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2024 年高考物理一轮大单元综合复习导学练
专题61 带电粒子在叠加场中的运动
导练目标
导练内容
目标1
带电粒子在叠加场中的直线运动
目标2
带电粒子在叠加场中的圆周运动
目标3
配速法处理带电粒子在叠加场中的运动
【知识导学与典例导练】
一、基础必备知识
1．三种场的比较
力的特点
功和能的特点
重力场
大小：G＝mg
方向：竖直向下
重力做功与路径无关
重力做功改变物体的重力势能
电场
大小：F＝qE
方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷
受力方向与场强方向相反
电场力做功与路径无关W＝qU
电场力做功改变电势能
磁场
大小：F＝qvB(v⊥B)
方向：可用左手定则判断
洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动
能
2．关于是否考虑粒子重力的三种情况
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽
略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重
力。
二、带电粒子在叠加场中的直线运动
1.带电粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，电场力和洛伦兹力一定相互平衡，因此可利用二力平衡
解题。
2.带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做直线运动，则粒子一定处于平衡状态，因此可利用平衡条
件解题。
【例1】如图所示，在竖直平面内的虚线下方分布着互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场的电场强度大
小为10N/C，方向水平向左；磁场的磁感应强度大小为2T，方向垂直纸面向里。现将一质量为0.2kg、电荷
量为＋0.5C 的小球，从该区域上方的某点A 以某一初速度水平抛出，小球进入虚线下方后恰好做直线运动。
已知重力加速度为g=10m/s2。下列说法正确的是（ ）
1
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A．小球平抛的初速度大小为5m/s
B．小球平抛的初速度大小为2m/s
C．A 点距该区域上边界的高度为1.25m
D．A 点距该区域上边界的高度为2.5m
【答案】BC
【详解】AB．小球受竖直向下的重力与水平向左的电场力作用，小球进入电磁场区域做直线运动，小球受
力如图所示
小球做直线运动，则由平衡条件得qvBcosθ=mg 小球的速度vcosθ=v0代入数据解得v0=2m/s 故A 错误，B 正
确；
CD．小球从A 点抛出到进入复合场过程，由动能定理得
根据在复合场中的受力情况可
知（mg）
2+（qE）
2=（qvB）
2解得
代入数据解得h=1.25m 故C 正确，D 错误；故选BC。
三、带电粒子在叠加场中的圆周运动
1.带电粒子做匀速圆周运动，隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡。
2.洛伦兹力提供向心力和带电粒子只在磁场中做圆周运动解题方法相同。
【例2】如图，光滑绝缘水平面的右侧存在着匀强电场和匀强磁场组成的复合场，电场方向竖直向下，磁
场方向水平向外，磁感应强度大小为B；一电荷量为q、质量为m 的小球a 在水平面上从静止开始经电压U
加速后，与静止着的另一相同质量的不带电金属小球b 发生碰撞并粘在一起，此后水平向右进入复合场中，
在竖直面内做匀速圆周运动。电荷量的损失不计，重力加速度大小为g。下列判断正确的是（ ）
2
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A．小球a 可能带正电
B．小球a、b 碰撞后的速度
C．小球a、b 做匀速圆周运动的半径为
D．小球从圆轨道的最低点到最高点，机械能增加量
【答案】BD
【详解】A．小球a、b 碰撞后在竖直面内做匀速圆周运动，则重力和电场力平衡，所以电场力竖直向上，
小球a 带负电，故A 错误；
B．小球a 加速过程，由动能定理得
碰撞过程由动量守恒定律得
解得
故B 正确；
C．小球a、b 碰撞后在竖直面内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
解得
故C 错
误；
D．洛伦兹力不做功，电场力做功为
所以机械能减少量
故D 正
确。
故选BD。
四、配速法处理带电粒子在叠加场中的运动
1.若带电粒子在磁场中所受合力不会零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变
化，则粒子做一般曲线运动，运动比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速
度对应的洛伦兹力与重力（或电场力，或重力和电场力的合力）平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒
3
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子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解分两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。
2.几种常见情况：
常见情况
处理方法
初速度
为0，
有重力
把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1
初速度
为0，
不计重
力
把初速度0，分解一个向左的速度v1和一个向右的速度v1
初速度
为0，
有重力
把初速度0，分解一个斜向左下方的速度v1
和一个斜向右上方的速度v1
初速度
为v0，
有重力
把初速度v0，分解速度v1和速度v2
【例3】如图所示，空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直纸面（
平面）向外，电场的方
向沿y 轴正方向。一质量为m、电荷量为q 的带电粒子在电场和磁场的作用下，从坐标原点O 由静止开始
运动（其轨迹如图所示）。已知磁感应强度的大小为B，电场强度大小为E，不计粒子的重力，下列说法
正确的是（ ）
4
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A．粒子带负电
B．粒子运动轨迹是抛物线
C．粒子距离x 轴的最大距离为
D．粒子运动过程中的最大速度为
【答案】C
【详解】A．粒子由静止开始运动，电场力方向竖直向上，故粒子带正电，选项A 错误；
B．粒子运动时受电场力和洛伦兹力，因洛伦兹力是变力，则轨迹不是抛物线，运动轨迹为摆线，选项B
错误；
CD．将粒子的运动分解为速度
的向右的匀速直线运动和速度为v 的沿顺时针方向的匀速圆周运动，
则粒子距x 轴的最大距离
两分运动同向时速度最大，则最大速度为
故选项C
正确，选项D 错误。故选C。
【综合提升专练】
1．如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中，两个分别与水平地面成37°和
的光滑绝缘斜面交于A 点，
BC 长度为5m。现分别从A 点由静止释放可视为质点的甲、乙两带电小物块，运动一段距离后均在斜面上
的某位置与斜面分离。已知甲、乙两物块的比荷大小之比为
，不计两物块间的库仑力，重力加速度取
，
，
。若甲物块沿斜面下滑到距A 点2m 处与斜面分离，则乙物块与斜
面分离的位置距A 点的距离为（ ）
5
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A．2.5m
B．2.125m
C．1.5m
D．1.125m
【答案】C
【详解】甲物块沿斜面下滑到距A 点s 甲=2m 处与斜面分离
乙物块与斜面分离
又
联立得
又
；
；
；
解得s 乙=1.5m 故选C。
2．粗糙水平地面上方存在着方向竖直向下的匀强电场，MN 边界的左边存在着如图所示的匀强磁场，一带
电滑块（可视为质点）以速度v 向右匀速运动，已知电场强度为E，磁感应强度
，重力加速度为
g，滑块滑过边界MN 之后经时间，速度方向与水平面夹角30°，根据以上条件，下列结论正确的是
（ ）
A．滑块带正电
B．滑块可带正电也可以带负电
C．
D．在时间t 内，滑块在水平方向的位移为
【答案】C
【详解】AB．滑块滑过边界MN 之后经时间，速度方向与水平面夹角30°，可知滑块受电场力向上，所以
6
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滑块带负电，故AB 错误；
CD．在MN 左侧，带电滑块（可视为质点）以速度向右匀速运动，则有
结合题中
，解
得
滑块在MN 右侧，根据牛顿第二定律有
解得
，方向向上经t 时间，根据速
度的关系有
解得
水平方向做匀速直线运动，有
故C 正确，D 错误。故选
C。
3．如图所示，水平分界面下方的空间中存在着向下的匀强电场和向里的匀强磁场的复合场，电场强度大
小为E，磁场的磁感应强度大小为B。有一质量为m，带电量为q（q>0)的小球以初速度v0以与水平面成θ
角的速度射入复合场中，经过时间t 后回到分界面的上方，小球的重力不计，下列说法中正确的是
（ ）
A．轻质小球在复合场中做匀速圆周运动，运动时间
B．仅增大入射速度v0，其它条件不变，小球在复场中运动时间t 将变大
C．仅增大磁感应强度B，其它条件不变，小球在复合场中的运动时间t 将不变
D．当满足
时，小球在复合场中的运动时间t 为
【答案】D
【详解】A．小球受竖直向下的电场力和垂直于速度方向斜向右上方的洛伦兹力，合力的大小方向均不断
变化，所以小球不可能做匀速圆周运动，故A 错误；
B．增大速度，将速度正交分解可得，用来平衡电场力的水平向右分速度不变，做圆周运动的等效合速度
的入射角将减小，时间t 变小，故B 错误；
C．增大磁感应强度B，用来平衡电场力的水平速度将变小，等效合速度的入射角将变小，时间t 变小，故
7
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C 错误；
D．当满足
时，即
水平分速度正好可以平衡电场力，等效于小球在复合场中的圆
心角为180°，运动时间为半个周期，即
故D 正确。故选D。
4．如图所示，空间存在沿x 轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。
时刻，质子以初速度
从坐标原点O 沿y 轴正方向射出，已知质子质量为m，电荷量为e。重力不计，
则（ ）
A．
时刻，质子的速度沿z 轴的负方向
B．
时刻，质子的坐标为
C．质子可多次经过x 轴，且依次经过x 轴的坐标值之比为1：4：9……
D．质子运动轨迹在yoz 平面内的投影是以O 点为圆心的圆
【答案】C
【详解】AD．沿x 轴方向，在电场力作用做初速度为零的匀加速直线运动，根据左手定则，洛伦兹力初始
时刻沿z 轴负方向，可判断质子在yOz 平面做匀速圆周运动，所以质点运动轨迹在yOz 平面内的投影是经
过O 点的圆；当
时刻，在yOz 平面质子分速度方向沿y 轴负方向，沿x 轴方向分速度沿x 轴正
方向，所以质子的合速度方向不沿z 轴的负方向，故AD 错误；
B．当
时刻，沿x 轴方向
；
在yOz 平面内，正好经过
半个周期，则
；
所以质子的坐标为
，故B 错误；
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C．质子每经过一个周期可经过一次x 轴，沿x 轴方向在电场力作用做初速度为零的匀加速直线运动，根据
比例关系可知依次经过x 轴的坐标值之比为1：4：9……，故C 正确。故选C。
5．如图所示，下端封闭、上端开口、高h＝5m 内壁光滑的细玻璃管竖直放置，管底有质量m＝10g，电荷
量的绝对值|q|＝0.2C 的小球，整个装置以v＝5m/s 的速度沿垂直于磁场方向进入磁感应强度B＝0.2T，方
向垂直纸面向内的匀强磁场，由于外力的作用，玻璃管在磁场中的速度保持不变，最终小球从上端管口飞
出。g 取10m/s2。下列说法中正确的是（ ）
A．整个过程中洛伦兹力对小球做正功
B．小球在离开管前做匀变速曲线运动
C．小球在玻璃管中的运动时间大于1s
D．小球机械能的增加量为1J
【答案】BD
【详解】小球的质量m＝10g＝0.01kg。
A．小球在玻璃管中刚开始所受洛伦兹力方向竖直向上，F 洛＞mg，小球获得竖直向上的加速度，向上加速
运动，具有向上的速度之后，物体合速度指向右上方，洛伦兹力与物体合速度始终垂直，始终不做功，故
A 错误；
B．由于玻璃管在磁场中水平方向匀速运动，小球在水平方向上与玻璃管保持相对静止，故小球在水平方
向匀速运动，那么洛伦兹力在竖直方向上的分力始终等于qvB 保持不变，小球在竖直方向上合力为
F 合＝qvB﹣mg 恒定不变，所以小球在竖直方向做匀加速直线运动，可知小球在离开管前做匀变速曲线运动，
故B 正确；
C．小球的实际运动速度可分解为水平方向的速度v 和竖直方向的速度vy。与两个分速度对应的洛伦兹力
的分力分别是水平方向的
和竖直方向的F，其中竖直方向的洛伦兹力F＝qvB 不变，在竖直方向上，由
牛顿第二定律得qvB﹣mg＝ma 解得a＝10m/s2由匀变速运动的位移公式得
解得t＝1s 故C 错误；
D．小球飞出管口时，竖直速度为vy＝at＝10×1m/s＝10m/s 飞出管口的合速度为v 合＝
动能增量
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代入数据解得
0.5J 重力势能的增量ΔEp＝mgh＝0.01×10×5J＝0.5J，
机械能的增量ΔE＝
+
＝0.5J+0.5J＝1J 故D 正确。故选BD。
6．如图所示，上表面水平且粗糙程度处处相同、质量
的小车A 静置于光滑水平面上，均带正电且
电荷量均为
的小物块B、C 静置于小车A 上表面，B、C 质量分别为
、
，整个空
间存在垂直纸面向里、磁感应强度大小
的匀强磁场。某时刻突然给小车A 一大小
的水平
冲量，小车A 足够长，小物块B、C 均可视为质点且B、C 间距足够大，重力加速度g 取
，不计空气
阻力，经过足够长时间后（ ）
A．小车A 的速度大小为7m/s
B．物块B 的速度大小为4m/s
C．物块C 的速度大小为12m/s
D．整个系统因摩擦增加的内能为31.2J
【答案】ABD
【详解】由左手定则，B、C 的洛伦兹力竖直向上，始终垂直于，以A、B、C 为整体，则水平方向动量守
恒
（常数）当B 与A 无作用力时，即
解得
当C 与A 无作用力
时，即
解得
ABC．某时刻突然给小车A 一大小
的水平冲量，
，
时，则
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解得
，AB 正确，C 错误；
D．由动量定理
解得
由能量关
7．如图质量为
、电荷量为
的带正电粒子（忽略粒子重力），以速度
沿
方向垂直射入相互正交
的竖直向下的匀强电场
和水平向里匀强磁场
，经过该区域中的P 点的速率为
，此时侧移量为，若
，下列说法中正确的是（ ）
A．带电粒子在P 点的速率
B．带电粒子的加速度大小恒为
C．若
，粒子从射入该区域到P 点所用时间至少
D．粒子在运动过程中洛伦兹力始终大于电场力
【答案】BC
【详解】A．粒子运动过程中，洛伦兹力始终与速度方向垂直而不做功，则根据动能定理
解得
故A 错误；
B．将粒子进入电磁场的初速度
看成是两个水平向右分速度
、
的合成，其中水平向右分速度
满足
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解得
则另一水平向右分速度
满足
则粒子在电磁场中的运动可分
解为：以
水平向右做匀速直线运动和以
大小做匀速圆周运动，其中以
大小做匀速圆周运动由洛伦兹
力提供向心力；可知粒子运动过程受到的合力大小为
根据牛顿第二定律可知带电粒
子的加速度大小为
故B 正确；
C．以
大小做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
若
可知粒子从射入该区域到P 点所用时间至少为
故C 正确；
D．粒子的合速度为分速度
与
的合成，其中
的大小方向均保持不变，
的大小不变，方向时刻发生
改变，当
方向与
方向相反时，粒子的合速度最小，则有
可知粒子受到的洛伦
兹力最小值为零，而粒子受到的电场力保持不变，故D 错误。故选BC。
8．如图所示，空间中匀强磁场为竖直方向（图中未画出），质量为m，电荷量为+q 的小球在光滑圆锥上
以速度大小v 做匀速圆周运动（从上往下看是逆时针），其运动平面与圆锥轴线垂直且到圆锥顶点距离为
h，已知重力加速度为g，圆锥半顶角为
，下列方法正确的是（ ）
A．磁场方向竖直向下
B．小球转一圈的过程中，重力的冲量为0
C．圆锥对小球的支持力大小为
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D．磁感应强度大小为
【答案】AD
【详解】A.由左手定则可知，磁场方向竖直向下，故A 正确；
B.重力的冲量等于重力大小与时间的乘积，所以重力的冲量不等于零，故B 错误；
CD.小球受到重力mg，垂直圆锥母线的支持力FN，水平方向的洛伦兹力qvB，沿水平和竖直方向正交分解
；
解得
；
故C 错误，D 正确。
故选AD。
9．如图所示，半径为R 的光滑半圆弧绝缘轨道固定在竖直面内，磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直于
轨道平面向里。一可视为质点，质量为m、电荷量为q（q>0）的小球由轨道左端A 点无初速度滑下，当小
球滑至轨道最低点C 时，给小球再施加一始终水平向右的外力F，使小球能保持不变的速率滑至轨道右侧
的D 点。若轨道的两端等高，小球始终与轨道接触，重力加速度为g，则下列判断正确的是（ ）
A．小球在C 点对轨道的压力大小为
B．小球在C 点对轨道的压力大小为
C．小球从C 到D 的过程中，外力F 的大小保持不变
D．小球从C 到D 的过程中，外力F 的功率逐渐增大
【答案】BD
【详解】AB．小球从A 到C，只有重力做功，由机械能守恒定律得
在C 点，由牛顿第二定律
得
联立解得
由牛顿第三定律可知，小球在C 点时对轨道的压力大
小为
，故A 错误，B 正确；
CD．从C 到D，小球速率不变，由于轨道对小球的支持力和洛伦兹力不做功，则重力做负功的功率和外力
13
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F 做正功的功率始终大小相等，设速度方向与竖直方向夹角为θ，有
解得
从C 到D，θ 逐渐减小，则外力F 逐渐增大，重力做负功的功率逐渐增大，故外力F 的功率也逐渐增大，
故C 错误，D 正确。故选BD。
10．如图所示，空间中有正交的匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，匀
强电场方向竖直向下，将一质量为m，带电量为
的粒子沿水平向左以速度v 抛入复合场中，忽略粒子的
重力。已知匀强电场的强度大小
，在粒子之后运动的过程中，以下说法正确的是（ ）
A．粒子偏离人射方向的最大距离为
B．粒子在轨迹最低点的曲率半径为
C．粒子从抛出到最低点的过程电势能的变化量为
D．粒子运动过程中动能与电势能的总和是守恒的
【答案】BCD
【详解】A．根据题意
得
将粒子以速度v 水平向左抛入复合场中，根据“配速法”，粒子
的初速度可以等效为一个水平向左的
和一个水平向右的v，向右的速度v 会产生一竖直向上的洛伦兹
由于
则粒子的一个分运动为水平向右的匀速直线运动，另一个分运动是水平向左沿逆时针方向的
匀速圆周运动，速度大小为
：
解得
粒子偏离入射方向的最大距离为
，
A 错误；
B．粒子在轨迹最低点速度大小为
，方向水平向右
解得
即轨迹最低点的曲率
半径为
，B 正确；
14
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C．粒子从抛出到最低点的过程中电场力做正功，电势能减小，电势能的变化量为
，C 正
确；
D．粒子在复合场中运动过程中只有电场力做功，所以粒子的动能和电势能的总和是守恒的，D 正确。
故选BCD。
11．如图所示，真空中有平面直角坐标系xOy，其x 轴方向水平向右，坐标系xOy 所在的空间有一正交的
匀强电磁场，匀强电场方向沿y 轴负方向，电场强度大小为E；匀强磁场方向垂直于坐标系xOy 向里，磁
感应强度大小为B。一群带正电的粒子，质量均为m，所带电荷量均为q，以大小不同的初速度从坐标原点
O 沿x 轴正方向射出，不计粒子间的相互作用和粒子的重力，则（ ）
A．若初速度
，粒子恰好能做匀速直线运动
B．当粒子离x 轴最远时，速度达到最大
C．若初速度
，粒子每隔
时间就会返回x 轴一次
D．在任意时刻，粒子在x 方向的速度分量的大小为
，与x 轴的距离为h，那么
与h 的关系式为
【答案】ACD
【详解】A．带正电的粒子不计重力，受向上的洛伦兹力和向下的电场力，若
，则有
故粒
子恰好能做匀速直线运动，故A 正确；
B．正粒子的速度读若满足
，将向上偏转，电场力做负功，当粒子离x 轴最远时，电场力做负功最多，
其速度达到最小；若满足
，将向下偏转，电场力做正功，当粒子离x 轴最远时，电场力做正功最多，
其速度达到最大，故B 错误；
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C．若初速度
，粒子的运动规律表现出周期性，可分解为两个分运动，即向右的匀速运动和圆周运动，
每经历圆周运动的一个周期
，粒子将返回x 轴一次，故C 正确；
D．设任意时刻，粒子在y 方向的速度分量为
，在x 方向的速度分量为
，在一小段时间
内，粒子在y
方向的位移为
，由左手定则和动量定理可知
即
对这个等式求和即可知
故D 正确；故选ACD。
12．如图所示，竖直面内有一固定轨道
与
相切于
点，小滑块与
段的动摩擦因数为
段是半径为
的光滑圆弧，
连线水平。轨道所在处有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感
应强度大小
。将一个质量为
、带电量为
的绝缘小滑块自图中
点以水平速度
向右抛出，刚好可以无碰撞地进入斜面
。已知斜面倾角
，小滑块在进入
轨道前已
匀速运动，重力加速度
取
。求：
（1）
与
之间的水平距离；
（2）小滑块在
点时的速度大小
；
（3）小滑块在轨道最低点
时对轨道的压力。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，方向竖直向下
16
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【详解】（1）在
点，对小滑块分析
所以
与
的水平距离为
（2）小滑块匀速运动时受力分析，垂直于斜面方向
沿斜面方向
；
解得
由动能定理知
（3）从
到
，由动能定理
在
点
解得
由牛顿第三定律得知小滑块在
点对轨道的压力大小为
，方向竖直向下。
13．如图甲，一质量为
足够长的绝缘板静止在光滑水平面上，板的左端有一个质量也为
的带电小物块，
其电荷量为
。距绝缘板左端
到
之间存在电场和磁场，匀强磁场方向垂直于纸面向里，匀强
电场方向竖直向下。现让带电小物块在水平恒力的作用下从静止开始向右运动。小物块到达电、磁场区域
的左边界时刻，撤去水平恒力，此时绝缘板的速度大小为
。带电小物块从开始运动到前进
的过程中，
速度随位移变化的
图像如图乙，其中
段为直线。求：
（1）带电小物块从开始运动到电、磁场左边界的时间；
（2）水平恒力
的大小；
（3）电场强度
和磁感应强度
的大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）带电小物块匀加速运动，根据运动学公式
解得
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（2）对绝缘板根据牛顿第二定律，有
根据运动学公式有
联立解得
对带电小物块
运动过程根据动能定理，有
解得
（3）带电小物块在电场、磁场区域时，有
小物块减速运动的加速度大小为
在
时间内速度减少量为
经过t 时间速度为
整理得
根据题意可知
解得
由图乙可知
解得
14．如图所示，光滑绝缘的水平面上放置一个质量为m、带电荷量为+q 的小球（可视为点电荷）。在竖直
平面内存在匀强磁场和匀强电场，y 轴左侧电场方向水平向右，无磁场，y 轴右侧电场方向竖直向上，磁感
应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向里。两侧电场强度大小相等，均为
、现将小球从左侧距O 点为L
的A 点由静止释放，若小球第一次落回地面时落到A 点附近。
（1）求小球第二次经过y 轴时与O 的距离d：
（2）小球从开始运动到第二次经过y 轴后速度达到最小所用的时间t。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）在磁场中，由于
合力为洛伦兹力，做圆周运动
；
根据动能定理
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解得
结合几何关系可得
（2）由A 到O 物体做匀加速，根据牛顿第二定律
根据运动学规律
在磁场中做匀速圆周运
动
；
；
回到y 轴左侧后，物体做类斜抛运动，速度与合力方向垂直时，即速度
方向斜向左下
时，速度最小，从回到y 轴左侧起至速度最小所需时间t3
；
；
；
总时间
15．如图甲所示，竖直面内直角坐标系xOy，y 轴左侧的区域Ⅰ内存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向
外的匀强磁场B1（大小未知），一质量为m、带电荷量绝对值为q 的小球从P 点以速度v0沿直线PO 运动，
PO 与x 轴负方向成45°角，在y 轴与MN 之间的区域Ⅱ内加一电场强度最小的匀强电场E2（未知）后，可
使小球继续做直线运动到MN 上的Q 点，M、N 两点对应的横坐标均为
，在MN 右侧的区域Ⅲ内，存
在竖直向下匀强电场E3和某一圆形区域的匀强磁场B2（磁场位置图中末画出），其中
，磁场B2随
时间变化的规律如图乙所示，磁场变化周期为T0，取垂直纸面向外为磁场正方向，小球在
时刻进入磁
场B2后始终在该磁场内沿闭合轨迹做周期性运动，g 为重力加速度，试求：
（1）该带电小球的电性和区域Ⅰ内匀强磁场B1的大小；
（2）区域Ⅱ内匀强电场E2的场强和小球到达Q 点的速度；
（3）小球在磁场B2内沿闭合轨迹做周期性运动的周期和该磁场的最小面积。
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【答案】（1）负电，
；（2）
，与
轴正方向45°右下方向；（3）4T0，
【详解】（1）带电小球在区域Ⅰ内受重力、电场力和洛伦兹力做直线运动，只能做匀速直线运动，故三
力满足如图所示关系，小球必须带负电
由受力平衡得
解得
（2）在区域Ⅱ中
小球做直线运动，要使电场强度最小，受力如图所示
电场力方向与速度方向垂直
，方向垂直
向上，故
方向垂直
向下，即与
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轴正方向
右下方向；在区域Ⅱ中
小球做匀减速直线运动，加速度大小为
设到达
点的速度为
，由运动学公式
又
解得
（3）小球进入区域Ⅲ而没进入磁场
之前，由于
故做匀速直线运动，
时刻进入磁场
后，
开始做匀速圆周运动，其匀速圆周运动周期
小球
在磁场中的运动轨迹如图
每一边由3 个
个圆周，共12 个
个圆周组成，故小球在磁场
内沿闭合轨迹做周期性运动的周期
设做圆周运动的半径为
，由
得
正方形边长
闭合轨迹外接圆最小半径为
故磁场的最小面积为
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