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易错点 15 动量守恒定理及其应用
易错总结
1.动量守恒定律的条件:系统所受的总冲量为零不受力、所受外力的矢量和为零或外力的作
用远小于系统内物体间的相互作用力),即系统所受外力的矢量和为零。(碰撞、爆炸、反冲
的过程均可近似认为动量守恒)
2,某一方向上动量守恒的条件:系统所受外力矢量和不为零,但在某一方向上的合力为零,则系
统在这个方向上动量守恒。必须注意区别总动量守恒与某一方向上动量守恒。
3,完全非弹性碰撞:两物体碰撞后获得共同速度,动能损失最多且全部通过形变转化为内能,但
动量守恒。
4,弹性碰撞:动量守恒,碰撞前后系统总动能相等。
5.一般碰撞:有完整的压缩阶段,只有部分恢复阶段,动量守恒,动能减小。
6,人船模型—两个原来静止的物体(人和船)发生相互作用时,不受其他外力,对这两个物体组
成的系统来说,动量守恒,且任一时刻的总动量均为零,由动量守恒定律,有 (注意
利用几何关系解决位移问题)。
(人船模型:人从右向左由船头走向船尾)
7,能量与动量不能混为一谈,能量是标量,动量是矢量,且两者的公式、定义均不相同。
8.求变力冲量
(1)若力与时间呈线性关系,可用于平均力求变力的冲量；
(2)若给出了力随时间变化的图像如图,可用面积法求变力冲量。
9.在研究反冲问题时,注意速度的相对性:若物体间的相对速度已知,应转化为对地速度。
解题方法一、动量守恒定律
1.动量守恒定律的推导
如图所示，光滑水平桌面上质量分别为m 、m 的球A、B，沿着同一直线分别以v 和v 的
1 2 1 2
速度同向运动，v>v.当B球追上A球时发生碰撞，碰撞后A、B两球的速度分别为v′和v′.
2 1 1 2
设碰撞过程中两球受到的作用力分别为F、F，相互作用时间为t.根据动量定理：
1 2
Ft＝m(v′－v)，Ft＝m(v′－v).
1 1 1 1 2 2 2 2
因为F 与F 是两球间的相互作用力，根据牛顿第三定律知，F＝－F，
1 2 1 2
则有：mv′－mv＝－(mv′－mv)
1 1 1 1 2 2 2 2
即mv＋mv＝mv′＋mv′
1 1 2 2 1 1 2 2
2.动量守恒定律的理解
(1)动量守恒定律的成立条件
①系统不受外力或所受合外力为零.
②系统受外力作用，但内力远远大于合外力.此时动量近似守恒.
③系统所受到的合外力不为零，但在某一方向上合外力为零(或某一方向上内力远远大于外
力)，则系统在该方向上动量守恒.
(2)动量守恒定律的性质
①矢量性：公式中的v 、v 、v′和v′都是矢量，只有它们在同一直线上，并先选定正方向，
1 2 1 2
确定各速度的正、负(表示方向)后，才能用代数方法运算.
②相对性：速度具有相对性，公式中的v 、v 、v′和v′应是相对同一参考系的速度，一般
1 2 1 2
取相对地面的速度.
③普适性：动量守恒定律不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统
不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统.
二、动量守恒定律的应用
1.动量守恒定律不同表现形式的表达式的含义：
(1)p＝p′：系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′.
(2)mv＋mv＝mv′＋mv′：相互作用的两个物体组成的系统，作用前动量的矢量和等于作
1 1 2 2 1 1 2 2
用后动量的矢量和.
(3)Δp ＝－Δp ：相互作用的两个物体组成的系统，一个物体的动量变化量与另一个物体的
1 2
动量变化量大小相等、方向相反.
(4)Δp＝0：系统总动量增量为零.
2.应用动量守恒定律的解题步骤：【易错跟踪训练】
易错类型1：不明白规律内涵、外延
1．（2021·全国高三专题练习）下列关于碰撞的理解正确的是（ ）
A．碰撞是指相对运动的物体相遇时，在极短时间内它们的运动状态发生了显著变化的过
程
B．在碰撞现象中，一般内力都远大于外力，所以可以认为碰撞时系统的动能守恒
C．如果碰撞过程中机械能守恒，这样的碰撞叫做非弹性碰撞
D．微观粒子的相互作用由于不发生直接接触，所以不能称其为碰撞
【答案】A
【详解】
AB．碰撞是十分普遍的现象，它是相对运动的物体相遇时在极短时间内运动状态发生显著
变化的一种现象，一般内力远大于外力，系统动量守恒，A正确，B错误。
C．如果碰撞中机械能守恒，就叫做弹性碰撞，C错误；
D．微观粒子的相互作用同样具有短时间内发生强大内力作用的特点，所以仍然是碰撞，D
错误。
故选A。
2．（2020·全国）下面关于碰撞的理解，正确的是（ ）
A．碰撞是指相对运动的物体相遇时，在极短时间内它们的运动状态发生显著变化的过程
B．在碰撞现象中，一般来说物体所受的外力作用不能忽略
C．如果碰撞过程中动能不变，则这样的碰撞叫非弹性碰撞
D．根据碰撞过程中动能是否守恒，碰撞可分为正碰和斜碰
【答案】A
【详解】
A．根据碰撞的定义可知，碰撞是指相对运动的物体相遇时，在极短时间内它们的运动状
态发生显著变化的过程，故A正确；
B．在碰撞现象中，由于内力远大于外力，故可以忽略外力的作用，故B错误；
C．如果碰撞中动能不变，则碰撞为弹性碰撞，故C错误；
D．根据碰撞过程中动能是否守恒，碰撞可分为弹性碰撞和非弹性碰撞，故D错误。
故选A。3．（2020·全国高三课时练习）如图所示，物块A、B的质量分别为m ＝2kg，m ＝3kg，
A B
物块A左侧固定有一轻质弹簧．开始B静止于光滑的水平面上，A以v＝5m/s的速度沿着
0
两者连线向B运动，某一时刻弹簧的长度最短．则以下看法正确的是（ ）
A．弹簧最短时A的速度大小为1m/s
B．弹簧最短时A的速度大小为2m/s
C．从B与弹簧接触到弹簧最短的过程中A克服弹簧弹力做的功与弹簧弹力对B所做的功
相等
D．从B与弹簧接触到弹簧最短的过程中弹簧对A、B的冲量相同
【答案】B
【详解】
AB．运动过程中动量守恒，弹簧最短时A、B速度相等，根据动量守恒定律可知：
代入数据解得：v=2m/s，故A错误，B正确.
C．在此过程中A克服弹簧弹力做的功为：
代入数据得： W =21J
A
而弹簧弹力对B所做的功为：
代入数据得：W =6J，故两者不相等，所以C错误.
B
D．此过程弹簧对A的冲量为：
代入数据得：
对B的冲量为：
代入数据得：
故此过程中弹簧对A、B的冲量大小相同，方向相反，故D错误.
4．（2017·新疆克拉玛依·高三）下列关于物理的说法中，认识正确的是（ ）
A．汤姆逊通过研究阴极射线发现了电子，并精确测定了电子的电荷量
B．牛顿利用扭秤测出了引力常量，被誉为能“称出地球质量的人”
C．卢瑟福根据 粒子散射实验，提出了原子核式结构模型
D．动量守恒定律成立的条件是系统只受重力或弹力作用【答案】C
【详解】
A．汤姆逊通过研究阴极射线发现了电子，密立根精确测定了电子的电荷量，选项A错误；
B．卡文迪许利用扭秤测出了引力常量，被誉为能“称出地球质量的人”，选项B错误；
C．卢瑟福根据 粒子散射实验，提出了原子核式结构模型，选项C正确；
D．动量守恒定律成立的条件是系统受合外力为零，选项D错误。
故选C。
5．（2021·全国）如图所示，小车在光滑水平面上向左匀速运动，轻质弹簧左端固定在
点，物体用细线拉在 点将弹簧压缩，某时刻细线断了，物体沿车滑动到 端粘在 端的
油泥上，取小车、物体和弹簧为一个系统，下列说法不正确的是（ ）
A．若物体滑动中不受摩擦力，则该系统全过程机械能守恒
B．若物体滑动中有摩擦力，则该系统全过程动量守恒
C．不论物体滑动中有没有摩擦力，小车的最终速度与断线前相同
D．不论物体滑动中有没有摩擦力，系统损失的机械能相同
【答案】A
【详解】
A．物体与油泥粘合的过程，发生非弹簧碰撞，系统机械能有损失，所以该系统全过程机
械能不守恒，A错误，符合题意；
B．整个系统在水平方向不受外力，竖直方向上合外力为零，则系统全过程动量一直守恒，
B正确，不符合题意；
C．设物体的质量为m，小车及油泥的总质量为M，小车原来匀速运动的速度为v，小车的
0
最终速度为v。取系统的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律可得
解得
所以不论物体滑动中有没有摩擦力，小车的最终速度与断线前相同，C正确，不符合题意；
D．系统的末动能与初动能是相等的，系统损失的机械能等于弹簧原来的弹性势能，与物
体滑动中有没有摩擦无关，故不论物体滑动中有没有摩擦力，系统损失的机械能相同，D
正确，不符合题意。
故选A。
6．（2021·银川唐徕回民中学高三）如图所示，在光滑的水平桌面上有体积相同的两个小
球A、B，质量分别为m＝0.1 kg和M＝0.3 kg，两球中间夹着一根压缩的轻弹簧，原来处
于静止状态，同时放开A、B球和弹簧，已知A球脱离弹簧时的速度为6 m/s，接着A球进入与水平面相切、半径为0.5 m的竖直面内的光滑半圆形轨道运动，P、Q为半圆形轨道竖
直的直径，g取10 m/s2。下列说法不正确的是（ ）
A．弹簧弹开过程，弹力对A的冲量大小大于对B的冲量大小
B．A球脱离弹簧时B球获得的速度大小为2 m/s
C．A球从P点运动到Q点过程中所受合外力的冲量大小为1 N·s
D．若半圆轨道半径改为0.9 m，则A球不能到达Q点
【答案】A
【详解】
A．弹簧弹开两小球的过程，弹力相等，作用时间相同，根据冲量定义可知，弹力对A的
冲量大小等于对B的冲量大小，A错误；
B．由动量守恒定律得
mv＝Mv
1 2
解得A球脱离弹簧时，B球获得的速度大小为
v＝2 m/s
2
项B正确；
C．设A球运动到Q点时速度为v，对A球从P点运动到Q点的过程，由机械能守恒定律
得
解得
v＝4 m/s
根据动量定理得
I＝mv－（－mv）＝1 N·s
1
即A球从P点运动到Q点过程中所受合外力的冲量大小为1 N·s，C正确；
D．若半圆轨道半径改为0.9 m，小球到达Q点的最小速度为
v ＝ ＝3 m/s
C
对A球从P点运动到Q点的过程，由机械能守恒定律
解得
小于小球到达Q点的临界速度v ，则A球不能到达Q点，D正确。
C
故不正确的选 A。7．（2020·全国高三专题练习）如图所示，水平地面上有倾角为 、质量为m的 光滑斜面
体，质量也为m的光滑直杆穿过固定的竖直滑套，杆的底端置于斜而上高为h的位置处.现
将杆和斜面体由静止自由释放，至杆滑到斜面底端（杆始终保持竖直状态），对该过程下
列分折中正确的是（重力加速度为g）
A．杆和斜面体组成的系统动量守恒
B．斜面体对杆的支持力不做功
C．杆与斜面体的速度大小比值为sin
D．杆滑到斜面底端时，斜面体的速度大小为 cos
【答案】D
【详解】
A．杆和斜面体组成的系统受的合外力不为零，则系统的动量不守恒，选项A错误；
B．斜面体对杆的支持力的方向垂直斜面向上，与杆的位移方向夹角为钝角，则斜面体对
杆的支持力对杆做负功，选项B错误；
C．根据杆和斜面的位移关系， ，可得到速度之比为 ，选项C错误；
D．杆滑到斜面底端时，由能量关系：
联立解得斜面体的速度大小为 cos ，选项D正确。
8．（2021·全国高三专题练习）如图所示，甲、乙两车的质量均为M，静置在光滑的水平
面上，两车相距为L。乙车上站立着一个质量为m的人，他通过一条轻绳拉甲车，甲、乙
两车最后相接触，以下说法不正确的是（ ）
A．甲、乙两车运动中速度之比为
B．甲、乙两车运动中速度之比为C．甲车移动的距离为 L
D．乙车移动的距离为 L
【答案】B
【详解】
AB．甲、乙和两车组成的系统合外力为零，系统的动量守恒，取向右为正方向，由动量守
恒定律得
可得甲、乙两车运动中速度之比为
故A正确，B错误；
CD．设甲车和乙车移动的距离分别为s 和s，则有
1 2
，
又
联立解得
，
故CD正确。
本题选不正确的，故选B。
易错类型2：挖掘隐含条件、临界条件不够
1．（2019·黑龙江哈尔滨三中高三期中）如图所示，光滑水平面上停着一辆小车，小车的
固定支架左端用不计质量的细线系一个小铁球。开始将小铁球提起到图示位置，然后无初
速释放，之后不会与车上的支架碰撞。在小铁球来回摆动的过程中，下列说法中正确的是
A．小球摆到最低点时，小车的速度最大
B．小车和小球系统动量守恒
C．小球摆到右方最高点时刻，小车有向右的速度
D．小球向右摆动过程小车一直向左加速运动
【答案】A【解析】
【分析】
由于水平面光滑，球、车系统水平方向动量守恒，但竖直方向动量不守恒，系统机械能守
恒，小球摆过程中机械能不守恒。
【详解】
小车与小球组成的系统在水平方向动量守恒，小球在最低点，小球的水平速度最大，小车
速度最大，小球从图示位置下摆到最低点，小车受力向左加速运动，当小球到最低点时，
小车速度最大。当小球从最低点向右边运动时，小车向左减速，当小球运动到与左边图示
位置相对称的位置时，小车静止。故小球向右摆动过程小车先向左加速运动，后向左减速
运动，故A正确，CD错误；小车与小球组成的系统在水平方向动量守恒，在竖直方向动
量不守恒，系统整体动量不守恒，故B错误。所以A正确，BCD错误。
2．（2020·全国）两个物体质量分别为m 和m，它们与水平面间的动摩擦因数分别为μ
1 2 1
和μ，开始时弹簧被两个物体压缩后用细线拉紧，如图所示，当烧断细线时，被压缩的弹
2
簧弹开的两物体可以脱离弹簧，则（ ）
A．由于有摩擦力，所以系统动量一定不守恒
B．当 时，弹开过程中系统动量守恒
C．m 和m 在刚脱离弹簧时的速度最大
1 2
D．在刚烧断细线的瞬间，m 和m 的加速度一定最大
1 2
【答案】B
【详解】
解：A、两物体所受的摩擦力大小关系不确定，方向相反，在弹簧作用的过程中，
如果 时，即两物体所受的摩擦力大小相等，所以系统所受合力为零，弹开过程中
系统动量守恒，
如果 时，即两物体所受的摩擦力大小不相等，所以系统所受合力不为零，弹开过
程中系统动量不守恒，故A错误，B正确；
C、当烧断细线时，弹簧的弹力大于物体的摩擦力，物体做加速运动，当弹簧的弹力小于
物体的摩擦力，物体做减速运动，所以两物体在弹簧弹力等于摩擦力时速度最大．故C错
误；
D、在刚烧断细线的瞬间，根据牛顿第二定律得物体的合力F =F﹣μmg，物体脱离弹簧根
合
据牛顿第二定律得物体的合力F′ =f，由于不知道具体数值关系，所以无法知道加速度最大
合
的位置，故D错误；
故选B．3．（2018·四川省内江市第二中学高三）如图所示，水平面I粗糙，水平面II光滑，一定
长度、质量1.5kg的木板放在水平面II上，木板上表面与水平面I相平．质量0.5kg的滑块
可看成质点，从水平面I上A点以2m/s的初速度向右运动，经0.5s滑上木板，滑块没有滑
离木板．已知A点与木板左端B的距离为0.75m，滑块与木板上表面间动摩擦因数小于
0.05，重力加速度g＝10m/s2．则（ ）
A．滑块刚滑上木板时速度为0.5m/s
B．滑块在木板上滑动时间小于1.5s
C．整个过程中滑块的最小速度为0.5m/s
D．木板与滑块间摩擦力对滑块的冲量大小为0.375Ns
【答案】D
【详解】
滑块在AB之间做匀减速运动，根据 可解得v=1m/s,选项A错误；滑块滑上木板
1
时，由动量守恒定律可知mv =(m+M)v，解得v=0.25m/s；滑块在木板上的加速度
1
a<μg=0.5m/s2，则滑块在木板上滑动时间 ,选项B错误；滑块与木
板共速后一起做匀速运动，可知整个过程中滑块的最小速度为0.25m/s，选项C错误；根据
动量定理可知，木板与滑块间摩擦力对滑块的冲量大小为
，选项D正确；故选D.
点睛：本题关键是要搞清两物体的运动特征，知道系统的动量守恒，从而求解共同速度，
结合牛顿第二定律及动量定理解答.
4．（2021·全国高三专题练习）如图所示，质量m＝4kg的小车静止在光滑的水平面上，
1
车长L＝1m，现有质量m＝2kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v＝3m/s从左端滑
2 0
上小车。已知物块与车上表面间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10m/s2，则物块滑上小车后（
）
A．滑块和小车组成的系统动量不守恒
B．滑块和小车组成的系统机械能守恒
C．经过一段时间从小车右端滑下
D．整个过程中系统产生的热量为6J
【答案】D【详解】
A．滑块和小车组成的系统受合外力为零，则动量守恒，选项A错误；
B．小车间有摩擦力，要产生内能，所以滑块和小车组成的系统机械能不守恒，故B错误；
C．假设物块最终与小车共速，共同速度为v，取向右为正方向，由动量守恒定律得
mv＝（m＋m）v
2 0 1 2
根据能量守恒定律得
μm gd＝ mv2－ （m＋m）v2
2 2 0 1 2
解得滑块相对于小车滑行的距离为
d＝0.6m＜L＝1m
所以滑块不会从小车右端滑下，故C错误；
D．整个过程中系统产生的热量为
Q＝μm gd＝6J
2
故D正确。
故选D。
5．（2020·肇东市第四中学校高三期末）如图所示，质量分别为 、 的两个小球A、
B，带有等量异种电荷，通过绝缘轻弹簧相连接，置于绝缘光滑的水平面上，突然加一水
平向右的匀强电场后，两球A、B将由静止开始运动，对两小球A、B和弹簧组成的系统，
在以后的运动过程中，以下说法正确的是 设整个过程中不考虑电荷间库仑力的作用且弹
簧不超过弹性限度
A．系统机械能不断增加
B．系统机械能守恒
C．系统动量不断增加
D．系统动量守恒
【答案】D
【详解】
AB．加上电场后，电场力对两球分别做正功，A球向左运动，B球向右运动，两球的动能
先增加，当电场力和弹簧弹力平衡时，动能最大，然后弹力大于电场力，两球的动能减小，
直到动能均为0，弹簧最长为止，此过程中电场力对两球均做正功，系统机械能一直增加；
接着两球反向加速，再减速，弹簧缩短到原长，弹簧缩短的过程中，电场力对两球分别做
负功，系统机械能一直减小，因此，系统机械能不守恒，故AB错误；
CD．两球所带电荷量相等而电性相反，则系统所受电场力的合力为零，系统所受的合外力
为零，因此系统动量守恒，故C错误，D正确。
故选D。6．（2021·全国高三专题练习）如图所示，两光滑且平行固定的水平杆位于同一竖直平面
内，两静止小球a、b分别穿在两杆上，两球间连接一个处于原长的竖直轻弹簧，现给小球
b一个水平向右的初速度v 小球a的质量为m，小球b的质量为m，且m≠m，如果两杆
0. 1 2 1 2
足够长，则在此后的运动过程中（ ）
A．a、b组成的系统动量守恒
B．a、b组成的系统机械能守恒
C．弹簧最长时，其弹性势能为
D．当a的速度达到最大时，b的速度最小
【答案】A
【详解】
A．由于水平杆光滑，两球在竖直方向上受力平衡，所受弹簧的弹力在水平方向上的分力
时刻大小相等、方向相反，所以两球组成的系统所受的合力为零，即系统动量守恒，故A
正确；
B．两小球受重力、弹簧弹力和杆的支持力，重力和杆的支持力不做功，弹簧弹力做功大
小、正负不同，故两小球组成的系统机械能不守恒，故B错误；
C．当弹簧最长时，两小球的速度相等，由动量守恒定律有
解得
由机械能守恒定律，弹簧最长时，其弹性势能
故C错误；
D．由于两小球的质量不相等，弹簧开始伸长的过程中，a一直在加速，当弹簧再次恢复原
长时a的速度达到最大，从开始到此刻，相当于b以速度v 与静止的a发生弹性碰撞，若
0
m＜m，则此时b的速度仍向右，速度最小，若m>m，则此时b的速度向左，大于最小
1 2 1 2
值0，故D错误。
故选A。
7．（2020·吉林高三）一轻弹簧左侧固定在水平台面上的A点，自然状态右端位于O点。
用质量为4m的物块将弹簧压缩到B点（不拴接），释放后，物块恰好运动到O点。现换质量为m的同种材质物块重复上述过程，物块离开弹簧后将与平台边缘C处静止的质量为
km的小球正碰，碰后小球做平抛运动经过t=0.4s击中平台右侧倾角为θ=45°的固定斜面，
且小球从C到斜面平抛的位移最短。已知物块与水平台面间的动摩擦因数μ=0.64，
L =2L =0.5m，不计空气阻力，滑块和小球都视为质点，g取10m/s2。求：
BO oc
(1)物块m与小球碰前瞬间速度的大小；
(2)k的取值范围。
【答案】（1） ；（2）1≤k≤3
【详解】
(1)用质量为4m的物块将弹簧压缩到B点（不拴接），释放后，物块恰好运动到O点，由
能量守恒，弹簧的弹性势能
质量为m的同种材质物块重复上述过程，由能量守恒
解得物块m与小球碰前瞬间速度的大小
(2) C到斜面平抛且位移最小，则位移的偏向角为45°，由平抛
解得
若二者发生弹性碰撞，则
得
k=3
1
若二者发生完全非弹性碰撞，则
得
k=1
2k的可能值为
1≤k≤3
8．（2019·天津高三月考）如图所示的轨道由位于竖直平面的圆弧轨道和水平轨道两部分
相连而成。水平轨道的右侧有一质量为 m的滑块 与轻质弹簧的一端相连，弹簧的另一
端固定在竖直的墙M上，弹簧处于原长时，滑块C在P点处；在水平轨道上方O处，用长
为L的细线悬挂一质量为m的小球B，B球恰好与水平轨道相切于D点，并可绕D点在竖
直平面内摆动。质量为m的滑块A由圆弧轨道上静止释放，进入水平轨道与小球B发生弹
性碰撞。P点左方的轨道光滑、右方粗糙，滑块A、C与PM段的动摩擦因数均为 ，
其余各处的摩擦不计，A、B、C均可视为质点，重力加速度为 。
（1）若B球能与滑块A再次发生弹性碰撞且使滑块A向右运动，则A至少要从距水平轨
道多高的地方开始释放？
（2）在（1）中算出的最小高度处由静止释放A，经一段时间A与C相碰，设碰撞时间极
短，碰后一起压缩弹簧，弹簧最大压缩量为 ，求弹簧的最大弹性势能。
【答案】（1） ；（2）
【详解】
（1）对A由静止释放到D点时
对AB碰撞过程，动量守恒，机械能守恒，则
，
B球能与滑块A再次发生弹性碰撞且使滑块A向右运动，对B球需要过圆周的最高点，则
B球恰好能通过圆周的最高点时有
最低点→最高点
；
解得（2）对AC碰撞过程，动量守恒
压缩弹簧的过程，由能量守恒得
解得
