文档文本内容
第2讲 匀变速直线运动的规律
素养目标 1.能从真实的物理情境中构建匀变速直线运动、自由落体运动和竖直上抛
运动模型．(物理观念) 2.会用运动学基本公式解决实际问题．(科学思维) 3.能应用推论、逆
向思维法、比例法等分析较复杂的物理问题．(科学思维)
一、匀变速直线运动的规律
1．匀变速直线运动
(1)定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动．
(2)分类
2．匀变速直线运动的基本规律
如图所示，汽车沿水平路面做匀加速直线运动，则：
直
观
情
(1)速度公式： v ＝ v ＋ a t.
0
境
(2)位移公式： x ＝ v t ＋ at 2 .
0
(3)速度位移关系式： v 2 － v ＝ 2 ax .
3.重要推论
(1)物体在一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，还等于初、末时
刻速度矢量和的一半，即：＝v ＝.
\f(t,2
(2)任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差为一恒量，即：Δx＝x －x ＝x －x
2 1 3 2
＝…＝x －x ＝ aT 2 .
n n－1
(3)位移中点的速度v ＝.
\f(x,2
4．初速度为0的匀加速直线运动的5个推论
(1)以时间等分(2)以位移等分
二、自由落体运动和竖直上抛运动
1．自由落体运动
(1)物体只受重力作用．
运动条件
(2)由静止开始下落
运动性质 (3)初速度为零的匀加速直线运动
(4)速度公式： v ＝ gt .
运动规律 (5)位移公式： h ＝ gt 2 .
(6)速度位移公式： v 2 ＝ 2 gh
2.竖直上抛运动
(1)运动性质
取初速度的方向为正方向，全过程为初速度为v、加速度大小为g的匀变速直线运动．
0
(2)基本规律1．思维辨析
(1)匀变速直线运动是速度随时间均匀变化的运动．( )
(2)匀加速直线运动是加速度均匀变化的运动．( )
(3)在匀变速直线运动中，中间时刻的速度一定小于该段时间内位移中点的速度．( )
(4)物体从某高度由静止下落一定做自由落体运动．( )
(5)做竖直上抛运动的物体，在上升和下落过程中，速度变化量的方向都是竖直向下的．
( )
2．(2024·山东潍坊模拟)中国自主研发的“暗剑”无人机，时速可超过 2马赫．在某次
试飞测试中，起飞前沿地面做匀加速直线运动，加速过程中连续经过两段均为 120 m的测
试距离，用时分别为2 s和1 s，则无人机的加速度大小是( )
A．20 m/s2 B．40 m/s2
C．60 m/s2 D．80 m/s2
3．频闪摄影是研究变速运动常用的实验手段．在暗室中，照相机的快门处于常开状态，
频闪仪每隔一定时间发出一次短暂的强烈闪光，照亮运动的物体，于是胶片上记录了物体
在几个闪光时刻的位置．如图所示是小球自由下落时的频闪照片示意图，频闪仪每隔 0.04
s闪光一次．如果通过这幅照片测量自由落体加速度，可以采用哪几种方法？试一试．(照
片中的数字是小球落下的距离，单位是厘米)考点 匀变速直线运动规律的应用
1．运动学公式中符号的规定
(1)一般规定初速度的方向为正方向，与初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取
负值．
(2)若v＝0，一般以a的方向为正方向．
0
2．运动学公式的选择
题目中所涉及的物理量 没有涉及的物理量 适宜选用公式
v、v、a、t x v＝v＋at
0 0
v、a、t、x v x＝vt＋at2
0 0
v、v、a、x t v2－v＝2ax
0
v、v、t、x a x＝t
0
3.解决匀变速直线运动的一般步骤
典例1 (2024·浙江绍兴联考)(多选)某人驾驶一辆汽车甲正在平直的公路上以某一速度
匀速运动，突然发现前方75 m处停着一辆汽车乙，甲车司机立即刹车，甲车刹车后做匀减
速直线运动．已知甲车刹车后第1个2 s内的位移是36 m，第4个2 s内的位移是1.5 m，
则下列说法正确的是( )
A．甲车刹车后第3个2 s内的位移为12 m
B．甲车刹车后做匀减速直线运动的加速度大小为3 m/s2
C．甲车开始刹车时的速度大小为21 m/s
D．甲车可能与乙车相撞1．[位移公式的应用](多选)一质点从A点做初速度为零、加速度为a 的匀加速直线运
1
动，经过一段时间后到达B点，此时加速度突然反向，大小变为a ，又经过同样的时间到
2
达C点．已知A、C的距离为A、B的距离的一半，则a 与a 的大小之比可能为( )
1 2
A. B. C. D.
2．[匀变速直线运动＝的应用]如图所示，电动公交车做匀减速直线运动进站，连续经
过R、S、T三点，已知S、T间的距离是RS的两倍，RS段的平均速度是10 m/s，ST段的
平均速度是5 m/s，则公交车经过T点时的瞬时速度为( )
A．3 m/s B．2 m/s
C．1 m/s D．0.5 m/s
考点 自由落体运动和竖直上抛运动――→
1．自由落体运动的三个常用关系
(1) 从运动开始连续相等时间内的下落高度之比为 1 ∶ 3 ∶ 5 ∶ 7 ∶ … .
(2)从运动开始一段时间内的平均速度＝＝＝gt.
(3)连续相等时间T内的下落高度之差Δh＝gT2.
2．竖直上抛运动的主要特性
(1)速度对称：上升和下降过程经过同一位置时速度等大、反向．
对称性
(2)时间对称：上升和下降过程经过同一段高度所用的时间相等
当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降
多解性
阶段，形成多解，在解决问题时要注意这个特性
3.竖直上抛运动的两种研究方法
将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶
分段法
段
将全过程视为初速度为 v 、加速度 a ＝－ g 的匀变速直线运动 ，必须注意物
0
理量的矢量性．习惯上取v 的方向为正方向，则v>0时，物体正在上升；
0
全程法
v<0时，物体正在下降．h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出
点下方
典例2 某航模兴趣小组设计出一架遥控飞行器．试飞时飞行器从地面上由静止开始
竖直向上做匀加速直线运动， 运动 4 s 后到达离地面高 40 m 处 ，此时飞行器上有一螺丝脱
落(不计螺丝受到的空气阻力)．取g＝10 m/s2.求：
(1)飞行器匀加速直线运动的加速度大小；
(2)螺丝脱落后继续上升的高度；
(3)螺丝从脱落到落回地面的总时间．1．[对自由落体运动的理解]如图所示，A、B两小球从不同高度同时做自由落体运动．
已知A的质量比B的质量大，则在两小球落地之前，下列说法正确的是( )
A．A、B两小球可能在空中相撞
B．A、B两小球之间的距离越来越大
C．A、B两小球的速度差越来越大
D．A、B两小球速度变化的快慢相同
2．[竖直上抛运动对称性的应用]在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究
中，需要精密的重力加速度g值．测g值的一种方法叫“对称自由下落法”，具体的做法
是：将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O点向上抛小球又落至原处的时间为T ，在小
1
球运动过程中经过比O点高H的P点，小球经过P点至又回到P点所用的时间为T，测得
2
T、T 和H，可求得g等于( )
1 2
A. B.
C. D.
考点 匀变速直线运动的多过程问题
1．解答多过程运动问题的基本思路
画草图 分清各阶段运动过程，画出运动情境草图
找关系 找出交接处的速度与各阶段间的位移—时间关系
列方程 列出各运动阶段的运动方程，联立求解
2.解题关键
多运动过程的转折点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，转折点速度的求解往
往是解题的关键．
典例3 (2022·全国甲卷)长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v ，要通过
0
前方一长为L的隧道， 当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过 v (v<v)．
0
已知列车加速和减速时加速度的大小分别为a和2a，则列车从减速开始至回到正常行驶速
率v 所用时间至少为( )
0
A.＋
B.＋
C.＋
D.＋
1．[多过程运动模型]为了安全，我国高速公路上常常会设置一定距离的减速带．现有
一辆重型货车正以30 m/s的速度行驶在此路段，若要货车上任意一点以20 m/s的速度通过减速带，然后立即开始加速，恢复到30 m/s正常行驶，减速带的长度为100 m．货车车身
长度为20 m，货车加速与减速的加速度大小均为2.5 m/s2，则货车从开始减速到加速至原
来的速度需要的时间至少为( )
A．14 s B．12.7 s
C．8 s D．11.38 s
2．[先加速后减速模型]如图所示，“蛟龙号”载人潜水器是迄今为止中国自主设计的
最复杂的海洋调查装备，各项技术指标世界领先．“蛟龙号”载人潜水器某次潜水试验，
下潜深度x＝3 000 m，其下潜过程可简化为由静止开始竖直向下先做加速度大小为 a ＝0.2
1
m/s2的匀加速直线运动，然后做加速度大小为a ＝0.1 m/s2的匀减速直线运动直到速度为零，
2
求：
(1)下潜时加速阶段的位移大小；
(2)下潜3 000 m的总时间．
答案及解析
1．思维辨析
(1)匀变速直线运动是速度随时间均匀变化的运动．(√)
(2)匀加速直线运动是加速度均匀变化的运动．(×)
(3)在匀变速直线运动中，中间时刻的速度一定小于该段时间内位移中点的速度．(√)
(4)物体从某高度由静止下落一定做自由落体运动．(×)
(5)做竖直上抛运动的物体，在上升和下落过程中，速度变化量的方向都是竖直向下的．
(√)
2．(2024·山东潍坊模拟)中国自主研发的“暗剑”无人机，时速可超过 2马赫．在某次
试飞测试中，起飞前沿地面做匀加速直线运动，加速过程中连续经过两段均为 120 m的测
试距离，用时分别为2 s和1 s，则无人机的加速度大小是( )
A．20 m/s2 B．40 m/s2
C．60 m/s2 D．80 m/s2
解析：无人机匀加速运动的过程中，连续经过两段均为x＝120 m的位移，第一段所用
的时间t ＝2 s，第二段所用的时间t ＝1 s，则第一段有：x＝vt ＋at，连续两段有：2x＝
1 2 01
v(t＋t)＋a(t＋t)2，解得a＝40 m/s2，故选项B正确．
0 1 2 1 2
答案：B
3．频闪摄影是研究变速运动常用的实验手段．在暗室中，照相机的快门处于常开状态，
频闪仪每隔一定时间发出一次短暂的强烈闪光，照亮运动的物体，于是胶片上记录了物体在几个闪光时刻的位置．如图所示是小球自由下落时的频闪照片示意图，频闪仪每隔 0.04
s闪光一次．如果通过这幅照片测量自由落体加速度，可以采用哪几种方法？试一试．(照
片中的数字是小球落下的距离，单位是厘米)
解析：方法一 根据公式x＝gt2
x＝19.6 cm＝0.196 m，t＝5T＝0.2 s
g＝＝ m/s2＝9.8 m/s2.
方法二 根据公式Δx＝gT2
g＝
＝×10－2 m/s2＝9.69 m/s2.
方法三 根据v＝gt，＝＝＝v
v＝ ＝ m/s＝1.56 m/s
4 35
g＝＝ m/s2＝9.75 m/s2.
答案：见解析
考点 匀变速直线运动规律的应用
典例1 (2024·浙江绍兴联考)(多选)某人驾驶一辆汽车甲正在平直的公路上以某一速度
匀速运动，突然发现前方75 m处停着一辆汽车乙，甲车司机立即刹车，甲车刹车后做匀减
速直线运动．已知甲车刹车后第1个2 s内的位移是36 m，第4个2 s内的位移是1.5 m，
则下列说法正确的是( )
A．甲车刹车后第3个2 s内的位移为12 m
B．甲车刹车后做匀减速直线运动的加速度大小为3 m/s2
C．甲车开始刹车时的速度大小为21 m/s
D．甲车可能与乙车相撞
解析：假设8 s内汽车一直匀减速运动，根据 x －x ＝3aT2，代入数据解得a ＝－
4 1 0 0
m/s2，根据x ＝vT＋aT2，代入数据解得v＝20.875 m/s，则速度减为零的时间t＝，代入数
1 0
据解得t≈7.3 s<8 s， 可知汽车在 8 s 前速度减为零． 设汽车加速度为a，根据x ＝vT＋
1 0
aT2，汽车速度减为零的时间为t ＝，采用逆向思维，第4个2秒内的位移为x ＝×(－a)·2＝
0 4
1.5 m，联立解得a＝－3 m/s2，v＝21 m/s(另一解不符合题意，舍去)，选项B、C正确．根
0
据x －x ＝2aT2，甲车刹车后第3个2 s内的位移大小为x ＝x ＋2aT2，代入数据解得x ＝
3 1 3 1 3
12 m，选项A正确．汽车刹车到停止的距离x ＝，代入数据解得x ＝73.5 m<75 m，所以
0 0甲车不会撞上乙车，选项D错误．故选ABC.
1．[位移公式的应用](多选)一质点从A点做初速度为零、加速度为a 的匀加速直线运
1
动，经过一段时间后到达B点，此时加速度突然反向，大小变为a ，又经过同样的时间到
2
达C点．已知A、C的距离为A、B的距离的一半，则a 与a 的大小之比可能为( )
1 2
A. B. C. D.
解析：如图所示，设AB＝x，则AC＝x，选A到B方向为正方向，则：
从A到B，x＝at2，v ＝at，若C点在A点右侧，从B到C，则有－x＝v t－at2，解
1 B 1 B 2
得＝，选项B正确；若C点在A点左侧，从B到C，则有－x＝v t－at2，解得＝，选项C
B 2
正确．
答案：BC
2．[匀变速直线运动＝的应用]如图所示，电动公交车做匀减速直线运动进站，连续经
过R、S、T三点，已知S、T间的距离是RS的两倍，RS段的平均速度是10 m/s，ST段的
平均速度是5 m/s，则公交车经过T点时的瞬时速度为( )
A．3 m/s B．2 m/s
C．1 m/s D．0.5 m/s
解析：由题知，电动公交车做匀减速直线运动，且设R、S间的距离为x，则根据题意
有 ＝＝， ＝＝，联立解得t ＝4t ，v ＝v －10 m/s，再根据匀变速直线运动速度与时间
RS ST 2 1 T R
的关系有v ＝v ＋a·5t，则at＝－2 m/s，再由 ＝v －at，联立解得v ＝1 m/s，故选C.
T R 1 1 ST T 2 T
答案：C
考点 自由落体运动和竖直上抛运动――→
典例2 某航模兴趣小组设计出一架遥控飞行器．试飞时飞行器从地面上由静止开始
竖直向上做匀加速直线运动， 运动 4 s 后到达离地面高 40 m 处 ，此时飞行器上有一螺丝脱
落(不计螺丝受到的空气阻力)．取g＝10 m/s2.求：
(1)飞行器匀加速直线运动的加速度大小；
(2)螺丝脱落后继续上升的高度；
(3)螺丝从脱落到落回地面的总时间．
解析：(1)由匀变速运动的公式h＝at2，代入数据得a＝5 m/s2.
0
(2)螺丝脱落时的速度v ＝at＝5×4 m/s＝20 m/s，之后螺丝做竖直上抛运动，继续向上
1
运动的位移h＝＝ m＝20 m.
1
(3)解法一(分段法)：螺丝从脱落到最高点的时间t＝＝ s＝2 s
1
设螺丝从最高点落到地面的时间为t ，有h ＋h ＝gt，解得t ＝2 s，则螺丝从脱落到落
2 0 1 2
回地面的总时间为(2＋2) s.
解法二(全程法)：设竖直向上为正方向，由位移时间关系式h＝vt＋gt2，代入数据有－
0
40 m＝20 m/s·t－×10 m/s2·t2，解得t＝(2＋2) s，t＝(2－2) s(舍去)．
1 2
答案：(1)5 m/s2 (2)20 m
(3)(2＋2) s
1．[对自由落体运动的理解]如图所示，A、B两小球从不同高度同时做自由落体运动．
已知A的质量比B的质量大，则在两小球落地之前，下列说法正确的是( )
A．A、B两小球可能在空中相撞
B．A、B两小球之间的距离越来越大
C．A、B两小球的速度差越来越大
D．A、B两小球速度变化的快慢相同
解析：因为两小球均做自由落体运动，故两小球的加速度均为g，与质量无关，下落
过程中，A、B两小球速度变化的快慢相同，故选项D正确；两小球同时做自由落体运动，
设初始高度差为L，由h＝gt2可知，A、B两小球之间的距离Δx＝－gt2＝L，所以两小球之
间的距离不变，不可能在空中相撞，故选项A、B错误；由v＝gt可知，当两小球运动时间
相同时，速度也相同，故选项C错误．
答案：D
2．[竖直上抛运动对称性的应用]在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究
中，需要精密的重力加速度g值．测g值的一种方法叫“对称自由下落法”，具体的做法
是：将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O点向上抛小球又落至原处的时间为T ，在小
1
球运动过程中经过比O点高H的P点，小球经过P点至又回到P点所用的时间为T，测得
2
T、T 和H，可求得g等于( )
1 2
A. B.
C. D.
解析：将小球的运动分为两段，竖直向上的匀减速直线运动和竖直向下的自由落体运
动，根据t ＝t ，可知从最高点下落到O点所用时间为，故在O点的速度v ＝g，从最高
上 下 0
点下落到P点所用时间为，则有v ＝g，从O点至P点过程，由竖直上抛运动规律可得－
P
2gH＝v－v，联立解得g＝，故B正确．
答案：B
考点 匀变速直线运动的多过程问题
典例3 (2022·全国甲卷)长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶，速率为v ，要通过
0
前方一长为L的隧道， 当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过 v (v<v)．
0
已知列车加速和减速时加速度的大小分别为a和2a，则列车从减速开始至回到正常行驶速
率v 所用时间至少为( )
0A.＋
B.＋
C.＋
D.＋
解析：由题可知，列车加速和减速的加速度大小为定值，要使列车通过隧道的时间最
短，应以允许的最大速度通过，已知列车长为l，速率为v，此速率大于允许通过的最大速
0
率v，则列车进隧道前先减速，减速时间t ＝；在隧道内匀速运动的时间t ＝；列车尾部出
1 2
隧道后立即加速到v ，加速时间t ＝；则列车从减速开始至回到正常行驶速率v 所用时间
0 3 0
至少为t＝t＋t＋t＝＋，A、B、D错误，C正确．故选C.
1 2 3
1．[多过程运动模型]为了安全，我国高速公路上常常会设置一定距离的减速带．现有
一辆重型货车正以30 m/s的速度行驶在此路段，若要货车上任意一点以20 m/s的速度通过
减速带，然后立即开始加速，恢复到30 m/s正常行驶，减速带的长度为100 m．货车车身
长度为20 m，货车加速与减速的加速度大小均为2.5 m/s2，则货车从开始减速到加速至原
来的速度需要的时间至少为( )
A．14 s B．12.7 s
C．8 s D．11.38 s
解析：设货车做匀减速直线运动的时间为t，L＝100 m，d＝20 m，v＝30 m/s，v＝20
1 0
m/s，由速度时间关系式得v＝v －at ，设货车做匀加速直线运动的时间为t ，则v ＝v＋
0 1 2 0
at ，货车做匀速运动的位移为x＝L＋d，则x＝vt ，解得货车从开始减速到加速至原来的
2 3
速度需要的时间为t＝t＋t＋t＝14 s，故选A.
1 2 3
答案：A
2．[先加速后减速模型]如图所示，“蛟龙号”载人潜水器是迄今为止中国自主设计的
最复杂的海洋调查装备，各项技术指标世界领先．“蛟龙号”载人潜水器某次潜水试验，
下潜深度x＝3 000 m，其下潜过程可简化为由静止开始竖直向下先做加速度大小为 a ＝0.2
1
m/s2的匀加速直线运动，然后做加速度大小为a ＝0.1 m/s2的匀减速直线运动直到速度为零，
2
求：
(1)下潜时加速阶段的位移大小；
(2)下潜3 000 m的总时间．
解析：(1)设潜水器下潜时加速阶段的位移大小为x，运动时间为t，末速度为v，减速
1 1
阶段的位移大小为x ，运动时间为t ，则由匀变速直线运动规律有v2＝2ax 0－v2＝2(－
2 2 1 1,
a)x，又x＋x＝3 000 m，联立可得x＝1 000 m.
2 2 1 2 1
(2)由(1)可知v＝20 m/s，根据匀变速直线运动规律有v＝at 0＝v－at ，t ＝t ＋t ，联
11, 22 总 1 2
立解得潜水器下潜3 000 m的总时间t ＝300 s.
总
答案：(1)1 000 m (2)300 s
