文档内容
第 10 讲共点力平衡方法二
学习目标
明 确目标 确定方向
1.熟练掌握物体受力分析
2.整体隔离法解决连接体问题
3.自锁和临界极值问题分析
【 知识回归 】 回 归课本 夯实基础
一整体隔离法
整体法和隔离法的使用技巧
(1)当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法。
(2)当分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时，常用隔离法。
(3)整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂的问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和
隔离法。
二临界极值
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不
出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述，常见的临界状态有：
(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)。
(2)绳子断与不断的临界条件为绳中的张力达到最大值；绳子绷紧与松驰的临界条件为绳中的张力为0。
(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。
2．极值问题
平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。一般用图解法或解析法进行分析。
3．解决极值问题和临界问题的方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变
化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小，并依次
做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。
(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图象)，
用数学方法求极值(如求
二次函数极值、公式极值、三角函数极值)，但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合
理性及物理意义进行讨论和说明。
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则
进行动态分析，确定最大值与最小值。
【 典例分析 】 精 选例题 提高素
养【例1】．水平粗糙地面上有两个质量和形状相同的物体A、B，A、B物体与地面的动摩擦因数分别为
、 且 。将其组成如图甲、乙所示的结构，分别施加水平作用力 、 推动A、B物体沿水平方
向做匀速运动，运动过程中A、B始终保持相对静止，不计其它摩擦，下列说法正确的是（ ）
A． 大小等于 B． 大小小于
C．图甲中物体B可能不受摩擦力 D．图乙中物体A可能不受摩擦力
例1【答案】D
【详解】AB．设两物体接触面与水平地面的夹角为 ，甲乙图中A、B物体间的作用力分别为N1、N2，对
甲图中两物体进行受力分析可得，对于A有
对B物体有
对乙图中两物体进行受力分析可得，对于A有
对B物体有综合可得
由 可知
故AB错误；
C．由上述分析可知，对于图甲中，若B不受摩擦力作用，则B将做匀加速直线运动，故C错误；
D．由上述分析可知，对于图乙中，当N2沿竖直方向的分量等于A的重力时，物体A可以不受摩擦力作
用，此时F2大小等于物体B所受的摩擦力，故D正确。
故选D。
【例2】多选．社会主义核心价值观基本内容为富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱
国、敬业、诚信、友善。某公司为了宣传社会主义核心价值观基本内容，用一根轻质细绳将12盏灯笼按如
图所示的形式依次悬挂起来，为了追求美感，平衡时左、右两侧细绳与竖直方向的夹角均力 ，相邻两
灯笼间的水平距离均为 ，“富强”与“友善”两盏灯笼结点的高度均为h，每盏灯笼的质量均为M，重
力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．“平等”与“公正”两灯笼间细绳中的张力大小为
B．“爱国”与“敬业”两灯笼间细绳中的张力大小为C．“和谐”灯笼的结点距地面的高度为
D．“公正”灯笼的结点距地面的高度为
例2【答案】AC
【详解】A．对“平等”灯笼右侧的6盏灯笼整体进行受力分析，如图甲所示，显然
A正确；
B．对单个灯笼受力分析，如图乙所示，可知
， ，…，
由于“爱国”与“敬业”两灯笼之间细绳与水平方向的夹角满足
所以细绳中的张力大小为
B错误；
CD．由于相邻两灯笼之间的水平距离为 ，所以“和谐”灯笼的结点距地面的高度为
“公正”灯笼的结点距地面的高度为
C正确，D错误。
故选AC。【例3】．如图所示，倾角为 的足够长斜面上有一“L”型直角挡板，在挡板与斜面之间放有A、B两
个圆柱体，其质量分别为 和m，已知两圆柱截面圆心连线刚好水平。重力加速度为 g。 ，
。
（1）若所有接触面均没有摩擦力，并有外力F使系统静止。求：A、B对斜面的压力分别为多大？
（2）若取走圆柱体B，只留圆柱体A在斜面上。A与斜面间的动摩擦因数为 ，A与挡板间的动摩擦
因数为 。现用外力推动挡板，让A沿斜面匀速上升，上升过程中A不发生转动，已知在此过程中A受到
斜面和挡板的摩擦力分别为滑动摩擦力和静摩擦力，它们的大小相等，方向如图。认为最大静摩擦等于滑
动摩擦，要保证A与挡板之间不发生相对滑动，求 的值至少应为多大？
例3【答案】（1） ， ；（2）0.4
【详解】（1）对A、B整体分析，设斜面对A、B整体的支持力为 ，由平衡条件得
再对A受力分析，如图所示由平衡条件得
解得
可得斜面对B物体的支持力为
由牛顿第三定律可得A、B对斜面的压力分别为
（2）A所受到斜面的滑动摩擦力大小为
由题意得
A对挡板的压力为
则
解得
所以 的值至少应为0.4.【例4】．红旗渠是20世纪60年代林县（今林州市）人民在极其艰难的条件下，近10万人仅靠手拉肩打
耗时10年，从太行山腰修建的引漳入林的水利工程，全长1500公里，被誉为“世界第八大奇迹”。图
（a）是修建时的场景，现将人们推石块的情形简化成图（b）所示的模型，山坡的倾角为α。两位农民将
质量为m的石块从A点匀速移到B点，前面农民用轻绳拉石块，后面农民沿斜坡向上推，轻绳与斜坡的夹
角为 。已知AB间距为l，石块所受阻力与正压力之比恒为k，重力加速度为g，若拉力和推力大小相等，
则下列说法正确的是（ ）
A．石块的机械能增加了 B．当 时，沿斜面向上的推力最小
C．拉力和推力的功率之和与 无关 D．石块受到的重力、拉力和推力的合力方向与 无关
例4【答案】ABD
【详解】A．石块从A点匀速移到B点，机械能的增加即重力势能的增加，则有
故A正确；
B．对石块受力分析，根据共点力平衡条件有
其中
解得
根据数学知识可知当 ，F最小，故B正确；
C．根据功率的计算公式可知拉力和推力的功率之和为可知拉力和推力的功率之和与 有关，故C错误；
D．石块受到的重力、拉力和推力的合力与摩擦力和弹力的合力大小相等，方向相反；根据摩擦力的公式
有
则有
可知摩擦力和弹力的合力方向与 无关，所以石块受到的重力、拉力和推力的合力方向与 无关，故D正
确；
故选ABD。
【巩固练习】 举 一反三 提高能
力
1．新春佳节，大街小巷总会挂起象征喜庆的中国红灯笼。如图所示，由4根等长轻质细绳
悬挂起3个质量相等的灯笼，绳两端的结点A、E等高， 绳与竖直方向的夹角为 ，
绳中张力大小为 ； 绳与竖直方向的夹角为 ，绳中张力大小为 ，则（ ）
A． 可能等于 B． 可能大于
C． D．
1【答案】D【详解】由对称性可知 绳和 绳张力大小相等，大小为 。对三个灯笼的整体分析可知
对结点B受力分析得
综上解得
A B．由
可知
AB错误；
C D．由
可知
又
得
C错误，D正确。故选D。
2．如图所示，一斜面体置于水平地面上，一物块在平行于斜面向上的外力F作用下相对斜面保持静止，
该过程中斜面体相对水平地面也保持静止。下列说法正确的是（ ）
A．斜面对物块一定有摩擦力作用
B．地面对斜面体一定有摩擦力作用
C．地面对斜面体的支持力大于物块与斜面所受重力之和
D．地面对斜面体的支持力等于物块与斜面所受重力之和
2【答案】B
【详解】A．对物块受力分析，由于无法确定物块沿斜面向下的分力与外力F的大小关系，所以无法确定斜
面对物块有无摩擦力，A错误；
BCD．对斜面和物块整体为研究对象，由受力分析，有
整体受到重力、支持力、推力以及地面的摩擦力作用，根据共点力平衡，有
地面对斜面体一定有摩擦力作用；地面对斜面体的支持力
B正确，CD错误。
故选B。
3．我国的石桥世界闻名，如图，某桥由六块形状完全相同的石块组成，其中石块1、6固定，2、5质量相
同为m，3、4质量相同为 ，不计石块间的摩擦，则 为（ ）A． B． C．1 D．2
3【答案】D
【详解】六块形状完全相同的石块围成半圆对应的圆心角为 ，每块石块对应的圆心角为 ，对第 块
石块受力分析如图
结合力的合成可知
对第2块和第三块石块整体受力分析如图
解得
故选D。
4．在CCTV10科教频道《科学大探险》栏目中，挑战者将桌布平整的放于桌面上，桌布上放上物品，然后
快速抽出桌布，桌面上的物品像有魔法一般牢牢“吸”在桌面上，如图甲所示。某同学对此产生了浓厚的
兴趣，他设置了一个实验进行模拟，将一质量为m的长桌布B静止在固定的水平桌面上，质量为M的盘子A静止在桌布上，如图乙所示。A与B间的动摩擦因数为 ，B与桌面间的动摩擦因数为 ，现给桌布B
右端一水平拉力F，把桌布B从盘子A的下面抽出。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。则
拉力F至少应为（ ）
A． B．
C． D．
4【答案】A
【详解】A的最大加速度为
A、B相对滑动的临界状态的加速度相等，则有
解得
故选A。
5．如图所示，粗细均匀的直杆水平固定放置，滑块A套在杆上，用轻弹簧与小球B相连，给小球B施加一
个水平向右的大小为F的拉力，弹簧与水平方向的夹角为 ，A、B均处于静止状态，弹簧绳长量为x，
则下列判断正确的是（ ）A．球B的重力大于F B．杆对A的摩擦力大于F
C．杆对A的支持力大于F D．弹簧的劲度系数
5【答案】D
【详解】AD．对小球B研究，受到重力G，弹簧弹力Fx，水平外力F，根据三力平衡，由矢量三角形可
得，球B的重力
弹簧的弹力等于
弹簧的劲度系数
故A错误，D正确；
B．对A、B整体研究，水平方向上，受到杆对A水平向左的静摩擦力，水平向右的外力F，由平衡条件可
得杆对A的摩擦力等于F，故B错误；
C．对A、B整体研究，在竖直方向上，由平衡条件可得杆对A的支持力
即
由于A的质量未知，因此不能确定N与F的大小关系，故C错误。
故选D。
6．如图所示，均匀木板重 ，木板上放重为 的台秤，台秤内放重为 的物体。整个装置用轻绳
通过不计重力和摩擦的滑轮吊着，处于静止状态，这时台秤的读数为（ ）A． B． C． D．
6【答案】C
【详解】设作用在物体上的绳上的张力为T，对木板、台秤、物体组成的整体列平衡方程
对物体列平衡方程
即台秤的读数为50N
故选C。
7．北方农村秋冬季节常用金属丝网围成圆柱形粮仓储存玉米棒，该粮仓由于玉米棒装的不匀称而发生倾
斜现象，为避免倾倒，在左侧用木棍支撑，如图所示。若支撑点距水平地面的高度为 m，木棍与水平地
面动摩擦因数为 ，木棍重力不计，粮仓对木棍的作用力沿木棍方向，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
为使木棍下端一定不发生侧滑，则木棍的长度最多为（ ）
A．1.5m B． m C．2m D．2 m7【答案】C
【详解】设木棍与水平方向夹角为θ，木棍长度为L，设粮仓对木棍的作用力大小为F，则为使木棍下端一
定不发生侧滑，由平衡条件有
由几何知识有
两式联立解得
即木棍的长度最多为2m，故ABD错误，C正确。
故选C。
多选8．如图所示，质量为M的楔形物体ABC放置在墙角的水平地板上，BC面与水平地板间的动摩擦因
数为 ，楔形物体与地板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。在楔形物体AC面与竖直墙壁之间，放置一
个质量为m的光滑球体，同时给楔形物体一个向右的水平力，楔形物体与球始终处于静止状态。已知AC
面倾角 ， ，重力加速度为g，则（ ）
A．楔形物体对地板的压力大小为Mg
B．当 时，楔形物体与地板间无摩擦力
C．向右的水平力F的最小值一定是零
D．向右的水平力F的最大值为
8【答案】BD
【详解】A．将M、m视为一个整体可知，楔形物体对地板的压力大小为 ，故A错误；
B．球体对AC面的弹力大小为当
时，楔形物体水平方向上受到的合力为零，没有运动趋势，摩擦力为零。故B正确；
C．斜面体受到的最大静摩擦力
当水平向右的外力最小（设为 ）时，斜面体可能有向左运动趋势，当
时
当
时
故C错误；
D．当水平向右的外力最大（设为 ）时，斜面体有向右运动趋势，由平衡条件有
解得
故D正确。
故选BD。
多选9．两滑块A、B都处于在水平面上，与水平面的动摩擦因数相同，用不可伸长的轻绳相连，第一次连
接两滑块的绳水平（如图甲），第二次连接两滑块的绳与水平方向成某一倾角（如图乙），用水平恒力向
右拉滑块B，使两滑块一起沿水平面向右匀速运动，设第一次水平恒力为F，绳拉力的大小为T，A受摩
1 1擦力大小为f；第二次水平恒力为F，绳拉力的大小为T，A所受摩擦力大小为f．下列说法正确的是（
1 2 2 2
）
A．F 一定等于F B．F 一定小于F C．T 可能大于T D．f 一定大于f
1 2 1 2 1 2 1 2
9【答案】ACD
【详解】AB．对AB整体受力分析，由平衡条件得
故 一定等于 ，故A正确，B错误；
C．对A受力分析，由平衡条件得
即
所以
所以两拉力之比可能大于1，等于1或者小于1，故T1可能大于T2也可能等于T2也可能小于T2，故C正
确；
D．对A受力分析得
故f1一定大于f2，故D正确。
故选ACD。
多选10．如图所示，甲、乙、丙三条不可伸长的轻绳栓接于O点，甲、乙两绳自然伸直，上端分别固定于
水平天花板上的a、b点，甲绳长30cm，乙绳长40cm，ab距离为50cm，甲、乙、丙三绳能承受的最大张
力分别为3N、4N、5N。c点位于丙绳上，在c点对丙绳施加竖直向下的拉力F，O点位置始终不变，则在
拉力F从零逐渐增大的过程中（ ）A．甲绳先断 B．乙绳先断
C．某绳恰好先断时， D．某绳恰好先断时，
10【答案】AD
【详解】AB．甲绳长30cm，乙绳长40cm，ab距离为50cm，再由甲、乙、丙对O点拉力满足平行四边形
法则得甲、乙、丙的拉力大小之比为
而甲、乙、丙三绳能承受的最大张力分别为3N、4N、5N，所以可知当丙为5N时，甲绳受力为4N，所以
甲先断，故A正确，B错误；
CD．当甲绳为3N时，则有
故D正确，C错误。
故选AD。
多选11．某个同学玩夹盒子的游戏，手握两块木板，两木板间夹起盒子，如图所示，已知木板与盒子之间
的动摩擦因数为0.5，盒子与盒子之间的动摩擦因数为0.4，每个盒子重约为 ，该同学两手可以给木
板提供的水平压力都为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．该同学最多可以夹起16个盒子
B．该同学最多可以夹起14个盒子
C．若该同学夹起10个盒子，则第五个和第六个盒子之间的摩擦力为0
D．无论该同学夹起多少个盒子，木板和盒子之间的摩擦力大小都为11【答案】BC
【详解】AB．设该同学最多可以夹起n个盒子，木板与盒子之间的动摩擦因数为 ，盒子与盒子之
间的动摩擦因数为 则
解得
n=16
取这16个盒子中除去最左边和最右边的其他14个盒子为研究对象，其重力为
最左与最右的两个盒子能提供给这14个盒子的最大静摩擦力为
则因为
所以中间这14个盒子不能被夹起，即最多不能夹起16个盒子；设我们从16个盒子中去掉x个盒子，剩下
个盒子，取 个盒子中除去最左边和最右边的其他 个盒子为研究对象，其重力为
最左与最右的两个盒子能提供给这 个盒子的最大静摩擦力为
则
解得
因为盒子个数只能取整数，所以取
盒子与盒子间的最大静摩擦力为64N，中间的这12个盒子能被夹起的话，靠里面的盒子由于数量减少也能
被夹起。所以最多能夹起14个盒子。故A错误。故B正确；
C．若该同学夹起10个盒子，则取10个盒子整体为研究对象，左右两侧分别受到竖直向上的静摩擦力，大
小都为5G。根据对称性我们取左边5个和右边5个分别为研究对象，则它们各自的重力和静摩擦力已经平
衡，所以相互之间没有摩擦力。即第五个和第六个盒子之间的摩擦力为0。故C正确；
D．木板和盒子之间的摩擦力是静摩擦力，盒子的数量减小时静摩擦力的大小也随之减小。故D错误。故选BC。
多选12．“境自远尘均入咏，物含妙理总堪寻”。在网络视频中常看到有人把几个看似不可能堆起来的物
体堆到一起的视频，如图所示，不同几何形状物件a、b、c、d、e互相叠放在地面、平板A和B上。挂件f
挂在光滑的细绳CD上，细绳一端系在竖直墙上C点，一端系在平板A右端点，整个装置处于平衡状态，
用物理角度来分析，以下说法正确的是（ ）
A．地面可能是光滑的
B．物件e受力个数可能为2个
C．物件b受力个数一定为4个
D．物件a受到木板的作用力竖直向上
E．C点缓慢下移一些，装置仍有可能平衡
12【答案】CDE
【详解】A．对整体分析，挂件f右边细绳一定有拉力，水平向右一定有分量，地面一定有摩擦力，地面不
可能光滑，故A错误；
B．物块e斜放在平板B上，受到重力、摩擦力和平板对物块e的弹力3个力，故B错误；
C．物块b受到重力、平板B对物件b的压力、平板A对物件b的弹力和摩擦力4个力，故C正确；
D．物件a受到木板的作用力与其重力平衡，方向竖直向上，故D正确；
E．设右边细绳与竖直方向夹角为θ，则细绳的拉力
d为CD的水平距离，l为绳长，C点缓慢下移一些，d和l均不变，θ不变，细绳的拉力不变，装置仍有可
能平衡，故E正确。
故选CDE。
多选13．如图所示，水平地面上有两个三角形斜劈P和Q叠放在一起。大小相等、方向相反的水平力F分别推P和Q，则P、Q可能会出现以下哪些运动状态（ ）
A．P与Q之间以及Q与地面之间均粗糙，P与Q均静止。
B．P与Q之间粗糙，Q与地面之间光滑，P与Q均静止
C．P与Q之间以及Q与地面之间均光滑，Q静止，P沿斜面向上匀速
D．P与Q之间以及Q与地面之间均光滑，Q静止，P沿斜面向上匀加速运动
13【答案】ABC
【详解】A．P与Q之间以及Q与地面之间均粗糙，P与Q均静止，可能发生，故A正确。
B．P与Q之间粗糙，Q与地面之间光滑，由整体法分析，Q与地面没有摩擦力，可能发生，故B正确。
C．P与Q之间以及Q与地面之间均光滑，Q静止，P沿斜面向上匀速运动，可能发生，故C正确。
D．P与Q之间以及Q与地面之间均光滑，Q静止，P沿斜面向上匀加速运动，整体法分析两个力F抵消水
平方向合外力为零，而P沿斜面向上匀加速运动，整体的合外力为 ，违反牛顿第二定律，不可能
发生，故D错误。
故选ABC。
14．无风时雨滴在空气中竖直下落，下落过程中雨滴的速度越来越大，受到的空气阻力也越来越大，当阻
力增加到跟雨滴的重力平衡时，雨滴匀速下落。雨滴匀速下落时受到的阻力大小 ，其中 为比例
系数， 为雨滴的横截面积（过球心）， 为雨滴下落的速度大小。已知水的密度 ，球的
体积公式 ，其中 为球的半径，取重力加速度大小 。从有关文献了解到当雨滴的半径
为 时，雨滴匀速下落的速度大小为 ，将雨滴视为球体，计算结果均保留两位有效数字，求：
（1） ；
（2）半径为 的雨滴匀速下落的速度大小。14【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）根据平衡条件，对雨滴有
由数学知识可知
体积
解得
（2）由
得
半径为2mm的雨滴匀速下落的速度大小
解得
15．2022年国庆假期，张华同学去外婆家度假，她正拖着行李箱去检票。张华拉行李箱可以简化为如图乙
所示的模型：质量为 的木箱置于水平地面上，受到一个与水平方向成 角斜向上的拉力F，它与
地面间的动摩擦因数 ，取 ，为使木箱做匀速直线运动，求拉力F的最小值以及此时 的
大小。15【答案】 ，
【详解】对木箱受力分析，木箱受重力mg、拉力F、地面的支持力N和滑动摩擦力f作用，木箱做匀速直
线运动，f与N的合力为 ，当F的方向与 的方向垂直时，F最小，如图所示
设 与竖直方向的夹角为 ，则
此时
