文档内容
第 2 讲 匀变速直线运动的规律
目标要求 1.掌握匀变速直线运动的基本公式和导出公式，并能熟练应用.2.掌握自由落体
运动和竖直上抛运动的特点，知道竖直上抛运动的对称性．
考点一 匀变速直线运动的规律
基础回扣
1．匀变速直线运动
沿着一条直线且加速度不变的运动．
2．匀变速直线运动的两个基本规律
(1)速度与时间的关系式：v＝v ＋ a t.
0
(2)位移与时间的关系式x＝vt＋at2.
0
3．匀变速直线运动的三个常用推论
(1)速度与位移的关系式： v 2 － v 2 ＝ 2 ax .
0
(2)平均速度公式：做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间内初、
末时刻速度矢量和的一半，还等于中间时刻的瞬时速度．
即：＝＝ .
(3)连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等．
即：x－x＝x－x＝…＝x－x ＝ aT 2 .
2 1 3 2 n n－1
4．初速度为零的匀加速直线运动的四个重要比例式
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为v∶v∶v∶…∶v＝ 1 ∶ 2 ∶ 3 ∶…∶ n .
1 2 3 n
(2)前 T 内、前 2T 内、前 3T 内、…、前 nT 内的位移之比为 x∶x∶x∶…∶x ＝
1 2 3 n
1 ∶ 4 ∶ 9 ∶…∶ n 2 .
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为x ∶x ∶x ∶…
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
∶x ＝ 1 ∶ 3 ∶ 5 ∶…∶ (2 n － 1) ．
N
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t∶t∶t∶…∶t ＝1∶(－1)∶(－)∶…
1 2 3 n
∶(－)．
技巧点拨
1．解决匀变速直线运动问题的基本思路
→→→→
注意：x、v、v、a均为矢量，所以解题时需要确定正方向，一般以v 的方向为正方向．
0 0
2．匀变速直线运动公式的选用一般问题用两个基本公式可以解决，以下特殊情况下用导出公式会提高解题的速度和准确率；
(1)不涉及时间，选择v2－v2＝2ax；
0
(2)不涉及加速度，用平均速度公式，比如纸带问题中运用 ＝＝求瞬时速度；
(3)处理纸带问题时用Δx＝x－x＝aT2，x －x＝(m－n)aT2求加速度．
2 1 m n
3．逆向思维法：对于末速度为零的匀减速运动，采用逆向思维法，倒过来看成初速度为零
的匀加速直线运动．
4．图像法：借助v-t图像(斜率、面积)分析运动过程．
基本公式的应用
例1 一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动，在时间间隔 t内位移为x，动能变为原来
的9倍．该质点的加速度为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设初速度为v ，末速度为v ，根据题意可得9×mv2＝mv2，解得v ＝3v ，根据v＝
1 2 1 2 2 1
v＋at，可得3v＝v＋at，解得v＝，代入x＝vt＋at2，可得a＝，故A正确．
0 1 1 1 1
平均速度公式的应用
例2 (2019·山东潍坊市二模)中国自主研发的“暗剑”无人机，时速可超过2马赫．在某
次试飞测试中，起飞前沿地面做匀加速直线运动，加速过程中连续经过两段均为120 m的测
试距离，用时分别为2 s和1 s，则无人机的加速度大小是( )
A．20 m/s2 B．40 m/s2
C．60 m/s2 D．80 m/s2
答案 B
解析 第一段的平均速度v＝＝ m/s＝60 m/s；第二段的平均速度v＝＝ m/s＝
1 2
120 m/s，某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，两个中间时刻的时间间隔为 Δt
＝＋＝1.5 s，则加速度为：a＝＝ m/s2＝40 m/s2，故选B.
1．刹车类问题
(1)其特点为匀减速到速度为零后即停止运动，加速度a突然消失．
(2)求解时要注意确定实际运动时间．
(3)如果问题涉及最后阶段(到停止)的运动，可把该阶段看成反向的初速度为零的匀加速直线
运动．2．双向可逆类问题
(1)示例：如沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速
度大小、方向均不变．
(2)注意：求解时可分过程列式也可对全过程列式，但必须注意 x、v、a等矢量的正负号及
物理意义．
例3 若飞机着陆后以6 m/s2的加速度做匀减速直线运动，其着陆时的速度为 60 m/s，则它
着陆后12 s内滑行的距离是( )
A．288 m B．300 m C．150 m D．144 m
答案 B
解析 设飞机着陆后到停止所用时间为t，由v＝v ＋at，得t＝＝ s＝10 s，由此可知飞机在
0
12 s内不是始终做匀减速直线运动，它在最后2 s内是静止的，故它着陆后12 s内滑行的距
离为x＝vt＋＝60×10 m＋(－6)× m＝300 m.
0
1．(基本公式法与逆向思维法)(2019·安徽芜湖市期末)假设某次深海探测活动中，“蛟龙
号”完成海底科考任务后竖直上浮，从上浮速度为 v时开始匀减速并计时，经过时间
t，“蛟龙号”上浮到海面，速度恰好减为零，则“蛟龙号”在t(t0，物体上升，若v<0，物体下降
若x>0，物体在抛出点上方，若x<0，物体在抛出点下方2.如图4，若小球全过程加速度大小、方向均不变，做有往返的匀变速直线运动，求解时可
看成类竖直上抛运动，解题方法与竖直上抛运动类似，既可以分段处理，也可以全程法列式
求解．
图4
自由落体运动
例4 (2020·浙江Z20联盟第三次联考)跳水运动员训练时从10 m跳台双脚朝下自由落下，
某同学利用手机的连拍功能，连拍了多张照片．从其中两张连续的照片中可知，运动员双脚
离水面的实际高度分别为5.0 m和2.8 m．由此估算手机连拍时间间隔最接近以下哪个数值(
)
A．1×10－1 s B．2×10－1 s
C．1×10－2 s D．2×10－2 s
答案 B
解析 设在该同学拍这两张照片时运动员下落高度h 、h 所用的时间分别为t 、t ，则h ＝
1 2 1 2 1
10 m－5 m＝5 m，t＝＝1 s.
1
h＝10 m－2.8 m＝7.2 m，t＝＝1.2 s.
2 2
所以手机连拍时间间隔为Δt＝t－t＝2×10－1 s，故B项正确．
2 1
竖直上抛运动
例5 (2020·江西六校第五次联考)一个从地面上竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点A
的时间间隔是5 s，两次经过一个较高点B的时间间隔是3 s，则A、B之间的距离是(不计空
气阻力，g＝10 m/s2)( )
A．80 m B．40 m
C．20 m D．无法确定
答案 C
解析 物体做竖直上抛运动，根据运动时间的对称性得，物体从最高点自由下落到 A点的
时间为，从最高点自由下落到B点的时间为，A、B间距离为：h ＝g[()2－()2]＝×10×(2.52
AB
－1.52) m＝20 m，故选C.
5．(自由落体运动)(2019·山东临沂市期末质检)一个物体从某一高度做自由落体运动．已知它在第1 s内的位移恰为它在最后1 s内位移的三分之一．则它开始下落时距地面的高度为
(不计空气阻力，g＝10 m/s2)( )
A．15 m B．20 m C．11.25 m D．31.25 m
答案 B
解析 物体在第1 s内的位移h＝gt2＝5 m，物体在最后1 s内的位移为15 m，由自由落体运
动的位移与时间的关系式可知，gt 2－g(t －1 s)2＝15 m，解得t ＝2 s，则物体下落时距
总 总 总
地面的高度为H＝gt 2＝20 m，B正确．
总
6．(竖直上抛运动)(2019·全国卷Ⅰ·18)如图5，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地
后重心上升的最大高度为H.上升第一个所用的时间为t，第四个所用的时间为t.不计空气阻
1 2
力，则满足( )
图5
A．1<<2 B．2<<3
C．3<<4 D．4<<5
答案 C
解析 由逆向思维和初速度为零的匀加速直线运动比例式可知＝＝2＋，即3<<4，选项C正
确．
考点三 多过程问题
1．一般的解题步骤
(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全
过程．
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量．
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程．
2．解题关键
多运动过程的转折点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对转折点速度的求解往往是
解题的关键．
例6 (2021·辽宁模拟)航天飞机在平直的跑道上降落，其减速过程可以简化为两个匀减速直线运动．航天飞机以水平速度v＝100 m/s着陆后，立即打开减速阻力伞，以大小为a＝4
0 1
m/s2的加速度做匀减速直线运动，一段时间后阻力伞脱离，航天飞机以大小为 a ＝2.5 m/s2
2
的加速度做匀减速直线运动直至停下．已知两个匀减速直线运动滑行的总位移x＝1 370 m．
求：
(1)第二个减速阶段航天飞机运动的初速度大小；
(2)航天飞机降落后滑行的总时间．
答案 (1)40 m/s (2)31 s
解析 (1)设第二个减速阶段航天飞机运动的初速度大小为 v ，根据运动学公式有v2－v2＝
1 0 1
2ax，
1 1
v2＝2ax，
1 2 2
x＋x＝x，
1 2
联立以上各式并代入数据解得v＝40 m/s.
1
(2)由速度与时间的关系可得
v＝v＋at，v＝at，t＝t＋t，
0 1 11 1 22 1 2
联立以上各式并代入数据解得t＝31 s.
课时精练
1．(2019·上海市建平中学高三月考)伽利略为了研究自由落体的规律，将落体实验转化为著
名的“斜面实验”，从而创造了一种科学研究的方法．利用斜面实验主要是考虑到实验时便
于测量小球运动的( )
A．速度 B．时间
C．路程 D．加速度
答案 B
2．(2020·黑龙江牡丹江一中高三开学考试)汽车在水平面上刹车，其位移与时间的关系是 x
＝24t－6t2，则它在前3 s内的平均速度为( )
A．8 m/s B．10 m/s
C．12 m/s D．14 m/s
答案 A
解析 由位移与时间的关系结合运动学公式可知，v ＝24 m/s，a＝－12 m/s2；则由v＝v ＋
0 0
at可知，汽车在2 s末即静止，故前3 s内的位移等于前2 s内的位移，x＝24×2 m－6×4 m
＝24 m，则汽车的平均速度＝＝ m/s＝8 m/s，故A正确．3．(2020·浙江宁波市鄞州中学初考)高空坠物已经成为城市中仅次于交通肇事的伤人行为．
某市曾出现一把明晃晃的菜刀从高空坠落，“砰”的一声砸中了停在路边的一辆摩托车的前
轮挡泥板．假设该菜刀可以看成质点，且从15层楼的窗口无初速度坠落，则从菜刀坠落到
砸中摩托车挡泥板的时间最接近( )
A．1 s B．3 s
C．5 s D．7 s
答案 B
解析 楼层高约为3 m，则菜刀下落的高度h＝(15－1)×3 m＝42 m，菜刀运动过程可视为
自由落体运动，根据h＝gt2，解得t＝＝ s≈2.9 s，最接近3 s，故选B.
4．(2019·江苏盐城市期中)汽车以20 m/s的速度在平直公路上行驶，急刹车时的加速度大小
为5 m/s2，则自驾驶员急踩刹车开始，经过2 s与5 s汽车的位移之比为( )
A．5∶4 B．4∶5 C．3∶4 D．4∶3
答案 C
解析 汽车速度减为零的时间为：t＝＝ s＝4 s，2 s时位移：x＝vt＋at2＝20×2 m－×5×4
0 1 0
m＝30 m，刹车5 s内的位移等于刹车4 s内的位移，为：x ＝＝40 m，所以经过2 s与5 s汽
2
车的位移之比为3∶4，故选项C正确．
5．(多选)(2019·贵州瓮安第二中学高一期末)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2
m，第4 s内的位移是2.5 m，那么以下说法中正确的是( )
A．2～4 s内的平均速度是2.25 m/s
B．第3 s末的瞬时速度是2.25 m/s
C．质点的加速度是0.125 m/s2
D．质点的加速度是0.5 m/s2
答案 ABD
解析 根据平均速度公式，质点2～4 s内的平均速度＝ m/s＝2.25 m/s，故A正确；第3 s
末的瞬时速度等于2～4 s内的平均速度，即v ＝＝2.25 m/s，故B正确；根据Δx＝aT2得，
3
质点的加速度a＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，故C错误，D正确．
6. (多选)(2020·黑龙江鹤岗一中高三开学考试)如图1所示，在一个桌面上方有三个金属小球
a、b、c，离桌面的高度分别为h 、h 、h ，h∶h∶h ＝ 3∶2∶1.若先后顺次释放a、b、
1 2 3 1 2 3
c，三球刚好同时落到桌面上，不计空气阻力，则( )
图1
A．三者到达桌面时的速度大小之比是∶∶1
B．三者运动时间之比为3∶2∶1C．b与a开始下落的时间差小于c与b开始下落的时间差
D．三个小球运动的加速度与小球受到的重力成正比，与质量成反比
答案 AC
解析 三个球均做自由落体运动，由 v2＝2gh得v＝，则v∶v∶v ＝∶∶＝∶∶1，故A正
1 2 3
确；三个球均做自由落体运动，由h＝gt2得t＝，则t∶t∶t＝∶∶＝∶∶1，故B错误；b与
1 2 3
a开始下落的时间差t 小于c与b开始下落的时间差t ，故C正确；小球下落的加速度均为
3 3
g，与重力及质量无关，故D错误．
7．(多选)(2020·陕西延安市第一中学高三二模)物体以初速度v 竖直上抛，经3 s到达最高点，
0
空气阻力不计，g取10 m/s2，则下列说法正确的是( )
A．物体的初速度v 为60 m/s
0
B．物体上升的最大高度为45 m
C．物体在第1 s内、第2 s内、第3 s内的平均速度之比为5∶3∶1
D．物体在1 s内、2 s内、3 s内的平均速度之比为9∶4∶1
答案 BC
解析 物体做竖直上抛运动，有h＝vt－gt2①
0
v＝v－gt②
0
联立①②可得v ＝30 m/s，h＝45 m，故A错误，B正确；物体在第1 s内、第2 s内、第3 s
0
内的位移分别为25 m、15 m、5 m，已知＝，故在相等时间内的平均速度之比为 ∶
1
∶＝x∶x∶x＝5∶3∶1，物体在1 s内、2 s内、3 s内的平均速度之比为 ′∶
2 3 1 2 3 1
′∶′＝∶∶＝5∶4∶3，故C正确，D错误．
2 3
8．距地面高5 m的水平直轨道上的A、B两点相距2 m，在B点用细线悬挂一小球，离地高
度为h.如图2所示，小车始终以4 m/s的速度沿轨道匀速运动，经过A点时将随车携带的小
球由轨道高度自由卸下，小车运动至B点时细线被轧断，最后两球同时落地．不计空气阻
力，重力加速度的大小g取10 m/s2.可求得h等于( )
图2
A．1.25 m B．2.25 m
C．3.75 m D．4.75 m
答案 A
解析 小车上的小球落地的时间t＝；小车从A到B的时间t ＝，悬挂的小球下落的时间t
1 2
＝.由题意得时间关系：t＝t＋t，即＝＋，解得h＝1.25 m，A正确．
1 29．(2020·山东济南一中阶段检测)汽车在平直的公路上行驶，发现险情紧急刹车，汽车立即
做匀减速直线运动直到停止，已知汽车刹车时第 1 s内的位移为13 m，在最后1 s内的位移
为
2 m，则下列说法正确的是( )
A．汽车在第1 s末的速度可能为10 m/s
B．汽车加速度大小可能为3 m/s2
C．汽车在第1 s末的速度一定为11 m/s
D．汽车的加速度大小一定为4.5 m/s2
答案 C
解析 采用逆向思维，由于最后1 s内的位移为2 m，根据x′＝at2得，汽车加速度大小a＝
＝ m/s2＝4 m/s2，第1 s内的位移为13 m，根据x ＝vt－at2，代入数据解得，初速度v ＝15
1 0 0
m/s，则汽车在第1 s末的速度v ＝v －at＝15 m/s－4×1 m/s＝11 m/s，故C正确，A、B、D
1 0
错误．
10．(2020·山西大同市第十九中学高三月考)两物体从不同高度自由下落，同时落地，第一个
物体下落时间为t，第二个物体下落时间为，当第二个物体开始下落时，两物体相距( )
A．gt2 B.gt2
C.gt2 D.gt2
答案 D
解析 第二个物体在第一个物体下落后开始下落，此时第一个物体下落的高度h ＝g()2＝，
1
根据h＝gt2，知第一个物体和第二个物体下落的总高度分别为 gt2和，两物体未下落时相距，
所以当第二个物体开始下落时，两物体相距Δh＝gt2－gt2＝gt2，故D正确，A、B、C错误．
11．(2020·全国卷Ⅰ·24)我国自主研制了运20重型运输机．飞机获得的升力大小F可用F＝
kv2描写，k为系数；v是飞机在平直跑道上的滑行速度，F与飞机所受重力相等时的v称为
飞机的起飞离地速度，已知飞机质量为1.21×105 kg时，起飞离地速度为66 m/s；装载货物
后质量为1.69×105 kg，装载货物前后起飞离地时的k值可视为不变．
(1)求飞机装载货物后的起飞离地速度大小；
(2)若该飞机装载货物后，从静止开始匀加速滑行1 521 m起飞离地，求飞机在滑行过程中加
速度的大小和所用的时间．
答案 (1)78 m/s (2)2 m/s2 39 s
解析 (1)设飞机装载货物前质量为m ，起飞离地速度为v ；装载货物后质量为m ，起飞离
1 1 2
地速度为v，重力加速度大小为g.飞机起飞离地应满足条件
2
mg＝kv2①
1 1
mg＝kv2②
2 2由①②式及题给条件得v＝78 m/s③
2
(2)设飞机滑行距离为s，滑行过程中加速度大小为a，所用时间为t.
由匀变速直线运动公式有
v2＝2as④
2
v＝at⑤
2
联立③④⑤式及题给条件得a＝2 m/s2，t＝39 s.
12.如图3所示，质量m＝0.5 kg的物体(可视为质点)以4 m/s的速度从光滑斜面底端D点上
滑做匀减速直线运动，途经A、B两点，已知物体在A点时的速度是在B点时速度的2倍，
由B点再经过0.5 s滑到顶点C点时速度恰好为零，已知AB＝0.75 m．求：
图3
(1)物体在斜面上做匀减速直线运动的加速度；
(2)物体从底端D点滑到B点的位移大小．
答案 (1)2 m/s2，方向平行于斜面向下 (2)3.75 m
解析 (1)设沿斜面向上的方向为正方向，B→C过程中，根据运动学公式，有
0－v ＝at
B BC
A→B过程中，v 2－(2v )2＝2ax
B B AB
解得：a＝－2 m/s2，负号表示方向平行于斜面向下
(2)由(1)可知v ＝1 m/s
B
物体从底端D点滑到B点的位移大小x ＝＝ m＝3.75 m.
DB
13．因高铁的运行速度快，对制动系统的性能要求较高，高铁列车上安装有多套制动装置
——制动风翼、电磁制动系统、空气制动系统、摩擦制动系统等．在一段直线轨道上，某高
铁列车正以v ＝288 km/h的速度匀速行驶，列车长突然接到通知，前方x ＝5 km处道路出
0 0
现异常，需要减速停车．列车长接到通知后，经过t＝2.5 s将制动风翼打开，高铁列车获得
1
a ＝0.5 m/s2的平均制动加速度减速，减速t ＝40 s后，列车长再将电磁制动系统打开，结果
1 2
列车在距离异常处500 m的地方停下来．
(1)求列车长打开电磁制动系统时，列车的速度多大？
(2)求制动风翼和电磁制动系统都打开时，列车的平均制动加速度a 是多大？
2
答案 (1)60 m/s (2)1.2 m/s2
解析 (1)v＝288 km/h＝80 m/s
0
打开制动风翼时，
列车的加速度大小为a＝0.5 m/s2，
1设经过t＝40 s时，列车的速度为v，
2 1
则v＝v－at＝60 m/s.
1 0 12
(2)列车长接到通知后，经过t＝2.5 s，
1
列车行驶的距离x＝vt＝200 m，
1 01
从打开制动风翼到打开电磁制动系统的过程中，
列车行驶的距离x＝＝2 800 m
2
打开电磁制动系统后，列车行驶的距离
x＝x－x－x－500 m＝1 500 m；
3 0 1 2
a＝＝1.2 m/s2.
2
