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高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练
专题20 磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型
特训目标
特训内容
目标1
旋转圆模型（1T—4T）
目标2
放缩圆模型（5T—8T）
目标3
平移圆模型（9T—12T）
目标4
磁聚焦模型（13T—16T）
【特训典例】
一、旋转圆模型
1．如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中有一粒子源，粒子源从O 点在纸面
内同时向各个方向均匀地发射带正电的粒子，其速率为v、质量为m、电荷量为q。
是在纸面内垂直磁
场放置的厚度不计的挡板，挡板的P 端与O 点的连线与挡板垂直，距离为
。设打在挡板上的粒子全部
被吸收，磁场区域足够大，不计带电粒子间的相互作用及重力，
，
。则（ ）
A．若挡板长度为
，则打在板上的粒子数最多
B．若挡板足够长，则打在板上的粒子在磁场中运动的最短时间为
C．若挡板足够长，则打在板上的粒子在磁场中运动的最长时间为
D．若挡板足够长，则打在挡板上的粒子占所有粒子的
【答案】D
【详解】A．设带电粒子的质量为m，带电量为q，粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供做圆周运动的向心力。
设粒子做圆周运动的半径为r。则有
解得
能打到挡板上的最远的粒子如图；
1
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由几何关系可知，挡板长度
选项A 错误；
BC．由以上分析知，当粒子恰好从左侧打在P 点时，时间最短，如图轨迹1 所示，由几何关系得粒子转过
的圆心角为θ1=106°；对应的时间为
当粒子从右侧恰好打在P 点时，时间最
长，如图轨迹2 所示，由几何关系得粒子转过的圆心角为θ2=254°对应的时间为
选项BC 错误；
D．如图所示，能打到屏上的粒子，在发射角在与x 轴成37°到127°范围内90°角的范围内的粒子，则打在
挡板上的粒子占所有粒子的
，选项D 正确。故选D。
2．如图所示，在等腰直角三角形abc 区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度为B 的匀强磁场，O 为ab 边
的中点，在O 处有一粒子源沿纸面内不同方向、以相同的速率
不断向磁场中释放相同的带正电的
粒子，已知粒子的质量为m，电荷量为q，直角边ab 长为
，不计重力和粒子间的相互作用力．则
2
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A．粒子能从bc 边射出的区域长度为
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．若粒子从bc 边射出，则入射方向与Ob 的夹角一定小于
D．从ac 边射出的粒子中，沿Oa 方向射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最短
【答案】AB
【分析】粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，作出粒子运动轨迹，求出粒子轨道半径与粒子
转过的圆心角，然根据粒子做圆周运动的周期公式求出粒子的运动时间．
【详解】ABC．粒子运动轨迹如图所示：
粒子在bc 边可以从b 点射出，最高点在P 点．根据
可得粒子做圆周运动的半径
， ab 边长为
，根据几何知识可得，粒子恰好与ac 边相切时，恰好从P 点射出，
，P 为bc 中点，
，
粒子运动的最长时间
，且粒子与Ob 方向的夹角可以大于
，故AB 正确，C 错
误；
D．若粒子从ac 边射出，则粒子在磁场中运动的时间最短时，弧长所对应的弦长最短，如上图，粒子从aQ
3
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的中点E 射出时弦最短为L，故D 错误．所以AB 正确，CD 错误．
3．如图所示，边界OM 和平面ON 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。边界ON
上点S 处有一个粒子源，可在纸面内向各个方向射出质量为m，电荷量为q 的带正电粒子（不计粒子间的
重力和粒子间的相互作用）。已知∠MON=30°，SO 之间的间距为d，粒子速率均为
，则
（ ）
A．粒子如果从边界OM 射出，在磁场中运动的最短时间为
B．粒子如果从边界OM 射出，在磁场中运动的最短时间为
C．粒子如果从边界OM 射出，打在边界OM 上的点距S 的最远距离为
D．粒子如果从S 点垂直于边界OM 射入磁场，则一定从边界ON 射出
【答案】AD
【详解】AB．粒子在磁场中的运动半径为
过S 点做OM 的垂线为最短弦，最短弦为
，由
几何关系可知，粒子在磁场中转过的角度为90°，则对应的最短时间为
所以A 正确，B 错误；
C．沿着水平向右射出的粒子，打在边界OM 上的点距S 的距离最远，但不是一个半圆，即最远距离不是
，选项C 错误；
4
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D．由几何关系知，圆周运动的半径
小于S 点到OM 的最短距离
，则粒子如果从S 点垂直于边
界OM 射入磁场，则一定从边界ON 射出，所以D 项正确。故选AD。
4．如图所示，MN 是一荧光屏，当带电粒子打到荧光屏上时，荧光屏能够发光。MN 的上方有磁感应强度
为B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。P 为屏上一小孔，PQ 与MN 垂直。一群质量为m、带电荷量q
的粒子（不计重力），以相同的速率v，从P 处沿垂直于磁场方向且分布在PA 与PC 所包围的90°范围内射
入磁场区域，已知PA 与PQ 夹角
满足
，不计粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．粒子打到荧光屏上时，距P 点的最远距离为
B．在荧光屏上将出现一条形亮线，其长度可能为
C．在荧光屏上将出现一条形亮线，其长度可能为
D．在荧光屏上将出现一条形亮线，其长度可能为
【答案】AD
【详解】A．由于所有粒子的质量和电荷量都相同，且速度相同，所以根据公式
可知，所有粒子
轨道半径为
当粒子沿
方向射入时，在磁场中的轨迹为半圆，因此打在屏上的位置距离
点为圆
的直径，此时距P 点的距离最大，最大距离为
故A 正确；
BCD．根据题意可知，正粒子沿着右侧边界射入，轨迹如图所示
5
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此时出射点最近，由几何关系有
正粒子沿着左侧边界射入，轨迹如图所示
此时出射点最近，由几何关系有
由于PA 与PQ 夹角
满足
则当
时，有
则在荧光屏上将出现一条形亮线，其长度为
当
时，有
则在荧光屏上将出现一条形亮线，其长度为
由于
不能取
和
，
则
和
不能等于1，则长度不可能为
，故BC 错误，D 正确。故选AD。
二、放缩圆模型
5．一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc
足够长，
，其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，在纸面内
从a 点垂直于ab 射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，以下说法正确
的是（ ）
6
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A．从ab 边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
B．从a 点入射的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长
C．粒子在磁场中的最长运动时间不大于
D．粒子在磁场中的最长运动时间不大于
【答案】AD
【详解】ABC．画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如下图所示
当粒子都从ab 边射出，则运动轨迹都是半圆周，运动时间都相等，为
，当粒子都从bc 边射出，则速
度越大，轨道半径越大，对应的圆心角越大，运动时间越长，运动时间大于
，故A 正确，BC 错误；
D．当粒子的速度足够大，半径足够大时，l 远小于r，这时圆心角大小趋近于270°，因此粒子在磁场中最
长运动时间小于
，故D 正确。故选AD。
6．如图所示，磁感应强度大小为B 的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中
段是
半径为R 的四分之一圆弧，
，
的延长线通过圆弧的圆心，
长为R。一束质量为m、电荷量为q 的
带正电粒子，在纸面内以不同的速率从O 点垂直
射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中
M、N 是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用和重力。下列说法正确的是（ ）
7
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A．所有粒子在磁场中运动的速度最小值为
B．所有粒子在磁场中运动的最短时间为
C．从M 点射出粒子的速率一定小于从N 点射出粒子的速率
D．从M 点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N 点射出粒子运动时间
【答案】BC
【详解】A．由于所有粒子均从圆弧边界射出，粒子在磁场中运动的轨迹为劣弧，则弦越短，速度越小，
可知，恰好从b 点飞出的粒子速度最小，根据几何关系有
粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供
向心力，则有
解得
故A 错误；
B．粒子做圆周运动的周期
，
解得
令圆心角为
，则粒子在磁场中运动时间为
在圆弧上任意取一点P，将该点与O 连接，如图所示
根据几何关系有
可知，
越大，粒子圆周运动轨迹对应圆心角
越小，当
与圆弧相切时，
8
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最大，对应圆心角
最小，时间最短，根据几何关系可知
解得
则有
结合上述有
故B 正确；
C．根据上述解得，圆周运动的半径
速度越大，粒子在磁场中圆周运动的轨迹跨度越大，飞出点越
沿磁场圆弧边界上移，可知，从M 点射出粒子的速率一定小于从N 点射出粒子的速率，故C 正确；
D．根据上述可知，粒子从P 点飞出时间最短，可知，子飞出磁场位置沿磁场圆弧边界向上移动过程，粒
子运动的时间先减小后增大，由于M 点与N 点位置关系不确定，可知，从M 点射出粒子在磁场中运动时
间与从N 点射出粒子运动时间关系也不确定，故D 错误。故选BC。
7．如图所示，空间存在方向垂直于纸面向里的磁感应强度为B 的匀强磁场，abcd 为磁场的边界，其中bc
段是半径为R 的四分之一圆弧，ab、cd 的延长线通过圆弧的圆心，Mb 长也为
。在M 点有一粒子源能在
纸面内以不同的速率垂直于ab 发射质量为m、电荷量为
的粒子，已知所有粒子均从圆弧边界bc 射
出，不计粒子间的相互作用和重力。则（ ）
A．从c 点射出的粒子在磁场中运动的时间一定大于从b 点射出的粒子在磁场中运动的时间
B．从M 点射出的粒子速率一定不大于
C．粒子在磁场中运动的最短时间为
D．粒子在磁场中运动的最短时间为
【答案】BD
9
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【详解】A．如图所示
画出三条弦长分别与圆弧bc 相较于c、e、f，根据圆心角等于弦切角的二倍，带电粒子在磁场中运动的时
间为
；
其中
是圆心角。可知从c 点射出的粒子在磁场中运动的时间
一定小于从b 点射出的粒子在磁场中运动的时间，A 错误；
B．粒子运动轨迹与bc 弧交点越靠近c 点，则运动的轨道半径越大，所以运动到c 点时半径最大，对应的
速度也最大，如图所示
根据几何关系可知
，
，设运动轨迹对应的半径为，则有
解得
带电粒子在磁场中运动洛伦兹力提供向心力
解得
所以从M 点射出的粒子速率一定不
大于
，B 正确；
CD．弦切角越小，圆心角就越小，当弦与bc 弧相切时，圆心角最小，此时运动轨迹对应的圆心恰好是b 点，
如图所示
10
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根据几何关系可求得此时对应的圆心角为
，带电粒子在磁场中运动的最短时间为
；
，C 错误，D 正确。故选BD。
8．如图所示，ABCD 是磁感应强度为B 的匀强磁场的边界AB=2a、BC=a，磁场方向垂直纸面向里．一细束
质量为m、电荷量为+q 的粒子以大小不同的速度在纸面内从E 点垂直AB 边界射入磁场，BE=a/2，不计粒
子的重力和粒子之间的相互作用，关于粒子在磁场中运动的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．在磁场中的运动时间相同的粒子入射速度相同
B．到达D 点的粒子入射速度大小v=
C．落在AD 边的粒子在磁场中运动的最短时间为
D．粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】CD
【分析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，分析清楚粒子运动过程，根据粒子做圆周
运动的周期公式与粒子转过圆心角、应用牛顿第二定律分析答题．
【详解】粒子在磁场中做圆周运动的周期：
与粒子的速度无关，从AB 边离开磁场的粒子在磁场
中的运动时间：t=
T 都相等，从AB 边的不同位置离开磁场的粒子运动轨迹不同，粒子轨道半径r 不同，
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粒子速度
不同，故A 错误；当粒子速度较小时，粒子从AB 边离开磁场，粒子运动轨迹与CD 相切
时从AD 边的最高点离开磁场，粒子速度再增大，粒子将从CD 边离开磁场，粒子不可能从D 点离开磁场，
故B 错误；粒子运动轨迹与CD 相切时粒子从AD 边离开，此时粒子的运动时间是从AD 边离开磁场的粒子
中运动时间最短的，粒子运动轨迹如图所示：
由几何知识得，粒子运动轨迹：r=a，
，粒子在
磁场中转过的圆心角：α=180°﹣θ=120°，粒子在磁场中的运动时间：
，故C 正确；粒子从
AB 边离开磁场时在磁场中的运动时间最长，为：
，故D 正确．所以CD 正确，AB 错误．
三、平移圆模型
9．如图所示，有一等腰直角三角形AOC，直角边长为3d，AOC 区域范围内（包含边界）存在磁感应强度
为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，质量为m、电荷量为+q 的粒子可在直角边AO 上的不同位置垂直
边界、垂直磁场射入，入射速度大小为
，D、E 是AO 边界上的两点（图中未画出），AD=EO=0.5d，
不计粒子重力，则（ ）
A．粒子在磁场做圆周运动的半径为2d
B．粒子距A 点
处射入，恰好不从AC 边界出射
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C．从D 点射入的粒子，在磁场中运动的时间为
D．从E 点射入的粒子，在磁场中运动的时间为
【答案】D
【详解】A．由洛伦兹力提供向心力，可得
解得
故A 错误；
B．粒子刚好不出磁场区域的运动轨迹如图所示
恰好与AC 相切，根据几何关系可得，此时入射点到A 的距离为
即入射点到A 点距离大于
的粒子都不能出磁场，故B 错误；
CD．从D 点射入的粒子，运动轨迹为半圆，如图
则时间为
在E 点入射的粒子运动轨迹如上图，由几何关系可知
则圆心角为
，在磁场中运动的时间为
故C 错误，D 正确。故选D。
10．如图所示，正方形
的边长为
，圆心在
，半径也为
的
圆形区域
内有垂直于圆面向
里、磁感应强度大小为
的匀强磁场，
是
边的中点。一群质量为
、电荷量为
的带正电粒子（不
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计重力），以相同的速度
沿既垂直于
也垂直于磁场的方向从
边射入磁场，下列说法正确的
是（ ）
A．没有粒子到达
点
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．从
、
之间射入的粒子皆可到达
边
D．所有粒子将从磁场边界上同一点射出磁场
【答案】B
【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力有
解得
若粒子在磁场中恰好经过弧
QN 的中点K，如图：
则根据几何关系可知粒子的出射速度与水平方向成45°角，之后匀速直线运动正好到达P 点，选项A 错误；
B．经分析知从M 点入射的粒子在磁场中运动的时间最长，如图：
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由几何关系可知粒子的偏转角为60°，则偏转时间
选项B 正确；
C．画出粒子从
点射入的轨迹如图：
可见粒子从磁场中射出的点在K 的下方，粒子不会打在PN 边上，所以从
、
之间射入的粒子不能全部
到达
边，选项C 错误；
D．由以上分析可知粒子将从磁场边界上不同的点射出磁场，选项D 错误。故选B。
11．如图所示，在直角三角形
内存在垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），
边长度为
，现垂直
边射入一群质量均为
、电荷量均为
、速度大小均为的带正电粒子，已知垂直
边射出的粒子在磁场中运动的时间为
，运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为
，则（ ）
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A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为
D．粒子进入磁场时速度大小为
【答案】BCD
【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间是
T，即
则得周期T=4t0故A 错误；
B．由
得
故B 正确；
C．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有
得
画出该粒子的
运动轨迹如图
设轨道半径为R，由几何知识得
可得
故C 正确；
D．根据
解得
故D 正确。故选BCD。
16
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12．如图所示，直角三角形
区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，
边长为
L，
．带正电的粒子流（其重力忽略不计）以相同速度在
范围内垂直
边射入（不计粒子间
的相互作用力），从D 点射入的粒子恰好不能从
边射出．已知从
边垂直射出的粒子在磁场中运动
的时间为
，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为
，则（ ）
A．粒子的比荷为
B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子流在磁场中扫过的面积为
【答案】CD
【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直BC 边射出运动的时间为
又有
解得粒子的比荷为
故A 错误；
B．设运动时间最长的粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角为
，根据题意有
解得
粒子运动轨迹如图所示
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设粒子轨迹半径为R，根据几何关系
解得
故B 错误；
C．粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力
；
故C 正确；
D．从D 点射入的粒子恰好不从AB 边界射出，由几何知识可得粒子在磁场中扫过的面积为
故D 正确。故选CD。
四、磁聚焦模型
13．如图，坐标原点O 有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m，电荷量为q 的正粒子
（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在（0，R）半径为R 的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外
的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场右侧有一长度为R 且平行于y 轴的荧光屏，其中心O1位于（2R，
R）。已知初速度沿y 轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则下列说法正确的是（ ）
A．所有粒子的初速度大小为
B．从O 点发射的所有粒子都能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x 轴夹角满足
【答案】AD
18
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【详解】A．由题意，初速度沿
轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有
；
解得
，A 正确；
B．由于所有粒子的速度大小相等，但方向不同，且离开磁场区域的出射点距离圆心的竖直高度最大值为
，并不会垂直打在光屛上，B 错误；
C．如图，由几何关系可得，运动时间最长的粒子，对应轨迹的圆心角为
根据周期公式
可得
，C 错误；
D．粒子初速度方向与
轴夹角为
时，若能打在光屛下端，如图
由几何关系可得圆心角
即初速度与
轴夹角为
同理，粒子打在光屛上端时（图同B），初速
度与
轴夹角为
，D 正确。故选AD。
14．如图所示，在
平面内有一个半径为
、圆心位于坐标原点
的圆形磁场区域，磁感应强度大小为
，在圆形磁场区域的左边有一个宽度也为
且关于
轴对称的粒子源，它能连续不断地沿
轴正方向发
19
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射速度相同的带正电粒子，已知粒子的质量均为
、电荷量均为
，不计粒子重力和粒子间的相互作用。
若粒子均能够从
轴上的
点离开磁场区域，则下列说法正确的是（ ）
A．磁场方向垂直
平面向外
B．粒子的速度大小为
C．粒子在磁场中运动的最大时间差为
D．粒子从
点离开磁场时与
轴正方向的夹角的范围为
【答案】BC
【详解】A．由于粒子均向上偏转，根据左手定则可知，磁场方向垂直于
平面向里，A 错误；
B．由于粒子均能从
点离开磁场，由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径也为
，根据
解得
，B 正确；
C．在场中运动时间最长的粒子与运动时间最短的粒子的运动轨迹如图所示
则粒子在磁场中运动的最长时间为
粒子在磁场中运动的最短时间为
所以最大时间
差为
，C 正确；
20
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D．由几何关系可知，粒子离开磁场时与
轴正方向的夹角的范围应为
，D 错误。故选BC。
15．在真空中，半径为R 的圆形区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，一束质子在纸
面内以相同的速度射向磁场区域，质子的电量为e，质量为m，速度为
，则以下说法正确的是（
）
A．对着圆心入射的质子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心
B．沿a 点比沿b 点进入磁场的质子在磁场中运动时间长
C．所有质子都在磁场边缘同一点射出磁场
D．若质子以相等的速率
从同一点沿各个方向射入磁场，则他们离开磁场的出射方向可能垂直
【答案】BC
【详解】A．根据对称性，对着圆心入射的质子，其出射方向的反向延长线一定过圆心，A 错误；
BC．由题可知，粒子在磁场的运动的轨道半径
设从a 点入射的粒子，在磁场中运动的圆心为O1，如
图所示，由几何关系可知四边形
为菱形，由于入射方向沿水平方向，则半径
一定沿竖直，可推
知OM 一定沿竖直方向，即出射点一定在O 点的正下方的M 点，同理可知所有粒子都从M 点射出，其中
从a 点入射的粒子，运动的弧长最长，运动的时间最长，B、C 正确；
D．将以上运动倒过来，若质子以相等的速率
从同一点沿各个方向射入磁场，则他们离开磁场的出射
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方向一定相互平行，D 错误。故选BC。
16．如图所示，在
平面内，以P 点
为圆心，半径为a 的圆形磁场区域存在垂直纸面向里的匀强磁
场，圆形区域外
范围内存在水平方向、电场强度为E 的匀强电场（图中未画出）。有很多质量为
m、带电量为
的粒子，从坐标原点O 以相同速率v 沿不同方向平行于
平面射入第一象限。已知所有
粒子均能从Q 点
离开磁场，不计粒子重力及其间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．电场方向水平向左
B．磁感应强度B 大小为
C．所有粒子在电场中运动的时间均为
D．所有粒子在磁场中运动的时间均为
【答案】BD
【详解】由于电场仅在圆形区域外
范围内存在，根据磁汇聚和磁发散规律，可知粒子先在磁场中
偏转，第一次离开磁场后进入电场时速度方向均沿x 正方向，在电场中先做匀减速直线运动，速度减小到
零后做反向的匀加速直线运动再次进入磁场，然后偏转到Q。粒子沿某一方向入射时，轨迹如图所示
A．根据粒子运动轨迹，可知在电场中受到电场力方向向左，所以电场方向向右，A 错误；
B．当粒子初速度竖直向上时，恰好从(a，0)离开，由几何关系可知粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆
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半径等于a，有
得
所以B 正确；
C．粒子在电场中运动，由牛顿第二定律，有
又有
得
所以C 错误；
D．粒子在磁场中发生的两段运动过程的总路程恰好等于半圆轨迹长度，有
得
所以D 正确。
故选BD。
【点睛】磁汇聚与磁发散原理是是圆形磁场区域中一个特殊的运动现象，这两种模型的互逆。
磁发散：带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上某点射入磁场，如果圆形匀强磁场的半径与粒子运动的圆轨
迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行。
磁汇聚：平行射入圆形有界匀强磁场的相同带电粒子，如圆形匀强磁场的半径与粒子运动的圆轨迹半径相
等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行。
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