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2024 年高考物理一轮复习模型及秒杀技巧一遍过
模块10 磁发明各模块大招
第06 讲 隐形磁场及拼接场模型
（解析版）
目录
【内容一】 隐形磁场+假速度模型....................................................................................................................1
【内容二】 圆形磁场最小半径、面积模型......................................................................................................3
【内容三】 两假速度模型...................................................................................................................................5
【内容四】 带电粒子在组合场中的匀速圆周运动模型解法模型..................................................................6
技巧总结
隐形磁场模型
技巧总结
Ⅰ标志：隐形磁场+假速度
Ⅱ步骤：
①真速度做垂直必过圆心
②真假速度延长线做夹角的角平分线（必过）
③交点即圆心，对两速度做垂线，垂足即为初末位置（两假速度也适用）
如图所示：
1
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口诀：见真做垂直，真假两延长，交点做平分，垂足即初末.
Ⅲ:圆形磁场最小半径、面积
初末位置做连线，求出长度，此长即为直径.
注意：含
拼接场
主要求拼接点的速度（大小与方向）
平抛+圆周
速度偏转角 位移角
加速方向位移，
匀速方向位移，
为
与匀速方向的夹角.
Ⅳ：两假速度
①两假速度延长线夹角做角平分线.
②任选一点为圆心，往两延长线做垂线，规定垂线长为
（一定已知）
③求解.
拼接磁场模型
技巧总结
Ⅰ：带电粒子在组合场中的匀速圆周运动模型解法综述
1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场
交替出现．
2．带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1 步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段．
第2 步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如图所示．
第3 步：用规律
2
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Ⅱ：磁场与磁场的组合模型
模型：磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在
两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两
段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系．
Ⅲ：先电场后磁场模型
模型：1.带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速
圆周运动，如图.
2．带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如
图.
Ⅳ：先磁场后电场模型
模型：(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图甲所示)．
(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)．
例题演练
3
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例1．如图所示，在水平线PQ 和虚线MO 之间存在竖直向下的匀强电场，PQ 和MO
所成夹角θ＝30°，匀强电场的场强为E；MO 右侧某个区域存在匀强磁场，磁场的磁感
应强度的大小为B，方向垂直纸面向里，O 点在磁场区域的边界上并且存在粒子源，
粒子源可发出初速度大小不同的粒子，初速度的最大值为
，粒子源发出的所有粒子
在纸面内垂直于MO 从O 点射入磁场，所有粒子通过直线MO 时，速度方向均平行于
PQ 向左，已知所有粒子的质量均为m、带电量绝对值均为q，不计粒子的重力及粒子
间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．粒子可能带负电 B．所有粒子从O 点到达边界MO 的时间相等
C．速度最大的粒子从O 点运动至水平线PQ 所需的时间为
D．匀强磁场区域的最小面积为
解：A．磁场方向垂直于平面向里，粒子要从直线MO 进入电场，故粒子只能带正电，
A 错误；
B．粒子的运动轨迹如图所示
由洛伦兹力提供向心力可得，粒子在磁场中轨迹半径为
根据粒子的运动轨迹可知粒子从O 点到达边界MO 粒子做圆周运动转过的角度一样，
根据周期公式
可知，粒子从O 点射出到出磁场的时间相等，为
4
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粒子出磁场后到达边界NO 的时间
与粒子速度无关，大小也相等，则所有粒子从O 点到达边界MO 的时间相等，B 正确；
C．由题意知初速度最大为
则速度最大的粒子在磁场中运动轨迹的半径为
粒子过MO 后粒子做类平抛运动，设运动的为t3，则
其中
解得
则速度最大的粒子自O 点进入磁场至重回水平线POQ 所用的时间为
C 正确；
D．由题意知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均在ON 的
连线上，故磁场范围的最小面积△S 是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON 所围成的
面积，如图所示，扇形OO′N 的面积
△OO′N 的面积为
解得
D 错误。故
选BC。
例2．如图所示，在xOy 坐标系中的第一象限内存在沿x 轴正方向的匀强电场；第二象
限内存在大小为B、方向垂直坐标平面向外的有界圆形匀强磁场（图中未画出），一
粒子源固定在x 轴上M（L，0）点，沿y 轴正方向释放出速度大小均为
的电子，电
子经电场后恰好从y 轴上的N 点进入第二象限，进入第二象限后，电子经磁场偏转后
通过x 轴时，与x 轴的夹角为75°，已知电子的质量为m、电荷量为e，电场强度
，不考虑电子的重力和电子间的相互作用，求：
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（1）N 点到坐标原点的距离；
（2）电子通过N 点的速度；
（3）圆形磁场的最小面积。
解：（1）从M 到N 的过程中，电子做类平抛运动，有
yN＝v0t 解得yN＝2L
（2）设电子到达N 点的速度大小为v，方向与y 轴正方向的夹角为θ，由动能定理有
，
解得v＝
v0，θ＝45°
（3）设电子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，
当电子与x 轴负方向的夹角为75°时，其运动轨迹图如图
电子在磁场中偏转120°后垂直于O1Q 射出，则磁场最小半径Rmin＝
＝rsin 60°
解得Smin＝
=
当电子与x 轴正方向的夹角为75°时，其运动轨迹图如图
6
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电子在磁场中偏转150°后垂直于O2Q′射出，则磁场最小半径
解得
=
例3．如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第二象限内有匀强电场E1，方向沿x 轴正方
向。第一象限中，边界OM 和x 轴正方向之间有匀强电场E2，方向平行边界OM 向下；
边界OM 和y 轴正方向之间有匀强磁场（图中未画出），方向与坐标平面垂直（边界
OM 和x 轴正方向之间的夹角
）。现有一电荷量为+q、质量为m 的带电粒子
（不计重力），由a 点以v0的初速度（方向沿y 轴正方向）射入电场E1，经b 点进入
磁场偏转后在c 点进入电场E2，最后经过d 点，已知Oa=L，Ob=Od=2L，Oc=
L，E1、E2的大小均未知，求：
（1）带电粒子在b 点的速度大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度B 的大小和方向；
（3）电场强度E2的大小和粒子从a 点运动到d 点的时间。
解：（1）轨迹示意图如图所示
粒子从a 运动到b 做类平抛运动，设所用时间为t1，沿初速度方向
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沿电场线方向
解得
，
故粒子在b 点速度
（2）粒子由b 点进入磁场后做匀速圆周运动，由几何关系可得
由牛顿第二定律得
解得
由左手定则知，方向垂直纸面向外。
（3）经分析知，粒子由c 点进入电场E2时，速度与电场方向垂直。在电场E2中，粒
子做类平抛运动，设从c 到d 所用时间为t2，加速度为a。沿初速度方向
沿电场线方向
由牛顿第二定律得
解得
，
粒子在磁场中的运动时间
粒子从a 运动到d 的时间
例4．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中的第一象限内存在磁感应强度大小为B，方
向垂直于坐标平面向里的有界圆形匀强磁场区域(图中未画出)：在第二象限内，存在与
x 轴负方向成α=30°的匀强电场，一粒子源固定在X 轴上坐标为(-L，0)的A 点．粒子
源沿y 轴正方向释放出质量为m，电荷量为-q，速度大小为v 的带电粒子，粒子垂直y
轴通过C 点进入第一象限，又经过磁场偏转后垂直x 轴进入第四象限(带电粒子的重力
不计)．求:
(1)匀强电场的电场强度E 的大小；
(2)带电粒子离开电场时的速度大小；
(3)圆形匀强磁场的最小面积.
解：（1）从A 点C 的过程中，在x 轴方向根据牛顿第二定律得到：
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在x 轴方向匀加速运动，则：
在y 轴方向根据牛顿第二定律得到：
，
在y 轴方向匀减速运动，则：
联立可以得到：
（2）粒子离开电场时的速度为
，有：
，
解得：
；
（3）粒子在磁场中做圆周运动的半径为，
，则：
则圆形磁场的最小面积为
，有
．
例5．如图所示，在竖直平面内建立xOy 直角坐标系。一质量为m、电量为q 的质子，
自原点O 以初速度v0沿x 轴正方向运动。若在以O 为圆心的圆形区域内分布着垂直
xOy 平面的匀强磁场。一段时间后质子沿与y 轴夹角为30°方向经P 点射入第二象限。
若撤去磁场，在第一象限内加一与x 轴正方向夹角为150°的匀强电场（电场、磁场均
未画出），该质子恰能经过y 轴上的P 点。已知点P 到O 的距离为L，求：
（1）磁场的磁感强度B 的大小；
（2）匀强电场的电场强度E 的大小。
解：（1）质子在磁场中在洛仑兹力作用，做匀速圆周运动，设其半径为r，
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由题意知，粒子在磁场中的轨迹如图甲实线所示，其圆心C 在y 轴上，由图中几何关
系得
L=3r 联立得
（2）去掉磁场，在电场力的作用下，粒子的轨迹如图乙所示。
由题知在x 轴正方向上
根据
在y 轴正方向上
，
由运动的对称性可知
联立得
例6．如图所示，在xOy 坐标系中第一象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场第二象限
内有平行于x 轴的有界匀强电场，电场的边界AB、CD 均与y 轴平行，且OB=BD．一
电荷量为+q、质量为m 的带电粒子(重力不计)，从P(a，0)点以速度v0垂直射入磁场，
其速度方向与x 轴成30°夹角，然后从y 轴上的N 点（图中未画出)垂直于y 轴离开磁
场，粒子进入第二象限后恰好不穿过CD．已知粒子从第一次通过N 点到第二次通过N
点所用时间为t0．求：
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(1)匀强磁场的磁感应强度大小；
(2)带电粒子自P 点开始到第一次到达N 点所用的时间；
(3)匀强电场的电场强度大小．
解：（1）利用几何关系求出运动的加速度，则可以求出磁场的磁感应强度B
（2）求出带电粒子在磁场中运动的圆心角，即可求得运动时间．
（3）利用动能定理及运动学公式求出电场强度的大小．
（1）带电粒子运动轨迹及电场方向如图所示
圆周运动半径
根据
匀强磁场的磁感应强度
（2）由周期公式
带电粒子自P 点开始到第一次到达N 点所用的时间
（3）设粒子从N 点向左匀速运动时间为
，位移为x，在电场中匀减速运动时间为
，
位移为x 则有
又
解得：
粒子从进入电场到匀减速
为零，由动能定理得
匀强电场的电场强度
例7．如图所示，在直角坐标xOy 平面y 轴的左侧（含y 轴）有一沿y 轴负方向的匀强
电场，一质量为m，电荷量为q 的带正电的粒子从x 轴上P 点以速度v0沿x 轴正方向进
入电场，从y 轴上Q 点离开电场时速度方向与y 轴负方向间夹角θ=30° ，Q 点坐标为
（0，-d），在y 轴右侧有一与坐标平面垂直的有界匀强磁场区域（图中未画出），磁
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场磁感应强度大小B=
，粒子能从坐标原点O 沿x 轴负方向再进入电场，不计粒子
重力，求:
（1）电场强度大小E；
（2）如果有界匀强磁场区域为矩形，求磁场区域的最小面积；
（3）粒子从P 点运动到O 点的总时间。
解：（1）设粒子从Q 点离开电场时速度大小为v，粒子做类平抛运动，有
，
由动能定理
解得
（2）设粒子从M 点进入磁场，从N 点离开磁场区域，如图，粒子在磁场中做圆周运
动的半径为R，圆心为
，由
可得
由几何关系可知
所以
故最小矩形长为
，宽为
，最小面积为
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（3）设粒子在电场中运动时间为
，由平抛知识可知
代入数据可求
粒子由Q 点到M 点做匀速直线运动，设用时
，由几何关系可求得
粒子在磁场中运动时间
，有
粒子从N 点到O 点，做匀速直线运动，用时
，
由几何知识可求
故
例8．如图所示，在某一空间中建立直角坐标系
。一质量为
、电荷量为
的带正
电粒子以水平速度
进入一个两极板水平放置、极板最右侧在
轴上的平行板电容器
间，进入时粒子贴着上极板左端
点，经偏转后恰好从下极板右端
点飞出，经
轴
右侧一边界为三角形的匀强磁场（未画出）区域，粒子最终能到达
轴负半轴上的
点，
、
两点关于
轴对称，粒子在
轴右侧的运动轨迹也关于
轴对称。已知所
加磁场的磁感应强度大小为
，平行板电容器的电容为
，两极板的间距为
、长度
均为
，
，不计粒子的重力。求：
（1）电容器所带电荷量大小；
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（2）磁场区域的最小面积；
（3）粒子从
点运动到
点所用的总时间。
解：（1）粒子在电场中偏转过程中有
，
由牛顿第二定律有
电容器所带电荷量
联立解得
（2）设粒子从下极板右端
点飞出时，其速度方向与水平方向夹角为
，则
粒子进入
轴右侧区域后的速度大小为
粒子在磁场中运动，由洛伦兹力和向心力公式得
解得粒子在磁场中运动的轨迹半径为
如图所示，当
为三角形磁场区域的左边界，三角形磁场区域的顶点为
、
延
长线的交点
时，磁场区域面积最小。由几何知识可得三角形
为等腰直角三角形，
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磁场区域面积
（3）粒子在水平放置的电容器两极板间做类平抛运动所用时间为
由圆周运动规律有粒子在磁场中做圆周运动的周期为
根据几何关系可知粒子在磁场中的偏转角为
，则在磁场中运动的时间
又
故有
故粒子从A 运动到
的时间
例9．如图所示，在平面直角坐标系
的第Ⅲ象限内有方向竖直向下的匀强电场。
一带负电的粒子从电场中的
点以水平向右的初速度
射出，经时间到达
轴上的
点，并沿与
轴正力向成
角的方向经第Ⅳ象限运动到
轴上的
点，从
点经
第Ⅰ象限内某一矩形区域内的匀强磁场（图中未画出）偏转，后从
轴上的
点沿与
轴正方向成
角的方向飞出。已知
点到
轴的距离与
点到
点的距离相等，
、
两点间的距离是
、
两点间距离的3 倍，粒子重力不计。求：
(1)
点到
轴的距离；
(2)电场强度与磁场的磁感应强度之比；
(3)该矩形磁场的最小面积。
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解：(1)在
点，粒子在电场中获得的竖直分速度大小为
设粒子在电场中沿
轴正方向运动的距离为
，则有
在
中，由几何关系可知
故
点到
轴的距离为
(2)设粒子在电场中的加速度大小为
，由题意可知
由牛顿第二定律可得
联立解得
粒子出电场后的运动轨迹如图所示
设粒子在磁场中做圆周运动的半径为
，由几何关系可知
解得
粒子进入磁场时的速度
又因为
解得
故
(3)由图可知，第Ⅰ象限内匀强磁场的最小区域应为图中的矩形
由几何关系得
解得
，
解得
故该矩形匀强磁场的最小面积为
例10．如图所示，在xOy 平面内有一涂有特殊涂层的挡板OP，MN 为挡板上的孔，若
带电粒子与该特殊涂层相碰则完全被吸收并导走。OP 与x 轴所成夹角
，OP 左
侧某个区域存在磁感应强度为B、垂直纸面向外的匀强磁场，O 点处在磁场的边界上，
在OP 右侧下方区域存在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场。现有大量质量为
m、电量为
的带电粒子以不同的速度垂直于OP 从O 点射入磁场，所有粒子通过磁
场到达OP 时，速度方向均平行于x 轴水平向右。已知
，
，速度最小
的带电粒子恰好通过M 点，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：
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（1）带电粒子的最小速度；
（2）能使带电粒子通过MN 区域的磁场的最小面积；
（3）x 轴上有带电粒子打中的区域的长度。
解：（1）带电粒子的速度方向垂直于OP，轨迹圆心在OP 上，又因所有带电粒子到
达OP 时速度方向均平行于x 轴水平向右，速度最小的带电粒子恰好通过M 点，故其
轨迹如图所示：
设速度最小的带电粒子的轨道半径为
，由几何关系可得
所以
由
可得
（2）如图所示，能使带电粒子过MN 的最小磁场面积为阴影部分面积
由
即
所以恰好过N 点的带点粒子半径
满足条件的磁场区域的面积为：
解得
（3）带电粒子进入OP 下方的电场区域后做类平抛运动，对恰好过M 点的粒子有
水平方向
竖直方向
解得：
同理
x 轴上有带电粒子打中的区域的长度
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解得
例11、如图所示，在无限长的竖直边界AC 和DE 间，上、下部分分别充满方向垂直于
平面ADEC 向外的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为B0，OF 为上、下磁场的
水平分界线。质量为 m、带电荷量为＋q 的粒子从AC 边界上与O 点相距为a 的P 点垂
直于AC 边界射入上方磁场区域，经OF 上的Q 点第一次进入下方磁场区域，Q 点与O
点的距离为3a。不考虑粒子重力。
(1)求粒子射入时的速度大小；
(2)要使粒子不从AC 边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度大小B1应满足的条件；
(3)若下方区域的磁感应强度B＝3B0，粒子最终垂直 DE 边界飞出，求边界 DE 与AC
间距离的可能值。
解：(1)粒子在OF 上方的运动轨迹如图所示，
设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系可知R2－(R－a)2＝(3a)2，则R＝5a
由牛顿第二定律可知qvB0＝m 解得v＝。
(2)当粒子恰好不从AC 边界飞出时，其运动轨迹如图所示，设粒子在OF 下方做圆周运
动的半径为r1。
由几何关系得r1＋r1cos θ＝3a，cos θ＝，所以r1＝，根据qvB1＝，解得B1＝
故B1≥ 时，粒子不会从AC 边界飞出。
(3)当B＝3B0时，粒子的运动轨迹如图所示，粒子在OF 下方的运动半径为r＝a，设粒
子的速度方向再次与射入磁场时的速度方向一致时，粒子的位置为P1 点，则P 点与
P1 点的连线一定与OF 平行，根据几何关系知 PP1＝4a，所以若粒子最终垂直DE 边
界飞出，边界DE 与AC 间的距离为L＝nPP1＝4na(n＝1，2，3，…)。
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例12、空间存在两个垂直于Oxy 平面的匀强磁场，y 轴为两磁场的边界，磁感应强度
分别为2B0、3B0.甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O 沿x 轴正向射入磁场，速度
均为v.甲第1 次、第2 次经过y 轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示．甲经过Q 时，
乙也恰好同时经过该点．已知甲的质量为m，电荷量为q.不考虑粒子间的相互作用和
重力影响．求：
(1)Q 到O 的距离d；
(2)甲两次经过P 点的时间间隔Δt；
(3)乙的比荷可能的最小值．
解：(1)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r1、r2
由qvB＝m 可知r＝，故r1＝，r2＝且d＝2r1－2r2解得d＝
(2)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别 t1、t2
由T＝＝得t1＝，t2＝
且Δt＝2t1＋3t2解得Δt＝
(3)乙粒子周期性地先后在两磁场中做匀速圆周运动
若经过两磁场的次数均为n(n＝1,2,3，…)
相遇时，有n＝d，n＝t1＋t2解得＝n
根据题意，n＝1 舍去．当n＝2 时，有最小值，()min＝
若先后经过右侧、左侧磁场的次数分别为(n＋1)、n(n＝0,1,2,3，…)，经分析不可能相
遇．
综上分析，乙的比荷的最小值为.
例13、如图，空间存在方向垂直于纸面(xOy 平面)向里的磁场．在x≥0 区域，磁感应
强度的大小为B0；x＜0 区域，磁感应强度的大小为λB0(常数λ＞1)．一质量为m、电荷
量为q(q＞0)的带电粒子以速度v0从坐标原点O 沿x 轴正向射入磁场，此时开始计时，
当粒子的速度方向再次沿x 轴正向时，求：(不计重力)
(1)粒子运动的时间；
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(2)粒子与O 点间的距离．
解：(1)在匀强磁场中，带电粒子做匀速圆周运动．设在x≥0 区域，圆周半径为R1；在
x＜0 区域，圆周半径为R2.由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得
qB0v0＝m①qλB0v0＝m②
设粒子在x≥0 区域运动的时间为t1，则t1＝③
粒子在x<0 区域运动的时间为t2，则t2＝④
联立①②③④式得，所求时间为t＝t1＋t2＝(1＋)⑤
(2)由几何关系及①②式得，所求距离为d＝2(R1－R2)＝(1－)
例14、如图所示，虚线
上方存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为
的匀强
磁场，下方存在方向相同、磁感应强度大小为
的匀强磁场
，虚线
为两磁场
的分界线。
位于分界线上，点
为
的中点。一电子从
点射入磁场，
速度方向与分界线
的夹角为
，电子离开
点后依次经
两点回到
点。
已知电子的质量为
，电荷量为，重力不计，求：
(1)
的值；
(2)电子从射入磁场到第一次回到
点所用的时间。
解：
电子在磁场中的运动轨迹如图所示
设电子在匀强磁场
中做匀速圆周运动的半径分别为
，电子在磁场中做匀速
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圆周运动有
…①
…②
由于最终能回到
点，由几何关系，可得
…③联立①②③，解得
电子在磁场中的运动周期
电子在磁场
中的运动周期
设电子经过三段轨迹的时间分别为
，由几何关系可得
到
的圆心角为
，则
到
的圆心角为
，则
，
到
的圆心角为
，则
电子从射入磁场到第一次回到
点所用的时间为，
联立以上式子，解得
对应题型精炼
1．如图所示，在平面直角坐标系xoy 的y 轴左侧存在沿x 轴正方向的匀强电场，在y
轴的右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，匀强磁场右边界放一竖直的屏，屏与y 轴平
行，且与y 轴间距为2L。电场中有一点A 其坐标为
，从A 点以初速度大小
为
沿y 轴正方向射出一质量为m、电量为q 的正电荷粒子，粒子重力不计。粒子从坐
标原点O 进入磁场并恰好打在屏上的P 点，P 点在x 轴上。求：
（1）粒子在O 点的速度大小以及电场强度的大小；
（2）粒子从A 到P 的运动时间及磁感应强度B 的大小；
（3）保持其它条件不变，改变磁感应强度大小，让磁场在0.5B 到2B 之间变化，粒子
可打到屏的范围；
（4）保持其它条件不变，且保持（2）问的磁感应强度B 不变，并在磁场区再加一个
大小与（1）问中电场强度相等、方向竖直向下的匀强电场（图中未画出），粒子恰好
打在屏上Q 点，Q 点的坐标为
，求粒子打在Q 点时速度方向与水平方向的
21
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夹角。
【答案】（1）
；
；（2）
；
；（3）P 点上下
；
（4）
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动
解得
水平方向由运动学公式可知
解得
（2）A 到O 的运动时间
在磁场中运动时，由几何关系可知轨道半径为
运动时间为
22
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从A 到P 运动的总时间为
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动
解得
（3）当磁感应强度为0.5B 时，带电粒子的运动半径为
分析可得带电粒子将垂直打在屏P 上方的某点，设为M 点，由几何关系可得
当磁感应强度为2B 时，带电粒子的运动半径为
分析可得带电粒子打不到屏。
当粒子轨迹与屏相切时，为屏上的最低点，设为N 点，这时圆的半径为
，由几何关
系
可得
故粒子可打到屏上范围为P 点上下
的范围。
（4）带电粒子从O 点到Q 点，向右为正方向，由水平方向应用动量定理
23
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解得
根据动能定理
解得
粒子打在Q 点时速度方向与水平方向的夹角为
，
解得
2．如图所示，在xOy 坐标系中，x 轴上方有一圆形匀强磁场区域，其圆心为O1（0，
2m）、半径R=2m，磁感应强度大小B=2×10-2，方向垂直于纸面向外。在x 轴下方有匀
强电场，电场强度E=0.2N/C，方向水平向左。在磁场的左侧y=0.5R 处有一带正电、质
量m=4×10-6kg、电荷量q=2×10-2C 的粒子以速度v=2×102m/s 平行于x 轴正方向且垂直
于磁场射入圆形磁场区域。不计粒子的重力。求（结果可用含根号的式子表示）：
（1）粒子在磁场区域运动的轨迹半径r；
（2）粒子在磁场区域运动的时间；
（3）粒子打在y 轴上离原点O 的最远距离d。
【答案】（1）2m；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在磁场区域做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
24
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代入数据解得
（2）依题意，结合上述可知，粒子经过磁场后从原点O 出来，作出轨迹如图所示
由几何关系可得其对应的圆心角
粒子做圆周运动的周期
解得粒子在磁场中运动的时间
解得
（3）粒子经过磁场从原点O 出来后射入第四象限，设粒子射入第四象限的射入时速度
方向与y 轴负方向的夹角为θ，由几何关系得
θ=30°
粒子在第四象限内，x 轴方向做双向匀变速直线运动，y 轴负方向做匀速直线运动。则
有
解得
根据速度公式有
粒子打在y 轴上离原点O 的最远距离
25
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解得
3．如图甲所示，粒子源连续均匀放射出速度
、比荷
带正电
的粒子，带电粒子从平行金属板M 与N 间中线PO 射入电场中，金属板长度
，
间距d＝0.2m，金属板M 与N 间有如图乙所示随时间t 变化的电压
，两板间的电
场可看作是均匀的，且两板外无电场。建立以O 点为原点，向上为y 轴正方向的坐标，
y 轴的右侧分别存在如图甲所示的
，
的磁场，磁场
的宽
度为D，磁场
右侧范围足够大。粒子的重力忽略不计，每个粒子通过电场区域时间
极短，电场可视为不变。求：
（1）t＝0 时刻射入平行金属板的粒子偏移量为多少。
（2）若粒子在t＝0.1s 时刻射入，要使粒子能够回到Q 点需要磁场。
的宽度D 为何
值。
（3）确保所有进入磁场的粒子均不能进入磁场
，求磁场
的宽度D 的最小值及y
轴上所有粒子打到的区间。
【答案】（1）0.1m；（2）
；（3）
，0.2m
【详解】（1）t＝0 时刻射入平行金属板，此时
26
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粒子在电场中做类平抛运动，由平抛运动的规律可得，在水平方向则有
竖直方向则有
其中
联立解得
（2）若粒子在t＝0.1s 时刻射入，此时平行金属板间的电压是零，则有粒子匀速到B1
的磁场，在B1磁场中做匀速圆周运动，然后到B2磁场做匀速圆周运动，又回到B1磁场，
再到Q 点，如图所示，由洛伦兹力提供向心力可得
解得
同理可得
由几何知识可得
27
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联立解得
（3）确保所有进入磁场的粒子均不能进入磁场
，则
取最大值，可知粒子在电
场中做类平抛运动，则有
则有
则有粒子在O 点出电场时的速度大小为
方向与y 轴夹角为45°，进入磁场后，在磁场的运动轨迹如图所示，
粒子在磁场中运动由洛伦兹力提供向心力可得
解得
28
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磁场
的宽度D 的最小值
y 轴上所有粒子打到的区间
4．如图所示，直角坐标系xOy 平面内，y 轴左侧存在垂直于纸面向里的匀强磁场I，
第一象限存在平行于y 轴方向的匀强电场，第四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场
II，磁场I、II 的磁感应强度大小相等．一电子以速度
从x 轴上的N 点
射入磁
场，
与x 轴负方向间的夹角
，经P 点（图中未画出）垂直于y 轴射入电场，
然后从M 点（图中未画出）进入第四象限．已知匀强电场的电场强度大小
，
电子的质量为m、电荷量为e，
，
，不计电子重力．求：
（1）匀强磁场的磁感应强度大小B；
（2）经过M 点时电子的速度大小；
（3）从N 点射出后电子第3 次经过x 轴时的位置横坐标．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由题意得在磁场I 中运动轨迹如下图
29
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圆心在K 点，设在磁场中运动的半径
，由几何关系可知
根据洛伦兹力提供向心力有
解得
（2）进入电场后，电子做类平抛运动，从P 点到M 点的过程中，设沿电场方向运动
距离为y，则
解得
由动能定理有
解得
（3）设垂直于电场力方向的距离为x，电子在电场中的运动时间为t，由类平抛运动规
律有
，
，
解得
30
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由
得
设v 方向与x 轴正方向夹角为
，则
设电子在第四象限中做匀速圆周运动的半径为
，
由洛伦兹力提供向心力有
得
经分析知，电子第1 次经过x 轴上M 点进入第四象限做匀速圆周运动后，第2 次过x
轴进入第一象限做斜抛运动后第3 次经过x 轴得位置坐标
联立以上各式，代入数据得
5．如图，在直角坐标系
的第一象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅰ，第二、
三象限内有沿
轴正方向的匀强电场，第四象限有垂直于坐标平面向里的匀强磁场Ⅱ，
第三象限有一点
。现从
点沿
轴正向以大小为
的初速度射出一个质量
为
、电荷量为
的带电粒子，粒子恰好经过坐标原点
，经过一段时间后在
点由
静止释放另一个完全相同的粒子，两粒子第一次同时到达
轴并发生正碰，碰后两粒
子结合在一起，不计粒子重力，求：
（1）匀强电场的电场强度大小
；
（2）磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小
；
（3）两粒子相碰后结合体再次经过
轴的位置坐标。
31
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【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）设从
点以初速度
射出的粒子为粒子1，在电场中做类平抛运动，则
根据牛顿第二定律
解得
（2）设粒子1 进磁场Ⅰ时速度为
，根据动能定理有
解得
设粒子1 进磁场Ⅰ时速度与
轴的夹角为
，则
解得
设粒子1 在磁场Ⅰ中做圆周运动的半径为
，设磁场Ⅰ的磁感应强度为
，根据牛顿
第二定律有
32
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解得
根据对称性，两粒子碰撞时粒子1 经过
轴时方向与
轴夹角为
，斜向右下。设在
点由静止释放的粒子为粒子2，此粒子进磁场Ⅱ时速度大小为
，根据动能定理
解得
由于粒子2 和粒子1 在
轴上同一位置发生对碰，则两粒子的运动轨迹如图所示。设粒
子2 在磁场Ⅱ中做圆周运动的半径为
，根据几何关系
解得
根据牛顿第二定律有
解得
由几何关系得
解得
33
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（3）设两粒子碰撞后共同速度为
，根据动量守恒
两粒子碰撞后在磁场Ⅱ中做圆周运动的半径
设两粒子结合体再次经过
轴的位置坐标为
，则
即坐标为
6．如图的直角坐标系中，在第一象限
的区域内有磁感应强度为B、垂直纸
面向里的匀强磁场。一厚度不计，长度为8L 的收集板MN 放置在
的平行于x 轴
的直线上，M 点的坐标为
。一粒子源位于P 点，可连续发射质量为m、电荷量
为－q 的粒子（初速度近似为零），粒子经电场加速后沿y 轴进入磁场区域（加速时间
忽略不计）。若收集板上下表面均可收集粒子，粒子与收集板接触后被吸收并导走，
电场加速电压连续可调，不计粒子重力和粒子间的作用力。（已知
，
），求：
（1）加速电场下极板带什么电？若加速电压
，则粒子离开磁场时的x 轴坐
标；
（2）收集板MN 的下表面收集到的粒子在磁场中运动的时间范围；
（3）收集板上表面能收集到粒子区域的x 坐标范围及对应加速电压的范围。
34
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【答案】（1）负电，
；（2）
；（3）
，电
压范围
【详解】（1）电荷量为－q 的粒子（初速度近似为零），粒子经电场加速后沿y 轴进
入磁场区域，受电场力向上，所以下极板带负电；由题意知
由
，
得半径
根据几何关系可知，粒子离开x 轴坐标为
。
（2）粒子的运动周期
粒子到达M 点的运动时间为最短时间，由
解得
根据几何关系
35
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，
解得
如图所示为打在下板最长时间对应轨迹，易得
故收集板MN 的下表面收集到的粒子运动的时间范围为
（3）打到上极板面，存在两个临界情况：如图轨迹所示，与收集板左端点相交，上极
板粒子达到的最近点F，由几何关系
得
所以
36
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如图轨迹，与磁场上边界相切，上极板粒子达到的最远点G，轨迹半径
则
解得
上表面粒子收集到的区域为
由
及
得
又
代入得
37
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7．如图所示，平面直角坐标系第一象限内有竖直向下的匀强电场，第四象限内有垂直
纸面向里的匀强磁场，一不计重力的正电荷
以大小为
的初速度从A 点
沿
轴正方向射入，经电场偏转后恰能打到
点
，另一相同电荷以
的初速度仍
从A 点同向射入，第二次到达
轴时也恰好到
点，求：
（1）电场强度
；
（2）另一电荷刚进入磁场时的速度；
（3）磁感应强度
。
【答案】（1）
；（2）
，与
轴正方向成
角；（3）
【详解】（1）正电荷在电场中做类平抛运动，
轴方向有
轴方向有
又因为
38
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联立解得电场强度大小为
（2）另一相同电荷以
的初速度仍从A 点同向射入，在电场中沿
轴方向有
电荷离开电场时，沿
轴方向分速度为
则电荷进入磁场时的速度大小为
进入磁场时速度与
轴夹角为
，则有
解得
（3）电荷在磁场中，由洛伦兹力提供向心力得
由几何关系可得
解得
联立解得磁感应强度为
8．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，第二象限内有沿y 轴负方向的匀强电场，第
三象限内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。M、N 两平行金属
板之间的电压为U，一质量为m、电荷量为q 的带正电粒子从靠近N 板的S 点由静止
开始加速，从y 轴上的A 点垂直于y 轴射入电场，经x 轴上的C 点与x 轴负方向成
θ=60°角射入磁场，最后从y 轴上的D 点垂直于y 轴射出磁场，粒子重力不计。求：
（1）粒子在A 点射入电场速度v0的大小；
（2）A、C 两点间的电势差UAC和粒子在磁场中运动的轨道半径r；
39
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（3）粒子从A 到C 的时间t1和从C 到D 的时间t2之比。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）设粒子在A 点射入磁场的速度大小为v0，由动能定理得
解得
（2）设粒子过C 点时速度为v，有
得
粒子从A 到C，有
解得
如答图所示
40
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粒子在磁场中以
为圆心做匀速圆周运动，半径为r，有
得
（3）由几何关系得
粒子在电场中运动的时间t1，有
解得
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
粒子在磁场中运动的时间t2，有
解得
则粒子从A 到C 的时间和从C 到D 的时间之比为
41
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9．某同学设计的某种质谱仪原理如图所示，图中两圆为共轴的两金属圆筒的截面，两
圆筒间存在沿半径方向的辐向电场，各处场强大小相等，电势差U 未知，且电势差与
电场中两点沿半径方向的距离成正比，小圆筒内有垂直纸面向外的匀强磁场，其壁上
开有两条狭缝a、b，两狭缝与圆心O 连线的夹角为120°。已知小圆筒半径为R，大圆
筒半径为2R，磁感应强度为B。让比荷为k 的粒子从O、a 连线延长线与大圆筒内壁交
点处由静止释放，加速进入小圆筒，然后从狭缝b 飞出，和大圆筒内壁碰撞后再次进
入磁场，并返回狭缝a 做周期性运动。并且粒子与两圆筒内壁的碰撞均为弹性碰撞，
碰后速度大小不变，方向立刻反向，不计粒子重力，不考虑碰撞过程经历的时间，求：
（1）两圆筒间的电势差；
（2）粒子从O、a 连线延长线与大圆筒内壁交点出发到再次返回该点的时间。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据动能定理有
设粒子运动的轨迹半径为r，根据几何关系有
又
根据洛伦兹力提供向心力有
又比荷为
42
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联立解得
（2）根据
可得
粒子在磁场中的运动时间
粒子从辐向电场中匀加速进入磁场，由电势差与电场中两点沿半径方向的距离成正比，
得电场强度
由牛顿第二定律可得
由
可得
则粒子在电场中的运动时间
运动得总时间
解得
10．如图所示，水平虚线的上方有竖直向上的匀强电场和匀强磁场（方向未知），虚
线下侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，虚线上下两侧磁感应强度大小相等。一带负电
的粒子由竖直虚线上的
点以水平向右的速度
射入，该粒子刚好沿直线向右运动，
43
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现将虚线上方的匀强磁场撤走，粒子仍从
点以速度
沿原方向射入，粒子由水平虚
线的
点离开电场，且粒子在
点的动能为
点动能的2 倍，经过一段时间粒子再次
回到
点。已知
，忽略粒子的重力。求：
（1）
点到
点的距离；
（2）上述过程中，粒子轨迹上的点到
点的最大距离；
（3）粒子由
点射入到返回
点的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设粒子在
点的动能为
，则粒子在
点的动能为
则有
解得粒子在
点的速度为
粒子在竖直方向上的速度
粒子在电场中做类平抛运动，水平方向上
竖直方向上
，
联立解得
（2）撤去虚线上方的磁场前，粒子在上侧做匀速直线运动，由平衡条件得
44
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解得
由题意作出撤去上方磁场后粒子的轨迹，如图所示
粒子在电场中运动时有，沿竖直方向有
，
沿水平方向有
磁场中运动时，有
联立解得
粒子进入磁场时的速度与水平虚线的夹角为
，又
，故轨迹圆的圆心在
竖直虚线上，则
则粒子在磁场中运动时与
的最大距离为
（3）粒子从
运动到
的时间
45
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根据对称性可知，粒子在电场中运动的总时间为
粒子在磁场中运动的时间为
又
联立解得
故粒子从
点射入到返回
点的总时间为
11．如图所示，在
平面内，有两个半圆形同心圆弧，与坐标轴分别交于
、
、
点和
、
、
点，其中圆弧
的半径为
。两个半圆弧之间的区域内分布着辐射
状的电场，电场方向由原点
向外辐射，其间的电势差为
。圆弧
上方圆周外区
域，存在着上边界为
的垂直纸面向里的足够大匀强磁场，圆弧
内无电场和
磁场。
点处有一粒子源，在
平面内向
轴上方各个方向，射出质量为
、电荷
量为
的带正电的粒子，带电粒子射出时的速度大小均为
，被辐射状的电场加
速后进入磁场，不计粒子的重力以及粒子之间的相互作用，不考虑粒子从磁场返回圆
形区域边界后的运动。
（1）求粒子被电场加速后的速度；
（2）要有粒子能够垂直于磁场上边界射出磁场，求磁场的磁感应强度的最大值
；
（3）当磁场中的磁感应强度大小为第（2）问中
的
时，求能从磁场上边界射出粒
子的边界宽度
。
46
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）带电粒子进入电场中，在电场加速过程中，由动能定理有
解得
（2）粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力充当向心力，有
可得
粒子垂直上边界射出磁场，则粒子轨迹圆的圆心必然在上边界线上，且根据几何关系，
轨迹圆圆心到坐标原点的距离d 满足
如图所示
当
时，轨道圆半径有最小值
此时磁感应强度有最大值
47
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（3）当磁感应强度
时，粒子运动圆半径
如图所示
①粒子轨迹圆与上边界相切时，粒子运动到最左边，有
②当粒子轨迹圆与上边界的交点、运轨迹圆圆心以及坐标原点
点三点共线时，粒子
打在最右边，此时有
解得
可知粒子能从磁场上边界射出粒子的边界宽度为
12．如图所示，光滑绝缘水平桌面内
一侧有垂直于
的匀强电场，另一侧有竖
直向下的匀强磁场，磁感应强度大小
。某时刻自距
为
的
点沿平行于
方向抛出一带电荷量为
的小球，初速度为
，经时间
首次
到达
，小球的质量
。求：
（1）匀强电场的电场强度大小
；
（2）小球第二次通过
时距
点的水平距离
。
48
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）对小球受力分析
又沿电场线方向
解得
（2）刚进磁场时小球水平方向的位移
垂直于
方向速度
解得
所以小球速度为
与
夹角为
，之后小球进入磁场做圆周运动
解得
由几何关系知：第二次通过
时小球距
点的水平距离为
13．如图所示，在竖直面Oxy 内，第一象限中存在水平向左的匀强电场，第三、四象
49
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限中存在垂直纸面向里的匀强磁场，在直线
的下方存在竖直向上的匀强电场。
现将一个质量为
带正电的小球，从坐标为
的
点沿x 轴正方向水平抛出，恰好
从坐标为
的
点竖直落入一固定的竖直粗糙细管中。已知小球与细管的动摩擦因
数为
，细管长为，小球离开细管前已做匀速运动，匀强磁场磁感应强度大小为
，
匀强电场强度大小均为
，小球初速度未知，重力加速度为
。求：
（1）小球所带电荷量；
（2）小球在竖直细管中克服摩擦力所做的功；
（3）小球离开细管后，撤去细管与第一象限的电场，求之后小球运动过程中纵坐标的
最小值。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）在第一象限的运动过程中，
轴方向做匀减速直线，末速度为0。由逆
向思维可得
轴方向做自由落体
可得
，
（2）由自由落体公式可得，小球从
点进入细管时，速度
小球离开细管时已匀速，由受力分析可得
50
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解得
由动能定理可得
小球在竖直细管中克服摩擦力所做的功
（3）离开细管进入叠加场区域后
小球将在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，圆周半径
小球第一次在叠加场区域中到达的最低点纵坐标为
之后由于能量守恒，小球每次进入叠加场区域的速度方向未知，但速度大小不变，圆
周运动半径不变。小球在之后运动过程中，纵坐标的最小值仍为
14．如图所示，在
的空间中存在匀强电场，场强沿y 轴负方向：在
的空间
中，存在匀强磁场，磁场方向垂直
平面（纸面）向外。一电荷量为q、质量为m
的带正电的运动粒子，经过y 轴上
处的点
时速率为
，方向沿x 轴正方向；然
后，经过x 轴上
处的
点进入磁场，并经过y 轴上
处的
点。不计重力。
求：
（1）电场强度的大小；
（2）粒子到达
时的速度；
（3）磁感应强度的大小。
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【答案】（1）
；（2）
，方向与x 轴成45°角指向右下方；（3）
【详解】（1）粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图所示
设粒子从P1运动到P2的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，
由牛顿第二定律得
qE = ma
根据运动学公式得
2h =v0t
h =
at2
联立以上解得
（2）粒子到达P2时速度沿x 方向速度分量为v0，以v1为速度沿y 方向速度分量的大小，
v 表示速度的大小，θ 为速度与x 轴的夹角，则有
由图可得
θ = 45°
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有
v1 = v0
联立以上各式解得
方向与x 轴成45°角指向右下方。
（3）设磁场的磁感应强度为B，在洛伦兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二
定律可得
r 是圆周的半径，与x 轴、y 轴的交点为P2、P3，由几何知识可知，连线P2P3为圆周的
直径，由几何关系可求得
联立解得
15．测定比荷是研究带电粒子和物质结构的重要方法，有一测量装置可以简化为如图
所示，MN 两极板间存在电压为U 的加速电场，初速度为0 且不计重力的带电粒子S 从
M 板经加速电场加速，经y 轴上的
点以某一速度垂直于y 轴射入第一象限的
匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B，沿与x 轴负方向成60°的方向射出第一象限。
（1）求该粒子的比荷（电荷量q 与质量m 之比）。
（2）求粒子在磁场中运动时速度v 的大小和粒子穿过第一象限所用的时间t。
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）根据粒子受洛伦兹力的方向可以判断粒子带正电，做出带电粒子做圆周
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运动的圆心和轨迹如图所示，由图中几何关系知
根据牛顿第二定律
得
（2）电场对电荷的加速
得
结合（1）中结论解得
粒子运动的周期
根据几何关系可知，粒子运动的时间
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