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§1.5 自由落体运动和竖直上抛运动
（一）自由落体运动
【例1】关于自由落体运动（由静止开始下落，不计空气阻力），下列说法正确的有（ ）
A．重的物体比轻的物体下落得快
B．密度大的物体比密度小的物体下落得快
C．下落速度随下落时间均匀增大
D．下落速度随下落高度均匀增大
1．认知过程——伽利略对自由落体运动的研究
（1）亚里士多德的观点及人们的直观规认知：重的物体比轻的物体下落得快
（2）伽利略：
①发现问题（置疑）
②提出猜想（不同轻重的物体下落快慢应相同，且运动速度随时间均匀变化）
③逻辑推理（将轻重不同的两个物体绑在一起，用两条不同的思路推理，得出了矛盾结论）
④实验探究（熟知著名的铜球“斜面实验”，传说中的比萨斜塔落球实验）
⑤历史上错误认知原因（空气阻力对不同物体下落的影响程度不同）（毛钱管实验，也称钱羽管实
验、牛顿管实验）
【例2】伽利略相信，自然界的规律往往是简单的。他从这个信念出发，猜想落体的速度应该是均匀变化的。为验
证自己的猜想，他做了有名的铜球“斜面实验”，发现铜球在斜面上运动的位移与时间的二次方成正比。改变铜球的质
量或增大斜面倾角，上述规律依然成立。于是，他外推到倾角为90°的情况，得出自由落体运动的规律。结合以上信息，
判断下列说法正确的是（ ）
A．伽利略通过“斜面实验”来研究落体运动规律，是为了增大速度，从而便于测量速度
B．伽利略通过“斜面实验”来研究落体运动规律，是为了增大加速度，从而便于测量加速度
C．由“斜面实验”的结论可知，铜球运动的速度随位移均匀增大，说明速度均匀变化成立
D．由“斜面实验”的结论可知，铜球运动的速度随时间均匀增大，说明速度均匀变化成立
2．运动条件——理想化的运动模型
（1）初速度为零（由静止开始下落）；
（区分自由落体运动和物体的自由下落。自由落体运动如果下落一段时间之后再算，就不称为自由
落体运动了，而变成了竖直下抛运动）
（2）运动中只受重力（不计空气阻力及其它任何力）
3．运动特征——不同物体下落快慢相同（等大的自由落体加速度g）
（1）不同物体的自由落体运动快慢相同（熟悉伽利略理想斜面实验、钱羽管实验）
（2）测定方法：自由落体法（闪光拍照法、滴水法）、单摆振动法、比值法（g=G/m）
【例3】宇航员到达某星球后，测得一质量为m 的物体在该星球表面的重力为W，若该星球半径为R 且没有自转，
引力常量为G。则该星球的质量为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．运动方程——两公式+两推论（以下是取竖直向下为正方向的）
【例4】一物体从塔顶由静止下落a 米时，另一物体从塔顶下方b 米处由静止下落，它们同时落地，则塔高为 。
gt
v
2
2
1 gt
h
gh
t
2
gh
v
2
【例5】某同学观察从水龙头流出的竖直水柱，发现越往下水柱越细。他测量了水龙头出水口的横截面积为1cm2，
并用手机的速度传感器功能，测得水流流出的初速度为1m/s，不计空气阻力和其他任何因素对水流的影响，重力加速度g
＝10m/s2，则出水口下方1.2m 处水柱的横截面积为（ ）
A．0.2cm2
B．0.4cm2
C．0.5cm2
D．0.6cm2
5．解题技巧——记忆+比例规律（追求秒解）
（1）建议记住一些数据
①下落高度
前1s
前2s
前3s
前4s
…
第1s
第2s
第3s
第4s
…
g＝10m/s2
5m
20m
45m
80m
…
5m
15m
25m
35m
…
g＝9.8m/s2
4.9m
19.6m
44.1m
78.4m
…
4.9m
14.7m
24.5m
34.3m
…
②标准的多层住宅楼的楼层高度约为3m，自由下落一层楼的高度约需0.8s
（2）巧用比例规律，准确秒解
①时间等分，下落高度比：1:3:5:7:9:…:（2n-1）（n 不为整数也成立）
②位移等分，下落时间比：1:(√2 −1):(√3 −√2 ):…:(√n −√n−1)（n 不为整数也成立）
【例6】（2021 年湖北卷）2019 年，我国运动员陈芋汐获得国际泳联世锦赛女子单人10 米跳台冠军。某轮比赛中，
陈芋汐在跳台上倒立静止，然后下落，前5m 完成技术动作，随后5m 完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体
运动，重力加速度大小取10m/s2，则她用于姿态调整的时间约为（ ）
A．0.2s
B．0.4s
C．1.0s
D．1.4s
【例7】一小球从空中某处自由下落至地面（忽略阻力），若最后1s 的位移是第1s 的n 倍，则下落总时间为（
）
A．
B．
C．
D．
（二）竖直上抛运动
1．运动性质：
加速度a 上＝a 下＝g，全过程是初速度不为零的匀变速直线运动。
2．竖直上抛运动公式（以下是取竖直向上为正方向的）
速度公式：
（v 为正，表示在上升；v 为负，表示在下落）
位移公式：
（h 为正，表示在抛出点上方；h 为负，表示落到了抛出点以下）
上升时间：
，下落时间：
，总时间：
（从抛出到落回抛出点）
上抛高度：
【例8】在竖直井里的同一深度处，以相同的初动能将两个质量不同的小球竖直向上抛出井口，选取井口所在的水
上升过程：末速度为零的匀减速直线运动
下落过程：初速度为零的匀加速直线运动
平面为零势能面，不计空气阻力。则（ ）
A．抛出瞬间，两小球的重力势能相等
B．两小球达到的最大高度相同
C．两小球经过井口时，速度相同
D．两小球在各自最高处时，质量小的小球重力势能大
3．竖直上抛运动的对称性（上升过程与下落过程具有对称性）
（1）时间对称性：竖直上抛运动中，物体从抛出点上升到最高点和从最高点
落回到抛出点所用时间相等。
推论：竖直上抛运动中，物体在任意两点间上升时间等于下落时间：t 上＝t 下
【例9】做竖直上抛运动的物体，两次经过较低处的A 点所用时间为t1，两次经过较高处
的B 点所用时间为t2，则A、B 间的高度为 。
（2）速率对称性：竖直上抛运动中，物体落回抛出点时的速率等于抛出时的速率：v'＝–v0
推论：竖直上抛运动中，在空间中的任一点，物体的上升速率等于下落速率：v 下＝–v 上
（3）对称性的推广：一物体先匀减速运动再反向匀加速运动，若整个过程中加速度矢量恒定，即
整个过程为匀变速直线运动，则减速过程和加速过程都具有时间对称性及速率对称性。
例如：一物体以一初速度沿光滑斜面上滑，再返回下滑，上滑和下滑过程就具有对称性。
（4）匀减速直线运动的逆程转化：由于末速为零的匀减速运动和初速为零的匀加速运动具有对称
性，而初速为零的匀加速运动在运动规律上较为简单，因而，我们可将末速为零的匀减速运动逆程转化
为初速为零的匀加速运动进行分析处理。即：
【例10】给滑块一初速度v0，使它沿斜面向上做匀减速直线运动，加速度大小为
；到达最高点后返回做匀加速直
线运动，加速度大小为
。若斜面足够长，则当滑块的速度大小为
时，所用时间可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例11】如图所示，在“子母球”表演中，让同一竖直线上的小球P 和小球Q，从距水平地面
的高度为7h 和h 的地方同时由静止释放，球P 的质量为m，球Q 的质量为2m，设所有碰撞都是弹
性碰撞，重力加速度为g，忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间，则P 和Q 第一次碰撞后球P 的速
度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例12】某物体以30m/s 的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g 取10m/s2。5s 内物体的（ ）
A．路程为65m
B．位移大小为25m，方向向上
C．速度改变量的大小为50m/s
D．平均速度大小为13m/s，方向向上
4．分析方法——分段法与全程法
（1）分段法：将全程分为两个阶段：
①上升过程：末速为0 的匀减速直线运动；
A
B
C
D
v'=
-v0
v0
D
C
B
A
下
落
过
程
上
升
过
程
时间反演
逆程转换
末速度为零的匀减速直线运动
初速度为零的匀加速直线运动
②下降过程：自由落体运动
（2）全程法：取v0 的方向为正方向，将全过程视为初速度为v0、加速度为a＝－g 的匀变速直线
运动，则有v＝v0－gt，h＝v0t－gt2。此时要注意v、h 的矢量性及其意义：
①v＞0 时，物体正在上升；v＜0 时，物体正在下降。
②h＞0 时，物体在抛出点上方；h＜0 时，物体在抛出点下方。
5．经典问题——抛球杂技（相对运动与相遇问题）
【例13】（广西高考题）一杂技演员，用一只手抛球。他每隔0.40s 抛出一球，接到球便立即把球抛出。已知除抛、
接球的时刻外，空中总有4 个小球，将球的运动近似看作是竖直方向的运动，球到达的最大高度是（高度从抛球点算起，
取g＝10m/s2）（ ）
A．1.6m
B．2.4m
C．3.2m
D．4.0m
【例14】若不计空气阻力，竖直向上抛出的物体运动的位移-时间图像（即x-t 图像）
如图所示。某次玩具枪测试中，子弹从枪口射出时的速度大小为40m/s，测试员在t＝0 时
刻竖直向上射出第一颗子弹，之后每隔2s 竖直向上射出一颗子弹，假设子弹在运动过程
中都不相碰，不计空气阻力，g 取10m/s2。对于第一颗子弹，它和以后射出的子弹在空中
相遇的时刻分别为（ ）
A．3s，4s，5s
B．4s，4.5s，5s
C．5s，6s，7s
D．5.5s，6.5s，7.5s
【例15】竖直矿井中的升降机以5m/s 的速度竖直向上匀速运行，某时刻一螺钉由于震动从升降机底板脱落，经过
3s 升降机上升至井口，此时松脱的螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是（
）
A．螺钉松脱后做自由落体运动
B．矿井的深度为45m
C．螺钉落到井底时的速度大小是35m/s
D．螺钉随升降机从井底出发到落回井底共用时10s
（三）有阻力的落体和上抛运动
【例16】（2016 年全国新课标Ⅱ）两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量。两球在空气中由
静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关。若它们下落相同的距离，则（ ）
A．甲球用的时间比乙球长
B．甲球末速度的大小大于乙球末
速度的大小
C．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D．甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功
【例17】将一个质量为0.5kg 的小球竖直向上抛出，最终落回抛出点，运动过程中所受阻
力大小恒定。该过程的
图像如图所示，g 取10m/s2。则小球（ ）
A．受到的阻力大小为6N
B．落回到抛出点时的速度大小为
C．上升过程与下落过程都处于超重状态D．上升过程与下落过程所用时间之比为2:3
（四）图像问题
【例18】铯原子喷泉钟是定标“秒”的装置。在喷泉钟的真空系统中，可视为质点的铯原子团在激光的推动下，获
得一定的初速度。随后激光关闭，铯原子团仅在重力的作用下做竖直上抛运动，到达最高点后再做一段自由落体运动。
取竖直向上为正方向。下列可能表示激光关闭后铯原子团速度v 或加速度a 随时间t 变化的图像是（ ）
D
C
B
A
【例19】将一物体从地面竖直上抛，物体运动过程中所受空气阻力大小恒定。取地面为零势能面，则物体从抛出到
落回原地的过程中，能表示其运动的速度v、动能Ek、重力势能Ep、机械能E 与上升高度h 之间关系的图像是
（ ）
（五）实验探究
1．伽利略的铜球斜面实验（注意：不同于我们通常所说的伽利略理想斜面实验）
【例20】伽利略在《两种新科学的对话》一书中，提出自由落体运动是匀变速运动，并设计如图所示的实验方案证
实了其猜想。该实验方案中的科学研究方法的核心是（ ）
A．把实验研究和逻辑推理结合起来
B．把提出问题和实验研究结合起来
C．把提出问题和大胆猜想结合起来
D．把实验研究和大胆猜想结合起来
2．落尺法测反应时间
【例21】某物理兴趣小组准备制作一把“人的反应时间测量尺”。如图所示，
某材料制成的直杆竖直放置，甲同学用两个手指捏住杆的顶端，乙同学在底端O 点
做捏杆的准备，但手不碰到杆。甲同学放开手指让杆竖直下落时，乙同学立刻捏住
杆。根据手指捏住杆的位置，可以获得乙同学的反应时间。将杆的相应位置标注为
时间刻度，使它成为“人的反应时间测量尺”。下列说法正确的是（ ）
A．杆的材料对测量精确度没有影响
B．杆的质量越大，测量精确度越高
C．杆上A 点处应标注的反应时间为0.2s
D．杆上标注的时间刻度均匀分布
3．累积法测重力加速度g（滴水法、磁控法）
【例22】用滴水法测重力加速度的过程是这样的：调整水龙头，使水一滴一滴地往下滴到正下方的盘子里，且使听
到前一滴水落到盘子里的声音时后一滴水刚好离开水龙头，测出听到n 次声音的总时间为t，水龙头到盘子的高度为h。
设人耳能区别两个声音的时间间隔最小为0.1s，声速为340m/s。则（ ）
A．水龙头离人耳的距离至少要为34m
B．水龙头离盘子的距离至少要为34m
C．重力加速度的计算式为g＝2n2h/t2
D．重力加速度的计算式为g＝2(n－1)2h/t2
【例23】（2013 年江苏卷）某兴趣小组利用自由落体运动测定重力加速度，实验装置如图所示。倾斜的球槽中放有
若干个小铁球，闭合开关K，电磁铁吸住第1 个小球。手动敲击弹性金属片M，M 与触头瞬间分开，第1 个小球开始下落，
M 迅速恢复，电磁铁又吸住第2 个小球。当第1 个小球撞击M 时，M 与触头分开，第2 个小球开始下落……。这样，就
可测出多个小球下落的总时间。
（1）在实验中，下列做法正确的有 。
A．电路中的电源只能选用交流电源
D
C
B
A
B．实验前应将M 调整到电磁铁的正下方
C．用直尺测量电磁铁下端到M 的竖直距离作为小球下落的高度
D．手动敲击M 的同时按下秒表开始计时
（2）实验测得小球下落的高度H＝1.980m，10 个小球下落的总时间T＝6.5s。
可求出重力加速度g＝ m/s2。（结果保留两位有效数字）
（3）在不增加实验器材的情况下，请提出减小实验误差的两个办法。
（4）某同学考虑到电磁铁在每次断电后需要时间∆t 磁性才消失，因此，每个小球的实际下落时间与它的测量时间
相差∆t，这导致实验误差。为此，他分别取高度H1和H2，测量n 个小球下落的总时间T1和T2。他是否可以利用这两组数
据消除∆t 对实验结果的影响？请推导说明。
4．打点法（闪光拍照法）测重力加速度g
【例24】某实验小组计划利用物体作自由落体
运动来测量当地的重力加速度。小明找到一把特殊
的工件，工件的镂空部分为若干个大小相同的正方
形，两个相邻正方形间有大小相同的“梁”，两相
邻镂空正方形的上边界之间的间距为h，实验小组
用如图甲所示的装置进行实验，过程如下：
（1）用游标卡尺测量两个相邻镂空正方形之
间“梁”的宽度d，示数如图乙所示，宽度d＝
mm。
（2）固定光电门，在光电门的正上方某高度处竖直悬挂工件，静止释放工件，工件保持竖直状态完全通过光电门。
（3）测量时，应 （选填“A”或“B”，其中A 为“先释放工件，后接通数字计时器”，
B 为“先接通数字计时器，后释放工件”）。数字计时器记录下工件上每一条“梁”通过光电门的
遮光时间，其中第一条“梁”遮光时间为t1。
（4）计算第一条“梁”通过光电门的速度v＝
（用题中已知或测得的物理量符
号表示），如此类推可得到其它“梁”通过光电门的速度。
（5）以每条“梁”通过光电门的速度二次方v2为纵轴，h 为横轴作出图丙，已知图像的截
距为b，斜率为k，可得当地的重力加速度g＝
（用题中已知或测得的物理量符号表示）。
【作业】
班次 座次 姓名
1．从高空中同一点先后释放小球a 和小球b，设两球都做自由落体运动，则落地前，a、b 两球之间的距离（
）
A．不断减小
B．保持不变
C．随时间匀速增大D．随时间加速增大
2．（2012 年上海卷）小球每隔0.2s 从同一高度抛出，做初速为6m/s 的竖直上抛运动，设它们在空中不相碰。第一
个小球在抛出点以上能遇到的小球个数为（取g＝10m/s2）（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
3．两个小球从两个不同高度处自由下落，不计阻力，结果同时落地。则下列描述两球运动的图像正确的是（
）
4．两物体在不同高度自由下落，同时落地，第一个物体下落时间为
，第二个物体下落时间为
，当第二个物体
开始下落时，两物体相距（ ）
A．
B．
C．
D．
5．将一小球竖直上抛，若它在空中所受空气阻力大小恒定，设到达最高点前的1s 内和离开最高点后的1s 内通过的
位移大小分别为s1、s2，速度变化的大小分别为∆v1、∆v2，则（ ）
A．s1＞s2
B．s1＜s2
C．∆v1＞∆v2
D．∆v1＜∆v2
6．（2000 年天津卷）从20m 高的楼房阳台上以20m/s 的初速度竖直向上抛出一小球，不计空气阻力，则小球运动
到离抛出点15m 处所经历的时可能是（g 取10m/s2）（ ）
A．1s
B．2s
C．3s
D．(2+√7)s
7．一长为L 的金属管从地面以v0的速率竖直上抛，管口正上方高h（h＞L）处有一小球同时自由下落，金属管落地
前小球从管中穿过。已知重力加速度为g，不计空气阻力。关于该运动过程的说法正确的是（ ）
A．小球穿过管所用时间大于
B．若小球在管上升阶段穿过管，则
＞
C．若小球在管下降阶段穿过管，则
＜
＜
D．小球不可能在管上升阶段穿过管
8．（2024 年河北卷）篮球比赛前，常通过观察篮球从一定高度由静止下落后的
反弹情况判断篮球的弹性。某同学拍摄了该过程，并得出了篮球运动的v-t 图像，
如图所示。图像中a、b、c、d 四点中对应篮球位置最高的是（ ）
A．a 点
B．b 点
C．c 点
D．d 点
v
t
O
v
t
O
v
t
O
v
t
O
A
．
B
．
C
．
D
．
9．在轻绳的两端各拴一个小球，用手拿着绳子上端的小球站在三楼的阳台上，释放小球，使两小球自由下落，两小
球相继落地的时间差为∆t。如果从四楼的阳台上用同样的方式释放小球，则两小球相继落地的时间差将（ ）
A．不变
B．变大
C．变小
D．无法确定
10．一物体从一行星表面上方（无空气）某高度处自由下落。开始下落时开始计时，
得到物体离行星表面高度h 随时间t 变化的图象如图所示，则（ ）
A．行星表面重力加速度大小为10m/s2
B．1s 末物体的速度为20m/s
C．物体落到行星表面时的速度为20m/s
D．物体最后1s 内下落15m
11．从地面竖直上抛一物体A，在离地面某一高度处有另一物体B 同时自由落下，
两物体在空中同时到达同一高度时速率都为v，则下列说法中正确的是（ ）
A．A 上抛初速度和B 落地速度大小都为2v
B．相遇时，A 已上升的高度和B 已下落的高度相等
C．A 能上升的最大高度和B 开始下落的高度相等
D．A 上升到最高点时B 刚好落地
12．甲、乙两个小球先后从同一水平面的两个位置，以相同的初速度竖直向上抛出，
小球距抛出点的高度h 与时间t 的关系图像如图所示。不计空气阻力，重力加速度为g，
则两小球同时在同一水平线上时，距离抛出点的高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．某人在一个以a＝2m/s2的加速度匀加速上升的电梯内，以相对于电梯v＝1m/s 的初速度竖直上抛一个小球，已
知小球抛出点离电梯地板的高度为h＝1m，不考虑空气阻力的影响，重力加速度g 取10m/s2，则小球从抛出至掉落到电梯
地板上的时间为（ ）
A．0.6s
B．0.5s
C．04s
D．0.3s
14．小球以某一速度竖直上抛，在上升过程中，小球在最初1s 内的上升高度是其上升时间内正中间1s 内上升高度的
倍，不计空气阻力，重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．小球上升的时间为8s
B．小球上升的最大高度为
m
C．小球中间1s 内上升的高度为
m
D．小球最初1s 内上升的高度为5m
15．杂技表演中有一抛球节目，小明在家练习抛球，他以初速度4m/s 竖直上抛一小球A 后，又以初速度2m/s 在同
一高度竖直上抛另一小球B，发现两球在空中相遇，不计空气阻力，重力加速度g 取10m/s2，则两球抛出的时间间隔Δt 必
须满足的条件是（ ）
A．Δt＜0.4s
B．Δt＜0.2s
C．0.2s＜Δt＜0.4s
D．0.4s＜Δt＜0.8s
16．利用水滴下落可以粗略测量重力加速度g 的大小。调节家中水龙头，让水一滴一滴地流出，在水龙头的正下方
放一个盘子，调整盘子的高度，使一滴水刚碰到盘子时，恰好有另一滴水刚开始下落，而空中还有一滴水正在下落。测
出此时出水口到盘子的高度为h，从第1 滴水开始下落到第n 滴水刚落至盘中所用时间为t。下列说法正确的是（
）
A．每滴水下落时间为
B．相邻两滴水开始下落的时间间隔为
C．当地的重力加速度的大小为
D．第1 滴水刚落至盘中时，第2 滴水距盘子的距离为
17．伽利略在研究自由落体运动性质的时候，为了排除物体自由下落的速度v 随着下落高度h（位移大小）是均匀变
化（即
，k 是个常数）的可能性，设计了如下的理想实验：在初速度为零的匀变速直线运动中，因为①
（式中
表示平均速度），而②
，如果③
成立的话，那么，必有
，即
为常数，t竟然
是与h 无关的常数，这显然与常识相矛盾！于是，可以排除速度v 是随着下落高度h 均匀变化的可能性。关于伽利略这个
理想实验中的逻辑及逻辑用语，你做出的评述是（ ）
A．全部正确
B．①式错误
C．②式错误
D．③式以后的逻辑错误
18．一竖直发射的小火箭在火药燃烧的2s 内具有3g 的向上的加速度。不计空气阻力，g 取10m/s2。当它从地面上点
燃发射后具有的最大速率为 m/s，能上升的最大高度为 m，在空中运动的总时间为
s。
