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专题强化十八 动态圆、磁聚焦和磁发散
【复习目标】
1.进一步理解带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题。 2.会用“平移圆”“旋转圆”“放缩
圆”找出对应的临界状态或极值的轨迹。 3.理解“磁聚焦”和“磁发散”模型。
考点一 “平移圆”模型
【知识梳理】
适用条件
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的
同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相
同，若入射速度大小为v0，则半径r＝m v0
qB ，如图所示
轨迹圆圆心共
线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线
与入射点的连线平行
界定方法
将半径为r＝m v0
qB 的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这
种方法叫“平移圆”法
【典例剖析】
例1 (多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B 的匀强磁场，磁场方向分
别垂直于纸面向外和向里，AD、AC 边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC 与边界MN 平行，Ⅱ区域
宽度为d。质量为m、电荷量为＋q 的粒子可在边界AD 上的不同点射入，入射速度垂直AD 且垂
直磁场，若入射速度大小为qBd
m ，不计粒子重力，则( )
A.粒子在磁场中运动的半径为d
2
B.粒子在距A 点0.5d 处射入，不会进入Ⅱ区域
1
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C.粒子在距A 点1.5d 处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为π m
qB
D.能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为π m
3qB
答案 CD
解析 带电粒子在磁场中的运动半径r＝mv
qB ＝d，选项A 错误;设从某处E 进入磁场的粒子，其轨
迹恰好与AC 相切(如图所示)，则E 点与A 点的距离为AO－EO＝2d－d＝d，粒子在距A 点0.5d 处
射入，会进入Ⅱ区域，选项B 错误;粒子在距A 点1.5d 处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨
迹为半圆，运动的时间为t＝T
2 ＝π m
qB ，选项C 正确;进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短时的运动时间
最短，且最短弦长为d，与半径相同，故对应圆心角为60°，最短时间为tmin＝T
6 ＝π m
3qB，选项D
正确。
考点二 “旋转圆”模型
【知识梳理】
适用
条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，
它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则
圆周运动轨迹半径为r＝m v0
qB ，如图所示
轨迹
圆圆
心共圆
2
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如图，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆
心、半径r＝mv0
qB 的圆上
界定
方法
将一半径为r＝mv0
qB 的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条
件，这种方法称为“旋转圆”
【典例剖析】
例2 (多选)(2025·河北邯郸模拟)如图所示，在x 轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面
向里的匀强磁场。x 轴上放置一无限长挡板，挡板上M、N 两点的坐标分别为(−l
2 ，0)和(
l
2 ，0)，
坐标为(0，√3l
2 )的P 点存在一粒子源，可以在xOy 平面内向各个方向均匀发射速率为v、比荷为
q
m的正电粒子，不计粒子重力及粒子间相互作用，下列说法正确的是( )
A.带电粒子在磁场中顺时针运动
B.若v＝√3qBl
2m ，则打在挡板上的粒子数占总数的1
2
C.若v＝√3qBl
2m ，则挡板上有粒子打到的线段长度为(3＋√3)l
2
D.若v＝qBl
2m ，将挡板撤去，则MN 之间各处均有粒子通过
答案 BC
解析 根据左手定则，带电粒子在磁场中逆时针运动，故A 错误;根据半径公式r＝mv
qB ，其中v＝
√3qBl
2m ，代入解得r＝√3l
2 ，如图甲所示，打在挡板上的粒子的两个临界为轨迹圆①和②，对应的
速度角度范围为180°，则打在挡板上的粒子数占总数的1
2，故B 正确;打在挡板上的长度为两个临
界圆②和③，对应的长度分别为l1＝√3l
2 ，l2＝√(2r )
2−r
2＝3l
2 ，挡板上有粒子打到的线段长度为
3
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Δl＝l1＋l2＝(3＋√3)l
2
，故C 正确;由于v＝qBl
2m ，可知粒子的轨迹半径为r'＝l
2，打在MN 的临界如
图乙中④和⑤，QN 段无粒子通过，故D 错误。
考点三 “放缩圆”模型
【知识梳理】
适用
条件
粒子源发射初速度方向一定，大小不同的粒子，在磁场中做匀速圆周运
动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆
圆心
共线
带正电粒子速度v 越大，运动半径也越大。运动轨迹的圆心在垂直初速
度方向的直线PP'上
界定
方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而
探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
【典例剖析】
例3 (多选)(2025·四川雅安模拟)如图所示，矩形边界ABCD 内存在磁感应强度为B 的匀强磁场，
方向垂直纸面向里，AB、CD 边足够长，AD 边长为L。现有质量为m、电荷量为q 的不同速率的
带正电粒子，从AD 的中点E 射入磁场且速度方向与AD 成30°角，不计粒子重力及粒子间的相互
作用，下列说法正确的是( )
A.粒子在磁场中运动的最长时间为2π m
3qB
B.从AB 边射出粒子的最小速度为3qBL
4 m
4
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C.从CD 边射出粒子的最小速度为qBL
m
D.AB 边上有粒子射出的区域长度为(
√3
3 ＋1)L
答案 CD
解析 当粒子从AD 边离开时，粒子在磁场中运动的时间最长，如图甲所示，由图可知粒子在磁
场中运动的最长时间为tmax＝300°
360°T＝5
6×2π m
qB ＝5 π m
3qB ，故A 错误;当粒子刚好与AB 边相切时，从
AB 边射出粒子的速度最小，如图乙所示，根据几何关系可得r1＋r1sin 30°＝L
2 ，得r1＝L
3 ，由洛伦
兹力提供向心力得qv1B＝mv1
2
r1
，联立解得v1＝qBL
3m ，故B 错误;当粒子刚好与CD 边相切时，从
CD 边射出粒子的速度最小，如图丙所示，根据几何关系可得r2＝L，由洛伦兹力提供向心力得
qv2B＝mv2
2
r2
，联立解得v2＝qBL
m ，故C 正确;由B、C 选项图中几何关系可得AB 边上有粒子射出的
区域长度为Δx＝r2＋r2cos 30°－r1cos 30°＝(1＋√3
3 )L，故D 正确。
考点四 “磁聚焦”与“磁发散”模型
【知识梳理】
磁发散
磁聚焦
带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上
同一点射入，如果轨迹半径与磁场半
径相等，则粒子出射方向与入射点的
切线方向平行
带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如
果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁
场边界上同一点射出，该点切线方向与入
射方向平行
5
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【典例剖析】
例4 (多选)(2025·安徽六安模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy 内，以坐标原点O 为圆心、半
径为R 的圆形区域内存在垂直于坐标平面的匀强磁场(图中未画出)，磁场区域外右侧有宽度为R
的粒子源，M、N 为粒子源两端点，M、N 连线垂直于x 轴，粒子源中点P 位于x 轴上，粒子源持
续沿x 轴负方向发射质量为m、电荷量为q(q>0)、速率为v 的粒子。已知从粒子源中点P 发出的
粒子，经过磁场区域后，恰能从圆与y 轴负半轴的交点Q 处沿y 轴负方向射出磁场，不计粒子重
力及粒子间相互作用力，则( )
A.带电粒子在磁场中运动的半径为R
B.匀强磁场的磁感应强度大小为2mv
qR
C.在磁场中运动的带电粒子通过的路程最长为2π R
3
D.带电粒子在磁场中运动的最短时间为π R
2v
答案 AC
解析 从粒子源中点P 发出的粒子，在磁场中的运动轨迹如图甲所示，由几何知识可知带电粒子
在磁场中运动的半径为R，A 正确;根据牛顿第二定律有qvB＝mv
2
R ，解得B＝mv
qR ，B 错误;从M 点
发出的粒子在磁场中的轨迹，如图乙所示，此时轨迹最长，路程最长，由几何知识可知四边形
O1DOQ 为菱形，则∠QO1D＝120°，则在磁场中运动的带电粒子通过的路程最长为l＝120°
360°×2πR
＝2π R
3
，C 正确;从N 点发出的粒子在磁场中的轨迹如图丙所示，此时轨迹对应的圆心角最小，运
动时间最短，四边形OBO2Q 为菱形，则∠QO2B＝60°，可知此时粒子经过磁场区域最短时间为t
＝60°
360°×2π R
v
＝π R
3 v ，D 错误。
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【即时训练】
(多选)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制
备上，使芯片技术得到飞速发展。如图，宽度为r0的带正电粒子流水平向右射入半径为r0的圆形
匀强磁场区域，磁感应强度大小为B0，这些带电粒子都将从磁场圆上O 点进入正方形区域，正方
形过O 点的一边与半径为r0的磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，
使汇聚到O 点的粒子经过该磁场区域后宽度变为2r0，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的
相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是( )
A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为2B0，方向垂直纸面向里
B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为1
2B0，方向垂直纸面向里
C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为2(π－2)r0
2
D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为π −2
2
r0
2
答案 BC
解析 根据磁聚焦原理，粒子在半径为r0的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为r0，有
qvB0＝mv
2
r0
，解得B0＝mv
qr0，要使汇聚到O 点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为2r0，
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且粒子仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关系可知粒子在正方形区域磁场中的轨迹
半径为2r0，正方形中磁场区域应该为圆形磁场的一部分，有qvB1＝m v
2
2r0
，解得B1＝mv
2qr0
＝1
2
B0，由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A 错误，B 正确;如图所示，磁场区域的最小面积为阴
影部分面积Smin＝2(π－2)r0
2，C 正确，D 错误。
【限时训练】（40min）
1.如图所示，在x 轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为
B。在原点O 有一个离子源向x 轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q 的正离子，速率
都为v。对那些在xOy 平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x 轴及y 轴最远距离分别
为( )
A.2mv
qB 2mv
qB
B.mv
qB 2mv
qB
C.2mv
qB mv
qB
D.mv
qB mv
qB
答案 A
解析 若让沿x 轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O 点缓慢转动(如图所示)，不难得出离y 轴最远距
离为|x|＝2r＝2mv
qB ，离x 轴最远距离为y＝2r＝2mv
qB ，所以A 项正确。
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2.(2025·湖南长沙模拟)如图所示，在xOy 平面内存在着垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度B
＝2×102 T，在y 轴正半轴距离原点5 cm 处有一粒子放射源A，可向任意方向发射速度大小为
1×10－3 m/s 的带正电粒子，带电粒子的比荷为1×10－4 C/kg，在x 轴上x≥－5 cm 范围存在一个下表
面涂有感光物质的挡板，粒子打在其上会感光，则在挡板下表面出现光斑的范围是( )
A.－5 cm≤x≤0
B.－5 cm≤x≤5 cm
C.0≤x≤5 cm
D.－5 cm≤x≤5√3 cm
答案 B
解析 粒子带正电，由左手定则可知，粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动，由qvB＝mv
2
r ，可
得r＝mv
qB ＝5 cm，粒子运动的两种临界情况如图所示。当粒子沿轨迹①运动时，打到最左端，位
置坐标为(－5 cm，0)，当粒子沿轨迹②运动时，打到最右端，由几何知识可知，最右端位置坐标
为(5 cm，0)，故B 正确。
3.如图，空间存在垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场(未画出)，线状粒子源OM 与
屏ON 垂直，ON＝2OM＝2L，粒子源能发射质量为m、电荷量为＋q、速度大小为v、方向与磁场
垂直且与OM 夹角θ＝45°的粒子，已知v＝√2qBL
2m
，不计粒子重力，则屏ON 上有粒子打到的区
域长度为( )
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A.L
B.(√2−1)L
C.2−√2
2
L
D.√2−1
2
L
答案 D
解析 如图，粒子源发出的粒子做圆周运动的圆心都位于O1O2连线上，M 点及O 点发出的粒子恰
好可打到O 点，OM 之间的粒子均可打到屏上，其中自OM 中点发出的粒子圆心位于NO 延长线
上，该粒子打在屏上的位置距离O 点最远，根据洛伦兹力提供向心力qvB＝mv
2
r ，可得r＝√2 L
2 ，
根据几何关系可得光屏上有粒子打到的区域长度为x＝r(1－sin 45°)＝√2−1
2
L，故D 正确。
4.(多选)(2025·湖北武汉高三调研)半径为R 的半圆形区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场(含边
界)，磁感应强度大小为B，P 是直径上一点，且PO＝R
2 ，如图所示。质量为m、电荷量为－
q(q>0)的带电粒子从P 点垂直射入磁场，已知粒子的速度大小可调、方向始终与直径成θ＝30°角，
若从直径边界射出的粒子在磁场中的运动时间为t1，从圆弧边界射出的粒子在磁场中的运动时间
为t2。则( )
A.t1＝4 π m
3qB
B.t1＝5 π m
3qB
C.0<t2<2π m
3qB
D.0<t2<5 π m
6qB
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答案 BC
解析 从直径边界射出的粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示，根据qvB＝mv
2
r ，又T＝2π r
v ，联
立解得T＝2π m
qB ，由几何关系可知，轨迹对应的圆心角为2π－2θ＝5
3π，则粒子的运动时间为t1＝
5
3 π
2π
T＝5 π m
3qB ，故A 错误，B 正确;粒子恰好不从圆弧边界射出的粒子运动轨迹如图乙所示，由几
何关系可知α＝π－2θ＝2
3π，在磁场中的运动时间为t＝
2
3 π
2π
T＝2π m
3qB ，从圆弧边界射出的粒子在磁
场中的运动时间为0<t2<2π m
3qB ，故C 正确，D 错误。
5.(多选)(2025·湖南娄底高三联考)如图所示，坐标原点O 有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内
发射大量质量为m、电荷量为q 的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等。圆心在(0，R)，半
径为R 的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场右侧有一点A
(2 R，3
2 R)，已知初速度沿y 轴正向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿x 轴的正方向，则(
)
A.初速度方向与x 轴正方向夹角为120°的粒子经过A 点
B.初速度方向与x 轴正方向夹角为135°的粒子经过A 点
C.经过A 点的粒子在磁场中运动时间为2π m
3qB
D.经过A 点的粒子在磁场中运动时间为3 π m
4 qB
答案 AC
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解析 初速度沿y 轴正向的粒子经过磁场后，粒子的速度方向沿x 轴的正方向，则粒子的轨道半
径r＝R，由qvB＝mv
2
r ，可得粒子轨道半径都为R;结合题意和几何关系可知，坐标平面一、二象
限射入的粒子从磁场射出时，速度一定沿x 轴正方向，经过A 点的粒子在磁场中运动的轨迹如图
所示，根据几何关系有R＋Rsin(α－90°)＝3
2R，解得α＝120°，故A 正确，B 错误;该粒子在磁场中
的运动时间为t＝120°
360°×2π m
qB ＝2π m
3qB ，故C 正确，D 错误。
6.如图所示，在直角坐标系xOy 第一象限内x 轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里
的匀强磁场，在y 轴上S 处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量均为
m，电荷量均为q 的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S 最远的位置是x 轴上的P 点。已知粒
子带负电，OP＝√3OS＝√3d，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则( )
A.粒子的速度大小为qBd
2m
B.从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为π m
qB
C.从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9∶2
D.沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O 点的距离为d
2
答案 C
解析 由题意可知，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子射出磁场时离S 最远的位置是x 轴
上的P 点，可以画出其轨迹1，如图所示，可知SP 为直径，由几何关系则有(2R)2＝d2＋(√3d)2，
得R＝d，由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝mv
2
R 得v＝qBd
m ，故A 错误;粒子的运动周期T＝
2π R
v
＝2π m
qB ，从O 点射出的粒子如轨迹3，由几何知识可得轨迹3 所对应的圆心角为60°，在磁
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场中的运动时间t＝T
6 ＝π m
3qB，故B 错误;从x 轴上射出磁场的粒子中，运动时间最长的粒子为运
动轨迹与x 轴相切的粒子(轨迹2)，对应的圆心角为270°，得t1＝3
4 T，运动时间最短的粒子为从原
点飞出的粒子(轨迹3)，此时对应的圆心角为60°，得到t2＝1
6T，所以t1∶t2＝9∶2，故C 正确;沿
平行x 轴正方向射入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为四分之一圆，离开磁场时的位置到O 点
的距离为d，故D 错误。
7.如图所示，在半径为R 的圆形区域内存在垂直于纸面向外、磁感应强度为B 的匀强磁场，其右
侧有一方向竖直向下、电场强度为E 的匀强电场，电场左边界与圆形磁场右边界相切。足够长的
水平荧光屏PQ 与磁场相切于P 点。粒子源可以持续地从P 点沿纸面向磁场内发射速率为v、方向
不同的带正电同种粒子。已知初速度竖直向上的粒子经磁场偏转后沿水平方向离开磁场。电场强
度E＝Bv，不计粒子重力及粒子间相互作用，求入射方向与荧光屏成60°~120°区间的粒子打到荧
光屏上形成的亮线长度。
答案 (√3－1)R
解析 粒子在磁场中运动的半径为r＝R，可得粒子的比荷q
m ＝v
BR
入射方向与荧光屏成60°和120°的粒子在磁场与电场中的运动轨迹如图所示，由几何关系可知，
粒子进入电场时与荧光屏的距离为h1＝0.5R，h2＝1.5R，粒子在电场中的运动满足x＝vt，h＝1
2·
qE
m t2
联立解得x1＝R，x2＝√3R
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所以亮线长度d＝(√3－1)R。
8.如图所示，O'PQ 是关于y 轴对称的四分之一圆，在PQNM 区域有均匀辐向电场，PQ 与MN 间
的电压为U。一初速度为零的带正电的粒子从PQ 上的任一位置经电场加速后都会从O'进入半径
为R、中心位于坐标原点O 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy 平面向外，磁感应强度大小
为B，粒子经磁场偏转后都能平行于x 轴射出。
(1)求带电粒子的比荷q
m;
(2)求沿y 轴正方向加速的带电粒子在磁场中运动的时间;
(3)求带电粒子离开磁场时的纵坐标范围。
答案 (1) 2U
B
2 R
2 (2)π B R
2
4U (3)－√2
2 R~√2
2 R
解析 (1)由动能定理可知qU＝1
2mv2
由已知条件结合几何关系可知，带电粒子在磁场中运动的半径R0＝R
洛伦兹力提供向心力qvB＝m v
2
R0
，得q
m ＝2U
B
2 R
2。
(2)沿y 轴正方向入射的带电粒子，设其在磁场中做圆周运动的圆心角为θ，由几何关系θ＝90°，
所以t＝θ
2π T＝1
4T，且T＝2π R
v
，解得t＝π B R
2
4U 。
(3)如图，沿QN 方向入射的带电粒子，离开磁场的出射点a 在y 轴上的投影与O'的距离为Δy＝R
＋√2
2 R，故a 点的纵坐标ya＝√2
2 R
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同理可得，沿PM 方向入射的带电粒子离开磁场的出射点b 的纵坐标yb＝－√2
2 R
带电粒子离开磁场时的纵坐标范围－√2
2 R~√2
2 R。
15
