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训练二 追及相遇问题
题型一 追及相遇问题
知识梳理
追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．追及相遇问题的基本物理模
型：以甲追乙为例．
1．二者距离变化与速度大小的关系
(1)无论v 增大、减小或不变，只要v <v ，甲、乙的距离就不断增大．
甲 甲 乙
(2)若v ＝v ，甲、乙的距离保持不变．
甲 乙
(3)无论v 增大、减小或不变，只要v >v ，甲、乙的距离就不断减小．
甲 甲 乙
2．分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、
判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．
3．常用分析方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条
件，建立物体运动关系的情境图．
(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关
系，Δx＝0时，表示两者相遇．
①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．
当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．
(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．位移－时间图像的交点表示相遇，分析速度－时间
图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系．
4．常见追及情景
(1)速度小者追速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大．
(2)速度大者追速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之
间有最小值．
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x，当v＝v时，若x>x＋x，则能追上；若x＝x＋x，则恰
0 B A B A 0 B A 0
好追上；若x<x＋x，则不能追上．
B A 0
特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动．
例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时
一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多
长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
答案 2 s 6 m
解析 解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at
所以t＝＝2 s，Δx＝vt－at2＝6 m.
解法二(二次函数法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－at2
代入已知数据得Δx＝6t－t2
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δx有最大值为6 m
所以t＝2 s时两车相距最远，为6 m.
解法三(图像法)：自行车和汽车的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t时刻两车速度相等，
1
两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，v＝6 m/s
1
所以有t＝＝ s＝2 s，
1
Δx＝＝ m＝6 m.
变式训练1 汽车A以v＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x＝7 m处，有以v＝10 m/s
A 0 B
的速度同向运动的汽车B正开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.
从刚刹车开始计时．求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离；
(2)经过多长时间A恰好追上B.
答案 (1)16 m (2)8 s
解析 汽车A和B的运动过程如图所示．
(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v－at＝v，解得t＝3 s
B A
此时汽车A的位移x＝vt＝12 m
A A
汽车B的位移x＝vt－at2＝21 m
B B
故最远距离Δx ＝x＋x－x＝16 m.
max B 0 A
(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t＝＝5 s
1
运动的位移x′＝＝25 m
B
汽车A在t时间内运动的位移
1
x′＝vt＝20 m
A A 1
此时相距Δx＝x′＋x－x′＝12 m
B 0 A
汽车A需再运动的时间t＝＝3 s
2故A追上B所用时间t ＝t＋t＝8 s.
总 1 2
[拓展延伸]
(1)若某同学应用关系式vt－at2＋x＝vt，解得经过t＝7 s(另一解舍去)时A恰好追上B.这个结果合理
B 0 A
吗？为什么？
(2)若汽车A以v＝4 m/s的速度向左匀速运动，其后方相距x＝7 m处，有以v＝10 m/s的速度同方向运
A 0 B
动的汽车B开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a＝2 m/s2，则经过多长时
间两车恰好相遇？
答案 见解析
解析 (1)这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为t＝＝5 s<7 s，说明汽车A追上B时汽车B已停
止运动．
(2)由位移时间关系公式有：vt－at2＝x＋vt，解得t＝(3－) s，t＝(3＋) s.
B 0 A 1 2
变式训练2 (2023·江西赣州市高三模拟)在赣州市南河大桥扩建工程中，双向桥梁已完成了某一通车方
向的建设，为保持双向车辆正常通行，临时将其改成双向车道．如图所示，引桥与桥面对接处，有两车道
合并一车道的对接口，A、B两车相距s＝4 m时，B车正以v＝4 m/s速度匀速行驶，A车正以v＝7 m/s
0 B A
的速度借道超越同向行驶的B车，此时A车司机发现前方距离车头s＝16 m处的并道对接口，A、B两车长
度均为L＝4 m，且不考虑A车变道过程的影响．
(1)若A车司机放弃超车，且立即驶入与B车相同的行驶车道，A车至少以多大的加速度刹车匀减速，才能
避免与B车相撞．
(2)若A车司机加速超车，A车的最大加速度为a＝3 m/s2，请通过计算分析A车能否实现安全超车．
答案 (1) m/s2 (2)见解析
解析 (1)A车减速到与B车同速时，若恰未与B车相碰，则A车将不会与B车相碰，设经历的时间为t，
则A车位移x＝t①
A
B车位移x＝vt②
B B
x－x＝s③
A B 0
由①②③式联立解得t＝ s
则A车与B车不相碰，刹车时的最小加速度
a ＝＝ m/s2＝ m/s2.
min
(2)设A车加速t′时间后车尾到达B车车头，则s＋2L＝vt′＋at′2－vt′，解得t′＝2 s
0 A B
在此时间内，A车向前运动了x＝vt′＋at′2
A1 A
计算可得x＝20 m>s＝16 m，说明在离并道对接口16 m的距离上以3 m/s2的加速度加速不能实现安全超
A1
车．
题型二 图像法在追及相遇问题中的应用
知识梳理
1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题：
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算．(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，
再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷．
3．若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像
进行分析．
考向1 x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题
例2 (2023·山东泰安市月考)如图所示为甲、乙两车在平直公路上做直线运动的位移－时间(x－t)或速
度－时间(v－t)图像，t时刻两车恰好到达同一地点．关于两车在t～t时间内的运动，下列说法正确的
1 1 2
是( )
A．若是x－t图像，则当甲车速度为零时，两车的距离最大
B．若是x－t图像，则甲、乙两车的速度相等时，两车间的距离最小
C．若是v－t图像，则两车间的距离先增大后减小
D．若是v－t图像，则两车间的距离不断增大
答案 D
解析 若是x－t图像，当甲、乙两车的速度相同时，相对速度为零，距离最远，故A、B错误；若是v－t
图像，因为图像与横轴所围图形面积表示位移，则在t～t时间内，两车间的距离不断增大，故C错误，D
1 2
正确．
变式训练3 (多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图像如图所示．已知两车在t＝3 s时并
排行驶，则( )
A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前方7.5 m处
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
答案 BD
解析 根据v－t图像知，甲、乙两车都沿正方向运动．t＝3 s时，甲、乙两车并排行驶，此时v ＝30
甲
m/s，v ＝25 m/s，由v－t图线与时间轴所围“面积”表示位移知，0～3 s内甲车位移x ＝×3×30 m＝
乙 甲
45 m，乙车位移x ＝×3×(10＋25) m＝52.5 m，故t＝0时，甲、乙两车相距Δx＝x －x ＝7.5 m，即
乙 1 乙 甲
甲车在乙车前方7.5 m处，选项B正确；0～1 s内，x ′＝×1×10 m＝5 m，x ′＝×1×(10＋15) m＝
甲 乙
12.5 m，Δx＝x ′－x ′＝7.5 m＝Δx，说明在t＝1 s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错
2 乙 甲 1
误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为x＝x －x ′＝45 m－5 m＝40 m，选项D正确．
甲 甲考向2 利用v－t图像分析追及相遇问题
例3假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶．甲车在前，乙车在后，速度均为v＝30 m/s.
0
甲、乙相距x＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化关系分别如图
0
甲、乙所示．取运动方向为正方向．下列说法正确的是( )
A．t＝3 s时两车相距最近
B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m
D．两车在0～9 s内会相撞
答案 C
解析 由题给图像画出两车的v－t图像如图所示，由图像可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图
中阴影部分面积表示0～6 s内两车位移之差，即Δx＝[×30×3＋×30×(6－3)] m＝90 m<x＝100 m，即
0
两车在t＝6 s时距离最近，最近距离为x－Δx＝10 m，故A、B错误，C正确；t＝6 s时，两车相距10
0
m，且甲车在前、乙车在后，在6～9 s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大，故在0～9 s
内，甲车一直在前，两车不会相撞，故D错误．
强基固本练
1.(多选)如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移－时间(x－t)图线，由图可
知( )
A．在t时刻，a车追上b车
1
B．在t时刻，a、b两车运动方向相反
2
C．在t到t这段时间内，b车的速率先减小后增大
1 2
D．在t到t这段时间内，b车的速率一直比a车大
1 2
答案 BC
解析 t时刻，a、b两车的位置相同，此前a车在前、b车在后，此后b车在前、a车在后，因此是b车追
1
上a车．由于x－t图像的斜率表示速度的大小及方向，因此a车速度不变，做匀速直线运动，b车先做减
速运动，速度减至零后又开始反方向做加速运动．t时刻两图像的斜率一正一负，两车速度方向相反，选
2
项A、D错误，B、C正确．2.(2023·四川南充市模拟)某车型在红绿灯停启、无保护左转、避让路口车辆、礼让行人、变道等方面都
能无干预自动驾驶．某次试乘时，甲、乙两车同时并排出发，沿着同一平直路面行驶，它们的速度v随时
间t变化的图像如图所示．则下列说法中正确的是( )
A．t～t时间内，甲、乙两车的加速度不可能相同
1 2
B．t～t时间内，甲、乙两车间的距离始终增大
1 2
C．t～t时间内，甲、乙两车相遇两次
1 2
D．t～t时间内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度
1 2
答案 D
解析 由于v－t图像的斜率表示加速度，则由题图可看出，图线甲的斜率先减小后反向增大，存在某一时
刻图线甲的斜率与图线乙的斜率相同，故在t～t时间内，存在甲、乙两车加速度相同的时刻，A错误；
1 2
由题图可看出在0 ～ t时间内，乙的速度一直大于甲的速度，又根据题知甲、乙两车同时从同一位置出
1
发，则二者距离先增大，且在t时刻乙在甲前面，t后甲的速度大于乙的速度，则二者越来越近，最后相
1 1
遇，但甲的速度依然大于乙的速度，则二者的距离再增大，到t时甲在乙前面，故在t～t时间内，甲、
2 1 2
乙两车间的距离先减小后增大，甲、乙两车相遇一次，B、C错误；根据平均速度的计算公式有＝，由于v
－t图像与横轴围成的面积表示位移，则在t～t时间内，x > x ，则甲车的平均速度大于乙车的平均
1 2 甲 乙
速度，D正确．
3.(多选)在2017年匈牙利航海模型帆船项目世界锦标赛上，中国选手获得遥控帆船(F5－10)冠军．若a、
b两个遥控帆船从同一位置向同一方向做直线运动，它们的v－t图像如图所示，则下列说法正确的是(
)
A．b船启动时，a船在其前方2 m处
B．运动过程中，b船落后a船的最大距离为1.5 m
C．b船启动3 s后正好追上a船
D．b船超过a船后，两船不会再相遇
答案 BCD
解析 根据v－t图线与时间轴包围的面积表示位移，可知b在t＝2 s时启动，此时a的位移为x＝×2×1
m＝1 m，即a在b前方1 m处，故A错误；两船的速度相等时相距最远，最大距离为Δx＝×(1＋3)×1 m
－×1×1 m＝1.5 m，故B正确；由于两船从同一地点向同一方向沿直线运动，当位移相等时两船才相遇，
由题图可知，b船启动3 s后位移x＝×(1＋3)×2 m＝4 m，此时a的位移x＝×(5＋3)×1 m＝4 m，即b
b a
刚好追上a，故C正确；b船超过a船后，由于b的速度大，所以不可能再相遇，故D正确．
4．(多选)近期，一段特殊的“飙车”视频红遍网络，视频中，一辆和谐号动车正和一辆复兴号动车互相
追赶(如图甲)．两车并排做直线运动，其v－t图像如图乙所示，t＝0时，两车车头刚好并排，则( )A．10 s末和谐号的加速度比复兴号的大
B．图乙中复兴号的最大速度为78 m/s
C．0到32 s内，在24 s末两车车头相距最远
D．两车头在32 s末再次并排
答案 BC
解析 v－t图像的斜率表示加速度，可得和谐号的加速度为a＝ m/s2＝ m/s2，复兴号的加速度为a＝
1 2
m/s2＝ m/s2，则10 s末和谐号的加速度比复兴号的小，故A错误；题图乙中复兴号的最大速度为v＝72
m
m/s＋a×(32－24) m/s＝78 m/s，故B正确；因t＝0时两车车头刚好并排，在0到24 s内和谐号的速度
2
大于复兴号的速度，两者的距离逐渐增大，速度相等后两者的距离缩小，则在24 s末两车车头相距最远，
故C正确；由v－t图像中图线与t轴所围的面积表示位移，则在0～24 s两者的最大距离为Δx＝ m＝48
m，而在24～32 s内缩小的距离为Δx′＝ m＝24 m<Δx，即32 s末复兴号还未追上和谐号，故D错误．
5.(多选)(2023·福建省三明一中模拟)甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点同向行驶，两车的速度
v随时间t的变化关系如图所示，其中两阴影部分的面积相等(S＝S)，则( )
1 2
A．甲、乙两车均做直线运动
B．在0～t时间内，甲、乙两车相遇两次
2
C．在0～t时间内，甲的加速度先减小后增大
2
D．在0～t时间内(不包括t时刻)，甲车一直在乙车前面
2 2
答案 AD
解析 甲、乙两车均做直线运动，A正确；从图像可知，在0～t时间内，甲、乙两车图线与t轴所包围的
2
“面积”相等，即两车的位移相等，所以t时刻，甲、乙两车相遇且只相遇一次，B错误；在0～t时间
2 2
内，甲车的v－t图线斜率不断增大，所以加速度不断增大，C错误；在0～t时间内(不包括t时刻)，甲
2 2
车图线与t轴所包围的“面积”大于乙车图线与t轴所包围的“面积”，即甲车的位移大于乙车的位移，
且甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点出发，所以甲车一直在乙车前面，D正确．
6.(2023·湖南怀化市模拟)甲、乙两辆汽车同时同地出发，沿同方向做直线运动，两车速度的平方v2随位
移x的变化关系图像如图所示，下列说法正确的是( )A．汽车甲停止前，甲、乙两车相距最远时，甲车的位移为8 m
B．汽车甲的加速度大小为4 m/s2
C．汽车甲、乙在t＝4 s时相遇
D．汽车甲、乙在x＝6 m处的速度大小为3 m/s
答案 A
解析 根据v2－v2＝2ax并根据题给图像可推知甲、乙两车的初速度大小分别为v ＝6 m/s，v ＝0，v2
0 0甲 0乙
－x图像的斜率的绝对值表示汽车加速度大小的2倍，所以甲、乙两车的加速度大小分别为a ＝2 m/s2，a
甲
＝1 m/s2，且甲做匀减速直线运动，乙做匀加速直线运动，故B错误；汽车甲停止前，甲、乙两车相距最
乙
远时二者速度相同，设共经历时间为t，则a t＝v －a t，解得t＝2 s，此时甲车的位移为x ＝v
1 乙 1 0甲 甲 1 1 甲 0
t－a t2＝8 m，故A正确；甲车总运动时间为t＝＝3 s，甲停下时位移为9 m，而此时乙车的位移为x
甲 1 甲 1 2
＝a t2＝ m<9 m，所以甲、乙两车相遇一定发生在甲车停下之后，设相遇时刻为t，则有a t2＝9 m，
乙 乙 2 乙
解得t＝3 s，故C错误；汽车甲、乙在x＝6 m处的速度大小为v＝＝＝2 m/s，故D错误．
7．(2023·浙江省模拟)甲、乙两名运动员在泳池里训练，t＝0时刻从泳池的两端出发，甲、乙的速度－
时间图像分别如图甲、乙所示，若不计转向的时间且持续运动，两运动员均可视为质点，下列说法正确的
是( )
A．泳池长50 m
B．两运动员一定不会在泳池的两端相遇
C．从t＝0时刻起经过1 min，两运动员共相遇了3次
D．在0～30 s内，甲、乙运动员的平均速度大小之比为8∶5
答案 C
解析 根据v－t图线与时间轴围成的面积表示位移，可知泳池长度L＝1.25×20 m＝25 m，故A错误；如
图所示，由甲、乙的位移－时间图线的交点表示相遇可知，甲、乙在t＝100 s时在泳池的一端相遇，故B
错误；在0～60 s内甲、乙相遇3次，故C正确；在0～30 s内，甲的位移大小为x＝1.25×20 m－
1
1.25×10 m＝12.5 m，乙的位移大小为x＝1.0×25 m－1.0×5 m＝20 m，在0～30 s内，甲、乙运动员的
2
平均速度大小之比为v∶v＝∶＝5∶8，故D错误．
1 2
8．(2023·广东省华南师大附中模拟)如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A
车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图像如图乙所示．已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x＝12 m.
1
(1)求B车运动的速度v和A车的加速度a的大小．
B
(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离x应满足什么条件？
0
答案 (1)12 m/s 3 m/s2 (2)x>36 m
0
解析 (1)在t＝1 s时，A车刚启动，两车间缩短的距离为B车的位移，可得x＝vt，解得B车的速度大
1 1 B 1
小为v＝12 m/s，图像斜率表示加速度，可得A车的加速度大小为a＝，其中t＝5 s，解得A车的加速度
B 2
大小为a＝3 m/s2.
(2)两车的速度达到相同时，两车的距离达到最小，对应v－t图像的t＝5 s时刻，此时两车已发生的相
2
对位移为梯形的面积，则x＝v(t＋t)，代入数据解得x＝36 m，因此，若A、B两车不会相撞，则两车的
B 1 2
距离应满足条件为x>36 m.
0
9．(2023·山东省实验中学月考)足球比赛中，经常使用“边路突破，下底传中”的战术，即攻方队员带
球沿边线前进，到底线附近进行传中，某标准足球场长105 m，宽68 m．攻方前锋在中线处将足球沿边线
向前路踢出，足球的运动可视为在地面上做初速度为12 m/s的匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2，试
求：
(1)足球从开始做匀减速运动到停下来的位移为多大；
(2)足球开始做匀减速直线运动的同时，该前锋队员沿边线向前追赶足球．他的启动过程可以视为初速度
为零、加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，他能达到的最大速度为8 m/s，该前锋队员至少经过多长时间
能追上足球．
答案 (1)36 m (2)6.5 s
解析 (1)依题意，足球做匀减速运动，到停下来，由速度与时间关系得v＝at，代入数据得t＝6 s，
1 1 1 1
根据x＝t，代入数据得x＝36 m.
1 1 1
(2)前锋队员做匀加速直线运动达到最大速度的时间和位移分别为t＝＝4 s，x＝t＝16 m，之后前锋队员
2 2 2
做匀速直线运动，到足球停止运动，其位移为x＝v(t－t)＝16 m，由于x＋x<x，故足球停止运动时，
3 2 1 2 2 3 1
前锋队员没有追上足球，然后前锋队员继续以最大速度匀速运动追赶足球，根据x－(x＋x)＝vt，解得
1 2 3 2 3
t＝0.5 s，故前锋队员追上足球的时间为t＝t＋t＝6.5 s.
3 1 3
10．货车A正在该公路上以20 m/s的速度匀速行驶，因疲劳驾驶司机注意力不集中，当司机发现正前方有
一辆静止的轿车B时，两车距离仅有64 m.
(1)若此时B车立即以2 m/s2的加速度启动，通过计算判断：如果A车司机没有刹车，是否会撞上B车；若
不相撞，求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A车发现B车开始到撞上B车的时间；(2)若A车司机发现B车，立即刹车(不计反应时间)做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2(两车均视为
质点)，为避免碰撞，在A车刹车的同时，B车立即做匀加速直线运动(不计反应时间)，问：B车加速度a
2
至少多大才能避免事故发生．(这段公路很窄，无法靠边让道)
答案 (1)相撞 4 s (2)1.125 m/s2
解析 (1)当两车速度相同时，所用时间为t＝＝10 s，在此10 s内A车的位移为x＝vt＝20×10 m＝
0 A A 0
200 m，
B车的位移为x＝at2＝×2×102 m＝100 m，此时A、B两车间的位移差为Δx＝x－x＝100 m＞64 m，所
B 0 A B
以两车必定相撞；设两车相撞的时间为t，则相撞时有vt－at2＝64 m，代入数据解得t＝4 s(另一值不合
A
题意舍去)
所以A车撞上B车的时间为4 s；
(2)已知A车的加速度a＝－2 m/s2，初速度v＝20 m/s；B车的加速度为a，设B车运动经过时间为t′
A A 2
时，两车相遇，则有vt′＋at′2＝at′2＋L，代入数据有t′2－20t′＋64＝0，要避免相撞，则上式无
A A 2
实数解，根据数学关系知a＞1.125 m/s2，所以B的加速度的最小值为1.125 m/s2.
2
