且只有一个交点，
即 只有一个根， 只有一个根，
令 ，所以 的图像与 的图像只有一个交点，
，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增， 上单调递减，所以 ， ，
又因为 的图像与 的图像只有一个交点，所以 .
8．（2023上·吉林长春·高一吉林省实验校考期中）已知函数 ，
(1)求函数的单调区间与极值点；
(2)若 ，方程 有三个不同的根，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）定义域为 ，
，
令 得 或 ，
当 即 时， ， ， 在区间 上单调递减；
， ， 在区间 上单调递增；
故 有极小值点 ，无极大值点，
当 即 时， 时， ， 在区间 单调递增，
当 时， ， 在区间 单调递减；
当 时， ， 在区间 上单调递增；
当 极小值点为 ，极大值点为 ；
当 即 时， 时， ， 在区间 单调递增，
当 时， ， 在区间 单调递减；
当 时， ， fx在区间 单调递增；
故 有极小值点 ，有极大值点为 ；
当 时，即 时， ， 在 单调递增，无减区间，无极值点．（2）当 时， 即 ，
由（1）可知， 时， 单调递增， 时， 单调递减，
时， 单调递增；
极大值 ，极小值 ，
要使 有三个不同的根，则 .
故 的取值范围为
9．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求该切线方程；
(2)讨论曲线 与直线 的交点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1） ，
因为曲线 在点 处的切线与 轴平行，
所以 ，
因为 ，所以 ．
所以所求切线方程为 ．
（2）由（1）可知，当 时，
当 时，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ．
所以当 时，曲线 与直线 无交点；
当 时，曲线 与直线 有且仅有一个交点；
当 时，在 上， ，
令 ，得 舍去 ，
则 ，又
所以在 上，曲线 与直线 有且仅有一个交点，又因为 ，
即 为偶函数，
所以在 上，曲线 与直线 有两个交点．
综上所述，当 时，曲线 与直线 无交点；
当 时，曲线 与直线 有且仅有一个交点；
当 时，曲线 与直线 有两个交点．
10．（2023下·山东菏泽·高二校考阶段练习）给定函数
(1)判断 的单调性并求极值；
(2)讨论 解的个数．
【答案】(1) 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．无极大值，极小值 .
(2) 或 时有一解； 时有两解.
【详解】（1）∵
∴ ，
令 得 ，
令 得 ，
∴函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，
∴当 时， 取得极小值为 ，无极大值.
（2）由（1）知
函数 在区间 上单调递减且当 时， ；
当 时， 取得极小值为 ，
从而得知，当 时， 图像恒在 轴下方，且当 时， ，即以 轴为渐近线，
∴当 时，两函数图像恰好相切，方程有一个解；当 时，两图像恰好交于一点，方程有一个
解；
当 时，两图像有两个交点，方程有两根.
综上，当 或 时，方程有一个解；当 时，方程有两根.
11．（2023上·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）若函数 在 处有极小值．(1)求c的值．
(2)函数 恰有一个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又因为函数 在 处有极小值，
所以 ，解得 或 ，
当 时， ，
则 时， ， 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
可得函数 在 处取得极小值；
当 时， ，
则 时， ， 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
可得函数 在 处取得极大值，不合题意，舍去．
所以c的值为3.
（2） ，
函数定义域为R， ，
当 时， 恒成立， 在R上单调递增，
时， 有一个零点-1；
时， ， ， 恰有一个零点.
当 时， 解得 或 ， 解得 ，
在 和 上单调递增，在 上单调递减，
时， 有极大值， 时， 有极小值，
恰有一个零点， 或解得 ，
综上可知，函数 恰有一个零点，实数a的取值范围为 .
12．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在 上存2个零点，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）函数 的定义域为 ，且 .
当 时， 在 上恒成立，故 在 上单调递减；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增，在 上
单调递减.
（2）若 ，在 上无零点，不合题意；
若 ，由 ，得 ，
令 ，则直线 与函数 在 上的图象有两个交点，
，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 ，
又 ，
所以要使直线 与 的图象有两个交点，则 ，所以 ，即实数 的取值范围为 .
13．（2023上·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2) .
【详解】（1）当 时， ，
则 ，
令 得 ，所以 的单调递增区间为
令 得 ，所以 的单调递减区间为
（2） ，
则 ，
，∴由 ，得 .
当 ， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
故当 时，函数 取得极大值 ，
又 ， ，
且 ，
∴ 在 上有两个零点需满足条件 ，
解得 ，故实数 的取值范围是 .
四、证明题14．（2023上·北京朝阳·高三校考阶段练习）已知函数.
(1)求证：当 时， ；
(2)求 在 的零点个数.
【答案】(1)证明见解析；
(2)2个.
【详解】（1）解：由函数 ，可得 ，
令 ，可得 ，
当 时，可得 ，所以 单调递减，
又由 ，所以 ，即 ，所以 单调递减，
由 ，所以 .
（2）解：由（1）知， ，
当 ，可得 ，且 ，所以 ，
即 ，所以 单调递减；
当 ，可得 ，且 ，所以 ，
即 ，所以 单调递增，
又因为 ， ， ，
所以函数 有两个零点.
