文档文本内容
知识点 4：运动的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
运动追及相遇问题的解题方法：
（1）物理法（临界条件法）：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审
题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x ，当v ＝v 时，若x >x ＋x ，则能追上；若
0 B A B A 0
x ＝x ＋x，则恰好追上；若x <x ＋x，则不能追上．
B A 0 B A 0
（2）数学法（二次函数法）：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距
离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇．
①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．
当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．
（3）图象法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．若用位移—时间图像求解，如果两
个物体的位移—时间图像相交，则说明两物体相遇。v－t图象在已知出发点的前提下，可
由图象“面积”判断相距最远、最近及相遇．
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经
停止运动。
考点一：运动图像中的追及相遇问题
题型一：常规运动图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
常规运动图像中的追及相遇问题的处理技巧：
（1）识图像画草图：首先用函数斜率面积法，对给出运动图像的截距、交点、拐点、面积、
斜率进行识别，然后根据图像所反映的物体的运动情况，画出物体的运动草图。
（2）找关系列方程：根据运动草图反映的物理过程，找出物体运动的时间关系、位移关系、
速度关系。列出物体的运动学方程，求出结果并对结果的合理性进行讨论。
类型一：xt图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
x－t图像中的追及相遇问题：xt图像中两图线的交点表示两物体相遇。
【典例1a提高题】如图所示，两曲线分别是a、b两物体的位移—时间图象(图线为抛物线)，
则两物体在t～t 时间内( )
1 2
A．a物体做匀加速直线运动 B．b物体的路程大于a物体的路程
C．某时刻，a、b两物体的速度相同 D．a、b两物体的加速度方向相同
【典例1a提高题】【答案】C
【解析】在位移—时间图象中，切线斜率表示速度，可知 a物体做匀减速直线运动，A错
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1 1
学科网（北京）股份有限公司误；在t ～t 时间内两物体的位置变化相同，b物体的路程等于a物体的路程，B错误；画
1 2
一条与x轴平行的直线，与a、b图线相交，过两交点分别画两图线的切线，两切线平行时，
在两交点对应的时刻，两物体的速度相同，C正确；a物体沿负方向做减速运动，加速度
沿正方向，b物体沿负方向做加速运动，加速度沿负方向，即a、b两物体的加速度方向相
反，D错误。
【典例1a提高题对应练习】（多选）甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速
直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示．下列说法
正确的是( )
A. 在t 时刻两车速度相等 B. 从0到t 时间内，两车走过的路程相等
1 1
C. 从t 到t 时间内，两车走过的路程相等 D. 在t 到t 时间内的某时刻，两车速度相等
1 2 1 2
【典例1a提高题对应练习】【答案】CD
【解析】x－t图像的斜率表示速度，则可知t 时刻乙车速度大于甲车速度，A项错误；由
1
两图线的纵截距知，出发时甲在乙前面，t 时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t 时间内
1 1
乙车比甲车多走了一段距离，B项错误；t 和t 时刻两图线都相交，表明两车在两个时刻均
1 2
在同一位置，从t 到t 时间内，两车走过的路程相等，在t 到t 时间内，两图线有斜率相等
1 2 1 2
的一个时刻，该时刻两车速度相等，C、D项正确．
类型二：vt图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
v－t图像中的追及相遇问题：
①vt图像中两图线的交点表示该时刻两物体的速度相等，并非相遇。
②v－t图线(或切线)的斜率表示物体的加速度．v－t图线与t轴所围“面积”表示这段时间
内物体的位移．
③有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
【典例1b提高题】（多选）甲、乙两同学相约去参观博物馆，两人同时从各自家中出发，
沿同一直线相向而行，经过一段时间后两人会合。身上携带的运动传感器分别记录了他们
在这段时间内的速度大小随时间的变化关系，如图所示。其中，甲的速度大小随时间变化
的图线为两段四分之一圆弧，则( )
A．在t 时刻，甲、乙两人速度相同 B．0～t 时间内，乙所走路程大于甲
1 2
C．在t 时刻，甲、乙两人加速度大小相等 D．0～t 时间内，甲、乙两人平均速率相
3 4
同
【典例1b提高题】【答案】BCD
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2 2
学科网（北京）股份有限公司【解析】t 时刻两人的速度方向相反， A错误；两人所走路程大小即为图线与t轴所围图
1
像面积，故0～t 时间内，乙所走路程大于甲，B正确；由几何关系知，t 时刻甲图线切线
2 3
斜率的绝对值与乙图线斜率相等，故瞬时加速度大小相等，C正确；由图可知，0～t 时间
4
内，两图线与t轴所围面积相同，故两人通过的路程相等，平均速率相同，D正确。
【典例1b提高题对应练习】（多选）近期，一段特殊的“飙车”视频红遍网络，视频中，
一辆和谐号动车正和一辆复兴号动车互相追赶(如图)．两车并排做直线运动，其运动
情况如图乙所示，t＝0时，两车车头刚好并排，则( )
A. 10 s末和谐号的加速度比复兴号的大 B. 图乙中复兴号的最大速度为78 m/s
C. 0到32 s内，在24 s末两车头相距最远 D. 两车头在32 s末再次并排
【典例1b提高题对应练习】【答案】BC
【解析】由v－t图像的斜率表示加速度，可得和谐号的加速度为 a ＝ m/s2＝
1
m/s2，复兴号的加速度为a ＝ m/s2＝ m/s2，则10 s末和谐号的加速度比复兴号
2
的小，故A错误；题图乙中复兴号的最大速度为 v ＝72 m/s＋a ×(32－24) m/s＝78
m 2
m/s，故B正确；因t＝0时两车车头刚好并排，在0到24 s内和谐号的速度大于复兴号
的速度，两者的距离逐渐增大，速度相等后两者的距离缩小，则在 24 s末两车头相距
最远，故C正确；由v－t图像中图线与t轴所围的面积表示位移，则在0～24 s两者的
最大距离为 Δx＝ m＝48 m，而在 24～32 s 内能缩小的距离为 Δx′＝
m＝24 m<Δx，即32 s复兴号还未追上和谐号，故D错误．
题型二：非常规运动图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
非常规运动图像追及相遇问题的处理方法：
（1）函数斜率面积法：先由运动学规律推导出两个物理量间的函数表达式，再根据函数表
达式的斜率、截距的意义求出相应的问题，特别是解决对于不太熟悉的图像等要注意这种
转化。
（2）函数数据代入法：先由运动学规律推导出两个物理量间的函数表达式，再把图像中的
特殊数据代入函数表达式进行计算。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3 3
学科网（北京）股份有限公司（3）v－t图像法：在同一坐标系中根据两个物体的运动情况作出v－t图像，应抓住速度相
等时的“面积”关系找位移关系。
类型一：a-t图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
a－t图像的物理意义：
由Δv＝aΔt可知图像中图线与横轴所围面积表示速度变化量，在时间轴上方为正，在时间
轴下方为负。
【典例2a提高题】甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动，它们运动的
加速度随时间变化图象如图所示.关于两车的运动情况，下列说法正确的是( )
A．在0～4 s内，甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动
B．在0～2 s内，两车间距逐渐增大，2～4 s内两车间距逐渐减小
C．在t＝2 s时，甲车的速度为3 m/s，乙车的速度为4.5 m/s
D．在t＝4 s时，甲车恰好追上乙车
【典例2a提高题】【答案】C
【解析】根据题图图象可知，在0～4 s内，甲车做匀加速直线运动，乙车做加速度逐渐减
小的加速直线运动，故A错误；加速度—时间图象的图线与时间轴所围的面积表示速度的
变化量，当t＝4 s时，两图线与t轴所围的面积相等，即该时刻两辆车的速度相等，此时两
车的间距最大，故B、D错误；在t＝2 s时，乙车的速度为v ＝×(1.5＋3)×2 m/s＝4.5
乙
m/s，甲车速度为v ＝1.5×2 m/s＝3 m/s，故C正确.
甲
【典例2a提高题对应练习】假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶．甲车在前，
乙车在后，速度均为v ＝30 m/s.甲、乙相距x ＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，
0 0
甲、乙两车的加速度随时间变化分别如图甲、乙所示．取运动方向为正方向．下列说法正
确的是( )
A．t＝3 s时两车相距最近 B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m D．两车在0～9 s内会相撞
【典例2a提高题对应练习】【答案】C
【解析】由题给图像画出两车的v－t图像如图所示，由图像可知，t＝6 s时两车等速，此
时距离最近，图中阴影部分面积为0～6 s内两车位移之差，即Δx＝x －x ＝[×30×3＋
乙 甲
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4 4
学科网（北京）股份有限公司×30×
(6－3)] m＝90 m<x ＝100 m，即两车在t＝6 s时距离最近，最近距离为x －Δx＝10 m，故
0 0
A、B错误，C正确；t＝6 s时，两车相距10 m，且甲车在前、乙车在后，在6～9 s内，甲
车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大，故在 0～9 s内，甲车一直在前，两车不会相
撞，故D错误．
类型二：-t图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
－t图像的物理意义：
由x＝vt＋at2可得＝v＋at，由此知－t图象的斜率为a，纵轴截距为v。
0 0 0
【典例2b提高题】小明和小华操控各自的玩具赛车甲、乙在小区平直的路面上做直线运动，
t＝0时刻两赛车恰好并排，此后两赛车运动的位移x与时间t的比值随时间t的关系如图所
示，对于甲、乙两赛车前2 s的运动，下列说法正确的是( )
A．t＝1 s时，甲在乙的前面且相距最远 B．t＝1 s时，甲、乙两赛车相遇
C．t＝2 s时，甲在乙的前面且相距最远 D．t＝2 s时，甲、乙两赛车相遇
【典例2b提高题】【答案】B
【解析】甲赛车恒定不变，故做匀速直线运动，速度为v ＝1 m/s.根据x＝vt＋at2可得＝
甲 0
at＋v 可知乙赛车初速度为零，加速度为a＝2 m/s2，故两质点在t＝0.5 s时速度相等，此
0
时两者相距最远；当两者相遇时v t＝at2，解得t＝1 s，甲、乙相遇，此后乙的速度大于
甲
甲的速度，乙在甲的前面，B正确．
【典例2b提高题对应练习】在相互平行的平直公路上，A、B两车沿同一方向做直线运动，
两车运动的位移与时间的比值 与t之间的关系图像如图所示，已知两车在t＝2 s时刻正好
并排行驶，下列说法中正确的是( )
A. B车做匀加速直线运动 B. t＝2 s时刻，A车的速度为4 m/s
C. 0～4 s内，A车运动的位移为32 m D. t＝0时刻，A车在前，B车在后
【典例2b提高题对应练习】【答案】C
【解析】根据匀变速直线运动的位移时间公式x＝vt＋ at2，变形得 ＝v＋ at，可知 t图
0 0
像的斜率k＝ a，B车图线的斜率为0，加速度为0，则B车做匀速直线运动，故A错误；
由A车图线可知 a＝2 m/s2，则A车的加速度为a＝4 m/s2，A车做初速度为零的匀加速直
线运动，则t＝2 s时刻，A车的速度为v＝aΔt＝4×2 m/s＝8 m/s，故B错误；由题图可知，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5 5
学科网（北京）股份有限公司对A车：t＝4 s时， ＝8 m，则x＝32 m，即0～4 s内，A车运动的位移为32 m，故C正
确；由题图可知，t＝2 s时两图线相交， 相等，说明在0～2 s内，两车通过的位移相同，
而两车在t＝2 s时刻正好并排行驶，所以t＝0时刻，两车也并排行驶，故D错误。
类型三：xv图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
函数数据代入法：先由运动学规律推导出两个物理量间的函数表达式，再把图像中的特殊
数据代入函数表达式进行计算。
【典例2c提高题】20世纪50年代，ABS“防抱死系统”开始应用于飞机和火车。现在，
ABS系统几乎已经成为民用汽车的标准配置，一实验小组做了某型民用汽车在有、无 ABS
的情况下“60～0 km/h全力制动刹车距离测试”，测试结果如图所示，由图推断，两种情
况下汽车的平均加速度之比a ∶a 为( )
有 无
A.3∶4 B.4∶3
C.∶2 D.2∶
【典例2c提高题】B
【解析】汽车刹车为匀减速直线运动，速度与位移的关系为 v2－v＝－2ax，两次实验初速
度相同，末速度相同，因此a∝，结合图象可得a
有
∶a
无
＝20∶15＝4∶3，故B正确。
【典例2c提高题对应练习】甲、乙两质点在同一时刻、从同一地点沿同一方向做直线运
动．质点甲做初速度为零、加速度大小为 a 的匀加速直线运动，质点乙做初速度为v 、加
1 0
速度大小为a 的匀减速直线运动至速度减为零保持静止，甲、乙两质点在运动过程中的xv
2
图像如图所示，虚线与对应的坐标轴垂直．下列说法正确的是( )
A．图线a表示质点乙的运动 B．质点甲的加速度大小为3 m/s2
C．质点乙的加速度大小为1 m/s2 D．开始运动后，两质点在x＝6 m处相遇
【典例2c提高题对应练习】【答案】C
【解析】根据图像可知，a图像的速度随位移增大而增大，b图像的速度随位移增大而减
小，所以图像a表示质点甲的运动，故A错误；当x＝0时，乙的速度为6 m/s，即质点乙
的初速度v ＝6 m/s，设质点乙、甲先后通过x＝6 m处时的速度均为v，对质点甲：v2＝
0
2ax①，对质点乙：v2－v＝－2ax②，联立①②解得a ＋a ＝3 m/s2③.当质点甲的速度v
1 2 1 2 1
＝8 m/s、质点乙的速度v ＝2 m/s时，两质点通过相同的位移均为 x′，对质点甲：v＝
2
2ax′④，对质点乙：v－v＝－2ax′⑤，联立④⑤解得 a ＝2a ⑥，联立③⑥解得 a ＝2
1 2 1 2 1
m/s2，a ＝1 m/s2，故B错误，C正确；图线a、b的交点表示两质点通过同一位置，但不
2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6 6
学科网（北京）股份有限公司是同时，故D错误．
类型四：v2x图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
v2－x图像的物理意义：
（1）由v2－v2＝2ax可知v2＝v2＋2ax，故v2－x图象斜率为2a，纵轴截距为v2。
0 0 0
（2）由v2－v＝2ax得x＝v2－v，故x－v2图象斜率为1/2a，纵轴截距为v2。
0
【典例2d提高题】（多选）在平直公路上甲、乙两车在相邻车道上行驶。甲、乙两车并排
行驶瞬间，前方有事故发生，两车同时开始刹车，刹车过程中两车速度的二次方v2随刹车
位移x的变化规律如图所示，则( )
A．乙车先停止运动
B．甲、乙两车刹车过程中加速度大小之比为4∶1
C．从开始刹车起经 s，两车恰好相遇
D．甲车停下时两车相距12.75 m
【典例2d提高题】【答案】BC
【解析】由v2－v＝－2ax，得v2＝－2ax＋v，结合图像有－2a ＝－ m/s2，－2a ＝－
1 2
m/s2，解得a ＝2 m/s2，a ＝0.5 m/s2，则甲、乙两车运动过程中加速度大小之比为＝，由图
1 2
像知甲车初速度v ＝6 m/s，乙车的初速度v ＝5 m/s，则刹车过程，甲车运动时间t ＝3
01 02 1
s，乙车运动时间t ＝10 s，A错误，B正确；相遇时结合位移关系得v t－at2＝v t－at2，
2 01 1 02 2
解得t＝0(舍去)，t＝ s，C正确；甲车停下时，甲车的位移大小x ＝9 m，乙车的位移大小
1
x＝v t－at＝12.75 m，两车相距Δx＝x－x＝3.75 m，D错误。
2 021 2 2 1
类型五：a－x图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
a－x图象的物理意义：
由v2－v＝2ax，静止运动的有v2等于速度a与位移x关系图线与坐标轴围成的面积的2倍。
【典例2e提高题】甲、乙两物体在水平面上从同一地点由静止开始沿同一方向做直线运动，
它们的加速度a随位移x变化的关系图像如图所示，则( )
A. x＝6 m时，两者相遇 B. 甲运动6 m时，甲的速度比乙大
C. 乙运动8 m时的速度等于4 m/s D. 甲运动8 m的过程中，它的速度逐渐减小
【典例2e提高题】【答案】B
【解析】甲、乙两物体运动过程中加速度均在变化，采用微元法，结合v2＝2ax可知图线
与横轴围成的面积表示 。结合题图可知，当0<x≤6 m时，甲的瞬时速度始终大于乙的瞬
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7 7
学科网（北京）股份有限公司时速度，因此甲先运动到6 m位置，A错误，B正确；设乙运动8 m时的瞬时速度为v，
1
结合图线与时间轴围成的面积的意义，可知 ＝ ×8×(1＋2)(m2/s2)，可得v＝2 m/s，C错
1
误；甲在运动8 m的过程中做加速度减小的加速运动，速度逐渐增大，D错误。
考点二：行车安全与生活实际的追及相遇问题
题型一：行车安全中速度小者追速度大者
情景 图像 说明
匀加速追匀速
①t＝t 以前，后面物体与前面物体间距离增
0
大
②t＝t 时，两物体相距最远，为x ＋Δx(x 为
0 0 0
两物体初始距离)
匀速追匀减速
③t＝t 以后，后面物体与前面物体间距离减
0
小
④能追上且只能相遇一次
匀加速追匀减速
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已
经停止运动.
类型一：匀加速追匀速模型
【典例1a提高题】某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s
的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶．
（1）求赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
（2）求赛车何时追上安全车？追上之前与安全车最远相距多少？
（3）当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线
运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)
【典例1a提高题】【答案】(1)6 m/s (2)20 s 225 m (3)20 s
【解析】(1)赛车3 s末的速度v ＝at ＝2×3 m/s＝6 m/s.(2)设经t 时间追上安全车，由位移
1 11 2
关系得vt ＋200 m＝at，解得t ＝20 s，此时赛车的速度v＝at ＝2×20 m/s＝40 m/s，当
02 1 2 12
两车速度相等时，两车相距最远，由v＝at 得两车速度相等时，经过的时间t＝＝ s＝5 s
0 13 3
两车最远相距Δs＝vt＋200 m－at＝ m＝225 m.
03 1
(3)假设再经t 时间两车第二次相遇(两车一直在运动)，由位移关系得vt－at＝vt
4 4 2 04
解得t ＝15 s，赛车停下来的时间t′＝＝ s＝10 s，所以t ＝15 s不合实际，两车第二次相
4 4
遇时赛车已停止运动．设再经时间t 两车第二次相遇，应满足＝vt 解得t＝20 s.
5 05 5
【典例1a提高题对应练习】一条平直公路上的甲、乙两站相距x＝900 m，一辆公交车从
甲站启动驶向乙站，公交车先做匀加速运动，速度到达v ＝15 m/s后匀速行驶，距乙站x
1 1
＝30 m时刹车做匀减速运动，恰好停在乙站。公交车从甲站出发时，一辆电动车在其前方
x＝230 m处以v＝10 m/s的速度沿公路驶向乙站，两车同时到达乙站。求：
2 2
（1）公交车刹车的时间；
（2）公交车加速的加速度大小；
（3）公交车与电动车第一次相遇点到乙站的距离。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8 8
学科网（北京）股份有限公司【典例1a提高题对应练习】【答案】(1)4 s (2)1.5 m/s2 (3)60 m
【解析】(1)设公交车刹车的时间为t ，则有x ＝t 代入数据解得t ＝4 s。(2)电动车到乙站
1 1 1 1
所用的时间为t＝＝ s＝67 s，由题意可知，公交车从甲站到乙站的时间也为67 s，则汽车
匀加速的时间t 与匀速的时间t 之和为t ＋t ＝t－t ＝63 s，对公交车匀加速与匀速阶段有
2 3 2 3 1
＋vt＝x－x，联立解得t＝10 s，t＝53 s，则公交车加速的加速度大小
13 1 2 3
a＝＝ m/s2＝1.5 m/s2。(3)设公交车匀速t 时间与电动车第一次相遇，则有＋vt ＝x ＋v(t
4 14 2 2 2
＋t)解得t＝51 s，则公交车运动的距离为x＝＋vt＝m＝840 m，此时公交车离乙站的距
4 4 4 14
离为Δx＝x－x＝60 m。
4
类型二：匀加速追匀加速模型
【典例1b提高题】在平直路面上，某时刻甲、乙两辆可视为质点的小车相距为 ，
甲在前，乙在后，两车沿同方向做直线运动，以乙车所在位置为坐标原点，沿运动方向建
立坐标轴，从该时刻开始，两车速度的平方 随其位置坐标x的变化图像如图所示。两车
分别搭载信号发射和接收系统进行实时通信，当两车间的距离超过 时，就无法
进行实时通信。求：
（1）甲、乙两小车的加速度大小；
（2）乙追上甲之前两车的最大间距；
（3）乙追上甲之前两车能实时通信的总时间(结果可用根号表示)。
【典例1b提高题】【答案】(1) ； ；(2) ；(3)
【解析】(1)由图可知 随x的变化关系为一次函数，故甲、乙两车均做匀变速直线运动
根据 ，分别代入数据可得甲的初速度， ，加速度 ，乙
的初速度为0，加速度 ，(2)设当经过 时间两车速度大小相等，此时两车相
距最远
即 ，解得 ，甲、乙两车在相遇前的最大距离为，
，解得 。(3)设经过时间 两车相遇，则有
，解得 (舍去负根 )，设经过时间t两车相距为
，则有 ，解得 ， ，甲、乙两车在相遇前能
通信的时间为0~2s和 ，共 。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9 9
学科网（北京）股份有限公司【典例1b提高题对应练习】甲、乙两赛车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方
L ＝11m处，此时乙车速度v ＝60m/s，甲车速度v ＝50m/s，乙车离终点线尚有L ＝
1 乙 甲 2
1350m。甲乙两车皆做匀加速直线运动，a ＝2m/s2，a ＝1m/s2，不计车长。求：
甲 乙
(1)两赛车从该时刻起，在加速过程中经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多
少？
(2)若两赛车达到最大距离时，乙车加速度突然变为零，当乙车最终匀速到达终点时甲车能
否超过乙车。
【典例1b提高题对应练习】【答案】(1)61m；(2)乙车到达终点时，甲车已经超过乙车
【解析】(1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大，即 ，解
得
， ，甲车位移为 ，乙车位移为
，此过程中，甲、乙两车运动示意图如图所示：
，故此时两车之间的距离为
(2)乙车匀速运动到达终点共需时间为t＝ ，此过程中甲车的位移
2
， ，故乙车到达终点时，甲车已
经超过乙车。
题型二：行车安全中速度大者追速度小者
【知识思维方法技巧】
情景 图像 说明
开始追赶时，两物体间距离为x ，之后两物体间的
0
匀减速追匀速
距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t 时刻：
0
①若Δx＝x ，则恰能追上，两物体只能相遇一次，
0
这也是避免相撞的临界条件
匀速追匀加速 ②若Δx<x ，则不能追上，此时两物体最小距离为
0
x－Δx
0
③若Δx>x ，则相遇两次，设t 时刻Δx＝x ，两物
0 1 0
体第一次相遇，则t 时刻两物体第二次相遇(t －t ＝
匀减速追匀加速 2 2 0
t－t)
0 1
类型一：匀减速追匀速模型
【典例2a提高题】随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常低头看手机，
然而开车时看手机是一种危险驾驶行为，极易引发交通事故。如图甲所示，一辆出租车在
平直公路上以v ＝20 m/s的速度匀速行驶，此时车的正前方 x ＝63.5 m处有一辆电动车，
0 0
正以v＝6 m/s的速度匀速行驶，而出租车司机此时开始低头看手机，3.5 s后才发现危险，
1
司机经0.5 s反应时间后，立即采取紧急制动措施。若从司机发现危险开始计时，出租车的
速度—时间图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10 10
学科网（北京）股份有限公司（1）若出租车前面没有任何物体，从司机开始低头看手机到出租车停止运动的这段时间内，
出租车前进的距离是多少？
（2）通过计算判断电动车是否被撞。若不会被撞，求二者之间的最小距离；若会相撞，求
从出租车刹车开始，经过多长时间二者相撞。
【典例2a提高题】【答案】(1)120 m (2)电动车会被撞 经过0.6 s二者相撞
【解析】(1)根据题意可知，出租车先匀速行驶 t ＝3.5 s，然后在反应时间t ＝0.5 s内继续
1 2
匀速行驶，再匀减速行驶t ＝4.0 s停止，总位移为x＝v(t ＋t)＋vt ＝120 m。(2)由题图乙
3 0 1 2 03
可知，出租车做匀减速运动的加速度大小为a＝＝5 m/s2，设两车速度相等时，出租车的刹
车时间为Δt，则有v －aΔt＝v ，解得Δt＝2.8 s，出租车的位移为 x ＝v(t ＋t)＋(v ＋
0 1 1 0 1 2 0
v)Δt，
1
代入数据可解得x ＝116.4 m。电动车的位移为x ＝v(t ＋t ＋Δt)＝40.8 m，因为x －x ＝
1 2 1 1 2 1 2
75.6 m>63.5 m，故两车会相撞。设两车经过时间t′相撞，则有v(t＋t)＋vt′－at′2＝x
0 1 2 0 0
＋v(t＋t＋t′)，代入数据解得t′＝0.6 s(另一解不符合题意，舍去)。
1 1 2
【典例2a提高题对应练习】一辆汽车以某一速度在平直路面上匀速行驶，司机忽然发现正
前方一辆自行车正以4m/s同向行驶，汽车司机反应0.5s后为避免相撞立即匀减速刹车，
恰好未与自行车相撞，已知汽车刹车过程中做匀减速至停止运动，从减速开始，第1s的位
移是32m，第5s的位移是1m，两车均可视为质点。求∶
（1）汽车匀速行驶的速度大小；
（2）汽车司机发现自行车时两车间的距离。
【典例2a提高题对应练习】【答案】(1)36m/s；(2)80m
【解析】（1）设汽车5s末没有减速至0， ， ，
，解得a=7.75m/s2，v=35.875m/s，v=v-5at，v=-2.875m/s。所以汽车在
0 5 0 5
4s-5s间减速至0，设第4s末的速度为v， ， 得v=4m/s，
4 4
或 m/s(舍)，v=v+4at，v=36m/s，a=8m/s2(2)恰好未相撞，v- at′=v，t′=4s，
0 4 0 0
，x=80m
0
类型二：匀减速追匀减速模型
【典例2b提高题】春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费
站，但要求小轿车通过收费站窗口前x ＝9 m区间的速度不超过v ＝6 m/s.现有甲、乙两小
0 0
轿车在收费站前平直公路上分别以v
甲
＝20 m/s和v乙 ＝34 m/s的速度匀速行驶，甲车在
前，乙车在后．甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a ＝2 m/s2的加速度匀减速刹
甲
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11 11
学科网（北京）股份有限公司车．
（1）甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章．
（2）若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9 m处的速度恰好为6 m/s，乙车司机在发现
甲车刹车时经t ＝0.5 s的反应时间后开始以大小为a ＝4 m/s2的加速度匀减速刹车．为避
0 乙
免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9 m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两
车至少相距多远？
【典例2b提高题】【答案】(1)100 m (2)66 m
【解析】(1)对甲车速度由20 m/s减速至6 m/s过程中的位移x ＝＝91 m，x ＝x ＋x ＝100
1 2 0 1
m，即甲车司机需在离收费站窗口至少100 m处开始刹车。
(2)设甲刹车后经时间t，甲、乙两车速度相同，由运动学公式得：v －a (t－t)＝v －a
乙 乙 0 甲
t，解得t＝8 s，相同速度v＝v －a t＝4 m/s<6 m/s，即v＝6 m/s的共同速度为不相撞的
甲 甲
临界条件，乙车从34 m/s减速至6 m/s的过程中的位移为x ＝v t ＋＝157 m，所以甲、乙
3 乙 0
两车间的距离至少为x＝x－x＝66 m。
3 1
【典例2b提高题对应练习】现有甲、乙两辆汽车正沿同一平直公路同向匀速行驶，甲车在
前，乙车在后，它们行驶的速度大小均为v＝10 m/s。当两车快要到十字路口时，甲车司机
看到绿灯已转换成了黄灯，于是紧急刹车(反应时间忽略不计)，乙车司机为了避免与甲车
相撞也紧急刹车，但乙车司机反应较慢(反应时间t ＝0.5 s)。甲车司机之前为了熟悉车况，
0
驾驶车辆进行了一段空挡滑行，根据经验计算出滑行加速度大小为 a ＝0.5 m/s2，已知乙车
0
紧急刹车时加速度大小为a＝5 m/s2。
2
（1）若甲车司机看到黄灯时车头距停车线x＝16 m，他在刹车过程中发现预计的停车位置
离停车线还有一段距离，于是在车头离停车线x′＝4 m时停止刹车让车做空挡滑行，车头
恰好停在停车线前，则甲车紧急刹车时的加速度为多大？
（2）在（1）的情况下，为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车在行驶过程中
至少应保持多大距离？
【典例2b提高题对应练习】【答案】(1)4 m/s (2)2.6 m
【解析】(1)设甲车空挡滑行前的速度大小为v ，则v＝2ax′设甲车紧急刹车时的加速度大
1 0
小为a，则v2－v＝2a(x－x′)解得a＝4 m/s2。 (2)甲车紧急刹车的时间t＝＝2 s
1 1 1 1
设甲、乙两车在行驶过程中至少应保持的距离为 x ，在乙车开始刹车后经过t 时间两车速
0 2
度相等，所以v－a(t ＋t)＝v－at 解得t ＝2 s(不符合题意)，所以速度相等的时刻在甲车
1 2 0 22， 2
空挡滑行的时间内，上式应为v－a(t－t＋t)＝v－at，解得t＝1.61 s，甲车的位移x ＝
1 0 2 1 0 22 2 甲
(x－x′)＋v
1
(t
2
＋t
0
－t
1
)－a
0
(t
2
＋t
0
－t
1
)2＝12.2 m，乙车的位移x
乙
＝vt
2
－a
2
t＝9.6 m⑦x
0
＝x
甲
－
x ＝2.6 m。
乙
类型三：匀速追静止模型
【典例2c提高题】（多选）汽车在路上出现故障时，应在车后放置三角警示牌(如图所示)，
以提醒后面驾车司机减速安全通过．在夜间，有一辆货车因故障停驶，后面有一辆小轿车
以30 m/s的速度向前驶来，由于夜间视线不好，小轿车驾驶员只能看清前方50 m内的物
体，并且他的反应时间为0.6 s，制动后，轿车的最大加速度为5 m/s2.假设小轿车始终沿直
线运动．下列说法正确的是( )
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12 12
学科网（北京）股份有限公司A. 小轿车的制动距离(制动到停止所运动的距离)为80 m
B. 小轿车从发现三角警示牌到停止所用的最短时间为6.6 s
C. 小轿车运动到三角警示牌时的最小速度为25 m/s
D. 三角警示牌至少要放在车后58 m远处，才能有效避免两车相撞
【典例2c提高题】【答案】BD
【解析】小轿车减速过程移动的距离为s＝ ＝ m＝90 m，故A错误；减速时
2
间t＝ ＝6 s，小轿车从发现三角警示牌到停止所用的最短时间为t′＝t＋t＝6.6 s，故B
2 2 1
正确；小轿车驾驶员发现三角警示牌后反应过程运动的距离为s＝vt＝30×0.6 m＝18 m，
1 01
所以小轿车运动到三角警示牌时的最小速度v2－v2＝－2a(s－s)，解得v≈24 m/s，故C错
0 0 1
误；为避免发生安全事故，则s＋s＝s＋s，代入数据解得s＝s＋s－s＝18 m＋90 m－50
1 2 0 1 2 0
m＝58 m，故D正确．
题型三：体育运动的追及相遇问题
类型一：足球运动的追及相遇问题
【典例3a提高题】水平地面上有一足球距门柱的距离为x＝32 m，某同学将足球以水平速
度v＝10 m/s踢向球门，足球在地面上做匀减速直线运动，加速度大小为a＝1 m/s2，足球
1 1
撞到门柱后反向弹回，弹回瞬间速度大小是碰撞前瞬间速度大小的。该同学将足球踢出后
立即由静止开始以大小为a ＝2 m/s2的加速度沿足球的运动方向追赶足球，他能够达到的
2
最大速度v＝8 m/s。求：
2
（1）足球被反向弹回瞬间的速度大小；
（2）该同学至少经过多长时间才能追上足球(保留两位有效数字)。
【典例3a提高题】(1)1.5 m/s (2)5.9 s
【解析】(1)设足球运动到门柱时的速度大小为v，由运动学公式有v2－v2＝－2ax，
3 3 1 1
解得v ＝6 m/s，则足球被反向弹回瞬间的速度大小v ＝v ＝1.5 m/s。(2)足球从踢出到撞门
3 4 3
柱前的运动时间为t ＝＝4 s，4 s末该同学的速度大小为at ＝8 m/s＝v 在这4 s时间内该
1 21 2，
同学前进的位移为x＝t＝16 m。则4 s内该同学未能追上足球，4 s末速度达到最大，之后
2 1
该同学匀速运动，设足球从反向弹回到减速为0所需的时间为t ，则0＝v －at ，解得t ＝
2 4 12 2
1.5 s，足球反弹后运动的距离为x ＝＝1.125 m，t 时间内该同学前进的位移x ＝vt ＝12
3 2 4 22
m，因x ＋x ＋x<x，故足球静止时该同学还未追上足球 ，设该同学匀速前进t 时间后追
2 3 4 3
上足球，则x＋vt＝x－x 解得t＝1.9 s，该同学追上足球所用时间t＝t＋t＝5.9 s。
3 23 2 3 1 3
类型二：接力运动的追及相遇问题
【典例3b提高题】亚运会男子4×100 m接力赛上，现有甲、乙两运动员在训练交接棒的
过程中发现，甲短矩离加速后能保持v＝9 m/s的速度跑完全程．为了确定乙起跑的时机，
需在接力区前适当的位置设置标记，在某次练习中，甲在接力区前x 处做了标记，当甲跑
0
到此标记时向乙发出起跑口令，乙在接力区的前端听到口令时立即起跑(忽略声音传播的时
间及人的反应时间)，已知接力区的长度为L＝20 m，设乙起跑后的运动是匀加速运动，试
求：
（1）若x ＝13.5 m，且乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒，则在完成交
0
接棒时乙离接力区末端的距离为多大？
（2）若x ＝16 m，乙的最大速度为8 m/s，并能以最大速度跑完全程，要使甲、乙能在接
0
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13 13
学科网（北京）股份有限公司力区完成交接棒，则乙在听到口令后加速的加速度最大为多少？
【典例3b提高题】【答案】(1)6.5 m (2) m/s2
【解析】(1)设经过时间t，甲追上乙，乙的加速度为a ，则根据题意有vt－＝x ，将v＝9
1 0
m/s，x ＝13.5 m代入得t＝3 s，又v＝at，解得a ＝3 m/s2，设乙跑的距离为x，则x＝
0 1 1
at2，代入数据得到x＝13.5 m，所以乙离接力区末端的距离为Δx＝L－x＝20 m－13.5 m＝
1
6.5 m
(2)由题意可知，乙的加速度越大，在完成交接棒时乙跑过的距离越长．当在接力区的边缘
完成交接棒时，乙的加速度最大，设乙此时的加速度为 a ，运动的时间t ＝＝，乙达到其
2 0
最大速度所用的时间t＝，L＝at＋v (t－t)，联立解得a＝ m/s2
1 2 乙 0 1 2
【典例3b提高题对应练习】如图所示，在一次接力训练中，已知甲、乙两运动员经短
距离加速后都能达到并保持10 m/s的速度跑完全程．设乙从起跑后到接棒前的运动是
匀加速运动，加速度大小为3 m/s2.乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时
完成交接棒．在这次练习中，甲以v＝10 m/s的速度跑到接力区前端s ＝14.0 m处向乙
0
发出起跑口令．已知接力区的长度为L＝20 m.
（1）求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离；
（2）为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力
区前端多远时对乙发出起跑口令？
（3）在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？
【典例3b提高题对应练习】【答案】(1)6 m (2)16.7 m (3)2 s
【解析】(1)设乙加速到交接棒处时运动时间为t，则在甲追乙过程中有：s ＋ at2＝vt
0
代入数据得：t ＝2 s，t ≈4.67 s(大于乙加速最长时间t ＝ ＝ s，故舍去)，此次练习
1 2 m
中交接棒处离接力区前端的距离为：x＝ at 2＝6 m.(2)乙加速时间为：t ＝ ＝ s
1 乙
设甲在距离接力区前端为s时对乙发出起跑口令则在甲追乙过程中有：s＋ vt ＝vt
乙 乙
代入数据得：s≈16.7 m.(3)棒在(2)情形下以v＝10 m/s的速度运动，所以有：t′＝ ＝2 s.
题型四：竖直上抛和自由落体运动的相遇问题
【典例4提高题】（多选）如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于乙球正上方 h处，现
从地面上竖直上抛乙球，初速度v ＝10 m/s，同时让甲球自由下落，不计空气阻力．（取g
0
＝10 m/s2，甲、乙两球可看作质点）下列说法正确的是( )
A．无论h为何值，甲、乙两球一定能在空中相遇
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14 14
学科网（北京）股份有限公司B．当h＝10 m时，乙球恰好在最高点与甲球相遇
C．当h＝15 m时，乙球能在下落过程中与甲球相遇
D．当h<10 m时，乙球能在上升过程中与甲球相遇
【典例4提高题】【答案】BCD
【解析】设两球在空中相遇，所需时间为t，根据运动学公式可得gt2＋vt－gt2＝h，可得t
0
＝，而乙球的落地时间t ＝，两球在空中相遇的条件是t<t ，整理得h<20 m，A错误；若
1 1
乙球恰好在最高点与甲球相遇，满足的条件是t＝t ，代入数据整理得h＝10 m，B正确；
1
由于10 m<h＝15 m<20 m，可得乙球能在下落过程中与甲球相遇，C正确；当h<10 m时，
乙球还没有上升到最高点就与甲球相遇，D正确．
【典例4提高题对应练习】（多选）从地面竖直上抛一物体A，同时在离地面某一高度处
有一物体B自由下落，两物体在空中同时到达同一高度时速度大小均为v，则下列说法正
确的是( )
A．A上抛的初速度与B落地时速度大小相等，都是2v
B．两物体在空中运动的时间相等
C．A上升的最大高度与B开始下落时的高度相同
D．两物体在空中同时达到的同一高度处一定是B开始下落时高度的中点
【典例4提高题对应练习】【答案】AC
【解析】设两物体从开始运动到相遇的时间为t，竖直上抛物体的初速度为v，则由题意可
0
知gt＝v －gt＝v解得v ＝2v，根据竖直上抛运动的对称性可知，A物体上抛到顶点的时间
0 0
为2t，根据条件可知B物体下落的时间也为2t，，B自由落到地面的速度为2v故A正确，
B错误，C正确。两物体在空中同时达到同一高度为h＝gt2＝g()2＝＝h ，故D错误。
B
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15 15
学科网（北京）股份有限公司
