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专题强化二 追及相遇问题
目标要求 1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧.2.会用图像分析追及相遇问题.3.会熟练
运用运动学公式结合运动图像解决追及相遇的综合问题．
题型一 追及相遇问题
1．分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，
也是分析、判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的位移关系是解
题的突破口．
2．能否追上的判断方法(临界条件法)
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x ，当v ＝v 时，若x >x ＋x ，则能追上；若x
0 B A B A 0 B
＝x ＋x，则恰好追上；若x 0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，说明追不上或不能相遇．
(3)极值法
设经过时间t，分别列出两物体的位移—时间关系式，得位移之差Δx与时间的二次函数，再
利用数学极值法求解距离的最大(或最小)值．
(4)图像法：将两个物体运动的速度—时间关系图线在同一图像中画出，然后利用图像分析、
求解相关问题．
例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，
恰在这时一辆自行车以v＝6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，
在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
答案 2 s 6 m解析 解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为 t，两
车间的距离为Δx，则有v＝at
所以t＝＝2 s
Δx＝vt－at2＝6 m.
解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－at2
代入已知数据得Δx＝6t－t2
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δx有最大值6 m
所以t＝2 s时两车相距最远，为Δx＝6 m.
解法三(图像法)：自行车和汽车的vt图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t 时刻两车
1
速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，
所以有t＝＝ s＝2 s，
1
Δx＝＝ m＝6 m.
追及与相遇问题的两种典型情况：
假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x，有两种典型情况：
0
(1)初速度小的匀加速运动的物体A追匀速运动的物体B，当v ＝v 时，二者相距最远．
A B
(2)初速度大的匀减速运动的物体A追匀速运动的物体B，当v ＝v 时，
A B
①若已超越，则相遇两次．
②若恰好追上，则相遇一次．
③若没追上，则无法相遇．
例2 (2021·甘肃城关市兰州一中高三月考)A、B两车在同一直线上向右匀速运动，B车在
A车前，A车的速度大小为v ＝8 m/s，B车的速度大小为v ＝20 m/s，如图1所示．当A、B
1 2
两车相距x ＝28 m时，B车因前方突发情况紧急刹车(刹车过程可视为匀减速直线运动)，加
0
速度大小为a＝2 m/s2，从此时开始计时，求：
图1
(1)A车追上B车之前，两者相距的最大距离；
(2)A车追上B车所用的时间；
(3)从安全行驶的角度考虑，为避免两车相撞，在题设条件下，A车在B车刹车的同时也应刹车的最小加速度．
答案 (1)64 m (2)16 s (3)0.25 m/s2
解析 (1)当A、B两车速度相等时，相距最远，根据速度关系得：v＝v－at
1 2 1
代入数据解得：t＝6 s
1
此时，根据位移时间的关系得：x ＝vt
A1 11
x ＝vt－at2
B1 21 1
Δx ＝x ＋x－x
m B1 0 A1
代入数据解得：Δx ＝64 m
m
(2)B车刹车到停止运动所用时间： t＝＝10 s
0
发生的位移：x ＝＝100 m
B2
此时：x ＝vt＝80 m
A2 10
则：x ＜x＋x ，
A2 0 B2
可见此时A车并未追上B车，而是在B车停止后才追上B车停止后A车运动时间为：t ＝＝
2
6 s
故所用总时间为：t＝t＋t＝16 s
0 2
(3)A车刹车减速至0时刚好追上B车时，加速度最小
＋x＝
0
代入数据解得：a ＝0.25 m/s2.
A
1．(避碰问题)(2020·山东烟台市模拟)一汽车在直线公路段上以54 km/h的速度匀速行驶，突
然发现在其正前方14 m处有一辆自行车以5 m/s的速度同向匀速行驶．经过0.4 s的反应时
间后，司机开始刹车，则：
(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？
(2)若汽车刹车时的加速度大小只有4 m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速
度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？
答案 (1)5 m/s2 (2)1 m/s2
解析 (1)设汽车的加速度大小为a，初速度v ＝54 km/h＝15 m/s，
汽
初始距离d＝14 m
在经过反应时间0.4 s后，汽车与自行车相距d′＝d－(v －v )t＝10 m
汽 自 0
从汽车刹车开始计时，
自行车的位移为：x ＝v t
自 自
汽车的位移为：x ＝v t－at2
汽 汽
假设汽车能追上自行车，此时有：
x ＝x ＋d′
汽 自代入数据整理得：at2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，
即得：Δ＝102－20a≤0，
解得：a≥5 m/s2.
汽车的加速度至少为5 m/s2.
(2)设自行车加速度为a′，同理可得：
x ′＝x ′＋d′
汽 自
整理得：(a′＋2)t2－10t＋10＝0
要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，
即得：Δ′＝102－20a′－80≤0
解得：a′≥1 m/s2.
自行车的加速度至少为1 m/s2.
2．(体育赛事中的追及问题)2019世界田径接力赛男子4×100米接力赛，冠军被巴西队以38
秒05获得．如图2所示，这是某一次接力训练．已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能
达到并保持10 m/s的速度跑完全程．设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度
大小为3 m/s2.乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒．在某次练习中，
甲以v＝10 m/s的速度跑到接力区前端s ＝14.0 m处向乙发出起跑口令．已知接力区的长度
0
为L＝20 m.
图2
(1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离．
(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端
多远时对乙发出起跑口令？
(3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？
答案 (1)6 m (2)16.7 m (3)2 s
解析 (1)设乙加速到交接棒时运动时间为t，
则在甲追及乙过程中有：s＋at2＝vt
0
代入数据得：t＝2 s，t≈4.67 s(不符合乙加速最长时间t ＝＝ s，故舍去)
1 2 m
此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为：x＝at2＝6 m
1
(2)乙加速时间为：t ＝＝ s
乙
设甲在距离接力区前端为s时对乙发出起跑口令
则在甲追及乙过程中有：s＋vt ＝vt
乙 乙
代入数据得：s≈16.7 m(3)棒在(2)情形下以v＝10 m/s的速度运动，
所以有：t′＝＝2 s.
题型二 图像法在追及相遇问题中的应用
1．根据两个物体的v—t图像分析追及相遇问题：
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算．
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
2．根据两个物体的运动状态作出v—t图像，再分析解答问题．根据物体在不同阶段的运动
情况，分阶段画出v—t图像，再通过定量计算分析得出结果．
利用v—t图像分析追及相遇问题更直观、简捷．
例3 (多选)(2016·全国卷Ⅰ·21)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其 v—t图像如图3所
示．已知两车在t＝3 s时并排行驶，则( )
图3
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
答案 BD
解析 根据v—t图像知，甲、乙两车都沿正方向运动．t＝3 s时，甲、乙两车并排行驶，此
时v ＝30 m/s，v ＝25 m/s，由vt图线与时间轴所围“面积”对应位移知，0～3 s内甲车
甲 乙
位移x ＝×3×30 m＝45 m，乙车位移x ＝×3×(10＋25) m＝52.5 m．故t＝0时，甲、乙两
甲 乙
车相距Δx ＝x －x ＝7.5 m，即甲车在乙车前方7.5 m，选项B正确；0～1 s内，x ′＝
1 乙 甲 甲
×1×10 m＝5 m，x ′＝×1×(10＋15) m＝12.5 m，Δx ＝x ′－x ′＝7.5 m＝Δx ，说明在t＝1
乙 2 乙 甲 1
s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的
距离为x＝x －x ′＝45 m－5 m＝40 m，选项D正确．
甲 甲
例4 (2020·河北石家庄市模拟)在水平直轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初
速度为v 、加速度大小为2a的匀减速直线运动，B车同时做初速度为零、加速度为a的匀
0
加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求 A车的初速度v 应满足什么条件？
0
(请用临界法与图像法分别分析解题)答案 见解析
解析 方法一 图像法
利用v—t图像求解，先作出A、B两车的v—t图像，如图所示．设经过t时间两车刚好不相
撞，
则对A车有v ＝v′＝v－2at
A 0
对B车有v ＝v′＝at
B
以上两式联立解得t＝
经时间t两车的位移之差为原来两车间距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图像可知
x＝v·t＝v·＝
0 0
所以要使两车不相撞，A车的初速度v 应满足的条件是v≤.
0 0
方法二 临界条件法
两车不相撞的临界条件是，A车追上B车时其速度与B车相等．设从A、B两车相距x到A
车追上B车时，A车的位移为x 、末速度为v 、所用时间为t；B车的位移为x 、末速度为
A A B
v ，运动过程如图所示．
B
对A车有x ＝vt＋(－2a)t2，v ＝v＋(－2a)t
A 0 A 0
对B车有x ＝at2，v ＝at
B B
由两车位移关系有x＝x －x
A B
追上时，两车不相撞的临界条件是v ＝v
A B
联立以上各式解得v＝
0
故要使两车不相撞，A车的初速度v 应满足的条件是v≤.
0 0
课时精练
1．(多选)(2018·全国卷Ⅱ·19)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图
像分别如图1中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t 时刻并排行驶．下列说法正确的是(
2
)图1
A．两车在t 时刻也并排行驶
1
B．在t 时刻甲车在后，乙车在前
1
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
答案 BD
解析 t～t 时间内，甲车位移大于乙车位移，且t 时刻两车并排行驶，则t 时刻甲在乙的后
1 2 2 1
面，A项错误，B项正确；由题图图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，
C项错误，D项正确．
2.(2020·广东深圳市第一次调研)可视为质点的甲、乙两小车分别沿同一平直路面同向行驶，
t＝0时，甲在乙前方16 m处，它们的v—t图像如图2所示，则下列说法正确的是( )
图2
A．甲、乙在t＝2 s和t＝10 s时刻并排行驶
B．甲、乙在t＝4 s和t＝8 s时刻并排行驶
C．在t＝6 s时刻，乙车在甲车前8 m处
D．在t＝6 s时刻，乙车在甲车前18 m处
答案 B
解析 由题图图像可知，甲做初速度为0，加速度为a ＝ m/s2＝2 m/s2的匀加速运动；乙做
1
初速度为v ＝6 m/s，加速度为a ＝ m/s2＝1 m/s2的匀加速运动；两车相遇时满足：vt＋at2
0 2 0 2
＝s ＋at2，即6t＋×1×t2＝16＋×2t2，解得t ＝4 s，t ＝8 s，即甲、乙在t＝4 s和t＝8 s时刻
0 1 1 2
并排行驶，选项A错误，B正确．在t＝6 s时，甲的位移：x ＝×2×62 m＝36 m；乙的位移：
1
x ＝6×6 m＋×1×62 m＝54 m，可知此时乙在甲的前面，Δx＝x －x －s ＝54 m－36 m－16
2 2 1 0
m＝2 m，选项C、D错误．
3．(2020·湖南永州市高三三模)在某个恶劣天气中，能见度很低，甲、乙两汽车在一条平直
的单行道上，甲在前、乙在后同向行驶．某时刻两车司机听到前方有事故发生的警笛提示，
同时开始刹车，两车刹车后的v—t图像如图3所示，下列说法正确的是( )图3
A．甲车的加速度大于乙车的加速度
B．若t＝24 s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最远
C．为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48 m
D．若两车发生碰撞，则可能是在开始刹车24 s以后的某时刻发生的
答案 C
解析 甲车的加速度大小
a＝＝ m/s2＝ m/s2
1
乙车的加速度大小a＝＝ m/s2＝ m/s2
2
所以甲车的加速度小于乙车的加速度，故A错误；
t＝24 s时，两车速度相等，开始时，甲在前、乙在后同向行驶，所以若t＝24 s时两车未发
生碰撞，则此时两车相距最近，故B错误；
0～24 s内，甲车的位移x＝×24 m＝288 m
1
乙车的位移x＝×24 m＝336 m
2
两者位移之差Δx＝x－x＝48 m
2 1
所以为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48 m，故C正确；
t＝24 s时，两车速度相等，若两车速度相等时没有相撞，则速度相等后，甲车的速度比乙
车的大，两车不可能相撞，故D错误．
4.(多选)(2020·河北衡水中学高三月考)甲、乙两物体从同一地点同时开始做直线运动的 v—t
图像如图4所示．根据图像提供的信息可知( )
图4
A．6 s末乙追上甲
B．在乙追上甲之前，甲、乙相距最远为10 m
C．8 s末甲、乙两物体相遇，且离出发点32 m
D．在0～4 s内与4～6 s内甲的平均速度相等
答案 BC
解析 根据题图图像可知，在0～4 s内甲的平均速度 ＝ m/s＝6 m/s，在4～6 s内甲的平均
1速度 ＝ m/s＝4 m/s，D错误；在0～6 s内，甲的位移x ＝×4 s＋×
2 甲 1 2
2 s＝32 m，乙的位移x ＝6×4 m＝24 m，因此6 s末乙未追上甲，A错误；当两者速度相
乙
等时，距离最远，即5 s末距离最远，此时x ′＝×4 m＋×1 m＝30 m，x ′＝5×
甲 乙
4 m＝20 m，最远距离Δx′＝10 m，B正确；6 s以后，甲物体停止运动，因此相遇时，距
离出发点32 m，所用时间t＝＝ s＝8 s，C正确．
5.(2020·江西重点中学协作体第一次联考)甲、乙两车在平直公路上沿同一方向做直线运动，
t＝0时刻，甲车在乙车前20 m处，它们的v—t图像如图5所示，下列说法正确的是( )
图5
A．甲车启动的加速度大于乙车启动的加速度
B．甲车启动15 s时，乙车落后甲车的距离最大
C．乙车启动时，甲在乙车前方50 m
D．t＝25 s时，乙车正好追上甲车
答案 B
解析 由v—t图像斜率表示加速度可知，甲车启动时的加速度小于乙车启动时的加速度，A
错误；10～15 s时间内，乙车在后，较慢，甲车在前，较快，在t＝15 s时，两车速度相等，
则此时两车距离最大，B正确；t＝10 s时，乙车启动，在0～10 s内，通过v—t图像中图线
与时间轴所围“面积”表示位移可得，甲车的位移x ＝×10×10 m＝50 m，t＝0时两车相
甲
距
20 m，故乙车启动时两车相距(50＋20) m＝70 m，故C错误；0～25 s内，甲车的总位移：
x ′＝50 m＋10×(25－10) m＝200 m，乙车运动的总位移：x ′＝×10×20 m＋20×(25－20)
甲 乙
m＝200 m，此时x ′＋20 m>x ′，甲车在乙车的前方，故D错误．
甲 乙
6.(2019·广东中山市模拟)甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动，它们运
动的加速度随时间变化图像如图6所示．关于两车的运动情况，下列说法正确的是( )
图6
A．在0～4 s内，甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动B．在0～2 s内，两车间距逐渐增大，2～4 s内两车间距逐渐减小
C．在t＝2 s时，甲车的速度为3 m/s，乙车的速度为4.5 m/s
D．在t＝4 s时，甲车恰好追上乙车
答案 C
解析 根据题图图像可知，在0～4 s内，甲车做匀加速直线运动，乙车做加速度逐渐减小
的加速直线运动，故A错误；加速度—时间图像的图线与时间轴所围的面积表示速度的变
化量，当t＝4 s时，两图线与t轴所围的面积相等，即该时刻两辆车的速度相等，此时两车
的间距最大，故B、D错误；在t＝2 s时，乙车的速度为v ＝×(1.5＋3)×2 m/s＝4.5 m/s，
乙
甲车速度为v ＝1.5×2 m/s＝3 m/s，故C正确．
甲
7.(2020·河南高三二模)自动驾驶汽车依靠人工智能、雷达，监控装置和全球定位系统协同合
作，让电脑可以在没有任何人操作的情况下，自动安全地操作机动车辆．如图 7所示，某平
直公路上一辆自动驾驶汽车正以v ＝40 km/h的速度匀速行驶，某时刻其右前方一小狗以v
1 2
＝5 m/s的速度垂直车道方向匀速跑入公路，当汽车传感器探测到小狗时，小狗到汽车右侧
所在直线的距离L ＝5 m，到汽车前沿所在直线的距离L ＝8 m．已知汽车的车长d ＝5 m、
1 2 1
车宽d ＝2 m，汽车加速时的加速度大小a ＝4 m/s2，刹车时的加速度大小a ＝5 m/s2.为了避
2 1 2
免与小狗发生碰撞，汽车的自动驾驶系统该作出的正确判断是( )
图7
A．汽车应保持原速通过
B．汽车应刹车减速
C．汽车应加速通过
D．不论汽车是加速还是刹车均不能避免与小狗发生碰撞
答案 C
解析 小狗走过L 距离的时间为t＝＝ s＝1 s
1 1
汽车的速度v＝40 km/h≈11.1 m/s，若保持原速行驶，则在t 时间内的位移为x＝vt＝
1 1 1 11
11.1 m
因为L＋d>x>L
2 1 1 2
则小狗会与车相撞，选项A错误；
若汽车刹车减速，则在t＝1 s内的位移x＝vt－at2＝8.6 m>L，
1 2 11 21 2
则汽车也会与小狗相撞，选项B错误；若汽车加速通过，则在t＝1 s内的位移
1
x＝vt＋at2＝13.1 m>L＋d＝13 m
3 11 11 2 1
则可避免车与小狗相撞，选项C正确，选项D错误．
8．在一大雾天，一辆小汽车以30 m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方 30 m处
有一辆大卡车以10 m/s的速度同方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵．
如图8a、b分别为小汽车和大卡车的vt图线，以下说法正确的是( )
图8
A．因刹车失灵前小汽车已减速，故不会追尾
B．在t＝5 s时追尾
C．在t＝3 s时追尾
D．由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾
答案 C
解析 根据v—t图线与时间轴所围“面积”表示位移可知，两车速度相等时(t＝5 s)，小汽
车相对于大卡车的位移为35 m>30 m，所以会追尾，选项A错误；在t＝3 s时，小汽车相对
于大卡车的位移等于30 m，此时发生追尾，选项C正确，B错误；若刹车不失灵，在t＝2 s
时两车速度相等，小汽车相对于大卡车的位移等于20 m，小于开始时的距离30 m，所以刹
车不失灵时不会追尾，选项D错误．
9．(2020·广东汕头市质检)某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200 m处有一安全车正以
10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶．
(1)求赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
(2)求赛车何时追上安全车？追上之前与安全车最远相距多少？
(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，
则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)
答案 (1)6 m/s (2)20 s 225 m (3)20 s
解析 (1)赛车3 s末的速度
v＝at＝2×3 m/s＝6 m/s.
1 11
(2)设经t 时间追上安全车，由位移关系得
2
vt＋200 m＝at2
02 12
解得t＝20 s
2
此时赛车的速度v＝at＝2×20 m/s＝40 m/s
12
当两车速度相等时，两车相距最远
由v＝at 得两车速度相等时，经过的时间t＝＝ s＝5 s
0 13 3
两车最远相距
Δs＝vt＋200 m－at2
03 13
＝(10×5＋200－×2×52) m＝225 m.
(3)假设再经t 时间两车第二次相遇(两车一直在运动)
4
由位移关系得vt－at2＝vt
4 24 04
解得t＝15 s
4
赛车停下来的时间t′＝＝ s＝10 s
所以t＝15 s不合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动．
4
设再经时间t 两车第二次相遇，应满足＝vt
5 05
解得t＝20 s.
5
10．(2020·安徽安庆市怀宁县第二中学高三月考)一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从
他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过 5.5 s后警车发动
起来，并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内．
求：
(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离；
(2)警车发动后要多长时间才能追上货车．
答案 (1)75 m (2)12 s
解析 (1)当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t 时间两车的速度相等．
1
则：t＝＝ s＝4 s
1
x ＝v＝10×(5.5＋4) m＝95 m
货 1
x ＝at2＝×2.5×42 m＝20 m
警 1
所以两车间的最大距离
Δx＝x －x ＝75 m
货 警
(2)警车达到最大速度v＝90 km/h＝25 m/s的时间：
t＝＝10 s
2
此时两车的位移分别为
x ′＝＝ m＝125 m
警
x ′＝v＝10×(5.5＋10) m＝155 m
货 1
两车距离
Δx′＝x ′－x ′＝30 m
货 警
警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追上货车，则：Δt＝＝2 s
所以警车发动后要经过t＝t＋Δt＝12 s，才能追上货车．
2
