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专题强化二十一 带电粒子在叠加场和交变电磁场中的运动
学习目标 1.了解叠加场的特点，会分析带电粒子在叠加场中的运动问题。 2.会
分析带电粒子在交变电、磁场中的运动问题。
考点一 带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
2.常见的几种运动形式
运动性质
受力特点
方法规律
匀速直线运动
粒子所受的合力为0
平衡条件
匀速圆周运动
除洛伦兹力外，另外两力的合力为
零qE＝mg
牛顿第二定律、圆周运动的
规律
较复杂的曲线
运动
除洛伦兹力外，其他力的合力既不
为零，也不与洛伦兹力等大反向
动能定理、能量守恒定律
例1 (2023·江苏卷，16)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图1 所示的模型。Oxy
平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为
B。质量为m、电荷量为e 的电子从O 点沿x 轴正方向水平入射。入射速度为v0
时，电子沿x 轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线
所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
图1
(1)求电场强度的大小E；
(2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标y1；
(3)若电子入射速度在0＜v＜v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y2＝位置的电
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子数N 占总电子数N0的百分比。
答案 (1)Bv0 (2) (3)90%
解析 (1)电子沿x 轴正方向做直线运动，则电子受平衡力的作用，即
eE＝ev0B
解得E＝Bv0。
(2)电子在电场和磁场叠加场中运动，受洛伦兹力和电场力的作用，只有电场力
做功，则电子的速度由到的过程中，由动能定理得
eEy1＝m－m
解得y1＝。
(3)设电子的入射速度为v1时刚好能到达纵坐标为y2＝的位置，此时电子在最高
点的速度沿水平方向，且大小假设为v2，则
电子在最低点的合力为F1＝eE－ev1B
电子在最高点的合力为F2＝ev2B－eE
由题意可知电子在最高点与最低点的合力大小相等，
即F2＝F1
整理得v1＋v2＝2v0
电子由最低点到最高点的过程，由动能定理得
eEy2＝mv－mv
2
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整理得v2－v1＝
解得v1＝v0
又电子入射速度越小，电子运动轨迹的最高点对应的纵坐标越大，则能到y2＝的
位置的电子数占总电子数的比例为η＝＝×100%
解得η＝90%。
1.(2024·北京清华附中质检)空间同时存在匀强电场和匀强磁场。匀强电场的方向
沿y 轴正方向，电场强度大小为E；磁场方向垂直纸面向外。质量为m、电荷量
为＋q 的粒子(重力不计)从坐标原点O 由静止释放，释放后，粒子恰能沿图2 中
的曲线运动。已知该曲线的最高点P 的纵坐标为h，曲线在P 点附近的一小部分，
可以看作是半径为2h 的圆周上的一小段圆弧，则( )
图2
A.粒子在y 轴方向做匀加速运动
B.粒子在最高点P 的速度大小为
C.磁场的磁感应强度大小为
D.磁场的磁感应强度大小为
答案 C
解析 受力分析可知，粒子受到洛伦兹力沿y 轴方向的分力是变化的，故粒子在
y 轴方向的合力是变化的，加速度也是变化的，A 错误；从O 到P，洛伦兹力不
做功，由动能定理得qEh＝mv，解得vP＝，B 错误；粒子经过最高点时，洛伦兹
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力和静电力的合力提供向心力，即qvPB－qE＝m，联立解得B＝，C 正确，D 错
误。
考点二 带电粒子在交变电磁场中的运动
例2 (2024·湖北武汉高三联考)如图3(a)所示的xOy 平面处于变化的匀强电场和
匀强磁场中，电场强度E 和磁感应强度B 随时间做周期性变化的图像如图(b)所
示，y 轴正方向为E 的正方向，垂直于纸面向里为B 的正方向。t＝0 时刻，带负
电粒子P(重力不计)由原点O 以速度v0沿y 轴正方向射出，它恰能沿一定轨道做
周期性运动。v0、E0和t0为已知量，图(b)中＝，在0～t0时间内粒子P 第一次离x
轴最远时的坐标为。求：
图3
(1)粒子P 的比荷；
(2)t＝2t0时刻粒子P 的位置；
(3)带电粒子在运动中距离原点O 的最远距离L。
答案 (1) (2) (3)v0t0
解析 (1)0～t0时间内粒子P 在匀强磁场中做匀速圆周运动，当粒子所在位置的
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纵、横坐标相等时，粒子在磁场中恰好经过圆周，所以粒子P 第一次离x 轴的最
远距离等于轨道半径R，即R＝，又qv0B0＝m
代入＝ ，解得＝ 。
(2)设粒子P 在磁场中运动的周期为T，则T＝
联立解得T＝4t0
即粒子P 做圆周运动后磁场变为电场，粒子以速度v0垂直电场方向进入电场后
做类平抛运动，设t0～2t0时间内水平位移和竖直位移分别为x1、y1，则x1＝v0t0＝
，y1＝at
其中加速度a＝
解得y1＝＝R
因此t＝2t0时刻粒子P 的位置坐标为，如图中的b 点所示。
(3)分析知，粒子P 在2t0～3t0时间内，静电力产生的加速度方向沿y 轴正方向，
由对称关系知，在3t0时刻速度方向为x 轴正方向，位移x2＝x1＝v0t0；在3t0～5t0
时间内粒子P 沿逆时针方向做匀速圆周运动，往复运动轨迹如(2)中图所示，由
图可知，带电粒子在运动中距原点O 的最远距离，即O、d 间的距离L＝2R＋2x1
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解得L＝v0t0。
1.解题基本思路
2.解题关键和应注意的问题
(1)这类问题一般都具有周期性，注意分析带电粒子的运动周期与电场周期、磁
场周期的关系。
(2)带电粒子在交变电磁场中运动仍遵循牛顿运动定律、运动的合成与分解、动
能定理、能量守恒定律等力学规律，所以此类问题的研究方法与质点动力学相同。
2.如图4 所示，在xOy 平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小随时
间周期性变化，B 的变化周期为4t0，E 的变化周期为2t0，变化规律分别如图5
甲、乙所示。在t＝0 时刻从O 点发射一带负电的粒子(不计重力)，初速度大小为
v0，方向沿y 轴正方向，在x 轴上有一点A(图中未标出)，坐标为。若规定垂直纸
面向里为磁感应强度的正方向，y 轴正方向为电场强度的正方向，v0、t0、B0为已
知量，磁感应强度与电场强度的大小满足＝；粒子的比荷满足＝。求：
图4
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图5
(1)在t＝时，粒子的位置坐标；
(2)粒子偏离x 轴的最大距离；
(3)粒子运动至A 点的时间。
答案 (1) (2)1.5v0t0＋ (3)32t0
解析 (1)在0～t0时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得
qv0B0＝mr1＝m
解得T＝2t0，r1＝＝
则粒子在时间内转过的圆心角α＝
所以在t＝时，
粒子的位置坐标为。
(2)在t0～2t0时间内，设粒子经电场加速后的速度为v，粒子的运动轨迹如图所示。
则v＝v0＋t0＝2v0
运动的位移y＝t0＝1.5v0t0
在2t0～3t0时间内粒子做匀速圆周运动
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半径r2＝＝2r1＝
故粒子偏离x 轴的最大距离
h＝y＋r2＝1.5v0t0＋。
(3)粒子在xOy 平面内做周期性运动的运动周期为4t0，故粒子在一个周期内向右
运动的距离
d＝2r1＋2r2＝
AO 间的距离为＝8d
所以粒子运动至A 点的时间t＝32t0。
A 级 基础对点练
对点练1 带电粒子在叠加场中的运动
1.(多选)(2022·广东卷)如图1 所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电
场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M 点由静止释放，沿图中所示轨迹依次
经过N、P 两点。已知M、P 在同一等势面上，下列说法正确的有( )
图1
A.电子从N 到P，电场力做正功
B.N 点的电势高于P 点的电势
C.电子从M 到N，洛伦兹力不做功
D.电子在M 点所受的合力大于在P 点所受的合力
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答案 BC
解析 由题可知电子所受电场力水平向左，电子从N 到P 的过程中电场力做负
功，故A 错误；根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知，N 点的电势高于P 点的
电势，故B 正确；洛伦兹力总是和速度方向垂直，电子从M 到N，洛伦兹力不
做功，故C 正确；M 点和P 点在同一等势面上，从M 点到P 点电场力做功为
0，而洛伦兹力不做功，M 点速度为0，根据动能定理可知电子在P 点速度也为
0，则电子在M 点和P 点都只受电场力作用，在匀强电场中电子在这两点所受电
场力相等，即所受合力相等，故D 错误。
2.质量为m、电荷量为q 的微粒以速度v 与水平方向成θ 角从O 点进入方向如图
2 所示的由正交的匀强电场和匀强磁场组成的叠加场区中，该微粒在静电力、洛
伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A 点，下列说法中正确的有(重
力加速度为g)( )
图2
A.该微粒一定带正电荷
B.微粒从O 到A 的运动可能是匀变速运动
C.该磁场的磁感应强度大小为
D.该电场的电场强度大小为
答案 C
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解析 若微粒带正电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向左的静电力qE 和垂直
OA 斜向右下方的洛伦兹力qvB，微粒不能做直线运动，由此可知微粒带负电荷，
它受竖直向下的重力mg、水平向右的静电力qE 和垂直OA 斜向左上方的洛伦兹
力qvB，又因为微粒恰好沿着直线运动到A，可知微粒做匀速直线运动，故A、
B 错误；由平衡条件得qvBcos θ＝mg，qvBsin θ＝qE，解得磁场的磁感应强度
大小B＝，电场的电场强度大小E＝，故C 正确，D 错误。
3.(2022·全国甲卷，18)空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于纸面
(xOy 平面)向里，电场的方向沿y 轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作
用下，从坐标原点O 由静止开始运动。下列四幅图中，可能正确描述该粒子运
动轨迹的是( )
答案 B
解析 在xOy 平面内电场的方向沿y 轴正方向，在坐标原点O 静止的带正电粒子
在静电力作用下会向y 轴正方向运动，磁场方向垂直于纸面向里，根据左手定则，
可判断出开始一段较短时间内，向y 轴正方向运动的粒子同时受到沿x 轴负方向
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的洛伦兹力，带电粒子向x 轴负方向偏转，A、C 错误；运动的过程中静电力对
带电粒子做功，粒子速度大小发生变化，粒子所受的洛伦兹力方向始终与速度方
向垂直，x 轴为匀强电场的等势面，从开始运动至带电粒子再次运动到x 轴时，
静电力做功为0，洛伦兹力不做功，带电粒子再次回到x 轴时的速度为0，随后
在静电力作用下再次进入第二象限重复向左偏转，B 正确，D 错误。
4.(2023·全国乙卷，18)如图3，一磁感应强度大小为B 的匀强磁场，方向垂直于
纸面(xOy 平面)向里，磁场右边界与x 轴垂直。一带电粒子由O 点沿x 轴正向入
射到磁场中，在磁场另一侧的S 点射出，粒子离开磁场后，沿直线运动打在垂直
于x 轴的接收屏上的P 点，SP＝l，S 与屏的距离为，与x 轴的距离为a。如果保
持所有条件不变，在磁场区域再加上电场强度大小为E 的匀强电场，该粒子入
射后则会沿x 轴到达接收屏。该粒子的比荷为( )
图3
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，其运动轨迹如图所示
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对点练2 带电粒子在交变电磁场中的运动
5.如图4 甲所示，在xOy 坐标系的一、四象限存在匀强磁场，规定垂直纸面向里
为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化情况如图乙所示，t＝0 时刻，一个比
荷＝1.0×104 C/kg 的正电荷从(0，)处以v0＝1.0×104 m/s 的速度沿y 轴负方向射
入磁场，则正电荷从射入磁场至第一次经过x 轴所需的时间为( )
图4
A.8π×10－5 s
B.π×10－5 s
C.1.2π×10－4 s
D.×10－4 s
答案 C
解析 由洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m，解得r＝0.4 m，圆周运动的周期为
T＝＝8π×10－5 s，则粒子每次圆周运动持续三分之一周期，对应的圆心角为
120°；位移大小2rsin 60°＝ m，位移方向与y 轴负方向成60°角，沿y 轴负方向
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的位移为 m，则正电荷射入磁场后到x 轴的轨迹如图；正电荷第一次运动到x 轴
应为A 点，运动时间为t＝T＝1.2π×10－4 s，故C 正确。
B 级 综合提升练
6.(2022·湖南卷，13)如图5，两个定值电阻的阻值分别为R1和R2，直流电源的内
阻不计，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为d，极板间存在
方向水平向里的匀强磁场。质量为m、带电荷量为＋q 的小球以初速度v 沿水平
方向从电容器下板左侧边缘A 点进入电容器，做匀速圆周运动，恰从电容器上
板右侧边缘离开电容器。此过程中，小球未与极板发生碰撞，重力加速度大小为
g，忽略空气阻力。
图5
(1)求直流电源的电动势E0；
(2)求两极板间磁场的磁感应强度B；
(3)在图中虚线的右侧设计一匀强电场，使小球离开电容器后沿直线运动，求电
场强度的最小值E′。
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)小球在极板间做匀速圆周运动，则静电力与重力平衡，可得qE＝mg
阻值为R2的定值电阻两端的电压U2＝Ed
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根据欧姆定律得U2＝R2
联立解得E0＝。
(2)小球在电容器中做匀速圆周运动的轨迹如图所示
设小球做圆周运动的半径为r，根据几何关系有(r－d)2＋(d)2＝r2，解得r＝2d
根据qvB＝m，解得B＝。
(3)由几何关系可知，射出磁场时，小球速度方向与水平方向夹角为60°，要使小
球做直线运动，当小球所受静电力与小球重力在垂直小球速度方向的分力相等时，
静电力最小，电场强度最小，可得qE′＝mgcos 60°，解得E′＝。
7.如图6 甲所示，在坐标系xOy 中，y 轴左侧有沿x 轴正方向的匀强电场、电场
强度大小为E；y 轴右侧有如图乙所示周期性变化的磁场，磁感应强度大小B0已
知，磁场方向垂直纸面向里为正。t＝0 时刻，从x 轴上的P 点无初速度释放一带
正电的粒子，粒子(重力不计)的质量为m、电荷量为q，粒子第一次在电场中运
动的时间与第一次在磁场中运动的时间相等，且粒子第一次在磁场中做圆周运动
的轨迹为半圆。求：
图6
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(1)P 点到O 点的距离；
(2)粒子经一个周期沿y 轴发生的位移大小。
答案 (1) (2)
解析 (1)设粒子第一次在电场中做匀加速运动的时间为t0，P 点到O 点的距离为
x，有x＝at
又qE＝ma，粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝
T＝
由题意知t0＝＝
联立解得x＝。
(2)如图所示，设粒子在磁场中做圆周运动的半径分别为R1和R2
R1＝，R2＝，又由动能定理得qEx＝mv，粒子每经一个周期沿y 轴向下移动Δy，
Δy＝2R2－2R1＝。
C 级 培优加强练
8.如图7 所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀
强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。
一带电荷量为＋q、质量为m 的微粒从原点出发，以某一初速度沿与x 轴正方向
的夹角为45°的方向进入复合场中，正好做直线运动，当微粒运动到A(l，l)时，
电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，微粒继续运动一段时间后，
正好垂直于y 轴穿出复合场。不计一切阻力，重力加速度为g，求：
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图7
(1)电场强度E 的大小；
(2)磁感应强度B 的大小；
(3)微粒在复合场中的运动时间。
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)微粒到达A(l，l)之前做匀速直线运动，对微粒受力分析如图甲，可知
qE＝mg，得E＝。
甲 乙
(2)由平衡条件得qvB＝mg
电场方向变化后，微粒所受重力与静电力平衡，微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆
周运动，轨迹如图乙所示
qvB＝m
由几何知识可得r＝l
联立解得v＝，B＝。
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(3)微粒做匀速直线运动的时间t1＝＝
微粒做匀速圆周运动的时间t2＝＝
微粒在复合场中的运动时间t＝t1＋t2＝。
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