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专题强化二 追及相遇问题
学习目标 1.会分析追及相遇问题，掌握追及相遇问题的分析方法和技巧。 2.熟
练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇问题。
追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。追
及相遇问题的基本物理模型：以甲追乙为例。
1.二者距离变化与速度大小的关系
(1)无论v 甲增大、减小或不变，只要v 甲<v 乙，甲、乙的距离就不断增大。
(2)若v 甲＝v 乙，甲、乙的距离保持不变。
(3)无论v 甲增大、减小或不变，只要v 甲>v 乙，甲、乙的距离就不断减小。
2.解答追及相遇问题的三种方法
情境分
析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘
题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的情境图
图像分
析法
将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一坐标系
中，然后利用图像分析求解相关问题
函数判
断法
设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于位移x 与时间t 的函数关
系，由此判断两物体追及或相遇情况
角度
情境分析法
例1 (2024·山东泰安期中)A、B 两车沿同一直线向同一方向运动，A 车的速度vA
＝4 m/s，B 车的速度vB＝10 m/s。当B 车运动至A 车前方L＝7 m 处时，B 车刹
车并以a＝－2 m/s2的加速度开始做匀减速直线运动。求：
(1)从该时刻开始计时，A 车追上B 车需要的时间；
(2)在A 车追上B 车之前，二者之间的最大距离。
答案 (1)8 s (2)16 m
解析 (1)假设A 车追上B 车时，B 车还没停止运动，设t′时间内A 车追上B 车，
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如图所示。根据题意，A 车追上B 车，需要通过位移xA＝xB＋L
A 车的位移是xA＝vAt′
B 车的位移是xB＝vBt′＋at′2
联立解得t′＝7 s
但B 车停下来所用时间tB＝＝ s＝5 s
比较t′和tB可知，A 车是在B 车停止运动后才追上B 车的，因此7 s 不是A 车追上
B 车的时间，设A 车追上B 车的时间为t，即xA＝vAt
B 车实际运动时间应为tB，即xB＝vBtB＋at
联立解得t＝8 s。
(2)在A 车追上B 车之前，当二者速度相等时，二者之间有最大距离Δxmax，设此
时两车运动时间为t0，有vA＝vB＋at0
代入数据解得t0＝3 s
则此时A 的位移xA′＝vAt0
B 的位移xB′＝vBt0＋at
故二者之间的最大距离Δxmax＝xB′＋L－xA′
联立解得Δxmax＝16 m。
2
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方法总结
1.情境分析法的基本思路
2.特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停
止运动。
1.甲、乙两物体在两地同时同向出发做匀加速直线运动，出发时甲的初速度为2
m/s，乙的初速度为1 m/s，运动时甲的加速度为2 m/s2，乙的加速度为4 m/s2，
已知甲、乙在2 s 时恰好相遇，下列说法正确的是( )
A.从出发到相遇，甲的位移为6 m
B.在2 s 后，若甲、乙保持加速度不变，则会再次相遇
C.甲与乙出发地之间的距离为4 m
D.相遇之前，甲与乙在t＝0.5 s 时相距最远
答案 D
解析 由x＝v0t＋at2可得甲从出发到相遇的位移为8 m，A 错误；2 s 相遇时甲的
速度由v＝v0＋at 可得v 甲＝6 m/s，同理可得v 乙＝9 m/s，又乙的加速度大于甲，
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可知2 s 后乙的速度始终大于甲，不会再次相遇，B 错误；由x＝v0t＋at2可得从
出发到相遇甲、乙的位移分别为x 甲＝8 m，x 乙＝10 m，则甲与乙出发地之间的
距离为x 乙－x 甲＝2 m，C 错误；分析可知甲、乙速度相等的时刻相距最远，由v
甲0＋a 甲t＝v 乙0＋a 乙t，可得t＝0.5 s 时甲、乙相距最远，D 正确。
角度
图像分析法
例2 (多选)(2024·江西景德镇模拟)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一
方向沿直线运动，它们的v－t 图像如图1 所示。下列判断正确的是( )
图1
A.乙车启动时，甲车在其前方25 m 处
B.乙车超过甲车后，两车有可能第二次相遇
C.乙车启动15 s 后正好追上甲车
D.运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 m
答案 CD
解析 根据v－t 图像中图线与时间轴包围的面积表示位移，可知乙在t＝10 s 时
启动，此时甲的位移为x＝×10×10 m＝50 m，即甲车在乙前方50 m 处，故A 错
误；乙车超过甲车后，由于乙的速度大，所以不可能再相遇，故B 错误；由于
两车从同一地点沿同一方向沿直线运动，设甲车启动t′两车位移相等两车才相遇，
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有×20＝×10，解得t′＝25 s，即乙车启动15 s 后正好追上甲车，故C 正确；当两
车的速度相等时相距最远，最大距离为Δx＝×(5＋15)×10 m－×10×5 m＝75
m，故D 正确。
方法总结
方法
基本思路
数理
转换
定量画图时，需根据物体在不同阶段的运动情况，通过定量计算分阶
段、分区间作出x－t 图像或v－t 图像等；或根据已知的运动图像分析物
体的运动情况
用图
利用图像中斜率、面积、截距、交点等的含义进行定性分析或定量计
算，进而解决相关问题
2.甲、乙两辆小车(视为质点)在一条平直公路上做直线运动，两车运动的x－t 图
像如图2 所示。已知两图像均为抛物线，t1＝4 s 时，甲的图像的切线与时间轴平
行，t2＝6 s 时甲、乙图像相切，下列说法正确的是( )
图2
A.0～4 s 内，甲做正向匀减速直线运动
B.甲的加速度为－2 m/s2
C.甲、乙相遇时，乙的速度为2 m/s
D.5 s 时乙的速度为12 m/s
答案 D
解析 x－t 图像的切线斜率表示物体的速度，由图像可知，0 时刻甲图像的切线
斜率为负，则甲的初速度为负，t1＝4 s 时甲图像的切线斜率为0，则速度为0，
即0～4 s 内，甲的速度沿负方向减小，又x－t 图像为抛物线，则可知甲做负向
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匀减速直线运动，A 错误；0～4 s 内，甲的位移为x 甲1＝4 m－20 m＝－16 m，
由逆向思维可得－x 甲1＝a 甲t，解得a 甲＝2 m/s2，B 错误；t2＝6 s 时甲、乙的图
像相切即相遇，此时速度相等设为v，4～6 s 内，甲的位移为x 甲2＝8 m－4 m＝4
m，由平均速度的定义可得x 甲2＝(t2－t1)，解得v＝4 m/s，C 错误；设t＝5 s 时乙
的速度为v0，同理可得x 乙＝，由图像可得x 乙＝8 m，解得v0＝12 m/s，D 正确。
角度
函数分析法
函数分析法的解题技巧——在匀变速运动的位移表达式中有时间的二次方，可列
出位移方程，利用二次函数求极值的方法求解。
例3 (2024·天津一中模拟)一汽车在直线公路上以54 km/h 的速度匀速行驶，突然
发现在其正前方14 m 处有一辆自行车以5 m/s 的速度同向匀速行驶。经过0.4 s
的反应时间后，司机开始刹车，则：
(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
(2)若汽车刹车时的加速度只为4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定
的加速度加速，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
答案 (1)5 m/s2 (2)1 m/s2
解析 (1)设汽车的加速度大小为a，初速度v 汽＝54 km/h ＝15 m/s，初始距离d
＝14 m
在经过反应时间0.4 s 后，汽车与自行车相距
d′＝d－(v 汽－v 自)t′＝10 m
从汽车刹车开始计时，自行车的位移为x 自＝v 自t
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汽车的位移为x 汽＝v 汽t－at2
假设汽车能追上自行车，此时有x 汽＝x 自＋d′
代入数据整理得at2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程最多只有一个解，即得
Δ＝102－20a≤0
解得a≥5 m/s2，则汽车的加速度至少为5 m/s2。
(2)设自行车的加速度为a′，同理可得
x 汽′＝x 自′＋d′
其中x 汽′＝v 汽t－at2，x 自′＝v 自t＋a′t2
整理得(a′＋2)t2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程最多只有一个解，即得
Δ＝102－20a′－80≤0
解得a′≥1 m/s2，则自行车的加速度至少为1 m/s2。
函数分析法讨论相遇问题的思路
设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx 与时间t 的二次
函数关系，Δx＝0 时，表示两者相遇。若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
若Δ＝0，即有一个解，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，无解，说明追不上或不
能相遇。当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大值或最小值。
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A 级 基础对点练
1.一辆轿车在平直公路的一条车道上以72 km/h 的速度匀速行驶，突然发现其正
前方120 m 处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动，若轿
车刹车过程的加速度大小为a＝1 m/s2，两车相距最近时，距离为22 m，忽略司
机的反应时间，则货车的速度大小为( )
A.21.6 km/h
B.18 km/h
C.16 km/h
D.12 km/h
答案 A
解析 轿车速度为v 轿＝72 km/h＝20 m/s，设货车速度为v 货，当二者速度相等时，
距离最近，有t＝，t＋22 m＝v 货t＋120 m，解得v 货＝6 m/s＝21.6 km/h，故A 正
确，B、C、D 错误。
2.两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后同向匀速行驶，速度均为v0，若前
车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹
车。已知每辆车在刹车过程中所行驶的距离均为s，若要保证两车在上述情况中
不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少为( )
A.s
B.2s
C.3s
D.4s
答案 B
解析 两辆完全相同的汽车，刹车时加速度相同，刹车位移也相同，均为s，设
加速度大小为a，前车刹车的时间为t＝，刹车位移为s＝，在此时间内，后车做
匀速运动，位移为x＝v0t＝，所以x＝2s，此后，后车刹车，刹车位移也为s，要
保持两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少为Δx＝x＋
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s－s＝x＝2s，故选项B 正确，A、C、D 错误。
3.自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽
车。某次自动驾驶汽车以恒定的加速度启动，同时一辆货车以恒定速度从其旁边
驶过，自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，则下列图像正确的是
( )
答案 D
解析 v－t 图像的斜率表示加速度，由于自动驾驶汽车以恒定加速度启动，则自
动驾驶汽车加速时的v－t 图线为直线，A 错误；v－t 图线与t 轴围成的面积表示
位移，B 项中t0时刻自动驾驶汽车刚好达到最大速度，且由图像中几何关系可知
此时两车位移相等，则自动驾驶汽车与货车相遇时刚好达到最大速度，B 错误；
x－t 图像的斜率表示速度大小，图线交点表示两车位移相同，C 项中自动驾驶汽
车与货车相遇时其速度还未达到最大，C 错误；D 项中两车x－t 图线交点表示两
车再次相遇，且自动驾驶汽车在再次相遇之前已经达到最大速度，D 正确。
4.甲、乙两物体在同一水平路面上同向运动，t＝0 时刻两物体从同一位置开始运
动，其速度与时间关系的图像如图1 所示。已知甲的图像为倾斜的直线，且与乙
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的图像在t1时刻相切，图中阴影部分的面积为S0，则下列说法正确的是( )
图1
A.0～t1内，乙的平均加速度为
B.t1时刻甲、乙相遇
C.t1时刻乙的加速度大于
D.0～t1内，乙的平均速度为(v0＋v1)－
答案 D
解析 0～t1时间内，乙的速度由0 增大至v1，由速度与加速度的关系可知，乙
的平均加速度为a乙＝，A 错误；v－t 图像与t 轴所围面积表示位移，由题图可知
甲的位移大于乙的位移，由于甲、乙两物体从同一位置同时出发，则可知t1时刻
甲物体应在乙物体前面，B 错误；由于t1时刻两图像相切，说明乙的加速度等于
甲的加速度，大小均为，C 错误；图中阴影部分的面积为S0，则0～t1时间内乙
的位移为S 乙＝(v0＋v1)t1－S0，则乙的平均速度为v乙＝＝(v0＋v1)－，D 正确。
5.(多选)(2024·黑龙江哈师大附中模拟)如图2 为同学通过传感器测得的甲、乙两
物体的运动图像，横轴为时间，纵轴忘记标记。已知甲图两部分均为抛物线，且
t＝0 与t＝1 s 分别为开口向上和开口向下的抛物线的顶点。下列说法正确的是(
)
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图2
A.若图像为位移—时间图像，甲物体0～1 s 和1～2 s 加速度大小相等
B.若图像为位移—时间图像，0～1 s 乙物体平均速度大于甲物体平均速度
C.若图像为速度—时间图像，0～2 s 乙物体平均速度为甲物体平均速度的两倍
D.若图像为速度—时间图像，两物体一定在t＝1 s 时刻相遇
答案 AC
解析 0～1 s 内甲物体做初速度为0 的匀加速运动，1～2 s 做反向初速度为0 的
匀加速直线运动，有x＝at2，两个过程位移大小相等，时间相同，则加速度大小
相等，选项A 正确；若图像为位移—时间图像，0～1 s 乙物体的位移和甲物体
的位移相等，两者平均速度相等，选项B 错误；若图像为速度—时间图像，根
据面积大小关系，0～2 s 内乙物体位移是甲物体位移的两倍，乙物体平均速度为
甲物体平均速度的两倍，选项C 正确；若图像为速度—时间图像，在0～1 s 内
乙的图像面积比甲的大，况且甲、乙的初始位置不确定，则两物体不一定在t＝1
s 时刻相遇，选项D 错误。
B 级 综合提升练
6.(多选)(2024·广西南宁名校联考)为了测试小车的性能，甲、乙两辆小车同时从
M 处由静止开始沿平直公路均先做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运
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动直至静止，两车先后停在N 处，甲、乙两车的v－t 图像如图3 所示，假设两
车在各自匀加速阶段和匀减速阶段的加速度大小相等，甲车、乙车全程经历的时
间分别为t0和2t0，甲、乙两车加速度大小分别为a1和a2，最大速度分别为v1和
v2，则( )
图3
A.v1∶v2＝2∶1
B.a1∶a2＝∶1
C.甲车停下时，两车相距最远
D.甲车运动了t0时，两车相距最远
答案 AD
解析 由两车位移相等有v1t0＝v2·2t0，解得v1∶v2＝2∶1，故A 正确；由图像可
得，甲的加速度a1＝，乙的加速度a2＝，整理有a1∶a2＝4∶1，故B 错误；速度
相等时相距最远，设甲达到最大速度后，再经过Δt 时间，两车相距最远。速度
相等时有v1－a1Δt＝a2，对甲车v1＝a1·，再联立a1∶a2＝4∶1，解得Δt＝t0，甲
车运动时间t 甲＝＋Δt＝t0时，两车相距最远，故C 错误，D 正确。
7.(2024·山东模拟预测)甲、乙两车在同一条平直公路上运动，其x－t 图像如图4
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所示，已知甲车做匀变速直线运动，其余数据已在图中标出。根据图中数据可知
( )
图4
A.t＝2 s 时刻，甲、乙两车速度大小相等
B.0～2 s 内，甲车位移等于乙车位移
C.甲车的初速度大小为2 m/s
D.相遇之前，t＝0.75 s 时两车相距最远
答案 D
解析 在x－t 图像中，图线的斜率表示速度，由题图可知，t＝2 s 时刻甲车的速
度大于乙车的速度，故A 错误；由题图知，0～2 s 内，甲车位移为8 m，乙车位
移为6 m，甲车位移大于乙车位移，故B 错误；由乙车x－t 图线可知，乙车做匀
速直线运动，速度大小为v 乙＝3 m/s，甲车的位移表达式为x＝v0t＋a1t2＋x0，将
(0，－2)、(1，0)、(2，6)代入上式，解得x0＝－2 m，v0＝0，a1＝4 m/s2，故C
错误；两车速度相同时，相距最远，即v 甲＝v 乙＝3 m/s，则t＝＝0.75 s，故D 正
确。
8.(2024·河北石家庄模拟)如图5 所示，直线MN 表示一条平直单车道，甲、乙两
辆汽车开始静止，车头分别在A、B 两处，两辆车长均为L＝4 m，两个车头间的
距离为x0＝89 m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5 m/s2，
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甲车运动了t0＝5 s 后，发现乙车仍然静止，甲车立即鸣笛，又经过t1＝1 s，乙车
才开始向右做匀加速直线运动。
图5
(1)若乙车运动的加速度a2＝5.0 m/s2，两辆汽车是否会相撞？通过计算说明。
(2)若要使两车不相撞，乙车运动的加速度至少是多少？
答案 (1)会 (2) m/s2
解析 (1)假设两车某时刻相撞，如图所示。
应满足时间关系t 甲＝t 乙＋t0＋t1
位移关系x 甲＝x 乙＋x0－L
甲车在t0＋t1＝6 s 时的位移为
a1(t0＋t1)2＝45 m<x0－L＝85 m
此时尚未撞上乙车，若此后再经时间t 与乙车相撞
则有a1(t＋t0＋t1)2＝a2t2＋x0－L
代入数据解得t＝4 s(另一解舍去)，即再经过t＝4 s 甲、乙两车会相撞。
(2)若经过时间t2，两车速度相等，且此时两车恰好不相撞，此种情况下乙车加速
度设为a0，则有a1t2＝a0(t2－t0－t1)
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a1t＝a0(t2－t0－t1)2＋x0－L
解得a0＝ m/s2
即要使两车不相撞，乙车运动的加速度至少为 m/s2。
C 级 培优加强练
9.(2024·山东临沂期末)如图6 所示，在一次接力训练中，已知甲、乙两运动员经
短距离加速后都能达到并保持10 m/s 的速度跑完全程。设乙从起跑后到接棒前
的运动是匀加速运动，加速度大小为4 m/s2。乙在接力区前端听到口令时起跑，
在甲、乙相遇时完成交接棒。在这次练习中，甲以v＝10 m/s 的速度跑到接力区
前端s0＝12 m 处向乙发出起跑口令。已知接力区的长度为L＝20 m。
图6
(1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离；
(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在
接力区前端多远时对乙发出起跑口令？
(3)在(2)中，求乙经过接力区的时间是多少？
答案 (1)8 m (2)12.5 m (3)3.25 s
解析 (1)根据题意，由公式v＝v0＋at 可得，乙的最长加速时间为tm＝＝2.5 s
设乙加速到交接棒处时运动时间为t，则在甲追及乙过程中有s0＋at2＝vt
代入数据得t＝2 s，t＝3 s>2.5 s(舍去)
则此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为
x＝at2＝8 m。
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(2)根据题意可知，乙加速时间应为最长加速时间2.5 s，设甲在距离接力区前端
为s 时对乙发出起跑口令，则在甲追及乙过程中有s＋at＝vtm
代入数据得s＝12.5 m。
(3)根据题意，在(2)情形下，乙加速运动的距离为
x1＝at＝12.5 m
则乙匀速运动的时间为t1＝＝0.75 s
则乙经过接力区的时间是t2＝t1＋tm＝3.25 s。
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