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§1.3 匀变速直线运动的规律
①运动学条件：a 恒定且方向跟v 方向共线
②动力学条件：ΣF 外恒定且方向跟v 方向共线
（一）速度与时间的关系（速度公式）
1．速度公式：vt＝v0＋at（初速度为零的匀加速直线运动：vt＝at）
2．加速度的定义式：
a= Δv
Δt = vt−v0
Δt
3．匀变速直线运动速度的变化Δv=at ∝t （这是寻找时间关系的一条重要思路）
【例1】如图所示，一质点沿直线ABC 做匀变速直线运动，经A、B、C
三点时的速度分别为vA、vB、vC，且3vB＝vA+2vC，则质点经AB、BC 两段位
移所用时间之比为 。
【答案】2:1
【解析】
，即为2:1
（二）位移与时间的关系（位移公式）
1．位移公式：x＝v0t+
1
2 at2（初速度为零的匀加速直线运动：x＝
1
2 at2）
▲匀变速直线运动的位移公式x＝v0t+
1
2 at2与位置坐标方程x＝
1
2 at2+v0t+x0都是关于时间t 的一
元二次函数，同次项系数的意义相同。
【例2】某质点的运动学方程为x＝3t2–4t+2（x、t 的单位分别为m、s）。
（1）求质点的初速度和加速度；
（2）写出质点速度随时间变化的函数式；
（3）t＝0 时刻质点是作加速还是减速运动？
【答案】（1）初速度v0＝-4m/s，加速度a＝6m/s2；（2）v＝-4+6t；（3）减速运动
【解析】x 为t 的一元二次函数，说明为匀变速直线运动
（1）一次方项的系数表示初速度v0，则v0＝-4m/s
二次方项的系数表示加速度a 的
，则
（2）速度函数式：v＝v0+at，即v＝-4+6t
（3）t＝0 时刻，v0为负方向，a 为正方向，两者方向相反，为减速运动
2．“等时圆”与“最速线”
（1）竖直平面内的“等时圆”模型：
按如图所示两种方式在竖直平面内的圆中设置不同倾斜程度的
光滑轨道，让质点由静止开始从轨道的最高点分别沿不同轨道运动
（包括沿竖直直径下落），它们将同时到达轨道的最低点，
。
【推导】
设圆的直径为d，斜面轨道的倾斜角为θ
A
B
C
vA
vB
vC
d
d
θ
θ
d
x
α=45°
d
A
α
竖线
垂线
角平分线
β β
β ＝
α/2
A
B
O
h
H
则轨道长
，物体沿光滑轨道运动的加速度
由位移公式
得到的运动时间t 与倾斜角θ 无关，且等于沿圆的直径做自由落体运动的时间（记住！）
【例3】如图所示，一光滑直槽可绕两圆的切点P 在竖直平面内转动，当直槽转至与水平
面分别成30º、45º、60º 角时，与两圆分别相交于A 和A′、B 和B′、C 和C′点。若一滑块
由静止开始分别从A、B、C 滑至A′、B′和C′所需时间分别为t1、t2、t3，则（ ）
A．t1＜t2＜t3
B．t1＞t2＞t3
C．t1＝t2＝t3
D．t2＜t1＝t3
【答案】C
【例4】如图所示，在倾角为α 的传送带某点的正上方有一发货点A，在
A 点与传送带之间安装一光滑斜槽，为使货物由A 点从静止开始沿斜槽以最
短的时间到达传送带，斜槽与竖直方向的夹角应为多少？
【答案】
【解析】以A 为圆的最高点，作一个最小的等时圆（圆与传送带相切）
连接A 与切点B，即为符合条件的斜槽轨道
由几何关系，易得
【易错点】（易错等级：★★★）
很多人一见到该题，就觉得非常简单，快速得很结论：
认为所搭建的斜槽与传送带垂直时时间最短，因为垂线段最短
但要注意的是，运动时间是由位移和加速度共同决定的，位移最短时加速度并非最大
【难点】本题若用函数法分析，将会非常麻烦
因为搭建的斜槽并非与传送带垂直，斜槽与竖直线、传送带构成的是斜三角形
（2）两种（光滑斜面）“最速线”：
45°
①
最速线：光滑斜面底边长度d 一定，倾角为45°时，
由静止从斜面顶端运动到底端的时间最短
②角平分最速线：从斜面外一点A 引出一光滑斜轨道到
达斜面，当轨道沿竖线和垂线的角平分线时，由静止从轨道
顶端运动到底端的时间最短
【例5】如图所示，在墙壁的同一竖直线上有A、B 两点相距为h，B 点离水平地面高度为H。现要在地面上寻找
一点P，设置两个光滑斜面AP 与BP，使得从A、B 两点由静止释放的小物块分别沿两斜面滑到P 点的时间相等。
（1）用作图法找出P 点；
（2）求P 点到墙角O 点的距离d。
A
B
C
C′
A′
B′
P
A
α
A
α
β
α
B
【解析】
（1）①作AB 的中垂线DC，垂足为D
②取圆的半径R＝OD，以B 为圆心画弧交DC 于C 点
③过C 点作地面的垂线，垂足即为所要找的P 点
（2）圆半径
，在RtΔDBC 中，有：
（三）速度与位移的关系（速度–位移公式）
1．速度–位移公式：vt
2−v0
2＝2ax
初速度为零的匀加速直线运动：vt
2＝2a x（如自由落体运动下落h 高获得的速度v=√2gh ）
2．速度–位移公式的优越性及应用技巧
①由于该公式不涉及到时间t 这个过程参量，应用它来处理问题时只需用到某两个状态，因而往往
比较方便，使得该公式有着广泛的应用。它是求物体加速度的一个最常用的公式之一。且现实中，运动
过程一旦过去了，运动时间已无法知晓，应用该公式正好可以避开时间这个量。
②公式中vt
2和v0
2一正一负，涉及分段运动时，采用各段相加的方法，正负抵消，可消去中间速度。
【例6】把长为s 的平直公路分成n 等份，一辆汽车从始端A 由静止出发，以加速度a 运动。当它到达每一等分点时，
加速度增大a/n，则汽车到达终点B 时的速度为多少？
【答案】
【解析】累加法
设每一份位移
，设汽车到达各分点的速度依次为
、
、
、…、
对每一段运动过程用速度-位移公式，得
… …
以上各式两边分别累加，得
A
B
O
h
H
D
C
d
R
P
R
d
0
0
v
1v
2v
3v
1
nv
nv
a 、
s0
【技巧】见到本题，很多人能快速想到的解题方法就是递推法，但本题不适合用递推法求解，递推法过于麻烦
对各段分别列式，累加时前后两段正负项抵消，将中间各分点的速度全部消去，从而使得运算变得简单
③vt
2−v0
2＝（vt−v0）（vt+v0），而（vt−v0）可以和at 联系起来，（vt+v0）可以和平均速度¯v 联系起
来。
（四）速度规律
1．中时速度：
¯v= x
t = v1+v2
2
=v1+ 1
2 at=v2−1
2 at=v t
2 （算术平均值）
即：做匀变速直线运动的物体，在一段时间中间时刻的瞬时速度，等于这段过程中的平均速度。
▲灵活应用匀变速直线运动平均速度的特点，往往会使很多问题的处理变得非常简单。
【例7】一物体作匀变速直线运动：
（1）若测得该物体在3s 末～7s 末的位移为6.4m，则该物体在前10s 内的位移为 m；
（2）若测得该物体在第3s 内的位移为2m，在第7s 内的位移为7m，则该物体的加速度为 m/s2。
【答案】（1）16；（2）1.25
【解析】
（1）因
，则
则前t＝10s 内的位移
（2）t1＝2.5s 时的速度
t2＝6.5s 时的速度
则加速度
【例8】一物体作匀加速直线运动，通过一段位移∆x 所用的时间为t1，紧接着通过下一段位移∆x 所用的时间为t2。
则物体运动的加速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
1
2
1 2
1
2
2
(
)
(
)
x t
t
t t t
t
1
2
1 2
1
2
(
)
(
)
x t
t
t t t
t
1
2
1 2
1
2
2
(
)
(
)
x t
t
t t t
t
1
2
1 2
1
2
(
)
(
)
x t
t
t t t
t
∆x 、t1
∆x 、t2
v1
v2
t1/2
t2/2
加速度
，A 对
2．中位速度：
v x
2=√
v1
2+v2
2
2
（方均根平均值）
【例9】汽车在平直的公路上作匀加速直线运动，经过第一、第三棵树时的速度分别为1m/s 和7m/s。若树间隔均匀，
则经第二棵树时的速度为_________m/s；若相邻两树间距都为10m，则从第一棵树到第三棵树的时间为______s，汽车的
加速度为_________m/s2。
【答案】5，5，1.2
【解析】
经第2 棵树的速度
从第1 棵树到第3 棵树的平均速度
则时间
加速度
▲数学知识：方均根平均值大于或等于算术平均值（匀变速直线运动，中点速度必大于平均速度）
【例10】一质点沿直线ABOCD 作匀加速直线运动，O 点为AD 与BC 的公共中
点。若质点在AD 段内的平均速度为v1，在BC 段内的平均速度为v2，则（ ）
A．v1＝v2
B．v1＞v2
C．v1＜v2
D．无法确定
【答案】C
【解析】极限思维法
设想B、C 两点无限趋近于O 点，则BC 段的平均速度v2无限趋近于O 点速度
而AD 段的平均速度v1等于A 运动到D 中间时刻（设为P 点）的速度
由于质点做加速度运动，中间时刻P 必然位于中点O 的前方
因而速度
＜
，即v1＜v2，C 对
（五）比例规律（n 不是整数时也成立）
1．一物体做初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的各段时间内的位移之比
x 1:x 2:x 3:…:x n＝1:3:5:…:（2n−1） （即连续奇数之比）
【例11】一物体由静止开始做匀加速直线运动，将其时间依次分为3:2:1 的三段，则这三段位移之比为___________。
【答案】9:16:11
【解析】重组法
时间等分的位移之比：1 : 3 : 5 :7 : 9 :11:13:…
A
B
O
C
D
A
B
O
C
D
P
v1=vP v2→vO
时间为3:2:1 的位移之比：9:16:11
【例12】A 为超声波测速仪，B 为汽车，两者相距335m。某时刻A 发出超声波，同时B 由静止开始远离A 做匀加速
直线运动。当A 接收到B 反射回来的超声波时，AB 相距355m。已知声速为340m/s，则汽车B 的加速度大小为（ ）
A．20m/s2
B．10m/s2
C．5m/s2
D．无法确定
【答案】B
【解析】
超声波往返时间相等，在往返的两段时间内，汽车B 的位移之比为1:3，即分别走了5m、15m
超声波从发出到追上B 车，超声波传播的距离为x 声＝335m+5m＝340m
则时间
在t＝1s 内，车B 的位移x＝5m，设加速度为a，则
2．一物体做初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比
t 1:t 2:t 3:…:t n＝1:(√2 −1):(√3 −√2 ):…:(√n −√n−1)
【例13】（2024 年山东卷）如图所示，固定的光滑斜面上有一木板，其下端与
斜面上A 点距离为L。木板由静止释放，若木板长度为L，通过A 点的时间间隔为Δt1；
若木板长度为2L，通过A 点的时间间隔为Δt2。Δt2:Δt1为（ ）
A．（√3−1）:（√2−1）
B．（√3−√2 ）:（√2−1）
C．（√3+1）:（√2+1）
D．（√3+√2 ）:（√2+1）
【答案】A
【解析】木板在斜面上运动时设加速度为a
木板从静止释放到下端到达A 点的过程，根据运动学公式有
木板从静止释放到上端到达A 点的过程，当木板长度为L 时，有
当木板长度为2L 时，有
又
，
联立解得
，故选A
【作业】
班次 座次 姓名
335m
355m
5m
15m
A
B
1．（2018 年全国Ⅰ卷）高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线运动，在启动阶段列车的动能
（ ）
A．与它所经历的时间成正比
B．与它的位移成正比
C．与它的速度成正比
D．与它的动量成正比
【答案】B
【解析】
高铁列车启动阶段可看作初速度为零的匀加速运动
则列车所受合外力恒定,由动能定理
，Ek与位移x 成正比
另外，
，故选项B 正确，A、C、D 错误
2．如图所示，一滑块（视为质点）沿光滑斜面下滑，依次经过斜面上的A、B、
C、D 四点，通过AB、BC、CD 各段的时间依次为T、2T、3T，其中AB 段的长度
为L0，CD 段的长度为L，则BC 段的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】特值法
令vA＝0，则L＝27L0，BC＝8L0
将L＝27L0代入各选项验证，只有B 选项是8L0，B 对
3．如图所示，一物块沿斜面匀加速下滑，依次通过两段位移s 所用时间分别为t1、
t2，则通过中点n 时的速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
4．列车过隧道需要限速。长为l 的高速列车在平直轨道上正常匀速行驶，速率为v0。现要通过前方一长为L 的隧道，
当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v（v＜v0）。已知列车加速和减速时加速度的大小分别为a 和
2a，则列车从开始减速至回到正常行驶速率v0所用时间至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
5．（2022 年湖北卷）我国高铁技术全球领先，乘高铁极大节省了出行时间。假设两火车站W 和G 间的铁路里程为
1080km，W 和G 之间还均匀分布了4 个车站。列车从W 站始发，经停4 站后到达终点站G。设普通列车的最高速度为
108km/h，高铁列车的最高速度为324km/h。若普通列车和高铁列车在进站和出站过程中，加速度大小均为0.5m/s2，其余
行驶时间内保持各自的最高速度匀速运动，两种列车在每个车站停车时间相同，则从W 到G 乘高铁列车出行比乘普通列
车节省的时间为（ ）
A．6 小时25 分钟
B．6 小时30 分钟
C．6 小时35 分钟
D．6 小时40 分钟
【答案】B
【解析】108km/h＝30m/s，324km/h＝90m/s
vA＝0 时，时间T、2T、3T 内的位移比：
1:3 : 5 :7 : 9 : 11
:13:…
AB:BC:CD＝L 0:8L 0:27L 0
A
B
C
D
n
m
p
s
s
由于中间4 个站均匀分布，因此节省的时间相当于在任意相邻两站间节省的时间的5 倍为总的节省时间
相邻两站间的距离
普通列车加速时间
加速过程的位移
根据对称性可知加速与减速位移相等，可得匀速运动的时间
同理高铁列车加速时间
加速过程的位移
根据对称性可知加速与减速位移相等，可得匀速运动的时间
相邻两站间节省的时间
因此总的节省时间
故选B。
6．一物体从静止开始做匀加速直线运动，从开始运动起，连续三段时间分别是1s、2s、3s，这三段时间内的位移之
比和平均速度之比分别是（ ）
A．1:22:32，1:2:3
B．1:23:33，1:22:32
C．1:2:3，1:1:1
D．1:3:5，1:2:3
【答案】重组法
【解析】先将时间等分得位移比，再对时间段进行重组
7．汽车以18m/s 的速度开始制动，制动后3s 内前进36m，则制动后5s 内前进的距离为 m。
【答案】40.5
【解析】刹车制动问题，都要注意在所述的过程中是否已经停止
t0＝0 时刻：v0＝18m/s
t1＝1.5s 时刻：
时间等分时位移比：1 :3 : 5 :7 : 9 : 11
:13:…
时间比为1:2:3 时位移比：1:8:27
平均速度（位移/时间）比：1:4:9
则加速度大小：
制动直到停止的总时间：
＜5s
则制动后5s 内前进的距离
8．一辆汽车由甲地沿直线运动到达乙地，在前一半路程里由静止匀加速到60km/h，后一半路程里由60km/h 匀加速
到120km/h。则整个过程中汽车的平均速度是 km/h。
【答案】45
9．公路上行驶的两辆汽车之间应保持一定的安全距离。当前车突然停止时，后车司机可以采取刹车措施，使汽车在
安全距离内停下而不会与前车相碰。通常情况下，人的反应时间和汽车系统的反应时间之和为1s。当汽车在晴天干燥沥
青路面上以108km/h 的速度匀速行驶时，安全距离为120m。设雨天时汽车轮胎与沥青地面的动摩擦因数为晴天时的2/5，
若要求安全距离仍为120m，求汽车在雨天安全行驶的最大速度。
【答案】72km/h
【解析】反应时间
，安全距离
，晴天
晴天时，设动摩擦因数为
，加速度为
；雨天时，设速度为
，加速度为
，有：
晴天：
，
雨天：
，
由以上几式联立解得：
10．（2024 年全国甲卷）为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从t＝0 时由静止开始做匀加速运动，
加速度大小a＝2m/s2，在t1＝10s 时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停止鸣笛，t2＝41s 时在救护车出发处的
人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速v0＝340m/s，求：
（1）救护车匀速运动时的速度大小；
（2）在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。
【答案】（1）20m/s；（2）680m
【解析】
（1）救护车匀速运动时的速度大小
（2）救护车加速运动过程中的位移
设在t3时刻停止鸣笛，根据题意可得
停止鸣笛时救护车距出发处的距离
