文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
专题强化十八 动态圆
学习目标 1.进一步理解带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题。 2.会用
“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”找出对应的临界状态或极值的轨迹。 3.理解
“磁聚焦”和“磁发散”模型。
考点一 “平移圆”模型
适用条件
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直
线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运
动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图
所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，
该直线与入射点的连线平行
界定方法
将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，
这种方法叫“平移圆”法
例1 如图1 所示，在xOy 平面的Ⅰ 、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R 的半圆
形匀强磁场，线状粒子源从y 轴左侧平行于x 轴正方向不断射出质量为m、电荷
量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面
xOy 向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进
入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为( )
图1
A.
B.
C.
D.
答案 C
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝m，解得r＝2R，如图所示，当
粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，
由于sin α＝，要使圆心角α 最大，FE 最长，经分析可知，当粒子从y 轴上的D′
点射入、从x 轴上的E′点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin αm
＝，解得αm＝，从D′点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长，且tm＝·，解
得tm＝，故C 正确。
考点二 “旋转圆”模型
适用
条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，
它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则
圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示
轨迹圆
圆心共
圆
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、
半径R＝的圆上
界定方
法
将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，
这种方法称为“旋转圆”法
例2 (多选)如图2 所示，在直角坐标系xOy 第一象限内x 轴上方存在磁感应强度
大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y 轴上S 处有一粒子源，它可向右
侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m、电荷量大小均为q 的同种带
电粒子，所有粒子射出磁场时离S 最远的位置是x 轴上的P 点。已知粒子带负电，
OP＝OS＝d，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则( )
图2
A.粒子的速度大小为
B.从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为
C.从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9∶2
D.沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O 点的距离为
答案 AC
解析 粒子射出磁场时离S 最远的位置是x 轴上的P 点，可以画出其轨迹1，可
知SP 为直径，由几何关系得(2R)2＝d2＋(d)2，得到R＝d，由洛伦兹力提供向心
力得qvB＝则v＝，故A 正确；运动周期T＝，由几何知识可得，从O 点射出的
粒子的运动轨迹如轨迹3，轨迹所对的圆心角为60°，在磁场中的运动时间t＝T
＝，故B 错误；从x 轴上射出磁场的粒子运动时间最长时运动轨迹与x 轴相切的
粒子(轨迹2)，对应的圆心角为270°，得t1＝T，运动时间最短的粒子为从原点飞
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
出的粒子(轨迹3)，运动时间为t2＝T，所以＝，故C 正确；沿平行x 轴正方向射
入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为四分之一圆，离开磁场时的位置到O 点
的距离为d，故D 错误。
考点三 “放缩圆”模型
适用条件
粒子源发射初速度方向一定，大小不同的粒子，在磁场中做匀
速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心
共线
带正电粒子速度v 越大，运动半径也越大。运动轨迹的圆心在
垂直初速度方向的直线PP′上
界定方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹
圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
例3 (多选)如图3 所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O
点是cd 边的中点。若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O 点沿纸面以垂直于
cd 边的某一速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c 点射出磁场。现设法使该带
电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向，以各种不同的速率射入正方形内，
那么下列说法正确的是( )
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
图3
A.该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场
B.若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
C.若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0
D.若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是t0
答案 AD
解析 由带电粒子以垂直于cd 边的某一速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c
点射出磁场，可知带电粒子的运动周期T＝2t0。该粒子从O 点以与Od 成30°角
的方向射入磁场，随着粒子速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由
图可知粒子在四个边射出时，射出范围分别为OG、FE、DC、BA 之间，不可能
从四个顶点射出，故A 正确；由图可知，从ab 边射出的粒子所用时间不可能为
t0，从bc 边射出的粒子所用时间不超过T＝，所有从cd 边射出的粒子圆心角都是
300°，所用时间为＝，故B、C 错误，D 正确。
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
考点四 “磁聚焦”与“磁发散”模型
磁发散
磁聚焦
带电粒子从圆形有界匀强磁场
边界上同一点射入，如果轨迹
半径与磁场半径相等，则粒子
出射方向与入射点的切线方向
平行
带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，
如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子
从磁场边界上同一点射出，该点切线方
向与入射方向平行
例4 (多选)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原
理运用到薄膜材料制备上，使芯片技术得到飞速发展。如图4，宽度为r0的带正
电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，
这些带电粒子都将从磁场圆上O 点进入正方形区域，正方形过O 点的一边与半
径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇
聚到O 点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不
考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是( )
图4
A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里
B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直纸面向里
C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2)r
D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为r
答案 BC
解析 根据磁聚焦原理，粒子在半径为r0的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
迹半径为r0，有qvB0＝m，解得B0＝，要使汇聚到O 点的粒子经正方形区域内的
磁场偏转后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示，由几
何关系可知粒子在正方形区域磁场中的轨迹半径2r0，正方形中磁场区域内应该
为圆形磁场的一部分，有qvB1＝m，解得B1＝＝B0，由左手定则可知，方向垂直
纸面向里，A 错误，B 正确； 如图所示，磁场区域的最小面积为Smin＝2(π－
2)r，C 正确，D 错误。
(多选)如图5 所示，扇形区域AOB 内存在有垂直平面向里的匀强磁场，OA 和OB
互相垂直是扇形的两条半径，一个带电粒子从A 点沿AO 方向进入磁场，从B 点
离开，若该粒子以同样的速度从C 点平行于AO 方向进入磁场，则( )
图5
A.粒子带正电
B.C 点越靠近B 点，粒子偏转角度越大
C.C 点越远离B 点，粒子运动时间越短
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
D.只要C 点在AB 之间，粒子仍然从B 点离开磁场
答案 AD
解析 由题意，粒子从A 点进入磁场从B 点离开，由左手定则可知粒子带正电，
故A 正确；由题意知当粒子从A 点入射时，从B 点离开磁场，则粒子做圆周运
动的半径等于磁场圆弧区域的半径，根据磁聚焦的原理，当入射方向平行时，这
些粒子将从同一点射出，如图所示，从点A、C、C1、C2以相同的方向进入磁场，
则这些粒子从同一点B 射出，从图中看出，C 点越靠近B 点，偏转角越小，时间
越短，离B 点越远，偏转角越大，时间越长，故D 正确，B、C 错误。
1.(多选)如图1 所示，等腰直角三角形区域分布有垂直纸面向里的匀强磁场，腰
长AB＝2 m，O 为BC 的中点，磁感应强度B＝0.25 T，一群质量m＝1×10－7
kg，电荷量q＝－2×10－3 C 的带电粒子以速度v＝5×103 m/s 垂直于BO，从
BO 之间射入磁场区域，带电粒子不计重力，则( )
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
图1
A.在AC 边界上有粒子射出的长度为(－1)m
B.C 点有粒子射出
C.在AB 边界上有粒子射出的长度为1 m
D.磁场中运动时间最长粒子从底边距B 点(－1)m 处入射
答案 ACD
解析 粒子在磁场中偏转，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，粒子在磁场
中运动的轨道半径为R＝＝ m＝1 m，作出粒子在磁场中的运动轨迹图，如图所
示。由图可知，能从AC 边射出的粒子长度为DE＝R－R＝(－1)m，故A 正确；
粒子不可能到达C 点，故B 错误；由图可知，在AB 边界上有粒子射出的长度为
BF＝R＝1 m，故C 正确；磁场中运动时间最长粒子运动半个圆周，轨迹与AB、
AC 相切，由图可知从底边距B 点(－1)m 处入射，故D 正确。
2.如图2 所示，在x 轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，
磁感应强度大小为B。在原点O 有一个离子源向x 轴上方的各个方向发射出质量
为m、带电荷量为q 的正离子，速率都为v。对那些在xOy 平面内运动的离子，
在磁场中可能到达的位置中离x 轴及y 轴最远距离分别为( )
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
图2
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 若让沿x 轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O 点缓慢转动(如图所示)，不难
得出离y 轴最远为|x|＝2r＝，离x 轴最远为y＝2r＝，所以A 项正确。
3.(多选)如图3 所示，在一等腰直角三角形ACD 区域内有垂直纸面向外的匀强磁
场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子(重力
不计)从AC 边的中点O 垂直于AC 边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角
边长均为2l，则下列关于粒子运动的说法正确的是( )
图3
A.若该粒子的入射速度v＝，则粒子一定从CD 边射出磁场，且距点C 的距离为
l
B.若要使粒子从CD 边射出，则该粒子从O 点入射的最大速度应为v＝
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
C.若要使粒子从CD 边射出，则该粒子从O 点入射的最大速度应为v＝
D.当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为
答案 ABD
解析 若粒子射入磁场时速度v＝，则由qvB＝可得r＝l，由几何关系可知，粒
子一定从CD 边上距C 点为l 的位置离开磁场，A 项正确；因为r＝，所以v＝，
因此，粒子在磁场中运动的轨迹半径越大，速度就越大，由几何关系可知，当粒
子在磁场中的运动轨迹与三角形的AD 边相切时，粒子的速度是从CD 边射出的
最大速度，此时粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r＝(＋1)l，故其最大速度v
＝，B 项正确，C 项错误；粒子在磁场中的运动周期T＝，故当粒子从三角形的
AC 边射出时，粒子在磁场中运动的时间最长，此时粒子做圆周运动的圆心角为
180°，故最长时间t＝，D 项正确。
4.(多选)(2024·湖南娄底高三联考)如图4 所示，坐标原点O 有一粒子源，能向坐
标平面一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q 的正粒子(不计重力)，所有
粒子速度大小相等。圆心在(0，R)，半径为R 的圆形区域内，有垂直于坐标平面
向外的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场右侧有一点，已知初速度沿y 轴正向的
粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿x 轴的正方向，则( )
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
图4
A.初速度方向与x 轴夹角为120°的粒子经过A 点
B.初速度方向与x 轴夹角为135°的粒子经过A 点
C.经过A 点的粒子在磁场中运动时间为
D.经过A 点的粒子在磁场中运动时间为
答案 AC
解析 初速度沿y 轴正向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿x 轴的正方向，
则粒子的轨道半径r＝R，由qvB＝，可得粒子轨道半径都为R；结合题意和几何
关系可知，平面一、二象限射入的粒子从磁场射出时，速度一定沿x 轴正方向，
经过A 点的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，根据几何关系有R＋Rsin(α－
90°)＝R，解得α＝120°，故A 正确，B 错误；该粒子在磁场中的运动时间为t＝
×＝，故C 正确，D 错误。
5.如图5 所示，宽为d 的混合粒子束由速率为3v、4v、5v 的三种带正电的离子组
成。所有离子的电荷量均为q、质量均为m，当三种速率的离子水平向右进入匀
强磁场，磁场方向垂直纸面向外。在入口外，紧靠粒子束的下边缘竖直放置一个
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
长度为2d 的薄吞噬板MN。忽略离子重力及离子间相互作用，若使这些离子都
能打到吞噬板MN 上，则磁感应强度大小的取值范围是( )
图5
A.<B<
B.<B<
C.<B<
D.<B<
答案 C
解析 由分析可知，粒子束上边缘进入速率为v1＝3v 的离子到达吞噬板上边缘
时，半径最小，磁感应强度最大，根据qv1B1＝，由几何关系得R1＝，可得B1
＝；粒子束下边缘进入速率为v2＝5v 的离子到达吞噬板下边缘时，半径最大，
磁感应强度最小，此时qv2B2＝m，R2＝d，得B2＝，所以磁感应强度大小的取值
范围为<B<，故C 正确，A、B、D 错误。
6.(2024·浙江温州模拟)如图6 所示，竖直平面内有一xOy 平面直角坐标系，第一、
四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为B(B 未知)。坐
标原点O 处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀地
辐射出质量为m、电荷量为q 的正离子。在y 轴上固定一能吸收离子的收集板
MN，M 点坐标为(0，a)，N 点坐标为(0，2a)，当辐射的离子速率为v0时离子打
在收集板上的位置最远到N 点，最近到M 点。不计离子的重力及离子间的相互
作用的影响，求：
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
图6
(1)恰好打到M 点的离子在磁场中运动的时间；
(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例。
答案 (1)或 (2)
解析 (1)由题意可知，沿x 轴正方向出射的离子，经半圆到达N 点，由此可得r
＝a，可知通过M 点的离子有两个出射方向，如图甲，一个轨迹转过的圆心角为
60°，即t1＝T，另一个轨迹转过的圆心角为300°，即t2＝T，离子做匀速圆周运
动，周期T＝，即T＝，解得t1＝，t2＝。
(2)如图乙所示，由动态圆分析结果可知，能打到收集板上的离子分布在速度方
向与x 轴正方向成60°角的范围内，因为放射源均匀打出离子，因此打到收集板
上的离子数占辐射总数的比例为＝。
7.电子质量为m、电荷量为e，从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限，射入
时速度方向不同，速度大小均为v0，如图7 所示。现在某一区域加一方向向外且
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过该磁场后都能垂
直射到荧光屏MN 上，荧光屏与y 轴平行，求：
图7
(1)荧光屏上光斑的长度；
(2)所加磁场范围的最小面积。
答案 (1) (2)
解析 (1)如图所示，初速度沿x 轴正方向的电子，沿弧OB 运动到P 点，为荧光
屏上光斑的最高点，初速度沿y 轴正方向的电子，沿弧OC 运动到Q 点，为荧光
屏上光斑的最低点，电子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
ev0B＝m
解得R＝
光斑长度PQ＝R＝。
(2)所加磁场的最小面积是以O′为圆心、R 为半径的圆的一部分，如图中阴影部
分所示，其面积大小
S＝πR2＋R2－πR2＝。
8.如图8 所示，正方形区域abcd 内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O 点沿与ab 边成37°角的方向以不同的初速度v0
射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m、电荷
量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
图8
(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若带电粒子从ad 边离开磁场，求v0的取值范围。
答案 (1) (2)≤v0<
解析 (1)粒子从ab 边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示，
有qv0B＝，
又T＝，解得T＝
又由几何关系得θ＝74°，则粒子在磁场中运动的最长时间
t＝T＝。
(2)当粒子轨迹与ad 边相切时，如图乙所示，设此时初速度为v01，轨道半径为
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
R1，
由几何关系可得R1＋R1sin 37°＝0.4l
又qv01B＝
解得v01＝
当粒子运动轨迹与cd 边相切时，如图丙所示，设此时初速度为v02，轨道半径为
R2
由几何关系可得R2＋R2cos 37°＝l
又qv02B＝，解得v02＝
综上可得≤v0<。
17
