文档内容
易错点 08 平抛运动
易错总结
1.对竖直上抛运动应用整体法分析时一定要注意方向问题,初速度方向向上,加速度方向向下,
列方程时可以先假设一个正方向,再用正、负号表示各物理量的方向,尤其是位移的正、负容
易弄错,要特别注意。（更多免费资源关注公众号拾穗者的杂货铺）
率不变。
2.竖直上抛运动的加速度不变,故其 图象的斜率不变。
3.要注意题目描述中的多可能性条件,再进行分类讨论,如"物体到达离抛出点5m处”,不一
定是由抛出点上升5m,有可能在下降阶段到达该处,也有可能在抛出点下方5m处。对于类
似条件应联系其他条件进行明确。
4.平抛运动公式中的时间 是从抛出点开始计时的,否则公式不成立。
5.求平抛运动的物体某段时间内的速度变化时要注意用矢量相减的方法。用平抛竖落仪研
究平抛运动时,结果是自由落体的小球与同时平抛的小球同时落地,说明平抛运动的竖直分运
动是自由落体运动,但此实验不能说明平抛运动的水平分运动是匀速直线运动。
6.并不是水平速度越大斜抛物体的射程就越远,射程(斜抛的水平距离)的大小由初速度、地
射角度和抛物高度三个因素共同决定。
解题方法
一、平抛运动的速度
以速度v 沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，建立如图1所示的平面直角坐标系.
0
图1
(1)水平方向：不受力，加速度是0，水平方向为匀速直线运动，v＝v.
x 0
(2)竖直方向：只受重力，由牛顿第二定律得到：mg＝ma.所以a＝g；竖直方向的初速度为
0，所以竖直方向为自由落体运动，v＝gt.
y
(3)合速度
大小：v＝＝；
方向：tan θ＝＝(θ是v与水平方向的夹角).
二、一般的抛体运动
物体被抛出时的速度v 沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v 与水平方向夹角为θ).
0 0
(1)水平方向：物体做匀速直线运动，初速度v ＝vcos θ.
0x 0
(2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度v ＝vsin θ.如图2所示.
y0 0图2
三、斜抛运动
1.斜抛运动的规律
(1)斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度 g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物
线.
图3
(2)斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明，如图3所示)
①水平方向：v ＝vcos θ，F ＝0.
0x 0 合x
②竖直方向：v ＝vsin θ，F ＝mg.
0y 0 合y
(3)斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动.
①速度公式：v＝v ＝vcos θ
x 0x 0
v＝v －gt＝vsin θ－gt
y 0y 0
②位移公式：x＝vcos θ·t
0
y＝vsin θ·t－gt2
0
2.斜抛运动的对称性
(1)时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间.
(2)速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等.
(3)轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称.
【易错跟踪训练】
易错类型1：不能熟练运用数学知识解题
1．（2019·宁夏银川市·高三月考）在某次自由式滑雪比赛中，一运动员从弧形雪坡上沿水
平方向飞出后，又落回到斜面雪坡上，如图所示，若斜面雪坡的倾角为θ，飞出时的速度
大小为v，不计空气阻力，运动员飞出后在空中的姿势保持不变，重力加速度为g，则
0
（ ）A．运动员在空中经历的时间是
B．运动员落到雪坡时的速度大小是
C．如果v 不同，则该运动员落到雪坡时的速度方向也就不同
0
D．不论v 多大，该运动员落到雪坡时的速度方向都是相同的
0
【答案】D
【详解】
A.根据
tanθ= ，
解得平抛运动的时间
t=
故A错误;
B.速度与水平方向夹角的正切值
可知速度与水平方向的夹角的正切值是位移与水平方向夹角的正切值的2倍,落到雪坡上速
度方向与水平方向的夹角不等于θ，根据平行四边形定则知，速度
v
故B错误;
CD.物体落在雪坡上，速度方向与水平方向的夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的2
倍，位移与水平方向的夹角不变，则速度方向与水平方向的夹角不变,故D正确，C错误。
故选D。
2．（2020·浙江丽水·）如图所示是排球场地的示意图。排球场ABCD为矩形，长边
AD=L，前场区的长度为 ，宽AB= ，网高为h。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要
求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度低于某个临界值，那么无论
水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．若在底线CD正上方沿垂直AB水平击球，临界高度为
B．若在底线CD的D点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，击球的速度为
C．若在前后场区的分界线EF正上方垂直AB水平击球，临界高度为
D．若在前后场区的分界线的E点正上方水平击球，沿着EB方向击球，临界高度最大
【答案】C
【详解】
A．临界高度理解为既触网，又出界，则CD上某高度建立平抛模型，打到触网点与打到
AB线时间之比为1：2，则下落高度之比为1：4，所以临界高度比网高为4：3，临界高度
为 h，A错；
B．若在底线CD的D点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，水平位移
下落时间
故B错误；
C．EF上某高度建立平抛模型，打到触网点与打到AB线时间之比为1：4，则下落高度之
比为1：16，所以临界高度比网高为16：15，临界高度为 h，C正确；
D．临界高度与发球点到网的距离和发球点到落到的距离的比值有关，所以不管向哪个方
向发球，这个比值是相同的，所以临界高度也相同，D错误；
故选C。
3．（2020·石家庄市藁城区第一中学高三月考）一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出。第一只球飞出时的初速度为v，落在自己一方场地上后，弹跳起来，刚好擦网
1
而过，落在对方场地的A点处。如图所示，第二只球飞出时的初速度为v，直接擦网而过，
2
也落在A点处。设球与地面碰撞时没有能量损失，且不计空气阻力，求（ ）
A．网球两次飞出时的初速度之比为1：2
B．网球两次飞出时的初速度之比为1：4
C．运动员击球点的高度H与网高h之比为3：2
D．运动员击球点的高度H与网高h之比为4：3
【答案】D
【详解】
AB．两球被击出后都做平抛运动，据平抛运动的规律知，两球被击至各自第一次落地的时
间是相等的．由题意结合图可知，两球从击出至第一次落地的水平射程之比为
则网球两次飞出时的初速度之比
故AB错误．
CD．第一个球落地后反弹做斜抛运动，据运动的对称性可知，DB段的逆过程和OB段是
相同的平抛运动，则两只球下落相同高度 后水平距离
据
得
又
则则
解得
故C错误，D正确。
故选D。
4．（多选）（2019·甘肃张掖市第二中学高三月考）如图所示, 、 两个小球从不同高度
同时沿相反方向水平抛出,其平抛运动轨迹的交点为 ,则以下说法正确的是
A． 、 两球同时落地
B． 球先落地
C． 、 两球在 点相遇
D．无论两球初速度大小多大,两球总不能相遇
【答案】BD
【详解】
做平抛运动时，下落的时间取决于下落的高度，从图中可知a球下落的高度大于b球，根
据 可得a球下落过程中的时间长，故b球先落地，A错误B正确；由于在P点两球
下落的高度不同，所以到达P点的时间不同，故不能在P点相遇，C错误D正确；
5．（多选）（2020·山东高三期中）如图，一滑板爱好者利用一截面为半圆形的工程管道
体验滑板运动的乐趣，他从A点以水平速度进入工程管道后落至管道壁上。若离开A点时
的动能为E，落点B是管道最低点；若离开A点时的动能为E，落点C与圆心连线跟竖直
1 2
方向成37°角（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），下列说法正确的是（ ）
A．E 与E 的比值为5∶16
1 2
B．E 与E 的比值为3∶8
1 2
C．若离开A点时的速度合适，落在管道壁上时速度方向会与管道壁垂直
D．无论离开A点时的速度多大，落在管道壁上时速度方向都不会与管道壁垂直
【答案】AD【详解】
AB．设人离开A点时的速度为 ，则人离开A点后做平抛运动，根据平抛的规律可得
，
，
又
，
代入数据，则可得 ，故A正确，B错误；
CD．如果人落到管壁上的速度方向与管道壁垂直，则速度的反向延长线过圆心O，又根据
平抛的推论，速度反向延长线过此时水平位移的中心的结论，则水平位移永远是直径，这
是不对的，故C错误，D正确。
故选AD。
6．（多选）（2021·全国高三专题练习）横截面为直角三角形的两个相同斜面如图紧靠在
一起，固定在水平面上，它们的竖直边长都是底边长的一半。小球从左边斜面的顶点以不
同的初速度向右平抛，最后落在斜面上。其中三个小球的落点分别是a、b、c。图中三小
球比较，下列判断正确的是（ ）
A．落在c点的小球飞行时间最短
B．落在a点的小球飞行过程速度的变化量最大
C．落在c点的小球飞行过程速度变化最快
D．无论小球抛出时初速度多大，落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直
【答案】ABD
【详解】
A．小球做平抛运动，由位移时间公式
可见小球做平抛运动的时间只跟高度有关，当小球落在ｃ点，高度最小，所以时间也最小，
故A正确；
B．速度的变化量
可见速度的变化量与下落的高度有关，落在a点的小球，下落的高度最多，速度的变化量
也最大，故B正确；C．速度的变化快慢就是加速度，小球做平抛运动，加速度都是重力加速度，故C错误；
D．根据平抛运动规律知，小球的速度是竖直向下的速度与水平向右的速度的合成，所以
落在左侧斜面上的小球的瞬时速度无论如何不会与斜面垂直；
设斜面的倾角为α，假设落在右侧面的小球的瞬时速度与斜面垂直，则
已知 ，水平方向位移
竖直方向位移
由此可见水平位移和竖直位移是一样的，这与题设落在右侧面的小球水平位移必定大于竖
直位移相矛盾，假设不成立，因此无论小球抛出时初速度多大，落到两个斜面上的瞬时速
度都不可能与斜面垂直，故D正确。
故选ABD。
7．（2020·甘肃省会宁县第四中学高三月考）如图所示，从A点以v 的水平速度抛出一质
0
量m=1kg的小物块（可视为质点），当小物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入固定的
光滑圆弧轨道BC，圆弧轨道BC的圆心角α=37°经圆弧轨道后滑上与C点等高、静止在粗
糙水平面的长木板上，圆弧轨道C端切线水平。已知长木板的质量M=4kg，A、B两点距C
点的高度分别为H=0.6m、h=0.15m，小物块与长木板之间的动摩擦因数μ=0.5，长木板与
1
地面间的动摩擦因数μ=0.2，cos37°=0.8，sin37°=0.6，g=10m/s2，求：
2
（1）小物块水平抛出时，初速度v 的大小；
0
（2）小物块滑动至C点时，对圆弧轨道C点的压力大小；
（3）长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板。
【答案】（1）5m/s；（2）47.3N；（3）2.8m
【详解】
（1）设小物块做平抛运动的时间为 ，则有
小物块到达 点时竖直分速度为
联立解得由题意，速度方向与水平面的夹角为 ，则有
解得
则小物块运动到B点时的速度
（2）设小物块到达 点时速度为 ，从 至 点，由动能定理得
设C点受到的支持力为 ，则有
由几何关系得
由上式可得
， ，
根据牛顿第三定律可知，小物块对圆弧轨道 点的压力大小为 。
（3）由题意可知小物块对长木板的摩擦力
长木板与地面间的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力
因
所以小物块在长木板上滑动时，长木板静止不动，设小物块在长木板上做匀减速运动，至
长木板最右端时速度刚好为0，则长木板长度为
所以长木板至少为 ，才能保证小物块不滑出长木板。
8．（2018·嘉峪关市酒钢三中高三月考）半径R=1m的四分之一圆弧轨道下端与一水平轨
道连接，水平轨道离地面高度h=0.8 m，如图所示，有一质量m=1.0 kg的小滑块自圆轨道
最高点A由静止开始滑下，经过水平轨道末端B，滑块最终落在地面上C点．经测量得
x=1.6 m（g取10 m/s2）试求：(1)不计空气阻力，滑块落在地面上时速度v 多大？
c
(2)滑块在AB轨道上滑行时克服摩擦力做功多少？
【答案】(1) m/s (2)2J
【详解】
(1)小球B→C
x=v t
B
得
v =4 m/s
B
t=0.4 s
v=gt=10×0.4 m/s=4 m/s
y
由于水平方向速度与竖直方向速度相等，因此方向与水平夹角45°
(2)根据动能定理，有
解得：
W =2J
克f
易错类型2：挖掘隐含条件、临界条件不够
1．（2020·全国高三课时练习）飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人
们日常休闲的必备活动．一般打飞镖的靶上共标有10环，第10环的半径最小。现有一靶
的第10环的半径为1cm，第9环的半径为2cm……以此类推，若靶的半径为10cm，在进
行飞镖训练时，当人离靶的距离为5m，将飞镖对准第10环中心以水平速度v投出，g取
10m/s2。则下列说法正确的是（ ）
A．当v≥50m/s时，飞镖将射中第8环线以内
B．当v=50m/s时，飞镖将射中第6环线
C．若要击中第10环的线内，飞镖的速度v至少为50 m/s
D．若要击中靶子，飞镖的速度v至少为50 m/s
【答案】B
【详解】A、当 时，运动的时间 ，则飞镖在竖直方向上的位移
，将射中第6环线，当 时，飞镖将射中第
6环线以内，故A错误，B正确；
C、击中第10环线内，下降的最大高度为 ，根据 得， ，则最小初速
度 ，故C错误；
D、若要击中靶子，下将的高度不能超过 ，根据 得， ，则最小速度
，故D错误．
2．（2015·上海虹口区·高三）将一只苹果水平抛出，苹果在空中依次飞过三个完全相同的
窗户1、2、3，图中曲线为苹果在空中运行的轨迹，不计空气阻力．下列说法中正确的是
（ ）
A．苹果通过第1个窗户所用的时间最短
B．苹果通过第1个窗户的过程中，重力做功最多
C．苹果通过第3个窗户的过程中，重力的平均功率最大
D．苹果通过第3个窗户的过程中，竖直方向的平均速度最小
【答案】C
【分析】
苹果水平抛出，做平抛运动，根据竖直方向上的运动规律确定苹果经过各个窗户所用时间
的长短，根据重力做功的大小比较平均功率大小．
【详解】
A．平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，速度越来越快，可知通过相同竖直位移所用
的时间越来越短，所以通过第3个窗户时间最短，故A错误．
B．通过三个窗户下降的高度相同，则重力做功相同，故B错误．
C．通过第3个窗户时间最短，根据P= 知，重力的平均功率最大，故C正确．D．苹果通过第3个窗户的过程中，由于时间最少，则竖直方向的平均速度最大，故D错
误．
3．（2020·全国高三课时练习）在水平面上固定两个相互紧靠的三角形斜面，将a、b、c
三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右水平抛出，落在斜面上时其落点如图所示，
小球a落点距水平面的高度最低。下列判断正确的是（ ）
A．小球a的初速度最大 B．小球c的飞行时间最长
C．小球c的飞行过程速度变化最小 D．小球a的速度偏向角最小
【答案】C
【详解】
AB．三个小球做的都是平抛运动，从图中可以发现落在a点的小球下落的高度最大，由
得
所以小球a飞行的时间最长，由
x=vt
0
得
知小球a的水平位移最小，则小球a的初速度最小，故AB错误；
C．小球做的是平抛运动，加速度为g，速度的变化量为△v=gt，所以c球的速度变化最小，
a球的速度变化量最大，故C正确；
D．速度偏向角
小球a的运动时间最长，则速度偏向角最大，故D错误。
故选C。
4．（2020·全国高三课时练习）2020年4月9日，我国解放军在南海举行联合军演，组织
轰炸机进行了海上实弹训练。在某次训练中，轰炸机在一定高度沿水平方向以大小为
600m/s的速度匀速飞行，在离目标P点某一水平距离释放炸弹，炸弹恰好击中目标。若轰
炸机飞行高度为原来的四分之一，在离目标P点的水平距离为原来的一半时释放炸弹，要仍能命中目标，则轰炸机速度大小应为（ ）（不考虑空气阻力）
A．400m/s B．500m/s C．600m/s D．800m/s
【答案】C
【详解】
设原来的速度大小为v，高度为h，据平抛运动的规律得
0
现轰炸机飞行高度减为原来的四分之一，水平距离为原来的一半时，要仍然击中目标，则
联立两式解得
C正确，ABD错误。
故选C。
5．（2019·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三月考）如图蜘蛛在地面于竖直墙壁间结网，蛛
丝AB与水平地面之间的夹角为450，A到地面的距离为1m，已知重力加速度g取10m/s2
，空气阻力不计，若蜘蛛从竖直墙上距地面0.55m的C点以水平速度v 跳出，要到达蛛丝，
0
水平速度v 至少为（ ）
0
A．2m/s
B．2.5m/s
C．3m/s
D．3.5m/s
【答案】C
【详解】
蜘蛛的运动轨迹如下所示：
AC之间的距离为：1m-0.55m=0.45m，由图可知：x=y+0.45m；根据平抛运动规律有：x=vt；y= gt2 ；联立解得：v=3m/s．故选C.
0 0
6．（2022·全国高三专题练习）如图所示，从水平地面上不同位置斜向上抛出的三个小球
沿三条不同的路径运动，最终落在同一点，三条路径的最高点是等高的。若忽略空气阻力
的影响，下列说法正确的是（ ）
A．沿路径1抛出的小球落地的速率最小
B．沿路径3抛出的小球在空中运动时间最长
C．三个小球抛出的初速度的竖直分量相等
D．三个小球抛出的初速度的水平分量相等
【答案】C
【详解】
将斜抛运动分解到水平方向的匀速运动和竖直方向的竖直上抛运动。
BC．竖直方向上，根据
且
由于三个小时球竖直上升的高度相同，因此运动时间相同，并且抛出的初速度的竖直分量
相等，B错误，C正确；
AD．由于在相等的时间内，球1的水平位移最大，因此抛出时，球1的初速度的水平分量
最大，而落地时竖直分量向等，因此落地时，球1的速率最大，AD错误。
故选C。
7．（2020·息县第一高级中学高三月考）如图所示，水平屋顶高H＝5 m，墙高h＝3.2 m，
墙到房子的距离L＝3 m，墙外马路宽x＝8 m，小球从房顶水平飞出，落在墙外的马路上，
g＝10 m/s2.求：
(1)小球离开屋顶时的速度v 的大小范围；
0
(2)小球落在马路上的最小速度的大小．
【答案】(1)5 m/s≤v≤11 m/s；(2)5 m/s
0
【详解】（1）若v太大，小球落在空地外边，因此球落在空地上，v的最大值v 为球落在空地最
max
右侧时的平抛初速度，小球做平抛运动时间为t．
1
则小球的水平位移
L+x=v t
max1
小球的竖直位移
H= gt2
1
解以上两式得
若v太小，小球被墙挡住，因此，球不能落在空地上，v的最小值v
min
为球恰好越过围墙的最高点P落在空地上时的平抛初速度，设小球运动到P点所需时间为
t，则此过程中小球的水平位移
2
L=v t
min2
小球的竖直方向位移
H﹣h= gt2
2
解以上两式得
因此v 的范围是v ≤v≤v ，即
0 min 0 max
5m/s≤v≤11m/s．
0
（2）根据机械能守恒定律得
解得小球落在空地上的最小速度
8．（2021·全国高三专题练习）如图所示，质量M=2.5kg的一只长方体形空铁箱在水平拉
力F作用下沿水平面向右匀加速运动，铁箱与水平面间的动摩擦因数μ=0.5。有一质量
1
m=0.5kg的小木块靠在铁箱后壁上，恰好能与铁箱保持相对静止而不下滑。木块距箱底的
高度h=0.8m，与铁箱内壁间的动摩擦因数μ=0.25。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取
2
10m/s2。求：（更多免费资源关注公众号拾穗者的杂货铺）
（1）铁箱对木块的弹力大小；
（2）水平拉力F的大小；
（3）当铁箱的速度为1m/s时撞到障碍物，此时立即撤去力F且铁箱以原速率反弹。若木
块恰好落到铁箱的右下角，则铁箱的长度是多少?【答案】（1）20N；（2）135N；（3）0.5m
【详解】
（1）对木块，竖直方向上合力为零，有
mg=μF
2 N
解得
F =20N
N
（2）对木块，在水平方向由牛顿第二定律得
F =ma
N
解得
a=40m/s2
对铁箱和木块整体有
F−μ（M+m）g=（M+m）a
1
解得
F=135N
（3）铁箱撞到障碍物后，木块做平抛运动，铁箱向左做匀减速运动；
对木块有
解得
t=0.4s
0.4m
对铁箱有
μMg=Ma＇
1
a′=5m/s2
铁箱停止运动所用时间
t′＝ ＝0.2s＜0.4s
则木块落到箱底时，铁箱已经停止运动；
木块平抛运动过程中，铁箱向左运动的距离
x＝ a′t2＝0.1m
2
铁箱的长度
x′＝x＋x＝0.5m
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