文档内容
知识点 4：运动的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
运动追及相遇问题的解题方法：
（1）物理法（临界条件法）：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审
题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x ，当v ＝v 时，若x >x ＋x ，则能追上；若
0 B A B A 0
x ＝x ＋x，则恰好追上；若x 0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．
当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．
（3）图象法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．若用位移—时间图像求解，如果两
个物体的位移—时间图像相交，则说明两物体相遇。v－t图象在已知出发点的前提下，可
由图象“面积”判断相距最远、最近及相遇．
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经
停止运动。
考点一：运动图像中的追及相遇问题
题型一：常规运动图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
常规运动图像中的追及相遇问题的处理技巧：
（1）识图像画草图：首先用函数斜率面积法，对给出运动图像的截距、交点、拐点、面积、
斜率进行识别，然后根据图像所反映的物体的运动情况，画出物体的运动草图。
（2）找关系列方程：根据运动草图反映的物理过程，找出物体运动的时间关系、位移关系、
速度关系。列出物体的运动学方程，求出结果并对结果的合理性进行讨论。
类型一：xt图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
x－t图像中的追及相遇问题：xt图像中两图线的交点表示两物体相遇。
【典例1a提高题】如图所示，两曲线分别是a、b两物体的位移—时间图象(图线为抛物线)，
则两物体在t～t 时间内( )
1 2
A．a物体做匀加速直线运动 B．b物体的路程大于a物体的路程
C．某时刻，a、b两物体的速度相同 D．a、b两物体的加速度方向相同
【典例1a提高题】【答案】C
【解析】在位移—时间图象中，切线斜率表示速度，可知 a物体做匀减速直线运动，A错
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学科网（北京）股份有限公司误；在t ～t 时间内两物体的位置变化相同，b物体的路程等于a物体的路程，B错误；画
1 2
一条与x轴平行的直线，与a、b图线相交，过两交点分别画两图线的切线，两切线平行时，
在两交点对应的时刻，两物体的速度相同，C正确；a物体沿负方向做减速运动，加速度
沿正方向，b物体沿负方向做加速运动，加速度沿负方向，即a、b两物体的加速度方向相
反，D错误。
【典例1a提高题对应练习】（多选）甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速
直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示．下列说法
正确的是( )
A. 在t 时刻两车速度相等 B. 从0到t 时间内，两车走过的路程相等
1 1
C. 从t 到t 时间内，两车走过的路程相等 D. 在t 到t 时间内的某时刻，两车速度相等
1 2 1 2
【典例1a提高题对应练习】【答案】CD
【解析】x－t图像的斜率表示速度，则可知t 时刻乙车速度大于甲车速度，A项错误；由
1
两图线的纵截距知，出发时甲在乙前面，t 时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t 时间内
1 1
乙车比甲车多走了一段距离，B项错误；t 和t 时刻两图线都相交，表明两车在两个时刻均
1 2
在同一位置，从t 到t 时间内，两车走过的路程相等，在t 到t 时间内，两图线有斜率相等
1 2 1 2
的一个时刻，该时刻两车速度相等，C、D项正确．
类型二：vt图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
v－t图像中的追及相遇问题：
①vt图像中两图线的交点表示该时刻两物体的速度相等，并非相遇。
②v－t图线(或切线)的斜率表示物体的加速度．v－t图线与t轴所围“面积”表示这段时间
内物体的位移．
③有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
【典例1b提高题】（多选）甲、乙两同学相约去参观博物馆，两人同时从各自家中出发，
沿同一直线相向而行，经过一段时间后两人会合。身上携带的运动传感器分别记录了他们
在这段时间内的速度大小随时间的变化关系，如图所示。其中，甲的速度大小随时间变化
的图线为两段四分之一圆弧，则( )
A．在t 时刻，甲、乙两人速度相同 B．0～t 时间内，乙所走路程大于甲
1 2
C．在t 时刻，甲、乙两人加速度大小相等 D．0～t 时间内，甲、乙两人平均速率相
3 4
同
【典例1b提高题】【答案】BCD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】t 时刻两人的速度方向相反， A错误；两人所走路程大小即为图线与t轴所围图
1
像面积，故0～t 时间内，乙所走路程大于甲，B正确；由几何关系知，t 时刻甲图线切线
2 3
斜率的绝对值与乙图线斜率相等，故瞬时加速度大小相等，C正确；由图可知，0～t 时间
4
内，两图线与t轴所围面积相同，故两人通过的路程相等，平均速率相同，D正确。
【典例1b提高题对应练习】（多选）近期，一段特殊的“飙车”视频红遍网络，视频中，
一辆和谐号动车正和一辆复兴号动车互相追赶(如图)．两车并排做直线运动，其运动
情况如图乙所示，t＝0时，两车车头刚好并排，则( )
A. 10 s末和谐号的加速度比复兴号的大 B. 图乙中复兴号的最大速度为78 m/s
C. 0到32 s内，在24 s末两车头相距最远 D. 两车头在32 s末再次并排
【典例1b提高题对应练习】【答案】BC
【解析】由v－t图像的斜率表示加速度，可得和谐号的加速度为 a ＝ m/s2＝
1
m/s2，复兴号的加速度为a ＝ m/s2＝ m/s2，则10 s末和谐号的加速度比复兴号
2
的小，故A错误；题图乙中复兴号的最大速度为 v ＝72 m/s＋a ×(32－24) m/s＝78
m 2
m/s，故B正确；因t＝0时两车车头刚好并排，在0到24 s内和谐号的速度大于复兴号
的速度，两者的距离逐渐增大，速度相等后两者的距离缩小，则在 24 s末两车头相距
最远，故C正确；由v－t图像中图线与t轴所围的面积表示位移，则在0～24 s两者的
最大距离为 Δx＝ m＝48 m，而在 24～32 s 内能缩小的距离为 Δx′＝
m＝24 m<Δx，即32 s复兴号还未追上和谐号，故D错误．
题型二：非常规运动图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
非常规运动图像追及相遇问题的处理方法：
（1）函数斜率面积法：先由运动学规律推导出两个物理量间的函数表达式，再根据函数表
达式的斜率、截距的意义求出相应的问题，特别是解决对于不太熟悉的图像等要注意这种
转化。
（2）函数数据代入法：先由运动学规律推导出两个物理量间的函数表达式，再把图像中的
特殊数据代入函数表达式进行计算。
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学科网（北京）股份有限公司（3）v－t图像法：在同一坐标系中根据两个物体的运动情况作出v－t图像，应抓住速度相
等时的“面积”关系找位移关系。
类型一：a-t图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
a－t图像的物理意义：
由Δv＝aΔt可知图像中图线与横轴所围面积表示速度变化量，在时间轴上方为正，在时间
轴下方为负。
【典例2a提高题】甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动，它们运动的
加速度随时间变化图象如图所示.关于两车的运动情况，下列说法正确的是( )
A．在0～4 s内，甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动
B．在0～2 s内，两车间距逐渐增大，2～4 s内两车间距逐渐减小
C．在t＝2 s时，甲车的速度为3 m/s，乙车的速度为4.5 m/s
D．在t＝4 s时，甲车恰好追上乙车
【典例2a提高题】【答案】C
【解析】根据题图图象可知，在0～4 s内，甲车做匀加速直线运动，乙车做加速度逐渐减
小的加速直线运动，故A错误；加速度—时间图象的图线与时间轴所围的面积表示速度的
变化量，当t＝4 s时，两图线与t轴所围的面积相等，即该时刻两辆车的速度相等，此时两
车的间距最大，故B、D错误；在t＝2 s时，乙车的速度为v ＝×(1.5＋3)×2 m/s＝4.5
乙
m/s，甲车速度为v ＝1.5×2 m/s＝3 m/s，故C正确.
甲
【典例2a提高题对应练习】假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶．甲车在前，
乙车在后，速度均为v ＝30 m/s.甲、乙相距x ＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，
0 0
甲、乙两车的加速度随时间变化分别如图甲、乙所示．取运动方向为正方向．下列说法正
确的是( )
A．t＝3 s时两车相距最近 B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m D．两车在0～9 s内会相撞
【典例2a提高题对应练习】【答案】C
【解析】由题给图像画出两车的v－t图像如图所示，由图像可知，t＝6 s时两车等速，此
时距离最近，图中阴影部分面积为0～6 s内两车位移之差，即Δx＝x －x ＝[×30×3＋
乙 甲
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学科网（北京）股份有限公司×30×
(6－3)] m＝90 mx ，则相遇两次，设t 时刻Δx＝x ，两物
0 1 0
体第一次相遇，则t 时刻两物体第二次相遇(t －t ＝
匀减速追匀加速 2 2 0
t－t)
0 1
类型一：匀减速追匀速模型
【典例2a提高题】随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常低头看手机，
然而开车时看手机是一种危险驾驶行为，极易引发交通事故。如图甲所示，一辆出租车在
平直公路上以v ＝20 m/s的速度匀速行驶，此时车的正前方 x ＝63.5 m处有一辆电动车，
0 0
正以v＝6 m/s的速度匀速行驶，而出租车司机此时开始低头看手机，3.5 s后才发现危险，
1
司机经0.5 s反应时间后，立即采取紧急制动措施。若从司机发现危险开始计时，出租车的
速度—时间图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2。
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学科网（北京）股份有限公司（1）若出租车前面没有任何物体，从司机开始低头看手机到出租车停止运动的这段时间内，
出租车前进的距离是多少？
（2）通过计算判断电动车是否被撞。若不会被撞，求二者之间的最小距离；若会相撞，求
从出租车刹车开始，经过多长时间二者相撞。
【典例2a提高题】【答案】(1)120 m (2)电动车会被撞 经过0.6 s二者相撞
【解析】(1)根据题意可知，出租车先匀速行驶 t ＝3.5 s，然后在反应时间t ＝0.5 s内继续
1 2
匀速行驶，再匀减速行驶t ＝4.0 s停止，总位移为x＝v(t ＋t)＋vt ＝120 m。(2)由题图乙
3 0 1 2 03
可知，出租车做匀减速运动的加速度大小为a＝＝5 m/s2，设两车速度相等时，出租车的刹
车时间为Δt，则有v －aΔt＝v ，解得Δt＝2.8 s，出租车的位移为 x ＝v(t ＋t)＋(v ＋
0 1 1 0 1 2 0
v)Δt，
1
代入数据可解得x ＝116.4 m。电动车的位移为x ＝v(t ＋t ＋Δt)＝40.8 m，因为x －x ＝
1 2 1 1 2 1 2
75.6 m>63.5 m，故两车会相撞。设两车经过时间t′相撞，则有v(t＋t)＋vt′－at′2＝x
0 1 2 0 0
＋v(t＋t＋t′)，代入数据解得t′＝0.6 s(另一解不符合题意，舍去)。
1 1 2
【典例2a提高题对应练习】一辆汽车以某一速度在平直路面上匀速行驶，司机忽然发现正
前方一辆自行车正以4m/s同向行驶，汽车司机反应0.5s后为避免相撞立即匀减速刹车，
恰好未与自行车相撞，已知汽车刹车过程中做匀减速至停止运动，从减速开始，第1s的位
移是32m，第5s的位移是1m，两车均可视为质点。求∶
（1）汽车匀速行驶的速度大小；
（2）汽车司机发现自行车时两车间的距离。
【典例2a提高题对应练习】【答案】(1)36m/s；(2)80m
【解析】（1）设汽车5s末没有减速至0， ， ，
，解得a=7.75m/s2，v=35.875m/s，v=v-5at，v=-2.875m/s。所以汽车在
0 5 0 5
4s-5s间减速至0，设第4s末的速度为v， ， 得v=4m/s，
4 4
或 m/s(舍)，v=v+4at，v=36m/s，a=8m/s2(2)恰好未相撞，v- at′=v，t′=4s，
0 4 0 0
，x=80m
0
类型二：匀减速追匀减速模型
【典例2b提高题】春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费
站，但要求小轿车通过收费站窗口前x ＝9 m区间的速度不超过v ＝6 m/s.现有甲、乙两小
0 0
轿车在收费站前平直公路上分别以v
甲
＝20 m/s和v乙 ＝34 m/s的速度匀速行驶，甲车在
前，乙车在后．甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a ＝2 m/s2的加速度匀减速刹
甲
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学科网（北京）股份有限公司车．
（1）甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章．
（2）若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9 m处的速度恰好为6 m/s，乙车司机在发现
甲车刹车时经t ＝0.5 s的反应时间后开始以大小为a ＝4 m/s2的加速度匀减速刹车．为避
0 乙
免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9 m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两
车至少相距多远？
【典例2b提高题】【答案】(1)100 m (2)66 m
【解析】(1)对甲车速度由20 m/s减速至6 m/s过程中的位移x ＝＝91 m，x ＝x ＋x ＝100
1 2 0 1
m，即甲车司机需在离收费站窗口至少100 m处开始刹车。
(2)设甲刹车后经时间t，甲、乙两车速度相同，由运动学公式得：v －a (t－t)＝v －a
乙 乙 0 甲
t，解得t＝8 s，相同速度v＝v －a t＝4 m/s<6 m/s，即v＝6 m/s的共同速度为不相撞的
甲 甲
临界条件，乙车从34 m/s减速至6 m/s的过程中的位移为x ＝v t ＋＝157 m，所以甲、乙
3 乙 0
两车间的距离至少为x＝x－x＝66 m。
3 1
【典例2b提高题对应练习】现有甲、乙两辆汽车正沿同一平直公路同向匀速行驶，甲车在
前，乙车在后，它们行驶的速度大小均为v＝10 m/s。当两车快要到十字路口时，甲车司机
看到绿灯已转换成了黄灯，于是紧急刹车(反应时间忽略不计)，乙车司机为了避免与甲车
相撞也紧急刹车，但乙车司机反应较慢(反应时间t ＝0.5 s)。甲车司机之前为了熟悉车况，
0
驾驶车辆进行了一段空挡滑行，根据经验计算出滑行加速度大小为 a ＝0.5 m/s2，已知乙车
0
紧急刹车时加速度大小为a＝5 m/s2。
2
（1）若甲车司机看到黄灯时车头距停车线x＝16 m，他在刹车过程中发现预计的停车位置
离停车线还有一段距离，于是在车头离停车线x′＝4 m时停止刹车让车做空挡滑行，车头
恰好停在停车线前，则甲车紧急刹车时的加速度为多大？
（2）在（1）的情况下，为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车在行驶过程中
至少应保持多大距离？
【典例2b提高题对应练习】【答案】(1)4 m/s (2)2.6 m
【解析】(1)设甲车空挡滑行前的速度大小为v ，则v＝2ax′设甲车紧急刹车时的加速度大
1 0
小为a，则v2－v＝2a(x－x′)解得a＝4 m/s2。 (2)甲车紧急刹车的时间t＝＝2 s
1 1 1 1
设甲、乙两车在行驶过程中至少应保持的距离为 x ，在乙车开始刹车后经过t 时间两车速
0 2
度相等，所以v－a(t ＋t)＝v－at 解得t ＝2 s(不符合题意)，所以速度相等的时刻在甲车
1 2 0 22， 2
空挡滑行的时间内，上式应为v－a(t－t＋t)＝v－at，解得t＝1.61 s，甲车的位移x ＝
1 0 2 1 0 22 2 甲
(x－x′)＋v
1
(t
2
＋t
0
－t
1
)－a
0
(t
2
＋t
0
－t
1
)2＝12.2 m，乙车的位移x
乙
＝vt
2
－a
2
t＝9.6 m⑦x
0
＝x
甲
－
x ＝2.6 m。
乙
类型三：匀速追静止模型
【典例2c提高题】（多选）汽车在路上出现故障时，应在车后放置三角警示牌(如图所示)，
以提醒后面驾车司机减速安全通过．在夜间，有一辆货车因故障停驶，后面有一辆小轿车
以30 m/s的速度向前驶来，由于夜间视线不好，小轿车驾驶员只能看清前方50 m内的物
体，并且他的反应时间为0.6 s，制动后，轿车的最大加速度为5 m/s2.假设小轿车始终沿直
线运动．下列说法正确的是( )
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学科网（北京）股份有限公司A. 小轿车的制动距离(制动到停止所运动的距离)为80 m
B. 小轿车从发现三角警示牌到停止所用的最短时间为6.6 s
C. 小轿车运动到三角警示牌时的最小速度为25 m/s
D. 三角警示牌至少要放在车后58 m远处，才能有效避免两车相撞
【典例2c提高题】【答案】BD
【解析】小轿车减速过程移动的距离为s＝ ＝ m＝90 m，故A错误；减速时
2
间t＝ ＝6 s，小轿车从发现三角警示牌到停止所用的最短时间为t′＝t＋t＝6.6 s，故B
2 2 1
正确；小轿车驾驶员发现三角警示牌后反应过程运动的距离为s＝vt＝30×0.6 m＝18 m，
1 01
所以小轿车运动到三角警示牌时的最小速度v2－v2＝－2a(s－s)，解得v≈24 m/s，故C错
0 0 1
误；为避免发生安全事故，则s＋s＝s＋s，代入数据解得s＝s＋s－s＝18 m＋90 m－50
1 2 0 1 2 0
m＝58 m，故D正确．
题型三：体育运动的追及相遇问题
类型一：足球运动的追及相遇问题
【典例3a提高题】水平地面上有一足球距门柱的距离为x＝32 m，某同学将足球以水平速
度v＝10 m/s踢向球门，足球在地面上做匀减速直线运动，加速度大小为a＝1 m/s2，足球
1 1
撞到门柱后反向弹回，弹回瞬间速度大小是碰撞前瞬间速度大小的。该同学将足球踢出后
立即由静止开始以大小为a ＝2 m/s2的加速度沿足球的运动方向追赶足球，他能够达到的
2
最大速度v＝8 m/s。求：
2
（1）足球被反向弹回瞬间的速度大小；
（2）该同学至少经过多长时间才能追上足球(保留两位有效数字)。
【典例3a提高题】(1)1.5 m/s (2)5.9 s
【解析】(1)设足球运动到门柱时的速度大小为v，由运动学公式有v2－v2＝－2ax，
3 3 1 1
解得v ＝6 m/s，则足球被反向弹回瞬间的速度大小v ＝v ＝1.5 m/s。(2)足球从踢出到撞门
3 4 3
柱前的运动时间为t ＝＝4 s，4 s末该同学的速度大小为at ＝8 m/s＝v 在这4 s时间内该
1 21 2，
同学前进的位移为x＝t＝16 m。则4 s内该同学未能追上足球，4 s末速度达到最大，之后
2 1
该同学匀速运动，设足球从反向弹回到减速为0所需的时间为t ，则0＝v －at ，解得t ＝
2 4 12 2
1.5 s，足球反弹后运动的距离为x ＝＝1.125 m，t 时间内该同学前进的位移x ＝vt ＝12
3 2 4 22
m，因x ＋x ＋x
