文档内容
知识点 4：运动的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
运动追及相遇问题的解题方法：
（1）物理法（临界条件法）：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审
题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图。
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x ，当v ＝v 时，若x >x ＋x ，则能追上；若
0 B A B A 0
x ＝x ＋x，则恰好追上；若x 0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．
当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．
（3）图象法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．若用位移—时间图像求解，如果两
个物体的位移—时间图像相交，则说明两物体相遇。v－t图象在已知出发点的前提下，可
由图象“面积”判断相距最远、最近及相遇．
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经
停止运动。
考点一：运动图像中的追及相遇问题
题型一：常规运动图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
常规运动图像中的追及相遇问题的处理技巧：
（1）识图像画草图：首先用函数斜率面积法，对给出运动图像的截距、交点、拐点、面积、
斜率进行识别，然后根据图像所反映的物体的运动情况，画出物体的运动草图。
（2）找关系列方程：根据运动草图反映的物理过程，找出物体运动的时间关系、位移关系、
速度关系。列出物体的运动学方程，求出结果并对结果的合理性进行讨论。
类型一：xt图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
x－t图像中的追及相遇问题：xt图像中两图线的交点表示两物体相遇。
【典例1a提高题】如图所示，两曲线分别是a、b两物体的位移—时间图象(图线为抛物线)，
则两物体在t～t 时间内( )
1 2
A．a物体做匀加速直线运动 B．b物体的路程大于a物体的路程
C．某时刻，a、b两物体的速度相同 D．a、b两物体的加速度方向相同
【典例1a提高题对应练习】（多选）甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速
直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示．下列说法
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学科网（北京）股份有限公司正确的是( )
A. 在t 时刻两车速度相等 B. 从0到t 时间内，两车走过的路程相等
1 1
C. 从t 到t 时间内，两车走过的路程相等 D. 在t 到t 时间内的某时刻，两车速度相等
1 2 1 2
类型二：vt图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
v－t图像中的追及相遇问题：
①vt图像中两图线的交点表示该时刻两物体的速度相等，并非相遇。
②v－t图线(或切线)的斜率表示物体的加速度．v－t图线与t轴所围“面积”表示这段时间
内物体的位移．
③有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
【典例1b提高题】（多选）甲、乙两同学相约去参观博物馆，两人同时从各自家中出发，
沿同一直线相向而行，经过一段时间后两人会合。身上携带的运动传感器分别记录了他们
在这段时间内的速度大小随时间的变化关系，如图所示。其中，甲的速度大小随时间变化
的图线为两段四分之一圆弧，则( )
A．在t 时刻，甲、乙两人速度相同
1
B．0～t 时间内，乙所走路程大于甲
2
C．在t 时刻，甲、乙两人加速度大小相等
3
D．0～t 时间内，甲、乙两人平均速率相同
4
【典例1b提高题对应练习】（多选）近期，一段特殊的“飙车”视频红遍网络，视频中，
一辆和谐号动车正和一辆复兴号动车互相追赶(如图)．两车并排做直线运动，其运动
情况如图乙所示，t＝0时，两车车头刚好并排，则( )
A. 10 s末和谐号的加速度比复兴号的大
B. 图乙中复兴号的最大速度为78 m/s
C. 0到32 s内，在24 s末两车头相距最远
D. 两车头在32 s末再次并排
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学科网（北京）股份有限公司题型二：非常规运动图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
非常规运动图像追及相遇问题的处理方法：
（1）函数斜率面积法：先由运动学规律推导出两个物理量间的函数表达式，再根据函数表
达式的斜率、截距的意义求出相应的问题，特别是解决对于不太熟悉的图像等要注意这种
转化。
（2）函数数据代入法：先由运动学规律推导出两个物理量间的函数表达式，再把图像中的
特殊数据代入函数表达式进行计算。
（3）v－t图像法：在同一坐标系中根据两个物体的运动情况作出v－t图像，应抓住速度相
等时的“面积”关系找位移关系。
类型一：a-t图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
a－t图像的物理意义：
由Δv＝aΔt可知图像中图线与横轴所围面积表示速度变化量，在时间轴上方为正，在时间
轴下方为负。
【典例2a提高题】甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动，它们运动的
加速度随时间变化图象如图所示.关于两车的运动情况，下列说法正确的是( )
A．在0～4 s内，甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动
B．在0～2 s内，两车间距逐渐增大，2～4 s内两车间距逐渐减小
C．在t＝2 s时，甲车的速度为3 m/s，乙车的速度为4.5 m/s
D．在t＝4 s时，甲车恰好追上乙车
【典例2a提高题对应练习】假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶．甲车在前，
乙车在后，速度均为v ＝30 m/s.甲、乙相距x ＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，
0 0
甲、乙两车的加速度随时间变化分别如图甲、乙所示．取运动方向为正方向．下列说法正
确的是( )
A．t＝3 s时两车相距最近 B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m D．两车在0～9 s内会相撞
类型二：-t图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
－t图像的物理意义：
由x＝vt＋at2可得＝v＋at，由此知－t图象的斜率为a，纵轴截距为v。
0 0 0
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学科网（北京）股份有限公司【典例2b提高题】小明和小华操控各自的玩具赛车甲、乙在小区平直的路面上做直线运动，
t＝0时刻两赛车恰好并排，此后两赛车运动的位移x与时间t的比值随时间t的关系如图所
示，对于甲、乙两赛车前2 s的运动，下列说法正确的是( )
A．t＝1 s时，甲在乙的前面且相距最远 B．t＝1 s时，甲、乙两赛车相遇
C．t＝2 s时，甲在乙的前面且相距最远 D．t＝2 s时，甲、乙两赛车相遇
【典例2b提高题对应练习】在相互平行的平直公路上，A、B两车沿同一方向做直线运动，
两车运动的位移与时间的比值 与t之间的关系图像如图所示，已知两车在t＝2 s时刻正好
并排行驶，下列说法中正确的是( )
A. B车做匀加速直线运动 B. t＝2 s时刻，A车的速度为4 m/s
C. 0～4 s内，A车运动的位移为32 m D. t＝0时刻，A车在前，B车在后
类型三：xv图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
函数数据代入法：先由运动学规律推导出两个物理量间的函数表达式，再把图像中的特殊
数据代入函数表达式进行计算。
【典例2c提高题】20世纪50年代，ABS“防抱死系统”开始应用于飞机和火车。现在，
ABS系统几乎已经成为民用汽车的标准配置，一实验小组做了某型民用汽车在有、无 ABS
的情况下“60～0 km/h全力制动刹车距离测试”，测试结果如图所示，由图推断，两种情
况下汽车的平均加速度之比a ∶a 为( )
有 无
A.3∶4 B.4∶3
C.∶2 D.2∶
【典例2c提高题对应练习】甲、乙两质点在同一时刻、从同一地点沿同一方向做直线运
动．质点甲做初速度为零、加速度大小为 a 的匀加速直线运动，质点乙做初速度为v 、加
1 0
速度大小为a 的匀减速直线运动至速度减为零保持静止，甲、乙两质点在运动过程中的xv
2
图像如图所示，虚线与对应的坐标轴垂直．下列说法正确的是( )
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学科网（北京）股份有限公司A．图线a表示质点乙的运动 B．质点甲的加速度大小为3 m/s2
C．质点乙的加速度大小为1 m/s2 D．开始运动后，两质点在x＝6 m处相遇
类型四：v2x图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
v2－x图像的物理意义：
（1）由v2－v2＝2ax可知v2＝v2＋2ax，故v2－x图象斜率为2a，纵轴截距为v2。
0 0 0
（2）由v2－v＝2ax得x＝v2－v，故x－v2图象斜率为1/2a，纵轴截距为v2。
0
【典例2d提高题】（多选）在平直公路上甲、乙两车在相邻车道上行驶。甲、乙两车并排
行驶瞬间，前方有事故发生，两车同时开始刹车，刹车过程中两车速度的二次方v2随刹车
位移x的变化规律如图所示，则( )
A．乙车先停止运动
B．甲、乙两车刹车过程中加速度大小之比为4∶1
C．从开始刹车起经 s，两车恰好相遇
D．甲车停下时两车相距12.75 m
类型五：a－x图像中的追及相遇问题
【知识思维方法技巧】
a－x图象的物理意义：
由v2－v＝2ax，静止运动的有v2等于速度a与位移x关系图线与坐标轴围成的面积的2倍。
【典例2e提高题】甲、乙两物体在水平面上从同一地点由静止开始沿同一方向做直线运动，
它们的加速度a随位移x变化的关系图像如图所示，则( )
A. x＝6 m时，两者相遇 B. 甲运动6 m时，甲的速度比乙大
C. 乙运动8 m时的速度等于4 m/s D. 甲运动8 m的过程中，它的速度逐渐减小
考点二：行车安全与生活实际的追及相遇问题
题型一：行车安全中速度小者追速度大者
情景 图像 说明
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学科网（北京）股份有限公司匀加速追匀速
①t＝t 以前，后面物体与前面物体间距离增
0
大
②t＝t 时，两物体相距最远，为x ＋Δx(x 为
0 0 0
两物体初始距离)
匀速追匀减速
③t＝t 以后，后面物体与前面物体间距离减
0
小
④能追上且只能相遇一次
匀加速追匀减速
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已
经停止运动.
类型一：匀加速追匀速模型
【典例1a提高题】某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s
的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶．
（1）求赛车出发3 s末的瞬时速度大小；
（2）求赛车何时追上安全车？追上之前与安全车最远相距多少？
（3）当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线
运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)
【典例1a提高题对应练习】一条平直公路上的甲、乙两站相距x＝900 m，一辆公交车从
甲站启动驶向乙站，公交车先做匀加速运动，速度到达v ＝15 m/s后匀速行驶，距乙站x
1 1
＝30 m时刹车做匀减速运动，恰好停在乙站。公交车从甲站出发时，一辆电动车在其前方
x＝230 m处以v＝10 m/s的速度沿公路驶向乙站，两车同时到达乙站。求：
2 2
（1）公交车刹车的时间；
（2）公交车加速的加速度大小；
（3）公交车与电动车第一次相遇点到乙站的距离。
类型二：匀加速追匀加速模型
【典例1b提高题】在平直路面上，某时刻甲、乙两辆可视为质点的小车相距为 ，
甲在前，乙在后，两车沿同方向做直线运动，以乙车所在位置为坐标原点，沿运动方向建
立坐标轴，从该时刻开始，两车速度的平方 随其位置坐标x的变化图像如图所示。两车
分别搭载信号发射和接收系统进行实时通信，当两车间的距离超过 时，就无法
进行实时通信。求：
（1）甲、乙两小车的加速度大小；
（2）乙追上甲之前两车的最大间距；
（3）乙追上甲之前两车能实时通信的总时间(结果可用根号表示)。
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学科网（北京）股份有限公司【典例1b提高题对应练习】甲、乙两赛车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方
L ＝11m处，此时乙车速度v ＝60m/s，甲车速度v ＝50m/s，乙车离终点线尚有L ＝
1 乙 甲 2
1350m。甲乙两车皆做匀加速直线运动，a ＝2m/s2，a ＝1m/s2，不计车长。求：
甲 乙
(1)两赛车从该时刻起，在加速过程中经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多
少？
(2)若两赛车达到最大距离时，乙车加速度突然变为零，当乙车最终匀速到达终点时甲车能
否超过乙车。
题型二：行车安全中速度大者追速度小者
【知识思维方法技巧】
情景 图像 说明
开始追赶时，两物体间距离为x ，之后两物体间的
0
匀减速追匀速
距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t 时刻：
0
①若Δx＝x ，则恰能追上，两物体只能相遇一次，
0
这也是避免相撞的临界条件
匀速追匀加速 ②若Δxx ，则相遇两次，设t 时刻Δx＝x ，两物
0 1 0
体第一次相遇，则t 时刻两物体第二次相遇(t －t ＝
匀减速追匀加速 2 2 0
t－t)
0 1
类型一：匀减速追匀速模型
【典例2a提高题】随着智能手机的使用越来越广泛，一些人在驾车时也常常低头看手机，
然而开车时看手机是一种危险驾驶行为，极易引发交通事故。如图甲所示，一辆出租车在
平直公路上以v ＝20 m/s的速度匀速行驶，此时车的正前方 x ＝63.5 m处有一辆电动车，
0 0
正以v＝6 m/s的速度匀速行驶，而出租车司机此时开始低头看手机，3.5 s后才发现危险，
1
司机经0.5 s反应时间后，立即采取紧急制动措施。若从司机发现危险开始计时，出租车的
速度—时间图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2。
（1）若出租车前面没有任何物体，从司机开始低头看手机到出租车停止运动的这段时间内，
出租车前进的距离是多少？
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学科网（北京）股份有限公司（2）通过计算判断电动车是否被撞。若不会被撞，求二者之间的最小距离；若会相撞，求
从出租车刹车开始，经过多长时间二者相撞。
【典例2a提高题对应练习】一辆汽车以某一速度在平直路面上匀速行驶，司机忽然发现正
前方一辆自行车正以4m/s同向行驶，汽车司机反应0.5s后为避免相撞立即匀减速刹车，
恰好未与自行车相撞，已知汽车刹车过程中做匀减速至停止运动，从减速开始，第1s的位
移是32m，第5s的位移是1m，两车均可视为质点。求∶
（1）汽车匀速行驶的速度大小；
（2）汽车司机发现自行车时两车间的距离。
类型二：匀减速追匀减速模型
【典例2b提高题】春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费
站，但要求小轿车通过收费站窗口前x ＝9 m区间的速度不超过v ＝6 m/s.现有甲、乙两小
0 0
轿车在收费站前平直公路上分别以v
甲
＝20 m/s和v乙 ＝34 m/s的速度匀速行驶，甲车在
前，乙车在后．甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a ＝2 m/s2的加速度匀减速刹
甲
车．
（1）甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章．
（2）若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9 m处的速度恰好为6 m/s，乙车司机在发现
甲车刹车时经t ＝0.5 s的反应时间后开始以大小为a ＝4 m/s2的加速度匀减速刹车．为避
0 乙
免两车相撞，且乙车在收费站窗口前9 m区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两
车至少相距多远？
【典例2b提高题对应练习】现有甲、乙两辆汽车正沿同一平直公路同向匀速行驶，甲车在
前，乙车在后，它们行驶的速度大小均为v＝10 m/s。当两车快要到十字路口时，甲车司机
看到绿灯已转换成了黄灯，于是紧急刹车(反应时间忽略不计)，乙车司机为了避免与甲车
相撞也紧急刹车，但乙车司机反应较慢(反应时间t ＝0.5 s)。甲车司机之前为了熟悉车况，
0
驾驶车辆进行了一段空挡滑行，根据经验计算出滑行加速度大小为 a ＝0.5 m/s2，已知乙车
0
紧急刹车时加速度大小为a＝5 m/s2。
2
（1）若甲车司机看到黄灯时车头距停车线x＝16 m，他在刹车过程中发现预计的停车位置
离停车线还有一段距离，于是在车头离停车线x′＝4 m时停止刹车让车做空挡滑行，车头
恰好停在停车线前，则甲车紧急刹车时的加速度为多大？
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学科网（北京）股份有限公司（2）在（1）的情况下，为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车在行驶过程中
至少应保持多大距离？
类型三：匀速追静止模型
【典例2c提高题】（多选）汽车在路上出现故障时，应在车后放置三角警示牌(如图所示)，
以提醒后面驾车司机减速安全通过．在夜间，有一辆货车因故障停驶，后面有一辆小轿车
以30 m/s的速度向前驶来，由于夜间视线不好，小轿车驾驶员只能看清前方50 m内的物
体，并且他的反应时间为0.6 s，制动后，轿车的最大加速度为5 m/s2.假设小轿车始终沿直
线运动．下列说法正确的是( )
A. 小轿车的制动距离(制动到停止所运动的距离)为80 m
B. 小轿车从发现三角警示牌到停止所用的最短时间为6.6 s
C. 小轿车运动到三角警示牌时的最小速度为25 m/s
D. 三角警示牌至少要放在车后58 m远处，才能有效避免两车相撞
题型三：体育运动的追及相遇问题
类型一：足球运动的追及相遇问题
【典例3a提高题】水平地面上有一足球距门柱的距离为x＝32 m，某同学将足球以水平速
度v＝10 m/s踢向球门，足球在地面上做匀减速直线运动，加速度大小为a＝1 m/s2，足球
1 1
撞到门柱后反向弹回，弹回瞬间速度大小是碰撞前瞬间速度大小的。该同学将足球踢出后
立即由静止开始以大小为a ＝2 m/s2的加速度沿足球的运动方向追赶足球，他能够达到的
2
最大速度v＝8 m/s。求：
2
（1）足球被反向弹回瞬间的速度大小；
（2）该同学至少经过多长时间才能追上足球(保留两位有效数字)。
类型二：接力运动的追及相遇问题
【典例3b提高题】亚运会男子4×100 m接力赛上，现有甲、乙两运动员在训练交接棒的
过程中发现，甲短矩离加速后能保持v＝9 m/s的速度跑完全程．为了确定乙起跑的时机，
需在接力区前适当的位置设置标记，在某次练习中，甲在接力区前x 处做了标记，当甲跑
0
到此标记时向乙发出起跑口令，乙在接力区的前端听到口令时立即起跑(忽略声音传播的时
间及人的反应时间)，已知接力区的长度为L＝20 m，设乙起跑后的运动是匀加速运动，试
求：
（1）若x ＝13.5 m，且乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒，则在完成交
0
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学科网（北京）股份有限公司接棒时乙离接力区末端的距离为多大？
（2）若x ＝16 m，乙的最大速度为8 m/s，并能以最大速度跑完全程，要使甲、乙能在接
0
力区完成交接棒，则乙在听到口令后加速的加速度最大为多少？
【典例3b提高题对应练习】如图所示，在一次接力训练中，已知甲、乙两运动员经短
距离加速后都能达到并保持10 m/s的速度跑完全程．设乙从起跑后到接棒前的运动是
匀加速运动，加速度大小为3 m/s2.乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时
完成交接棒．在这次练习中，甲以v＝10 m/s的速度跑到接力区前端s ＝14.0 m处向乙
0
发出起跑口令．已知接力区的长度为L＝20 m.
（1）求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离；
（2）为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力
区前端多远时对乙发出起跑口令？
（3）在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？
题型四：竖直上抛和自由落体运动的相遇问题
【典例4提高题】（多选）如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于乙球正上方 h处，现
从地面上竖直上抛乙球，初速度v ＝10 m/s，同时让甲球自由下落，不计空气阻力．（取g
0
＝10 m/s2，甲、乙两球可看作质点）下列说法正确的是( )
A．无论h为何值，甲、乙两球一定能在空中相遇
B．当h＝10 m时，乙球恰好在最高点与甲球相遇
C．当h＝15 m时，乙球能在下落过程中与甲球相遇
D．当h<10 m时，乙球能在上升过程中与甲球相遇
【典例4提高题对应练习】（多选）从地面竖直上抛一物体A，同时在离地面某一高度处
有一物体B自由下落，两物体在空中同时到达同一高度时速度大小均为v，则下列说法正
确的是( )
A．A上抛的初速度与B落地时速度大小相等，都是2v
B．两物体在空中运动的时间相等
C．A上升的最大高度与B开始下落时的高度相同
D．两物体在空中同时达到的同一高度处一定是B开始下落时高度的中点
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