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§1.6 追及相遇与极值问题
（一）追及问题概述
追及问题是有关于两物体在同一直线上同向运动时（也有不在同一直线上运动的情况），后面的物
体（设为A）追赶前面的物体（设为B），讨论①能否追上；②何时何处追上；③何时相距最近或最远
；
④相隔的最近或最远距离为多少；⑤为使能追上或不能追上的条件等等问题。
在共线追及问题中，只有当追及物A 的速度大于被追及物B 的速度时才有可能追上。即：当vA＞vB
时，A、B 间的距离在缩小；当vA＜vB时，A、B 间的距离在拉大。
（二）相遇问题概述
相遇问题与追及问题类似，一般是讨论①能否相遇；②何时何处相遇；③能相遇的次数；④为使能
相遇或不能相遇的条件等等问题。
从两物体的运动情况来看，有①同时与不同时出发；②同地与不同地出发；③运动方向同向、相向、
背向、垂直；④运动轨迹为直线或环线；⑤运动状态为匀速或变速等各种情况。
（三）分析思路及注意事项
1．临界条件——共线时等速，不共线时垂直与瞄准
（1）共线时等速：两物体共线运动，两物体速度相等（vA＝vB），往往是物体间能否追上，或相距
最近最远的临界条件，也是分析判断问题的切入点
（2）不共线时垂直与瞄准
【例1】如图所示，在禁渔区，一条渔船A 正在进行非法捕鱼。岸边的渔政船B 发现后立即做匀速直线运动前去拦
截，渔船A 则沿平行于岸边的直线MN 以vA＝10m/s 的速度匀速撤离禁渔区，开始时两船位置关系如图，sin37°＝0.6。
（1）为能追上渔船A，渔政船B 的速度至少要多大？
（2）在上述情况下，B 经多长时间追上A？B 行驶的路程为多少？
2．分析工具——两图三式
（1）两图：①运动过程示意图；②运动图像
（2）三式：三个等量关系①时间关系式；②位移关系式；③速度关系式
画出运动过程示意图，或运动图像（如v-t 图、x-t 图、a-t 图等等，找出两物体运动的时间关系，
位移关系，或速度关系，根据时间相等，位移相等，或速度及平均速度相等列方程
（我们所遇到的追及相遇各类习题，绝大部分可通过列位移关系方程求解，少数需要列时间关系方
程，当然有些问题可能列速度关系方程更简便）
A
B
vA
M
N
d ＝
600m
θ ＝
37°
海岸线
3．初始状态——注意是否三同：同时同地同向
4．终极状态——注意限速与刹停
（重要提醒：只要涉及物体做减速运动，一定要注意在所研究的过程中，物体的速度是否会减到
0，以及速度减到0 后是否会反向继续运动）
【例2】如图所示，A、B 两物体相距x＝7m，物体A 以vA＝4m/s 的速度向右
匀速运动，而物体B 此时的速度vB＝10m/s，只在摩擦力作用下向右做匀减速运动，
加速度a＝-2m/s2，那么物体A 追上物体B 所用的时间为（ ）
A．7s
B．8s
C．9s
D．10s
（四）物理方法（即通常所说的分析法）
1．临界条件法（vA＝vB）
“等速最距”规律：在物体A 追赶B 的追及或相遇问题中，vA＝vB往往是求解的关键性条件。根据
运动的不同条件，vA＝vB往往是两物体相距最近、最远、或恰好追上而不相撞的临界条件。
【例3】物体A、B 同时从同一地点、向同一方向开始运动。A 以10m/s 的速度匀速前进，B 以2m/s2的加速度从静止
开始做匀加速直线运动，求A、B 再次相遇前两物体间的最大距离。
2．相对运动法（换参法）
无论共线运动还是不共线运动，用相对运动法分析追及相遇极值问题，往往都比较方便。
【例4】军事演习中，在M 点的正上方离地H＝2000m 高处，一架蓝军飞机以水平向右的速度v1＝0.9km/s 发射一颗
炮弹1，欲轰炸地面目标P，红军的地面拦截系统同时在M 点右方水平距离s＝1500m 的地面上的N 点，以速度v2发射拦
截炮弹2，如图所示，若不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，
。
（1）若炮弹1 刚好能击中目标P，求目标P 离M 点的水平距离s0；
（2）红军欲拦截成功，沿竖直向上发射拦截炮弹2 的速度v2的大小应为多少？
（3）若v2的大小等于v1的大小，红军欲拦截成功，问发射拦截炮弹2 的速度v2的方向应如何？
x
vA
vB
A
B
（五）数学方法
这种方法主要是运用数学工具来处理物理问题，用这种方法解题时要注意数学方法及结论的物理
意义。用这种方法来处理追及与相遇问题，主要有方程法、函数法、不等式法和几何作图法。
1．方程法
A 追上B 及A 与B 相遇时，它们必处在同一位置，因而可利用它们的位移（或位置坐标）相等列方
程求解，即利用位移公式求解。解题时可运用方程解的情况、根的判别式等工具进行处理。
涉及匀变速运动时，位移或相对位移x 关于时间t 的方程一般为一元二次方程，其根的判别式△：
（1）若△＞0 有两解，说明两物体可能相遇两次；
（2）若△＝0 有一解，说明两物体相遇一次；
（3）若△＞0 无解，说明两物体不能相遇。
【例5】如图所示，甲、乙两辆小汽车原来停在平直公路MN 上相距为85m 的A、B 两处，现甲车先开始向右做匀加
速直线运动，加速度a1＝2.5m/s2；甲车运动6.0s 时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5.0m/s2。两车处在不同
车道上，相遇时互不影响，求两辆汽车相遇时距A 处的距离。
【例6】小球A 从H 高处自由落下，同时从A 的正下方的地面上的P 点以速度v0竖直上抛一小球B。
（1）为使B 球在回到P 点之前能与A 球相遇，v0必须大于何值？
（2）为使B 球能在上升过程中与A 球相遇，v0必须大于何值？
M
N
甲车
乙车
A
B
【例7】如图所示，一客运汽车在平直的公路上以a＝1m/s2的加速度由静止开始匀加速运动，同时，车后60m 处一
乘客以某一速度v 匀速追赶汽车。乘客要喊住客运汽车，必须使乘客与汽车的距离不超过20m，且至少要保持2s，求乘客
运动速度v 至少要多大才能将客车喊住。
2．函数法
即利用相对位移函数式S 相＝SA－SB（A 相对于B 的相对位移）或S 相＝SB－SA（B 相对于A 的相对位
移）求解。这种方法实际上也是利用位移公式求解。解题时可运用函数的性质，如极值等处理。
（1）函数性质法（对称轴方程求条件、顶点坐标求极值）
（2）求导法（导数为0 得极值）
【例8】如图所示，A、B 两车在同一平直道路上同向行驶，速度分别为v1＝8m/s，v2＝20m/s。当它们相距x0＝28m
时，由于前方出现紧急情况，B 车立即刹车以大小a＝2m/s2的加速度做匀减速运动，A 车一直做匀速运动。求：
（1）A 车追上B 车之前，两车相距的最大距离；
（2）从B 车开始刹车后，A 车追上B 车所用的时间。
v
a
60m
v1
A
B
v2
3．图象法
识图用图五要素：点、线、面、斜、截（图像各量的具体含义，根据推导出来的函数表达式确定）
（1）点：端点定范围（或极值），最高最低点定极值，转折点定运动状态变化，交点定关系（速
度图像交点表示共速，位移图像交点往往表示相遇）
（2）线：图线的形状反映运动类型
（3）面：v-t 图，图线与t 轴所夹图形面积表示位移；
A、B 在同一直线上运动，在同一坐标系中作出它们的v-t 图，
则两图线所夹图形的“面积”在数值上等于对应时间内两物体的
相对位移。
（4）斜：x-t 图斜率表示速度，v-t 图斜率表示加速度
（5）截：纵轴上的截距往往表示初始量
【例9】甲、乙两汽车在同一平直公路上同向行驶，甲在后乙在前。
t＝0 时刻两车同时开始刹车，刹车后两车的运动图象如图所示，且运动中
发生了撞车事故。下列说法中正确的有（ ）
A．开始刹车时两车的距离一定小于87.5m
B．开始刹车时两车的距离一定小于100m
C．撞车一定发生在t＝20s 以前的某时刻
D．撞车可能发生在t＝25s 至t＝30s 之间的某时刻
【例10】甲、乙两辆汽车沿同一方向做直线运动，两车在某一时刻刚好经过同一位置，
此时甲的速度为5m/s，乙的速度为10m/s，甲车的加速度大小恒为1.2m/s2。以此时作为计
时起点，它们的速度随时间变化的关系如图所示，根据以上条件可知（ ）
A．乙车加速度先增大后减小
B．在前4s 内，甲车运动位移为29.6m
C．在t＝4s 时，甲车追上乙车
D．在t＝10s 时，乙车又回到起始位置
【例11】一辆摩托车的最大速度vm＝30m/s，要想用摩托车从静止开始用180s 的时间正好追上前方300m 处正以
20m/s 的速度向前匀速行驶的汽车，且摩托车在加速阶段做匀加速直线运动，试求摩托车做匀加速直线运动的加速度。
（六）方程根的物理意义与相遇次数问题
一个物理问题，设定某个未知量后，根据物理原理或规律列方程，解这个方程，得到一个或几个根，
这些根可能符合物理事实，也可能与事实不符，我们必须作出正确的判断和取舍。
涉及匀变速运动时，位移x（或追及问题中的相对位移，或两物体的相隔距离）是关于时间t 的二次
函数，速度位移公式也涉及到速度的二次方，因而与匀变速运动相关的问题，列出的方程往往为二次方
程。由数学知，二次方程可能有两个不同的根，甚至出现负根，我们更应注意分析每个根出现的原因和
v
A
B
T
t
O
A
B
T
v
t
O
甲
v/m·s−1
15
25
O
20 25
30 t/s
乙
条件及其物理含义，从而做出正确取舍，得到正确结论。
1．负根类
与匀变速运动相关的问题，以时间t 或速度v 为未知量列出的二次方程，其方程的根有三种可能：
①两个正根；②两个负根；③一正一负
一般来说，一个物理问题设定了记时起点，时间为负是无意义的；速度的正负表示方向，正负根可
能都有意义。
如果出现两个正根，两个正根可能都有意义，也可能只有一个根有意义（如果关于时间的方程有两
个正根，往往是小的那个有意义，大的应舍去）。
【例12】某星球（无大气层）上的重力加速度g＝4m/s2，从高处以v0＝12m/s 的初速度竖直上抛一小球，则小球运
动到离抛出点的高度差h＝10m 处（未落地）所经历的时间为（ ）
A．1s
B．5s
C．
(3−√14)
s
D．
(3+√14)
s
【例13】如图所示，在一平直的轨道上，一质点A 以vA＝5m/s 的速度匀速运动。A 的后方x0＝6m 处，另一质点B 以
vB＝3m/s 的初速度、a＝1m/s2的加速度匀加速同向追赶。
（1）经多长时间B 追上A？
（2）B 追上A 之前，B 离A 的最大距离为多少？
2．往返类
一个物体做匀减速运动（或：一个物体相对于另一物体做匀减速运动），速度（相对速度）减到零
后，一般会出现两种情况：
（1）再反向加速运动（往返类）：又分为往返对称类（加速度相同）和往返不对称类（加速度不
同）
（2）停止运动（刹车类）：解题中要特别注意在研究的时间范围内物体是否已经停止运动
【例14】如图所示，在平直的公路上，一人以v＝6m/s 的速度沿人行道匀速跑步，当他离前方一辆小汽车的距离x0＝
16m 时，小汽车从静止开始以a＝1m/s2的加速度同向做匀加速直线运动，则（ ）
A．人不能追上小汽车，人在车后的最小距离为2m
B．人能追上小汽车，人超过车后，人在车前的最大距离为2m
C．经时间t＝4s 人追上小汽车
D．经时间t＝8s 人追上小汽车
B
A
vB
v
A
a
x0
x0
人
车
v
a
3．刹车类
刹车类问题，主要有两种情况可能导致增根或错根：
（1）在自身刹停前，已经追上并超过了前车（此根有意义），但自身减速快，且没有限定时间，
速度减到0 后加速度仍存在，它会反向运动，仅按数学方程，反向后又会相遇，但实际不可能
（2）前车先刹停，后车才追上来与静止的前车相遇，但按原来的匀减速运动求得的结果是错误的；
或者先超过前车后刹停在前面，后又被后车反超，但按原方程求得的两根，往往大的是错根
【例15】如图所示，在平直公路的两车道上，A、B 两车分别以vA＝40m/s、vB＝10m/s 的速度同向行驶。当A 在B 的
后方离B 的距离为x0时，A 车以大小a＝1m/s2的加速度开始匀减速刹车。
（1）若x0＝432m，求经多长时间A、B 两车相遇；
（2）若x0＝250m，求经多长时间A、B 两车相遇。
4．相遇次数问题
相遇次数问题，就是方程根是否有意义的问题。分析能相遇几次，就是要分析方程有几个根与事实
相符。
相遇次数问题，总体来说比较复杂，在此给出三种简单情况的结论：
（1）共线的两个匀速直线运动，最多相遇一次
①若A 对B 的相对速度指向B，则可相遇一次
②若A 对B 的相对速度背向B，则不可相
③间隔距离不存在最大值和最小值
▲加速度相同的共线的两个匀变速直线运动，情况相同
（2）同时同地出发的两个共线匀变速直线运动（或其中一个为匀速直线运动），最多相遇一次
（因为二次方程最多只有两根，而出发点就是其中一个）
（3）共线的两个匀变速直线运动，最多相遇两次
【例16】甲、乙两物体同时同向运动，乙在甲前方x0处，甲做初速度为6m/s，加速度为1m/s2的匀加速直线运动，
乙做初速度为零，加速度为2m/s2匀加速直线运动，在运动过程中两个物体不会相碰，则（ ）
A．若x0＝18m，两车相遇1 次
B．若x0＝36m，两车相遇1 次
x0
A
B
v
A
vB
C．若x0＜18m，两车相遇2 次
D．若x0＝54m，两车相遇1 次
【作业】
班次 座次 姓名
1．在平直的公路上，汽车以16m/s 的速度行驶。从某时刻开始，该汽车以大小恒定的加速刹车，开始刹车后经过8s
的位移为32m。则汽车刹车的加速度大小为 m/s2。
2．一辆汽车在平直的公路上行驶，从某一时刻开始紧急刹车而做匀减速直线运动。开始刹车后第1s 内的位移为
16m，第3s 内的位移为1m，则刹车的加速大小为 ，开始刹车时的初速度大小为 。
3．汽车以10m/s 的速度在平直公路上前进，在它的前方S 处有一自行车正以4m/s 的速度同向匀速行驶，汽车立即关
闭油门做a＝-6m/s2的匀减速运动。若汽车恰好不碰上自行车，则S 的大小为（ ）
A．9.67m
B．3.33m
C．3m
D．7m
4．（2009 年海南卷）甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v–t 图像如图所示，图中
△OPQ 和△OQT 的面积分别为s1和s2（s2＞s1）。初始时，甲车在乙车前方s0处。则（ ）
A．若s0＝s1+s2，两车不会相遇
B．若s0＜s1，两车相遇2 次
C．若s0＝s1，两车相遇1 次
D．若s0＝s2，两车相遇1 次
5．汽车A 在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4m/s2的加速度做匀加速运动，经过30s 后以该时刻的速度做匀速
直线运动。设在绿灯亮的同时，汽车B 以8m/s 的速度从A 车旁边驶过做匀速直线运动，运动方向与A 车相同，则从绿灯
亮时开始（ ）
A．A 车在加速过程中与B 车相遇
B．A、B 相遇时速度相同
C．相遇时A 车做匀速运动
D．两车不可能再次相遇
6．甲、乙两车在同一直道上同向行驶，甲在前乙在后。t＝0 时刻两车同时开始做
匀减速运动并安全停下，两车的v−t 图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ）
A．t＝4s 时两车相距最远
B．t＝6s 时两车相距最远
C．两车之间的距离先减小后增大
D．t＝0 时刻无论两车相距多远，它们以后的运动中都不会相撞
7．（2021 年重庆卷）质量相同的甲、乙两小球（视为质点）以不同的初速度竖直
上抛，某时刻两球发生正碰。图中实线和虚线分别表示甲、乙两球位置随时间变化的
曲线，其中虚线关于t＝t1左右对称，实线两个顶点的纵坐标相同，若小球运动中除碰
撞外仅受重力，则（ ）
A．t＝0 时刻，甲的速率大于乙的速率
B．碰撞前后瞬间，乙的动量不变
C．碰撞前后瞬间，甲的动能不变
D．碰撞后甲的机械能大于乙的机械能
8．甲、乙两小球先后从同一水平面的两个位置，以相同的初速度竖直向上抛出，
小球距抛出点的高度h 与时间t 的关系如图所示。不计空气阻力，重力加速度为g，则
两小球在图中的交点位置时，距离抛出点的高度为（ ）
A．
B．
O
P
Q
甲
乙
T
t
v
v/m·s-1
O
4
6
8
t/s
10
15
甲
乙
C．
D．
9．在平直公路上行驶的a 车和b 车，其位移-时间（x-t）图象分别为图中直线a 和曲线b，
已知b 车的加速度恒定且等于-2m/s2，t＝3s 时，直线a 和曲线b 刚好相切，则（ ）
A．a 车做匀速运动且速度
B．t＝3s 时a 车和b 车相遇但此时速度不等
C．t＝1s 时b 车的速度为10m/s
D．t＝0 时a 车和b 车的距离x0＝9m
10．一物体以5m/s 的初速度从光滑斜面上某处开始向上运动，其加速度恒为2m/s2，设斜面足够长，经过时间t 物体
的位移大小为4m，则时间t 可能为（ ）
A．1s
B．3s
C．4s
D．
s
11．如图，甲、乙两辆汽车分别在相互垂直的道路上，沿各自道路的中心线（图中虚线所示）向前匀速行驶，v 甲＝
20m/s、v 乙＝30m/s。甲车长l 甲＝8.0m，乙车长l 乙＝7.5m，车宽均为d＝2.0m。当甲、乙两车车头到十字路口中心点O 的
距离分别为s 甲＝31.0m、s 乙＝41.0m 时，乙车意识到有撞车的危险立即采取措施避让，而甲车仍保持原有运动状态向前行
驶。
（1）若乙车立即刹车做匀减速直线运动让甲车先通过，则其加速度大小应该满足什么条件？
（2）若乙车立即加速做匀加速直线运动让自己先通过，则其加速度大小应该满足什么条件？
12．汽车前方120m 处有一自行车正以6m/s 的速度匀速前进，汽车以18m/s 的速度追赶自行车。若两车在同一条公
路的不同车道上做同向的直线运动。
（1）经多长时间，两车第一次相遇？
（2）若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为2m/s2，则再经多长时间两车第二次相遇？
O
s 乙
s
甲
甲
乙
13．如图所示，足够长的斜面倾斜角θ＝37°，一小滑块从斜面底端以v0＝16m/s 的初速度冲上斜面，与斜面间动摩擦
因数µ＝0.25。取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。经多长时间物块在斜面上的位移大小x＝12m？
14．在某铁路与公路交叉的道口处安装的自动栏木装置如下图所示。当高速列车到达A 点时，道口公路上应显示红
灯，警告未越过停车线的汽车迅速制动，而已越过停车线的汽车能在列车到达道口前全部安全通过道口。已知高速列车
的速度v1＝120km/h，汽车过道口的速度v2＝5km/h，汽车驶至停车线时立即制动后滑行的距离是s0＝5m，道口宽度s＝
26m，汽车长l＝15m。若栏木关闭时间t1＝16s，为保障安全需多加时间t2＝20s。问：列车从A 点到道口的距离L 应为多
少才能确保行车安全?
θ
v0
火
车
道
L
s
s0
口
汽车
停车线
栏
木
A
l
15．随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显，分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命。
如图所示为某型号货车紧急制动时（假设做匀减速直线运动）的v2-x 图象（v 为货车的速度，x 为制动距离），其中图线
1 为满载时符合安全要求的制动图象，图线2 为严重超载时的制动图象。某路段限速72km/h，是根据该型号货车满载时安
全制动时间和制动距离确定的，现有一辆该型号的货车严重超载并以54km/h 的速度行驶。通过计算求解：
（1）驾驶员紧急制动时，该型号严重超载的货车制动时间和制动距离是否符合安全要求；
（2）若驾驶员从发现险情到采取紧急制动措施的反应时间为1s，则该型号货车满载时以72km/h 速度正常行驶的跟
车距离至少应为多远。
16．甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲的初速度v 甲＝16m/s，加速度大小a 甲＝
2m/s2，做匀减速直线运动，乙以初速度v 乙＝4m/s，加速度大小a 乙＝1m/s2，做匀加速直线运动，求：
（1）两车再次相遇前二者间的最大距离；
（2）到两车再次相遇所需的时间。
17．货车A 正在公路上以20m/s 的速度匀速行驶，因疲劳驾驶，司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止
的轿车B 时，两车距离仅有75m。
（1）若此时B 车立即以2m/s2的加速度启动，通过计算判断：如果A 车司机没有刹车，是否会撞上B 车；若不相撞，
求两车相距最近时的距离；若相撞，求出从A 车司机发现B 车开始到撞上B 车的时间；
（2）若A 车司机发现B 车，立即刹车（不计反应时间）做匀减速直线运动，加速度大小为2m/s2（两车均视为质
点），为避免碰撞，在A 车刹车的同时，B 车立即做匀加速直线运动（不计反应时间），问：B 车加速度至少多大才能避
免相撞。（公路很窄，无法靠边让道）
