文档文本内容
知识点 13：物体的动力学问题
考点一：物体在五类光滑斜面上运动的特点及应用
题型一：“等高斜面”模型的特点及应用问题
【知识思维方法技巧】
等高斜面模型的特点：倾角越小，时间越长。
由L＝at2，a＝gsin θ，L＝可得：t＝ ，可知倾角越小，时间越长，图中t＞t＞t.
1 2 3
【典例1提高题】如图所示，一个物体由A点出发分别沿三条光滑轨道到达C，C，C，
1 2 3
则( )
A．物体到达C 点时的速度最大 B．物体分别在三条轨道上的运动时间相同
1
C．物体到达C 的时间最短 D．在C 上运动的加速度最大
3 3
题型二：“同底斜面”模型的特点及应用问题
【知识思维方法技巧】
同底斜面模型的特点：倾角45°时，时间最短。
由L＝at2，a＝gsin θ，L＝可得：t＝ ，可见θ＝45°时时间最短，图中t＝t＞t.
1 3 2
【典例2提高题】（多选）建设房屋时，保持底边L不变，要设计好屋顶的倾角θ，以便
下雨时落在房顶的雨滴能尽快地滑离屋顶，雨滴下滑时可视为小球做无初速度、无摩擦的
运动．下列说法正确的是( )
A．倾角θ越大，雨滴下滑时的加速度越大
B．倾角θ越大，雨滴对屋顶压力越大
C．倾角θ越大，雨滴从顶端O下滑至屋檐M时的速度越大
D．倾角θ越大，雨滴从顶端O下滑至屋檐M时的时间越短
【典例2提高题对应练习】(多选)如图所示，光滑斜面CA、DA、EA都以AB为底边，三
1
学科网（北京）股份有限公司个斜面的倾角分别为75°、45°、30°.物体分别沿三个斜面由顶端从静止滑到底端，下列说
法中正确的是( )
A. 物体沿CA下滑，加速度最大 B. 物体沿EA下滑，加速度最大
C. 物体沿CA滑到底端所需时间最短 D. 物体沿DA滑到底端所需时间最短
题型三：“等时圆”模型的特点及应用问题
【知识思维方法技巧】
所谓“等时圆”就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周的
最低点（或从最高点到达同一圆周上各点）的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运
动所用的时间。
类型一：单个竖直圆圆周内同顶端的斜面模型
【知识思维方法技巧】
基本规律：物体从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，
如图所示。
在竖直面内的同一个圆周上，各斜面的顶端都在竖直圆周的最高点，底端都落在该圆周上
如图所示．设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d，根据物体沿光滑弦做初
速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝gsin α，位移为x＝ d sin α ，所以运动时间为t ＝
0
＝＝.
【典例3a提高题】如图所示，在竖直平面内有半径为R和2R的两个圆，两圆的最高点相
切，切点为A.B和C分别是小圆和大圆上的两个点，其中AB长为 R，AC长为2 R.现
沿AB和AC建立两条光滑轨道，自A处由静止释放小球，已知小球沿AB轨道运动到B点
所用时间为t，沿AC轨道运动到C点所用时间为t，则t 与t 之比为( )
1 2 1 2
A. 1∶3 B. 1∶2 C. 1∶ D. 1∶
【典例3a提高题对应练习】如图所示，斜面体ABC的倾角为60°，O点在C点的正上方且
与A点等高，现从O点向AC构建光滑轨道OM、ON、OP，M、N、P分别为AC的四等
分点．一小球从O点由静止开始分别沿OM、ON、OP运动到斜面上，所需时间依次为
t 、t 、t .则( )
M N P
2
学科网（北京）股份有限公司A. t ＝t ＝t B. t >t >t C. t >t >t D. t ＝t >t
M N P M N P M P N M P N
类型二：单个竖直圆圆周内同底端的斜面模型
【知识思维方法技巧】
基本规律：物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相
等，如图所示。
如图所示．设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d，根据物体沿光滑弦做初
速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝gsin α，位移为x＝ d sin α ，所以运动时间为t ＝
0
＝＝.
即物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等。
【典例3b提高题】如图所示，ab、cd是竖直平面内两根固定的光滑细杆，a、b、c、d位
于同一圆周上，b点为圆周的最低点，c点为圆周的最高点，若每根杆上都套着一个小滑环
(图中未画出)，将两滑环同时从a、c处由静止释放，用t、t 分别表示滑环从a到b、c到d
1 2
所用的时间，则( )
A．t＝t B．t>t C．t<t D．无法确定
1 2 1 2 1 2
【典例3b提高题对应练习】如图所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、
b、c、d四个点位于同一圆周上，a在圆周最高点，bd为圆周的一条直径．每根杆上都套着
一个小滑环(图中未画出)，三个滑环分别从a、b、c处静止释放，用t、t、t 依次表示滑环
1 2 3
到达d所用的时间，则( )
A．t<t<t B．t>t>t C．t>t>t D．t＝t＝t
1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3
类型三：双竖直圆周内斜面模型应用
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学科网（北京）股份有限公司【知识思维方法技巧】
基本规律：两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均为切点，物体沿不同的光滑弦上端由静
止开始滑到下端所用时间相等，如图所示。
即在竖直面内两个圆，两圆心在同一竖直线上且两圆相切．各斜面过两圆的公共切点且顶
端源自上方圆周上某点，底端落在下方圆周上的相应位置．有t＝2 ，与θ无关。
【典例3c提高题】如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于 O点，O点
恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑轨道 AOB、COD、EOF，
它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为 α>β>θ。现让一小
物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历
的时间关系为( )
A．t ＝t ＝t B．t >t >t
AB CD EF AB CD EF
C．t <t <t D．t ＝t <t
AB CD EF AB CD EF
【典例3c提高题对应练习】如图所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点
均分别位于半径为R和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物先后沿两个
斜槽从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t 和t ，则t 与t 之比为(
1 2 1 2
)
A．2∶1 B．1∶1 C．∶1 D．1∶
考点二：单个物体的多运动过程问题
【知识思维方法技巧】
单物体多运动过程动力学计算的技巧：
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学科网（北京）股份有限公司（1）将“多过程”分解为许多“子过程”，各“子过程”间由“衔接点”连接。
（2）对各“衔接点”进行受力分析和运动分析，必要时画出受力图和过程示意图，根据
“子过程”“衔接点”的模型特点选择合理的物理规律列方程。
（3）分析“衔接点”速度、加速度等的关联，确定各段间的时间关联，并列出相关的辅助
方程．联立方程组，分析求解，对结果进行必要的验证或讨论。
题型一：水平式多过程运动模型
【典例1提高题】某市启动“机动车文明礼让斑马线”活动，交警部门为样板斑马线配上
了新型电子警察.一辆质量为2.0×103 kg的汽车，以54 km/h的速度沿平直道路匀速行驶，
距斑马线还有30 m的距离时，驾驶员发现有行人通过斑马线，经过0.5 s的反应时间，汽车
制动，开始做匀减速运动，恰好在斑马线前停住.重力加速度g＝10 m/s2.
(1)求汽车制动过程中所受的合力大小；
(2)若汽车正常行驶时所受阻力为车重的，要使汽车从静止开始匀加速经10 s使速度重新达
到54 km/h，求牵引力的大小.
【典例1提高题对应练习】汽车在行驶中，当驾驶员发现紧急情况直至踩下制动踏板发生
制动作用之前的这段时间称为反应时间，反应时间内车辆行驶的距离称为反应距离．汽车
制动距离是指驾驶员踩下制动踏板产生作用至汽车完全停止时，轮胎在路面上出现明显的
拖痕的距离．汽车行驶的安全距离为反应距离和制动距离之和．某汽车以30 km/h的速度
行驶在柏油路面上的制动距离为5 m，在浮雪路面上的制动距离为15 m．取g＝10 m/s2.
（1）求汽车轮胎与柏油路面间的动摩擦因数；
（2）若汽车以90 km/h的速度在柏油路面上行驶的安全距离为60 m，求驾驶员的反应时间
（3）若汽车以90 km/h的速度在浮雪路面上行驶，驾驶员看到前方有事故，立即制动后还
是与相距108 m的汽车追尾，求汽车追尾瞬间的速度．
题型二：斜面式多过程运动模型
【典例2提高题】如图甲所示，一质量m＝0.4 kg的小物块，以v ＝2 m/s的初速度，在与
0
斜面平行的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s的时间物块由A点运动到
B点，A、B之间的距离L＝10 m．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ
＝.重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)物块到达B点时速度和加速度的大小；
(2)拉力F的大小；
(3)若拉力F与斜面夹角为α，如图乙所示，试写出拉力F的表达式(用题目所给物理量的字
母表示)．
【典例2提高题对应练习】 如图所示为一种叫“控子”的游戏：让滑块从A点由静止释放，
游戏者通过控制BC段上的可控区域的长度，让滑块到达C点时速度刚好为零，滑块自由
落入洞D中即为成功。已知轨道AB、BC可视为斜面，AB长25 cm，BC长1 m，CD高20
cm，滑块在AB段加速下滑时加速度大小为a ＝2 m/s2，在BC段非可控区域加速下滑时加
1
速度大小为a ＝1 m/s2，在可控区域减速时的加速度大小为a ＝3 m/s2，滑块在B点、可控
2 3
点前后速度大小不变，g取10 m/s2，求：游戏成功时，
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学科网（北京）股份有限公司（1）可控区域的长度L；
（2）滑块从A到洞D所经历的时间t。
题型三：竖直式多过程运动模型
【典例3提高题】无人机的质量为m＝2 kg，在地面上由静止开始以最大升力竖直向上起飞
经时间t＝4 s时离地面的高度为h＝48 m，已知无人机动力系统所能提供的最大升力为 36
N，假设无人机运动过程中所受空气阻力的大小恒定，g取10 m/s2，求：
(1)无人机运动过程中所受空气阻力的大小；
(2)当无人机悬停在距离地面高度h＝45 m处时，无人机由于信号故障突然失去全部升力，
由静止开始竖直坠落，若无人机到达地面时速度刚好减为 0，刚开始下落后经多长时间需
要立刻恢复最大升力。
【典例3提高题对应练习】如图所示，跳伞员常常采用“加速自由降落”的方法跳伞，如
果一个质量为50 kg的运动员在3 658 m的高度从飞机上跳 出(初速度为零)，降落40 s时，
竖直向下的速度达到50 m/s，假设这一运动是匀加速直线运动，取g＝10 m/s2。则：
(1)运动员受到的平均空气阻力为多大；
(2)降落40 s时打开降落伞，此时他离地面的高度是多少；
(3)打开降落伞后，运动员受的阻力f大于重力，且f与速度v成正比，即f＝kv(k为常数)。
请简述运动员接下来可能的运动情况。
题型四：圆环直杆式多过程运动模型
类型一：水平式运动模型
【典例4a提高题】如图，将质量m＝0.1 kg的圆环套在固定的水平直杆上。环的直径略大
于杆的截面直径。环与杆间动摩擦因数μ＝0.8。对环施加一位于竖直平面内斜向上，与杆
夹角θ＝53°的拉力F，使圆环以a＝4.4 m/s2的加速度沿杆运动，求F的大小。(取sin 53°＝
0.8，cos 53°＝0.6，g＝10 m/s2)
类型二：斜面式运动模型
【典例4b提高题】如图所示，将质量m＝1 kg的圆环套在固定的倾斜足够长的直杆上，杆
的倾角为30°，环的直径略大于杆的截面直径。对环施加一位于竖直平面内斜向上与杆夹
角为30°的拉力F＝10 N，使圆环由静止开始沿杆加速向上运动，已知环与杆间动摩擦因
6
学科网（北京）股份有限公司数μ＝。求：(g取10 m/s2)
(1)F作用t＝2 s时圆环的速度大小；
(2)2 s后撤去力F，圆环继续沿杆上滑的最大距离。
考点三：物体动力学的图象问题
【知识思维方法技巧】
单个物体动力学图象问题的解题的方法：
（1）函数斜率面积法：先由牛顿运动定律推导出两个物理量间的函数表达式，再根据函数
表达式的斜率、截距的意义求出相应的问题，特别是解决对于不太熟悉的如－t、x－v2、
at、Ft、Fa图像等要注意这种转化。
①x－t图象的斜率表示速度的大小及方向，纵轴截距表示t＝0时刻的初始位置，横轴截距
表示位移为零的时刻。
②v－t图线(或切线)的斜率表示物体的加速度，v－t图线(或切线)的斜率表示物体的加速度。
③a－t图线与t轴所围的“面积”代表速度改变量。
④由x＝vt＋at2可得＝v＋at，由此知－t图象的斜率为a，纵轴截距为v。
0 0 0
⑤由v2－v2＝2ax可知v2＝v2＋2ax，故v2－x图象斜率为2a，纵轴截距为v2。
0 0 0
⑥由v2－v＝2ax得x＝v2－v，故x－v2图象斜率为1/2a，纵轴截距为v2。
0
⑦由x＝at2，可知x－t2图线的斜率表示a。
（2）函数数据代入法：先由牛顿运动定律推导出两个物理量间的函数表达式，再把图像中
的特殊位置或特殊时刻或特殊情况的特殊数据代入函数公式进行计算。
题型一：根据动力学情境选择动力学图象问题
【典例1提高题】如图所示，E为斜面的中点，斜面上半段光滑，下半段粗糙，一个小物
体从顶端由静止释放，沿斜面下滑到底端时速度为零．以沿斜面向下为正方向，则物体下
滑过程中的位移x、速度v、合力F、加速度a与时间t的关系图象可能正确的是( )
【典例1提高题对应练习】(多选)如图所示，斜面A固定于水平地面上，在t＝0时刻，滑
块B以初速度v 自斜面底端冲上斜面，t＝t 时刻到达最高点。取沿斜面向上为正方向，下
0 0
列表示滑块在斜面上整个运动过程中速度v随时间t变化的图象中，可能正确的是( )
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学科网（北京）股份有限公司题型二：根据运动学图象分析计算动力学的问题
类型一：根据运动学xt图象分析计算动力学的问题
类型二：根据运动学vt图象分析计算动力学的问题
【典例2b提高题】(多选)如图a，一物块在t＝0时刻滑上一固定斜面，其运动的vt图线如
图b所示．若重力加速度及图b中的v、v、t 均为已知量，则可求出( )
0 1 1
A．斜面的倾角 B．物块的质量
C．物块与斜面间的动摩擦因数 D．物块沿斜面向上滑行的最大高度
【典例2b提高题对应练习】“笛音雷”是春节期间常放的一种鞭炮，其点燃后一段时间内
的速度－时间图像如图所示(不计空气阻力，取竖直向上为正方向)，其中t 时刻为“笛音
0
雷”起飞时刻，DE段是斜率大小为g的直线．则关于“笛音雷”的运动，下列说法正确的
是( )
A．“笛音雷”在t 时刻加速度最小 B．“笛音雷”在t 时刻改变运动方向
1 2
C．“笛音雷”在t 时刻彻底熄火 D．t～t 时间内“笛音雷”做自由落体运动
3 3 4
类型三：根据运动学v2－x图象分析计算动力学的问题
【典例2c提高题】（多选）如图甲所示，质量m＝1 kg、初速度v＝6 m/s的物块受水平向
0
左的恒力F作用，在粗糙的水平地面上从O点开始向右运动，O点为坐标原点。整个运动
过程中物块速率的平方随位置坐标变化的关系图像如图乙所示，取g＝10 m/s2，下列说法中
正确的是( )
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学科网（北京）股份有限公司A．t＝2 s时物块速度为零 B．t＝3 s时物块回到O点
C．恒力F大小为2 N D．物块与水平面间的动摩擦因数为0.1
【典例2c提高题对应练习】（多选）如图甲所示，物块的质量m＝1 kg，初速度v ＝10
0
m/s，在一水平向左的恒力F作用下从O点沿粗糙的水平面向右运动，某时刻F突然反向，
大小不变，整个过程中物块速度的平方随位置坐标变化的关系图象如图乙所示，g＝10
m/s2.下列说法中正确的是( )
A．0～5 m内物块做匀减速运动 B．在t＝1 s时刻，恒力F反向
C．恒力F大小为10 N D．物块与水平面间的动摩擦因数为0.3
类型四：根据运动学－t图象分析计算动力学的问题
【典例2d提高题】(多选)如图甲所示，O、A、B是光滑水平面上的三点，一物块从O点开
始在一水平恒定拉力F作用下，由静止开始向右做匀加速运动，物块经过A、B两点所用
的时间为t，A、B间的距离为x.保持O、A两点的位置不变，改变B点的位置，仍让该物
块从O点由静止开始在恒力F的作用下加速运动，多次试验后得出 －t图像如图乙所示，
则物块从O运动到A过程( )
A. 运动的时间为0.8 s B. 运动的时间为1.25 s
C. 运动的加速度大小为0.4 m/s2 D. 运动的加速度大小为0.8 m/s2
【典例2d提高题对应练习】一个质量为m＝2 kg的物体在倾角θ＝37°粗糙的斜面上，在沿
斜面向上的拉力作用下沿斜面向上运动，物体与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，从t＝0时
刻开始，物体运动的与时间t的关系如图所示(x为位移)，g＝10 m/s2，t＝2 s时撤去拉力，
sin 37°＝0.6，求：
(1)拉力F的大小；
(2)物体向上运动过程中距计时点的最大距离。
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学科网（北京）股份有限公司类型五：根据运动学a－t图象分析计算动力学的问题
【典例5e提高题】 如图甲所示，一个m＝3 kg的物体放在粗糙水平地面上，从t＝0时刻
起，物体在水平力F作用下由静止开始做直线运动．在0～3 s时间内物体的加速度a随时
间t的变化规律如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数处处相等．则( )
甲 乙
A．在0～3 s时间内，物体的速度先增大后减小
B．3 s末物体的速度最大，最大速度为10 m/s
C．2 s末F最大，F的最大值为12 N
D．前2 s内物体做匀变速直线运动，力F大小保持不变
【典例5e提高题对应练习】如图甲所示，广州塔，昵称小蛮腰，总高度达600米，游客乘
坐观光电梯大约一分钟就可以到达观光平台。若电梯简化成只受重力与绳索拉力，已知电
梯在t＝0时由静止开始上升，a－t 图象如图乙所示。则下列相关说法正确的是( )
A.t＝4.5 s时，电梯处于失重状态 B.5～55 s时间内，绳索拉力最小
C.t＝59.5 s时，电梯处于超重状态 D.t＝60 s时，电梯速度恰好为零
题型三：根据动力学图象分析计算动力学的问题
【知识点的理解与应用】
首先要根据具体的物理情境，对物体进行受力分析，然后根据牛顿第二定律推导出两个量
间的函数关系式，根据函数关系式结合图像，明确图像的斜率、截距或面积的意义，从而
由图像给出的信息求出未知量。
类型一：根据动力学a－F图象分析计算动力学的问题
【典例3a提高题】用外力F拉一物体使其做竖直上升运动，不计空气阻力，加速度a随外
力F的变化关系如图所示，下列说法正确的是( )
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学科网（北京）股份有限公司A．物体的质量为 B．地球表面的重力加速度为2a
0
C．当a＞0时，物体处于失重状态 D．当a＝a 时，拉力F＝a
1 1
【典例3a提高题对应练习】静止在水平面上的物体，受到水平拉力F的作用，在F从20
N开始逐渐增大到40 N的过程中，加速度a随拉力F变化的图像如图所示，由此可以计算
出(g＝10 m/s2)( )
A．物体的质量 B．物体与水平面间的动摩擦因数
C．物体与水平面间的滑动摩擦力大小 D．加速度为2 m/s2时物体的速度
类型二：根据动力学F－t图象分析计算动力学的问题
【典例3b提高题】如图甲所示，一倾角θ＝37°的足够长斜面，将一质量为m＝1 kg的物体
无初速度在斜面上释放，同时施加一沿斜面向上的拉力，拉力随时间变化的关系如图乙所
示，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25，(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，则
下列说法正确的是( )
A．2 s末物体的速度是2.5 m/s B．2 s末物体的速度是10 m/s
C．前16 s内物体发生的位移是15 m D．前16 s内物体发生的位移是30 m
【典例3b提高题对应练习】某次新能源汽车性能测试中，如图甲显示的是牵引力传感器传
回的实时数据随时间变化的关系，但由于机械故障，速度传感器只传回了第 25 s以后的数
据，如图乙所示。已知汽车质量为1 500 kg，若测试平台是水平的，且汽车由静止开始做直
线运动，设汽车所受阻力恒定。求：
(1)18 s末汽车的速度是多少？
(2)前25 s内的汽车的位移是多少？
题型四：根据其他图象分析计算动力学的问题
【典例4提高题】如图甲所示，一物体沿倾角为θ＝37°的固定粗糙斜面由静止开始运动，
同时受到水平向右的风力作用，水平风力的大小与风速成正比。物体在斜面上运动的加速
度a与风速v的关系如图乙所示，则(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)( )
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学科网（北京）股份有限公司A．当风速为3 m/s时，物体沿斜面向下运动
B．当风速为5 m/s时，物体与斜面间无摩擦力作用
C．当风速为5 m/s时，物体开始沿斜面向上运动
D．物体与斜面间的动摩擦因数为0.025
【典例4提高题对应练习】（多选）如图(a)，质量m＝1 kg 的物体沿倾角θ＝37°的固定粗
糙斜面由静止开始向下运动，风对物体的作用力沿水平方向向右，其大小与风速 v成正比，
比例系数用k表示，物体加速度a与风速v的关系如图(b)所示，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，
cos 37°＝0.8，下列说法正确的是( )
A．物体沿斜面做匀变速运动 B．当风速v＝5 m/s时，物体沿斜面下滑的速度最大
C．物体与斜面间的动摩擦因数为0.25 D．比例系数k为 kg/s
考点四：物体动力学的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
（1）临界或极值条件的标志:
①题目中有“刚好”“恰好”“正好”“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，即表
明题述的过程存在着极值临界点.
②题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起
止点”，而这些起止点往往对应临界状态.
③题目要求“最终加速度”“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度.
（2）解决动力学临界极值问题的常用方法：
①极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确
解决问题的目的。
②物理分析法：通过对物理过程的分析，寻找过程中变化的物理量。探索物理量的变化规
律。确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系。
③数学分析法：将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解决临界极值问题。
题型一：速度的临界极值问题
题型二：位移的临界极值问题
【典例2提高题】 如图所示，一足够长的木板，上表面与木块之间的动摩擦因数为 μ＝，
重力加速度为g，木板与水平面成θ角，让小木块从木板的底端以大小恒定的初速率 v 沿
0
木板向上运动。随着θ的改变，小木块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，当θ角为何
值时，小木块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值。
12
学科网（北京）股份有限公司【典例2提高题对应练习】如图10所示，一足够长的木板，上表面与木块之间的动摩擦因
数为μ＝0.75，重力加速度为g，木板与水平面成θ角，让小木块从木板的底端以大小恒定
的初速率v 沿木板向上运动。随着θ的改变，小木块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，
0
当θ角为何值时，小木块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值。
题型三：加速度的临界极值问题
【典例3提高题】如图甲所示，光滑水平面上的O处有一质量为m＝2 kg的物体．物体同
时受到两个水平力的作用，F ＝4 N，方向向右，F 的方向向左，大小随时间均匀变化，如
1 2
图乙所示．物体从零时刻开始运动．
（1）求当t＝0.5 s时物体的加速度大小．
（2）在t＝0至t＝2 s内，何时物体的加速度最大？最大值为多少？
（3）在t＝0至t＝2 s内，何时物体的速度最大？最大值为多少？
题型四：外力作用时间的临界极值问题
【典例4提高题】如图所示，载货车厢通过悬臂固定在缆绳上，缆绳与水平方向夹角为
θ，当缆绳带动车厢以加速度a匀加速向上运动时，货物在车厢中与车厢相对静止，则货物
与车厢的动摩擦因数至少为(悬臂竖直，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g)
( )
A. B. C. D.
【典例4提高题】有一个冰上滑木箱的游戏节目，规则是：选手们从起点开始用力推箱一
段时间后，放手让箱向前滑动，若箱最后停在有效区域内，视为成功；若箱最后未停在有
效区域内就视为失败．其简化模型如图所示，AC是长度为L＝7 m的水平冰面，选手们可
1
将木箱放在A点，从A点开始用一恒定不变的水平推力推木箱，BC为有效区域．已知BC
长度L ＝1 m，木箱的质量m＝50 kg，木箱与冰面间的动摩擦因数μ＝0.1.某选手作用在木
2
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学科网（北京）股份有限公司箱上的水平推力F＝200 N，木箱沿AC做直线运动，若木箱可视为质点，g取10 m/s2.那么
该选手要想游戏获得成功，试求：
（1）推力作用在木箱上时的加速度大小；
（2）推力作用在木箱上的时间满足的条件．
题型五：外力的临界极值问题
【典例5提高题】如图所示，一质量m＝0.4 kg的小物块，在与斜面成某一夹角的拉力F作
用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s的时间物块由A点v ＝2 m/s的初速度运动到B
0
点，A、B之间的距离L＝10 m。已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ
＝。重力加速度g取10 m/s2。
（1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小；
（2）拉力F与斜面夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？
考点五：二个物体多运动过程问题
题型一：水平式多过程运动模型
【典例1提高题】如图所示，在粗糙的水平路面上，一小车以v ＝4 m/s的速度向右匀速行
0
驶，与此同时，在小车后方相距s ＝40 m处有一物体在水平向右的推力F＝20 N作用下，
0
从静止开始做匀加速直线运动，当物体运动了x ＝25 m撤去力。已知物体与地面之间的动
1
摩擦因数μ＝0.2，物体的质量m＝5 kg，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)在推力F作用下，物体运动的加速度a 的大小；
1
(2)物体运动过程中与小车之间的最大距离；
(3)物体刚停止运动时与小车的距离d。
【典例1提高题对应练习】为提高冰球运动员的加速能力，教练员在冰面上与起跑线相距
s 和s(s<s)处分别设置一个挡板和一面小旗，如图所示。训练时，让运动员和冰球都位于
0 1 1 0
起跑线上，教练员将冰球以速度v 击出，使冰球在冰面上沿垂直于起跑线的方向滑向挡板；
0
冰球被击出的同时，运动员垂直于起跑线从静止出发滑向小旗。训练要求当冰球到达挡板
时，运动员至少到达小旗处。假定运动员在滑行过程中做匀加速运动，冰球到达挡板时的
速度为v。重力加速度为g。求：
1
(1)冰球与冰面之间的动摩擦因数；
(2)满足训练要求的运动员的最小加速度。
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学科网（北京）股份有限公司题型二：斜面式多过程运动模型
【典例2提高题】避险车道是避免恶性交通事故的重要设施，由制动坡床和防撞设施等组
成，如图所示。竖直平面内，制动坡床视为与水平面夹角为 θ的斜面。一辆长12 m的载有
货物的货车因刹车失灵从干道驶入制动坡床，当车速为23 m/s时，车尾位于制动坡床的底
端，货物开始在车厢内向车头滑动，当货物在车厢内滑动了4 m时，车头距制动坡床顶端
38 m，再过一段时间，货车停止。已知货车质量是货物质量的4倍，货物与车厢间的动摩
擦因数为0.4，货车在制动坡床上运动受到的坡床阻力大小为货车和货物总重的 0.44倍。
货物与货车分别视为小滑块和平板，取cos θ＝1，sin θ＝0.1，g＝10 m/s2。求：
（1）货物在车厢内滑动时加速度的大小和方向；
（2）制动坡床的长度。
题型三：竖直式多过程运动模型
【典例3提高题】热气球为了便于调节运动状态，需要携带压舱物，某热气球科学考察结
束后正以大小为v的速度匀速下降，热气球的总质量为M，当热气球离地某一高度时，释
放质量为M的压舱物，结果热气球到达地面时的速度恰好为零，整个过程中空气对热气球
作用力不变，忽略空气对压舱物的阻力，重力加速度为g，求：
（1）释放压舱物时热气球离地的高度h；
（2）热气球与压舱物到达地面的时间差．
【典例3提高题对应练习】为了研究鱼所受水的阻力与其形状的关系，小明同学用石蜡做
成两条质量均为m、形状不同的“A鱼”和“B鱼”，如图所示．在高出水面H处分别静
止释放“A鱼”和“B鱼”，“A鱼”竖直下潜hA后速度减为零，“B鱼”竖直下潜hB
后速度减为零．“鱼”在水中运动时，除受重力外，还受浮力和水的阻力．已知“鱼”在
水中所受浮力是其重力的10/9倍，重力加速度为g，“鱼”运动的位移值远大于“鱼”的
长度．假设“鱼”运动时所受水的阻力恒定，空气阻力不计．求：
(1)“A鱼”入水瞬间的速度vA ；
1
(2)“A鱼”在水中运动时所受阻力fA.
(3)“A鱼”与“B鱼”在水中运动时所受阻力之比fA∶fB.
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