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训练二 追及相遇问题
题型一 追及相遇问题
知识梳理
追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．追及相遇问题的基本物理模
型：以甲追乙为例．
1．二者距离变化与速度大小的关系
(1)无论v 增大、减小或不变，只要v v ，甲、乙的距离就不断减小．
甲 甲 乙
2．分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、
判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．
3．常用分析方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条
件，建立物体运动关系的情境图．
(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关
系，Δx＝0时，表示两者相遇．
①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．
当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．
(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．位移－时间图像的交点表示相遇，分析速度－时间
图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系．
4．常见追及情景
(1)速度小者追速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大．
(2)速度大者追速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之
间有最小值．
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x，当v＝v时，若x>x＋x，则能追上；若x＝x＋x，则恰
0 B A B A 0 B A 0
好追上；若xs＝16 m，说明在离并道对接口16 m的距离上以3 m/s2的加速度加速不能实现安全超
A1
车．
题型二 图像法在追及相遇问题中的应用
知识梳理
1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题：
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算．(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，
再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷．
3．若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像
进行分析．
考向1 x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题
例2 (2023·山东泰安市月考)如图所示为甲、乙两车在平直公路上做直线运动的位移－时间(x－t)或速
度－时间(v－t)图像，t时刻两车恰好到达同一地点．关于两车在t～t时间内的运动，下列说法正确的
1 1 2
是( )
A．若是x－t图像，则当甲车速度为零时，两车的距离最大
B．若是x－t图像，则甲、乙两车的速度相等时，两车间的距离最小
C．若是v－t图像，则两车间的距离先增大后减小
D．若是v－t图像，则两车间的距离不断增大
答案 D
解析 若是x－t图像，当甲、乙两车的速度相同时，相对速度为零，距离最远，故A、B错误；若是v－t
图像，因为图像与横轴所围图形面积表示位移，则在t～t时间内，两车间的距离不断增大，故C错误，D
1 2
正确．
变式训练3 (多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图像如图所示．已知两车在t＝3 s时并
排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前方7.5 m处
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
答案 BD
解析 根据v－t图像知，甲、乙两车都沿正方向运动．t＝3 s时，甲、乙两车并排行驶，此时v ＝30
甲
m/s，v ＝25 m/s，由v－t图线与时间轴所围“面积”表示位移知，0～3 s内甲车位移x ＝×3×30 m＝
乙 甲
45 m，乙车位移x ＝×3×(10＋25) m＝52.5 m，故t＝0时，甲、乙两车相距Δx＝x －x ＝7.5 m，即
乙 1 乙 甲
甲车在乙车前方7.5 m处，选项B正确；0～1 s内，x ′＝×1×10 m＝5 m，x ′＝×1×(10＋15) m＝
甲 乙
12.5 m，Δx＝x ′－x ′＝7.5 m＝Δx，说明在t＝1 s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错
2 乙 甲 1
误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为x＝x －x ′＝45 m－5 m＝40 m，选项D正确．
甲 甲考向2 利用v－t图像分析追及相遇问题
例3假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶．甲车在前，乙车在后，速度均为v＝30 m/s.
0
甲、乙相距x＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化关系分别如图
0
甲、乙所示．取运动方向为正方向．下列说法正确的是( )
A．t＝3 s时两车相距最近
B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m
D．两车在0～9 s内会相撞
答案 C
解析 由题给图像画出两车的v－t图像如图所示，由图像可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图
中阴影部分面积表示0～6 s内两车位移之差，即Δx＝[×30×3＋×30×(6－3)] m＝90 m x ，则甲车的平均速度大于乙车的平均
1 2 甲 乙
速度，D正确．
3.(多选)在2017年匈牙利航海模型帆船项目世界锦标赛上，中国选手获得遥控帆船(F5－10)冠军．若a、
b两个遥控帆船从同一位置向同一方向做直线运动，它们的v－t图像如图所示，则下列说法正确的是(
)
A．b船启动时，a船在其前方2 m处
B．运动过程中，b船落后a船的最大距离为1.5 m
C．b船启动3 s后正好追上a船
D．b船超过a船后，两船不会再相遇
答案 BCD
解析 根据v－t图线与时间轴包围的面积表示位移，可知b在t＝2 s时启动，此时a的位移为x＝×2×1
m＝1 m，即a在b前方1 m处，故A错误；两船的速度相等时相距最远，最大距离为Δx＝×(1＋3)×1 m
－×1×1 m＝1.5 m，故B正确；由于两船从同一地点向同一方向沿直线运动，当位移相等时两船才相遇，
由题图可知，b船启动3 s后位移x＝×(1＋3)×2 m＝4 m，此时a的位移x＝×(5＋3)×1 m＝4 m，即b
b a
刚好追上a，故C正确；b船超过a船后，由于b的速度大，所以不可能再相遇，故D正确．
4．(多选)近期，一段特殊的“飙车”视频红遍网络，视频中，一辆和谐号动车正和一辆复兴号动车互相
追赶(如图甲)．两车并排做直线运动，其v－t图像如图乙所示，t＝0时，两车车头刚好并排，则( )A．10 s末和谐号的加速度比复兴号的大
B．图乙中复兴号的最大速度为78 m/s
C．0到32 s内，在24 s末两车车头相距最远
D．两车头在32 s末再次并排
答案 BC
解析 v－t图像的斜率表示加速度，可得和谐号的加速度为a＝ m/s2＝ m/s2，复兴号的加速度为a＝
1 2
m/s2＝ m/s2，则10 s末和谐号的加速度比复兴号的小，故A错误；题图乙中复兴号的最大速度为v＝72
m
m/s＋a×(32－24) m/s＝78 m/s，故B正确；因t＝0时两车车头刚好并排，在0到24 s内和谐号的速度
2
大于复兴号的速度，两者的距离逐渐增大，速度相等后两者的距离缩小，则在24 s末两车车头相距最远，
故C正确；由v－t图像中图线与t轴所围的面积表示位移，则在0～24 s两者的最大距离为Δx＝ m＝48
m，而在24～32 s内缩小的距离为Δx′＝ m＝24 m<Δx，即32 s末复兴号还未追上和谐号，故D错误．
5.(多选)(2023·福建省三明一中模拟)甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点同向行驶，两车的速度
v随时间t的变化关系如图所示，其中两阴影部分的面积相等(S＝S)，则( )
1 2
A．甲、乙两车均做直线运动
B．在0～t时间内，甲、乙两车相遇两次
2
C．在0～t时间内，甲的加速度先减小后增大
2
D．在0～t时间内(不包括t时刻)，甲车一直在乙车前面
2 2
答案 AD
解析 甲、乙两车均做直线运动，A正确；从图像可知，在0～t时间内，甲、乙两车图线与t轴所包围的
2
“面积”相等，即两车的位移相等，所以t时刻，甲、乙两车相遇且只相遇一次，B错误；在0～t时间
2 2
内，甲车的v－t图线斜率不断增大，所以加速度不断增大，C错误；在0～t时间内(不包括t时刻)，甲
2 2
车图线与t轴所包围的“面积”大于乙车图线与t轴所包围的“面积”，即甲车的位移大于乙车的位移，
且甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点出发，所以甲车一直在乙车前面，D正确．
6.(2023·湖南怀化市模拟)甲、乙两辆汽车同时同地出发，沿同方向做直线运动，两车速度的平方v2随位
移x的变化关系图像如图所示，下列说法正确的是( )A．汽车甲停止前，甲、乙两车相距最远时，甲车的位移为8 m
B．汽车甲的加速度大小为4 m/s2
C．汽车甲、乙在t＝4 s时相遇
D．汽车甲、乙在x＝6 m处的速度大小为3 m/s
答案 A
解析 根据v2－v2＝2ax并根据题给图像可推知甲、乙两车的初速度大小分别为v ＝6 m/s，v ＝0，v2
0 0甲 0乙
－x图像的斜率的绝对值表示汽车加速度大小的2倍，所以甲、乙两车的加速度大小分别为a ＝2 m/s2，a
甲
＝1 m/s2，且甲做匀减速直线运动，乙做匀加速直线运动，故B错误；汽车甲停止前，甲、乙两车相距最
乙
远时二者速度相同，设共经历时间为t，则a t＝v －a t，解得t＝2 s，此时甲车的位移为x ＝v
1 乙 1 0甲 甲 1 1 甲 0
t－a t2＝8 m，故A正确；甲车总运动时间为t＝＝3 s，甲停下时位移为9 m，而此时乙车的位移为x
甲 1 甲 1 2
＝a t2＝ m<9 m，所以甲、乙两车相遇一定发生在甲车停下之后，设相遇时刻为t，则有a t2＝9 m，
乙 乙 2 乙
解得t＝3 s，故C错误；汽车甲、乙在x＝6 m处的速度大小为v＝＝＝2 m/s，故D错误．
7．(2023·浙江省模拟)甲、乙两名运动员在泳池里训练，t＝0时刻从泳池的两端出发，甲、乙的速度－
时间图像分别如图甲、乙所示，若不计转向的时间且持续运动，两运动员均可视为质点，下列说法正确的
是( )
A．泳池长50 m
B．两运动员一定不会在泳池的两端相遇
C．从t＝0时刻起经过1 min，两运动员共相遇了3次
D．在0～30 s内，甲、乙运动员的平均速度大小之比为8∶5
答案 C
解析 根据v－t图线与时间轴围成的面积表示位移，可知泳池长度L＝1.25×20 m＝25 m，故A错误；如
图所示，由甲、乙的位移－时间图线的交点表示相遇可知，甲、乙在t＝100 s时在泳池的一端相遇，故B
错误；在0～60 s内甲、乙相遇3次，故C正确；在0～30 s内，甲的位移大小为x＝1.25×20 m－
1
1.25×10 m＝12.5 m，乙的位移大小为x＝1.0×25 m－1.0×5 m＝20 m，在0～30 s内，甲、乙运动员的
2
平均速度大小之比为v∶v＝∶＝5∶8，故D错误．
1 2
8．(2023·广东省华南师大附中模拟)如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A
车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图像如图乙所示．已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x＝12 m.
1
(1)求B车运动的速度v和A车的加速度a的大小．
B
(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离x应满足什么条件？
0
答案 (1)12 m/s 3 m/s2 (2)x>36 m
0
解析 (1)在t＝1 s时，A车刚启动，两车间缩短的距离为B车的位移，可得x＝vt，解得B车的速度大
1 1 B 1
小为v＝12 m/s，图像斜率表示加速度，可得A车的加速度大小为a＝，其中t＝5 s，解得A车的加速度
B 2
大小为a＝3 m/s2.
(2)两车的速度达到相同时，两车的距离达到最小，对应v－t图像的t＝5 s时刻，此时两车已发生的相
2
对位移为梯形的面积，则x＝v(t＋t)，代入数据解得x＝36 m，因此，若A、B两车不会相撞，则两车的
B 1 2
距离应满足条件为x>36 m.
0
9．(2023·山东省实验中学月考)足球比赛中，经常使用“边路突破，下底传中”的战术，即攻方队员带
球沿边线前进，到底线附近进行传中，某标准足球场长105 m，宽68 m．攻方前锋在中线处将足球沿边线
向前路踢出，足球的运动可视为在地面上做初速度为12 m/s的匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2，试
求：
(1)足球从开始做匀减速运动到停下来的位移为多大；
(2)足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球．他的启动过程可以视为初速度
为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为8 m/s，该前锋队员至少经过多长时间
能追上足球．
答案 (1)36 m (2)6.5 s
解析 (1)依题意，足球做匀减速运动，到停下来，由速度与时间关系得v＝at，代入数据得t＝6 s，
1 1 1 1
根据x＝t，代入数据得x＝36 m.
1 1 1
(2)前锋队员做匀加速直线运动达到最大速度的时间和位移分别为t＝＝4 s，x＝t＝16 m，之后前锋队员
2 2 2
做匀速直线运动，到足球停止运动，其位移为x＝v(t－t)＝16 m，由于x＋x
