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2024 年高考物理一轮复习热点重点难点夯练与提升
专题59 带电粒子在磁场中平移圆、放缩圆、旋转圆、磁聚焦模型
特训目标
特训内容
目标1
带电粒子在磁场中平移圆模型（1T—3T）
目标2
带电粒子在磁场中放缩圆模型（4T—6T）
目标3
带电粒子在磁场中旋转圆模型（7T—9T）
目标4
带电粒子在磁场中磁聚焦模型（10T—12T）
【特训典例】
一、带电粒子在磁场中平移圆模型
1．如图所示，在直角三角形ABC 内存在垂直纸面向外的匀强磁场，AB 边长度为d，
，现垂直AB
边以相同的速度射入一群质量均为m、电荷量均为q 的带正电粒子（不考虑电荷间的相互作用），已知垂
直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为
，运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为
，则下列判
断中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中运动的轨道半径一定是
B．粒子在磁场中运动的速度一定是
C．该匀强磁场的磁感应强度大小一定是
D．如果粒子带的是负电，不可能有粒子垂直BC 边射出磁场
【答案】C
【详解】C．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出粒子垂直
边离开磁场的轨迹如图所示：
1
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由几何关系可知圆弧对应的圆心角为
，则垂直
边射出的粒子在磁场中运动的时间是
，即
则得周期
由
得
故C 正确；
AB．设当粒子的速度为
时，有一个粒子的轨迹刚好与
边相切从
点离开磁场，设此时粒子的轨迹半
径为，画出轨迹如图中所示黑色轨迹：
则可知此时粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为
，运动时间最长，为
，由几何关系可得
可得
根据圆周运动规律有
可得
但若粒子的速度小于
，在磁场中运动的轨道半径
也可以在磁场运动半圈而从
边离开，在磁场中的运动最长
时间也为
，如图中的红色轨迹所示，则可知粒子在磁场运动的轨道半径不一定等于
粒子在磁场运动的速度大小不一定等于
故AB 错误；
D．如果粒子带的是负电，以B 点为圆心，转过的圆心角为
的粒子能垂直BC 边射出磁场，故D 错误。
2
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故选C。
2．如图所示，直角三角形
区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），
边长为，
为
，一群比荷为
的带负电粒子以相同速度从
点开始一定范围垂直
边射入，射入的粒子恰好不从
边射出，已知从
边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为
，在磁场中运动时间最长的粒子所用
时间为
，不计粒子的重力，以及粒子之间的相互作用力，则（ ）
A．磁感应强度大小为
B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子在磁场中扫过的面积为
【答案】ACD
【详解】A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直
边射出的粒子在磁场中运动的时间是
，由
可得
解得
故A 正确；
B．设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为
，则有
可得
画出该粒子
的运动轨迹如图所示
3
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设轨道半径为
，由几何知识得
可得
故B 错误；
C．根据洛伦兹力提供向心力可得
则粒子射入磁场的速度大小为
故C 正确；
D．射入的粒子恰好不从
边射出，粒子在磁场中扫过的面积为
故D 正确。故选ACD。
3．如图所示，有一等腰直角三角形AOC，直角边长为
，AOC 区域范围内（包含边界）存在磁感应强度
为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，质量为m、电荷量为
的粒子可在直角边AO 上的不同位置垂直
边界、垂直磁场射入，入射速度大小为
，D、E 是AO 边界上的两点（图中未画出），
，不计粒子重力，则（ ）
A．粒子在磁场做圆周运动的半径为
B．粒子距A 点
处射入，恰好不从AC 边界出射
4
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C．从D 点射入的粒子，在磁场中运动的时间为
D．从E 点射入的粒子，在磁场中运动的时间为
【答案】BD
【详解】A．由洛伦兹力提供向心力，可得
解得
，A 错误；
BC．粒子刚好不出磁场区域的运动轨迹如图所示，恰好与AC 相切，根据几何关系可得，此时入射点到A
的距离为
，即入射点到A 点距离大于
的粒子都不能出磁场，运动轨迹为半圆，则时间为
，B 正确，C 错误；
D．从D 点处入射的粒子在磁场中的运动轨迹为一个半圆，在磁场中运动的时间为
，在E 点入射的粒
子运动轨迹的圆心角为
，在磁场中运动的时间为
，D 正确。故选BD。
二、带电粒子在磁场中放缩圆模型
4．如图所示，直角三角形
区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为B，已知
边长为L，
，
相同带正电粒子（不计重力）以不同的速率从A 点沿
方向射入磁场，则（ ）
A．粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短
5
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B．粒子在磁场中运动的时间最长时，是从C 点射出的
C．粒子速度越大，在磁场中运动的路程越长
D．粒子在磁场中运动的最长路程为
【答案】D
【详解】AB．当粒子能够从AC 边射出时，在磁场中运动如图所示
由几何关系可知，粒子在磁场中的圆心角都为
，因此运动时间为
当粒子不能从AC 边
射出，圆心角变小，时间变短，故AB 错误；
C．粒子速度越大，粒子在磁场中运动的轨道半径越大，当粒子运动轨迹与BC 边相切时运动轨迹最长，粒
子速度再增大，粒子运动轨迹变短，并不是速度越大，粒子运动轨迹越长，故C 错误；
D．当粒子和BC 边相切时路程最大，此时有
由A 中分析知运动的路程为
故D 正确。
故选D。
5．一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，其边界如图中虚线所示，ab 为半径为R 的
半圆，ac、bd 与直径ab 共线，a、c 间的距离等于半圆的半径R。一束质量为m、电荷量均为-q（q＞0）的
粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 以不同速度射入磁场，不计粒子所受重,力及粒子间的相互作用。则在磁场
中运动时间最短的粒子运动时间为（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【详解】根据分析可知当运动轨迹所对应的弦与所给圆相切时对应的圆心角
最小，如图所示
根据几何关系可知
粒子在磁场中运动的时间为
其中
解得
，ACD 错误，B
正确。故选B。
6．一有界匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中射线bc
足够长，
，其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，在纸面内
从a 点垂直于ab 射入磁场，这些粒子具有各种速率，不计粒子重力和粒子之间的相互作用，以下说法正确
的是（ ）
A．从ab 边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
B．从a 点入射的粒子速度越大，在磁场中运动的时间越长
C．粒子在磁场中的最长运动时间不大于
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D．粒子在磁场中的最长运动时间不大于
【答案】AD
【详解】ABC．画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如下图所示
当粒子都从ab 边射出，则运动轨迹都是半圆周，运动时间都相等，为
，当粒子都从bc 边射出，则速
度越大，轨道半径越大，对应的圆心角越大，运动时间越长，运动时间大于
，故A 正确，BC 错误；
D．当粒子的速度足够大，半径足够大时，l 远小于r，这时圆心角大小趋近于270°，因此粒子在磁场中最
长运动时间小于
，故D 正确。故选AD。
三、带电粒子在磁场中旋转圆模型
7．如图所示，半径为R 的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点。大量质量为
m、电荷量为q 的带正电粒子，在纸面内沿各个方向以相同速率v 从P 点射入磁场。这些粒子射出磁场时
的位置均位于PQ 圆弧上，PQ 圆弧长等于磁场边界周长的
。不计粒子重力和粒子间的相互作用，则该匀
强磁场的磁感应强度大小为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】从P 点射入的粒子与磁场边界的最远交点为Q，最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点，相
应的弧长变为圆周长的
，如图所示
所以
结合几何关系，有
洛伦兹力充当向心力，根据牛顿第二定律，有
联立解得
故选D。
8．如图所示，在直角坐标系xOy 的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，
在y 轴上S 处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量均为m、电荷量均为q 的同种
带电粒子，所有粒子射出磁场时离S 最远的位置是x 轴上的P 点。已知
，粒子带负电，
粒子所受重力及粒子间的相互作用均不计，则（ ）
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A．粒子的速度大小为
B．从x 轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为
C．沿平行x 轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O 点的距离为
D．从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为
【答案】AD
【详解】A．根据几何关系可得
所有粒子射出磁场时离S 最远的位置是x 轴上的P 点，
可知粒子做圆周运动的半径满足
可得
根据洛伦兹力提供向心力可得
解得
，A 正确；
B．从x 轴上射出磁场的粒子中，沿
轴正方向射出的粒子在磁场中运动的时间最长，从O 点射出的粒子时
间最短，运动轨迹如图所示
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根据几何关系，粒子在磁场中做圆周运动的圆心角分别为
；
从x 轴上射出磁场的粒子在磁场
中运动的最长时间与最短时间之比为
，B 错误；
C．沿平行x 轴正方向射入的粒子，其圆心现在
点，离开磁场时的位置到O 点的距离为，即沿平行x 轴
正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O 点的距离为
，C 错误；
D．从
点射出的粒子轨迹如图所示
对应的圆心角为
从O 点射出的粒子在磁场中的运动时间为
，D 正确。故选AD。
9．如图所示，在一个正三角形区域有方向垂直纸面向里的匀强磁场，速度大小均为v 的带电粒子从BC 边
的中点O 处沿各个方向射入磁场，若已知粒子的质量为m，电荷量为q（q>0），正三角形边长为L，粒子
运动的轨道半径为
，不计粒子的重力及带电粒子之间的相互作用，则（ ）
A．该磁场的磁感应强度为
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B．该磁场的磁感应强度为
C．在磁场中运动的最长时间的粒子将从OB 之间离开磁场
D．粒子在磁场中运动的最长时间小于
【答案】BD
【详解】AB．根据牛顿第二定律
解得
故A 错误，B 正确；
C．粒子轨迹如图所示
由图可知，粒子在磁场中运动时间最长时，轨迹与
边相切，在磁场中运动的最长时间的粒子将从AD
之间离开磁场，C 错误；
D．粒子在磁场中做圆周运动的周期为
若粒子能过A 点，设轨迹对应的圆心角为
，则有
即
此时在磁场中运动时间为
但是由粒子轨迹图可知，粒
子不能过A 点，当轨迹与AC 相切时，圆心角小于
，故粒子在磁场中运动的最长时间小于
，D 正确。
故选BD。
四、带电粒子在磁场中磁聚焦模型
10．如图所示，长方形abcd 中，长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e 分别是ad、bc 的中点，以e 为圆心、eb
为半径的圆弧和以O 为圆心、Od 为半径的圆弧组成的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场（eb 边界上无
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磁场），磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=2×10-3C 的带正电粒子以速度
v=5×102m/s 沿垂直于ad 且垂直于磁场方向射入磁场区域，则下列判断正确的是（ ）
A．从Od 边射入的粒子其出射点全部分布在Oa 边
B．从aO 边射入的粒子其出射点全部分布在ab 边
C．从Od 边射入的粒子其出射点全部分布在ab 边
D．从ad 边射入的粒子其出射点均为b 点
【答案】D
【详解】AC．粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，可
因ab=0.3m，故从Od 边射入的所有粒子运动的轨迹形成以r 为半径的平移圆弧，从点O 射入的粒子从b 点
射出，从d 点射入的粒子运动到e 点，因边界eb 上无磁场，故这些粒子到达be 段后应沿eb 方向做直线运
动，即全部通过b 点，故AC 错误；
BD．从aO 边（不含O 点）射入的粒子先做一段时间的直线运动，设某个粒子从M 点进入磁场，轨迹圆心
为O'，如图所示，根据几何关系可得，四边形O'Meb 为菱形，则粒子一定从b 点射出。再结合选项A 的分
析可知，从ad 边射入的粒子全部从b 点射出，故B 错误，D 正确。故选D。
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11．利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯
片技术得到飞速发展。如图，宽度为
的带正电粒子流水平向右射入半径为
的圆形匀强磁场区域，磁感
应强度大小为
，这些带电粒子都将从磁场圆上O 点进入正方形区域，正方形过O 点的一边与半径为
的
磁场圆相切。在正方形区域内存在一个面积最小的匀强磁场区域，使汇聚到O 点的粒子经过该磁场区域后
宽度变为
，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力，下列说法正确的是（
）
A．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里
B．正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为
，方向垂直纸面向里
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C．正方形区域中匀强磁场的最小面积为
D．正方形区域中匀强磁场的最小面积为
【答案】BC
【详解】AB． 根据磁聚焦原理，粒子在半径为
的圆形磁场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为
，有
解得
要使汇聚到O 点的粒子经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为
，且粒子仍沿水
平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关系可知粒子的轨迹半径
，正方形中磁场区域内应该为圆形磁
场的一部分，有
解得
比较可得
由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A 错误，
B 正确；
CD． 如图，磁场区域的最小面积为
，C 正确，D 错误。
故选BC。
12．如图所示，在
平面内，以P 点
为圆心，半径为a 的圆形磁场区域存在垂直纸面向里的匀强磁
场，圆形区域外
范围内存在水平方向、电场强度为E 的匀强电场（图中未画出）。有很多质量为
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m、带电量为
的粒子，从坐标原点O 以相同速率v 沿不同方向平行于
平面射入第一象限。已知所有
粒子均能从Q 点
离开磁场，不计粒子重力及其间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．电场方向水平向左
B．磁感应强度B 大小为
C．所有粒子在电场中运动的时间均为
D．所有粒子在磁场中运动的时间均为
【答案】BD
【详解】由于电场仅在圆形区域外
范围内存在，根据磁汇聚和磁发散规律，可知粒子先在磁场中
偏转，第一次离开磁场后进入电场时速度方向均沿x 正方向，在电场中先做匀减速直线运动，速度减小到
零后做反向的匀加速直线运动再次进入磁场，然后偏转到Q。粒子沿某一方向入射时，轨迹如图所示
A．根据粒子运动轨迹，可知在电场中受到电场力方向向左，所以电场方向向右，A 错误；
B．当粒子初速度竖直向上时，恰好从(a，0)离开，由几何关系可知粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆
半径等于a，有
得
所以B 正确；
C．粒子在电场中运动，由牛顿第二定律，有
又有
得
所以C 错误；
D．粒子在磁场中发生的两段运动过程的总路程恰好等于半圆轨迹长度，有
得
所以D 正确。
故选BD。
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【点睛】磁汇聚与磁发散原理是是圆形磁场区域中一个特殊的运动现象，这两种模型的互逆。
磁发散：带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上某点射入磁场，如果圆形匀强磁场的半径与粒子运动的圆轨
迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行。
磁汇聚：平行射入圆形有界匀强磁场的相同带电粒子，如圆形匀强磁场的半径与粒子运动的圆轨迹半径相
等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行。
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