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专题强化十七 带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题
学习目标 会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题和临界极值问题，提高思维
分析综合能力。
考点一 带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方
向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动
的多解问题。
(1)找出多解的原因。
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。
角度
带电粒子电性不确定形成多解
分析
图例
带电粒子可能带正电荷，也可能带
负电荷，初速度相同时，正、负粒
子在磁场中运动轨迹不同，形成多
解
如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨
迹为b
例1 (多选)平面OM 和平面ON 之间的夹角为35°，其横截面(纸面)如图1 所示，
平面OM 上方存在匀强磁场，大小为B，方向垂直于纸面向外。一质量为m，电
荷量绝对值为q、电性未知的带电粒子从OM 上的某点向左上方射入磁场，速度
与OM 成20°角，运动一会儿后从OM 上另一点射出磁场。不计重力。则下列几
种情形可能出现的是( )
图1
A.粒子在磁场中运动的轨迹与ON 只有一个公共点，在磁场中运动的时间是
B.粒子在磁场中运动的轨迹与ON 只有一个公共点，在磁场中运动的时间是
C.粒子在磁场中运动的轨迹与ON 共有两个公共点，在磁场中运动的时间是
1
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D.粒子在磁场中运动的轨迹与ON 共有两个公共点，在磁场中运动的时间是
答案 ABD
解析 带电粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，qvB
＝mr，得到r＝，T＝＝，若粒子带负电，将做逆时针方向的匀速圆周运动，粒
子回到OM 直线时，由圆周运动的对称性，速度方向必与OM 成20°，但由于
35° > 20°，则粒子轨迹与ON 只可能有一个交点，故粒子偏转角只可能为40°，
运动时间t＝T＝，A 正确，C 错误；若粒子带正电，将做顺时针方向的匀速圆周
运动，无论轨迹与ON 有几个交点，粒子回到OM 直线时，由圆周运动的对称性，
速度方向必与OM 成20°角，粒子偏转角为360°－40°＝320°，则粒子运动时间为
t＝T＝，B、D 正确。
角度
磁场方向不确定形成多解
分析
图例
只知道磁感应强度大小，而未具体指
出磁感应强度方向，由于磁感应强度
方向不确定而形成多解
粒子带正电，若B 垂直纸面向里，其轨迹
为a，若B 垂直纸面向外，其轨迹为b
例2 (多选)如图2 所示，A 点的离子源沿纸面垂直OQ 方向向上射出一束负离子，
离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP 之下的区域，可加垂直纸面的
匀强磁场。已知O、A 两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP 与
OQ 间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B 的大小和方向可能是( )
2
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图2
A.B＞，垂直纸面向里
B.B＞，垂直纸面向里
C.B＞，垂直纸面向外
D.B＞，垂直纸面向外
答案 BD
解析 当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP 相切的轨迹如图甲所示，切
点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知，sin 30°＝，可得r1＝s，由r1＝可得
B1＝；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹如图乙所示，切点为N，由几何
关系知s＝＋r2，得r2＝，又r2＝，所以B2＝，综合上述分析可知，选项B、D 正
确，A、C 错误。
角度
临界状态不确定形成多解
分析
图例
带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，
也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是
形成多解
例3 如图3 所示直角坐标系xOy，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度的大小为
1 T。现有一个位于O 点的放射源，能从O 点向纸面内各个方向射出速度大小均
为v＝5.0×106 m/s 的带正电粒子。若在与距y 轴距离为12 cm 处放一足够长平
3
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行于y 轴的感光棒PQ，粒子打在上面即被吸收。已知粒子的比荷＝5.0×107
C/kg，则该粒子不可能打中的是( )
图3
A.(12 cm，9 cm)
B.(12 cm，10 cm)
C.(12 cm，－9 cm)
D.(12 cm，－10 cm)
答案 B
解析 粒子带正电，根据左手定则知粒子在磁场中沿逆时针方向做圆周运动，设
粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解
得r＝＝10 cm，粒子的临界轨迹如图所示，O 点放射的粒子打至最远处为直径所
在位置，故其中一个临界点为P2，则OP2＝2r＝20 cm，由几何关系得MP2＝＝
16 cm，所以向下最远可以打到(12 cm，－16 cm)；与感光棒PQ 相切为另一个临
界点P1，又OO′＝O′P1＝r＝10 cm，ON＝OM－NM＝OM－O′P1＝2 cm，根据几
何关系得P1M＝O′N＝＝4 cm，所以向上最远可以打到(12 cm，4 cm)，A、C、D
项均为可能达到的位置，题目让选粒子不可能打中的位置是B 选项。
4
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考点二 带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键是以题目中的“恰好”“最大”
“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画
好轨迹，建立几何关系求解。
1.临界条件
刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
2.几种常见的求极值问题
(1)时间极值
①当速度v 一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运
动的时间越长。
②圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁
场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒
子运动时间最长。
③最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂
直。
如图4，P 为入射点，M 为出射点，此时在磁场中运动时间最短。
图4
(2)磁场区域面积极值
5
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若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，
以该条弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。
例4 (2024·辽宁大连高三期末)如图5 所示，虚线MO 与水平线PQ 相交于点O，
二者夹角θ＝30°，在MO 右侧区域存在一矩形匀强磁场(图中未画出)，磁感应强
度大小为B、方向垂直纸面向里，MO 为磁场的一条边界线。现有质量为m、电
荷量为q 的带正电粒子在纸面内沿某一方向以速度v 从O 点射入磁场，粒子从边
界线MO 射出时，速度方向平行于PQ 向左。不计粒子的重力和粒子间的相互作
用力，求：
图5
(1)粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径R 及该粒子在边界线MO 上的出射点到
O 点的距离L；
(2)粒子在磁场中的运动时间；
(3)矩形磁场区域的最小面积。
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，粒子在MO 边界射出点为N
由洛伦兹力提供向心力得
qvB＝①
解得R＝②
由几何关系可知粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角α＝60°③
则O、N 间的距离L＝R＝。④
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(2)设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，则T＝⑤
粒子在匀强磁场中运动的时间为t＝T⑥
联立②③⑤⑥解得t＝。⑦
(3)由题知矩形磁场面积最小范围应是如图所示的矩形，设其长、宽分别为d1、d2
则d1＝L⑧
由几何关系知d2＝R(1－cos 30°)⑨
磁场最小面积S＝d1d2⑩
联立②④⑧⑨⑩解得S＝。
(多选)如图6 所示，边界OA 与OC 之间存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场
方向垂直纸面向外，∠AOC＝60°。边界OA 上距O 点l 处有一粒子源S，可发射
质量为m，带正电荷q 的等速粒子。当S 沿纸面向磁场各个方向发射粒子，发现
都没有粒子从OC 边界射出。则( )
图6
A.粒子的最大发射速率不超过
7
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B.粒子的最大发射速率不超过
C.粒子从OA 边界离开磁场时离S 的最远距离可能为l
D.粒子从OA 边界离开磁场时离S 的最远距离可能为
答案 AD
解析 要使没有粒子从OC 边界射出，沿如图路线运动的粒子刚好不离开磁场，
速率最大，满足r＝，由几何关系知r＝lsin 60°＝，则v＝，故A 正确，B 错误；
粒子速度v＝，从OA 边界离开磁场时离S 最远距离d＝2r＝l·sin 60°＝l，故C 错
误，D 正确。
A 级 基础对点练
对点练1 带电粒子在磁场中运动的多解问题
1.(多选)如图1 所示，P、Q 为一对水平放置的平行板，板长与板间距离均为d，
板间区域内充满匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一质量为
m、电荷量为q 的粒子(重力不计)，以水平初速度v0从P、Q 两板间左侧中央沿
垂直磁场方向射入，粒子打到板上，则初速度v0大小可能为( )
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图1
A.
B.
C.
D.
答案 BC
解析 设粒子带正电，根据左手定则可判断粒子刚进入板间时所受洛伦兹力向上，
由于粒子不计重力，粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供
向心力有qvB＝m，解得r＝，
由题意知粒子在偏转以后打在板上，若粒子恰好未打在板上，与极板平行从左端
射出，由几何关系知半径r1＝，速度v1＝；若粒子恰好从极板右端飞出，由几何
关系知半径r2与d 之间关系为r＝d2＋，解得r2＝d，速度v2＝，粒子要打在极板
上，则初速度v0应满足的条件为<v0<，故A、D 错误，B、C 正确。
2.(多选)(2024·江西南昌模拟)如图2 所示，空间中有一个底角均为60°的梯形，上
底与腰长相等为L，梯形处于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强
磁场中，现c 点存在一个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿cd，大小可变的
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电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab 边射出，速度大小可能为( )
图2
A.
B.
C.
D.
答案 BC
解析 能够从ab 边射出的电子，半径最小为从b 点射出，如图甲所示，由几何
关系可知r1＝＝L，半径最大为从a 点射出，如图乙所示，由几何关系可知r2＝
L，由牛顿第二定律有qvB＝m，解得r＝＝，则有L≤≤L，为使粒子从ab 边射出
磁场区域，粒子的速度范围为≤v≤kBL，故B、C 正确，A、D 错误。
甲 乙
3.(多选)如图3 所示，在边长为L 的正方形PQMN 区域内存在垂直纸面向外、磁
感应强度大小为B 的匀强磁场，在MN 边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能
够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q 的粒子以某一速度从P 点射入，恰
好从Q 点射出。下列说法正确的是( )
图3
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A.带电粒子一定带负电荷
B.带电粒子的速度最小值为
C.若带电粒子与挡板垂直碰撞，则受到挡板作用力的冲量为
D.带电粒子在磁场中运动时间可能为
答案 CD
解析 若粒子带正电，粒子与挡板MN 碰撞后恰好从Q 点射出，粒子运动轨迹
如图甲所示，由几何知识有r＝L2＋，解得r1＝L，由洛伦兹力提供向心力，有
qv1B＝m，得v1＝，粒子以原速率反弹，则由动量定理有I＝2mv1＝，A 错误，C
正确；若粒子带负电，则粒子运动轨迹半径最小时的轨迹如图乙所示，由题意结
合几何知识可知，粒子做圆周运动的半径r2＝，由洛伦兹力提供粒子在磁场中做
匀速圆周运动的向心力，有qv2B＝m，得v2＝，由r＝可知，粒子速度越小，轨
迹半径越小，则带电粒子的速度最小值为，B 错误；由周期公式T＝得，粒子在
磁场中做圆周运动的周期为T＝，当粒子带负电，以如图丙所示轨迹运动时，若
轨迹对应圆心角θ＝，则带电粒子在磁场中运动时间t＝T，解得t＝，D 正确。
对点练2 带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
4.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a 的同轴圆柱面，磁
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场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图4 所示。一速率为v 的电子从圆心沿半
径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运
动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
图4
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题可知，电子在匀强磁场中只受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，设轨迹
半径为r，由牛顿第二定律得evB＝m，可得B＝，则速度一定时，电子的轨迹半
径越大，对应的磁感应强度越小，由于电子被限制在实线圆内运动，当电子的运
动轨迹与实线圆相切时，电子的轨迹半径最大，轨迹如图所示。由几何关系可得
△O1O2M 为直角三角形，则有r＝(3a－rmax)2－a2，解得rmax＝a，则磁感应强度最
小为Bmin＝，故C 正确。
5.(多选)一匀强磁场垂直于xOy 平面，分布在一个圆形区域内。一个质量为m、
电荷量为q 的带电粒子，某时刻经过原点O，速度大小为v，方向沿x 轴正方向，
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后来经过y 轴上点P 时，速度方向与y 轴正方向的夹角为30°，P 到O 的距离为
d，如图5 所示。若粒子重力忽略不计，点O 在磁场中。则粒子从点O 到P 的时
间t 和磁场区域的最小半径Rmin分别为( )
图5
A.t＝
B.t＝
C.Rmin＝
D.Rmin＝
答案 AC
解析 粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可知d＝＋r，α＝120°，粒子运动半
径r＝，粒子从点O 到P 的时间为t＝×＋＝，A 正确，B 错误；磁场区域的直径
等于粒子圆周运动的弦长时，半径最小，有Rmin＝＝，C 正确，D 错误。
B 级 综合提升练
6.(2024·湖北重点高中智学联盟高三联考)如图6 所示，平行边界M、N 间存在垂
直纸面向里的匀强磁场，边界间距为d＝3.0 m，磁感应强度为B＝0.10 T。质量
为m＝1.6×10－10 kg、电荷量为q＝3.2×10－9 C 的负离子(不计重力)从边界M 上
的A 点进入磁场，速度与边界的夹角为θ＝60°，从边界N 上的C 点垂直边界射
出磁场。求：(计算结果保留2 位有效数字)
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图6
(1)负离子进入磁场时的速度大小v0；
(2)负离子在磁场中运动的时间t；
(3)若入射速度不变，要使负离子不能从边界N 射出磁场，磁感应强度B′应满足
什么条件。
答案 (1)12 m/s (2)0.26 s (3)B′≥0.30 T
解析 (1)作出负离子在匀强磁场中的运动轨迹如图甲所示，设粒子做圆周运动
的轨道半径为r1
由几何关系得cos 60°＝①
由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝m②
联立①②解得r1＝6.0 m，v0＝12 m/s。③
甲
(2)由几何关系得，负离子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为30°，设负离子在磁
场中做圆周运动的周期为T，则
T＝④
负离子在磁场中运动的时间为t＝T⑤
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联立③④⑤解得t＝0.26 s。⑥
(3)若负离子恰好不能从边界N 射出磁场，作出负离子在磁场中的运动轨迹如图
乙所示，设负离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r2，磁感应强度为B′
乙
由几何关系得r2＋r2cos 60°≤d⑦
由洛伦兹力提供向心力得qv0B′＝m⑧
联立③⑦⑧解得B′≥0.30 T。
C 级 培优加强练
7.(2024·广州阶段测试)如图7 所示，三角形ABC 内有一磁感应强度为B、方向垂
直于纸面向外的有界匀强磁场，且∠B＝30°，∠C＝90°，BC＝L。BC 中点有一
离子源S，能均匀地向三角形内的各个方向发射大量速率相等的同种离子，离子
质量为m、电荷量为＋q。若有离子刚好从C 点沿AC 方向射出，求：
图7
(1)离子的发射速率v；
(2)从AB 边射出的离子占全部离子的占比(结果用百分比表示，保留3 位有效数
字)；
(3)从AB 边射出的离子在磁场中运动的最短时间tmin。
答案 (1) (2)33.3% (3)
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解析 (1)离子刚好从C 点沿AC 方向射出，作出该离子的运动轨迹如图甲所示
由几何关系有R＝×＝①
离子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝m②
联立①②解得v＝。③
(2)设离子入射速度方向与SB 边夹角为α 时，离子轨迹恰好与AB 边相切，作出
轨迹图如图乙所示
轨迹图中O 为轨迹的圆心，OD 与OS 为半径，由几何关系有
＝tan 30°④
联立①④解得α＝60°⑤
即在离子入射速度与SB 夹角小于等于60°时离子能够从AB 边射出，由于离子是
均匀地向三角形内的各个方向发射，则从AB 边射出的离子占全部离子的占比为
η＝×100%≈33.3%。⑥
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(3)当入射点与出射点连线垂直于AB 边时，弦长最小，对应轨迹历时最短，作出
轨迹如图丙所示
轨迹图中O′为轨迹的圆心，O′S 与O′J 为半径，由几何关系有
xSJ＝·sin 30°＝R⑦
即△O′JS 为等边三角形，即轨迹对应的圆心角为
α′＝60°
圆周运动的周期T＝⑧
最短时间tmin＝·T⑨
解得tmin＝。
17
