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2024 年高考物理一轮复习模型及秒杀技巧一遍过
模块9 电磁感应各模块大招
第08 讲 无外力等距双导体棒及有外力等距双导体棒模型
（解析版）
目录
【内容一】 双杆电动势（所有考点）模型......................................................................................................1
【内容二】 无外力等距双杆（所有考点）模型..............................................................................................3
【内容三】 有
外力等距双
导体
棒
（所有考点）模型......................................................................................5
技巧总结
无外力等距双
导体
棒
技巧总结
基础内容：
1、双杆电动势：
①同向运动：
②异向运动
③不同磁场产生新的电动势
1
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2、基本公式
①
②
③
模型：无外力等距双杆
1．电路特点：棒2 相当于电源；棒1 受安培力而加速起动,运动后产生反电动势.
2．电流特点：
I=
Blv 2−BLv 1
R1+R2
=
Bl(v2−v1)
R1+R2
随着棒2 的减速、棒1 的加速，两棒的相对速度
v2−v1变小，回路中电流也变小。
v1=0
时：电流最大，
I= Blv 0
R1+R2 。
v1=v2时：电流 I=0
3．两棒的运动情况
安培力大小：
F安=BIl=
B2 L2(v2−v1)
R1+R2
两棒的相对速度变小,感应电流变小,安培力变小.棒1 做加速度变小的加速运动，棒2 做
加速度变小的减速运动，最终两棒具有共同速度。
4．两个规律
(1)动量规律：两棒受到安培力大小相等方向相反,系统合外力为零,
2
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系统动量守恒.
m2v0=(m1+m2)v共
(2)能量转化规律：系统机械能的减小量等于内能的增加量.（类似于完全非弹性碰撞）
Q=1
2 m2v0
2−1
2 (m1+m2)v共
2
两棒产生焦耳热之比：
Q1
Q2
= R1
R2 ；
Q=Q1+Q2
5．几种变化：
(1)初速度的提供方式不同 (2)磁场方向与导轨不垂直 (3)两棒都有初速度（两棒
动量守恒吗？）
(4)两棒位于不同磁场中（两棒动量守恒吗？）
形如：
问题1：当2 杆速度为
时，1 杆
，
破解：
问题2：最终两杆的速度？（两杆系统动量守恒）
问题3：全程2 杆的产热？
3
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总产热：
根据产热比得：
.
有
外力等距双
导体
棒
技巧总结
模型：
1．电路特点：棒2 相当于电源，棒1 受安培力而起动.
2．运动分析：某时刻回路中电流：
I=
Blv 2−BLv 1
R1+R2
=
Bl(v2−v1)
R1+R2
安培力大小：
F安=BIL
。棒1：
a1=
F安
m1 棒2：
a2=
F−F安
m2
最初阶段，a2>a1, 只要a2>a1,(v2−v1)↑
；I ↑；
F安↑
；a1↑
；a2↓
当
a1=a2时，
v2−v1恒定，I 恒定，
F安恒定，两棒匀加速
3．稳定时的速度差
F=(m1+m2)a
，
F安=m1a
，
F安=BIL
，
I=
Bl(v2−v1)
R1+R2
，
v2−v1= ( R1+R2)m1 F
B2 L2(m1+m2)
4、动量不守恒
动量定理
4
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形如：
问题：启动后，1 杆加速度为
问：
破解：
F=m1a1+m2a2⇒a2= F−m1a1
m2
根据动量定理：
总结：
.
模型演练
例1．如图所示，两条足够长、电阻不计的平行导轨放在同一水平面内，相距l。磁感
应强度大小为B 的范围足够大的匀强磁场垂直于导轨平面向下。两根质量均为m、电
阻均为r 的导体杆a、b 与两导轨垂直放置且接触良好，开始时两杆均静止。已知b 杆
光滑，a 杆与导轨间最大静摩擦力大小为F0.现对b 杆施加一与杆垂直且大小随时间按
图乙所示规律变化的水平外力F，已知在t1时刻，a 杆开始运动，此时拉力大小为F1，
下列说法正确的是（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（ ）
5
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A．当a 杆开始运动时，b 杆的速度大小为
B．在0~t1这段时间内，b 杆所受安培力的冲量大小为
C．在t1~t2这段时间内，a、b 杆的总动量增加了
D．a、b 两杆最终速度将恒定，且两杆速度大小之差等于t1时刻b 杆速度大小
解：A．在整个运动过程中，a、b 两杆所受安培力大小相等，当a 杆开始运动时，所
受的安培力大小等于最大静摩擦力F0，则
，
，
联立可得
＝F0解得b 杆的速度大小为v＝
故选项A 错误；
B．对b 杆由动量定理得IF－I 安＝mv，
解得
故选项B 错误；
C．在t1~t2这段时间内，外力F 对a、b 杆的冲量为
因a 杆受摩擦力作用，可知a、b 杆所受合力的总冲量小于
，即a、b 杆
的总动量增加量小于
，选项C 错误；
D．由于最终外力F＝F0，故此时对两杆整体，合力为零，两杆所受的安培力均为F0，
处于稳定状态，因开始时b 杆做减速运动，a 杆做加速运动，故a、b 两杆最终速度将
恒定，速度大小之差满足
即Δv＝v 速度大小之差等于t1时刻b 杆速度大小，
选项D 正确。
故选D。
例2．如图，U 形光滑金属框abcd 置于水平绝缘平台上，ab 和dc 边平行，和bc 边垂
直。ab、dc 足够长，整个金属框电阻可忽略。一根具有一定电阻的导体棒MN 置于金
属框上，用水平恒力F 向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强
磁场中，MN 与金属框保持良好接触，且与bc 边保持平行。经过一段时间后（ ）
6
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A．金属框的速度大小趋于恒定值 B．金属框的加速度逐渐减小，最终为零
C．导体棒所受安培力的大小趋于恒定值 D．导体棒到金属框bc 边的距离趋于恒定值
解：ABC．当金属框在恒力F 作用下向右加速运动时，bc 边产生从c 向b 的感应电流
i，金属框的加速度大小为a1，则有F－Bil＝Ma1
MN 中感应电流从M 流向N，MN 在安培力作用下向右加速运动，加速度大小为a2，则
有
Bil＝ma2当金属框和MN 都运动后，金属框速度为v1，MN 速度为v2，则电路中的感应
电流为i＝
感应电流从0 开始增大，则a2从零开始增加，a1从
开始减小，加速度差值减小。当
a1＝a2时，得F＝（M＋m）a，a＝
恒定，由F 安＝ma
可知，安培力不再变化，则感应电流不再变化，根据i＝
知金属框与MN 的速度差保持不变，v－t 图像如图所示，故A、B 错误，C 正确；
D．MN 与金属框的速度差不变，但MN 的速度小于金属框的速度，则MN 到金属框bc
边的距离越来越大，故D 错误。故选C。
例3．竖直放置的平行光滑导轨，其电阻不计，磁场方向如图所示，磁感应强度大小
为B=0.5 T，导体ab 及cd 长均为0.2 m，电阻均为0.1 Ω，重均为0.1 N，现用力向上推
动导体ab，使之匀速上升（与导轨接触良好），此时cd 恰好静止不动，那么ab 上升
时，下列说法正确的是（ ）
7
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A．ab 受到的推力大小为0.2N B．ab 向上的速度为2 m/s
C．在2 s 内，推力做功转化的电能是0.2J D．在2 s 内，推力做功为0.8J
解：A．根据题意，对cd 棒分析，根据平衡条件有
对ab 棒分析，根据平衡条件有
联立解得
故A 正确；
B．导体ab 切割磁感线，产生的感应电动势为
则感应电流为
安培力为
联立解得
故B 正确；
C．在2 s 内，推力做功转化的电能是
故C 错误；
D．在2 s 内，推力做功为
故D 正确。故选ABD。
例4．如图所示，足够长的平行金属导轨竖直放置在垂直于导轨平面向里的匀强磁场
中，两根质量相同的导体棒a 和b 垂直于导轨放置，导体棒与导轨紧密接触且可自由
滑动。先固定a，释放b，当b 的速度达到v 时，再释放a，经过时间t 后，a 的速度也
达到v，重力加速度为g，不计一切摩擦。则以下说法中正确的是（ ）
A．释放a 之前，b 运动的时间等于
B．释放a 之前，b 下落的高度大于
C．释放a 之后的时间t 内，a 下落的高度大于
D．a 和b 的加速度最终都等于g
解：AB．释放a 之前，b 受向下的重力和向上的安培力，且随速度的增加，所受的安
培力变大，则b 做加速度减小的变加速运动，即b 的平均加速度小于g，则b 运动的时
8
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间大于
，b 下落的高度大于
，故A 错误，B 正确；
C．释放a 之后，因a 开始时速度小于b，则回路中有逆时针方向的电流，则a 受的安
培力方向向下，则a 的加速度大于g，则的时间t 内，a 下落的高度小于
，故C 错误；
D．释放a 之后，b 受向上的安培力，加速度小于g，a 向下的加速度大于g，则随着两
物体的下落，速度差逐渐减小，回路的电流逐渐减小，安培力逐渐减小，则a 的加速
度逐渐减小，b 的加速度逐渐变大，最终a 和b 的加速度都等于g 时，速度差为零，到
达稳定状态，故D 正确。故选BD。
例5．如图所示，光滑平行金属导轨位于竖直向上的匀强磁场中，将具有一定电阻的
导体棒M、N 垂直放在导轨上，导轨电阻与摩擦均不计，用水平恒力F 向右拉动导体
棒N。运动过程中导体棒M、N 始终处于磁场中，且垂直于导轨，导体棒M、N 与导轨
接触良好，经过一段时间后（ ）
A．导体棒M 的速度趋于恒定值 B．导体M 的加速度趋于恒定值
C．流过导体棒M 的电流趋于恒定值 D．M、N 之间的距离趋于恒定值
解：某时刻回路中电动势
回路中的电流
安培力大小
导体棒的加速度
，
开始
，分析可知，速度在增大，安培力在增大，
增大，
减小；
当
时，
恒定，则电动势恒定，电流恒定，安培力恒定，两棒匀加速运动，
速度一直在增大，且位移差在逐渐增大，故AD 错误，BC 正确。故选BC。
例6．两根相距为L 的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平
面内，另一边垂直于水平面。质量均为m 的金属细杆ab、cd 与导轨垂直接触形成闭合
回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为
，导轨电阻不计；回路总电阻为2R。整个装
置处于磁感应强度大小为B，方向竖直向上的匀强磁场中。当ab 杆在平行于水平导轨
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的拉力F 作用下以速度
沿导轨匀速运动时，cd 杆也正好以速度
向下匀速运动。重
力加速度为g。说法正确的是（ ）
A．ab 杆所受拉力F 的大小为
B．cd 杆所受摩擦力的大小为
C．回路中的电流强度为
D．
与
大小的关系为
解：AC．导体ab 切割磁感线时产生沿ab 方向，产生感应电动势，导体cd 向下匀速运
动，未切割磁感线，不产生感应电动势，故整个电路的电动势为导体ab 产生的，大小
为：
感应电流为
导体ab 受到水平向左的安培力，由受力平衡得
解得
又cd 杆也正好以速度
向下匀速运动，由受力平衡得
联立解得
，C 错误，A 正确；
B．导体棒cd 匀速运动，在竖直方向受到摩擦力和重力平衡，有
B 正确；
D．由于
解得
，D 错误。故选AB。
例7．如图所示，足够长且间距为L 的平行金属导轨水平放置，处在磁感应强度大小为
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B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下．质量均为m、接入电阻均为R 的金属
棒ab、cd 放在导轨上且与导轨垂直，金属棒与导轨间的动摩擦因数均为
，用大小等
于1.5
mg 的水平恒力F 向右拉金属棒cd，金属棒cd 相对于导轨的位移为
时速度达
到最大，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计导轨电阻，重力加速度为g，下列
说法正确的是（ ）
A．恒力F 作用的一瞬间，金属棒cd 的加速度大小等于
B．恒力F 作用一段时间后，金属棒ab 会向右运动
C．金属棒cd 运动的最大速度大小为
D．金属棒cd 从开始运动到速度达到最大经过的时间
解：A、恒力F 作用瞬间，金属棒cd 的加速度大小为
，故A
正确；
B、当cd 棒的加速度为零时速度最大．设cd 加速度为零时所受的安培力为
，根据
平衡条件有：
，则得
，对ab 棒，因
，所
以金属棒ab 不可能运动，故B 错误；
C、金属棒cd 先做加速运动，当金属棒cd 达到最大速度后匀速运动，此时
，结合
，可得金属棒cd 运动的最大速度大小
，故C 正确；
D、在极短的一段时间内，对金属棒cd，由动量定理得：
，
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整理得：
，对式子两边求和有：
，则金属棒cd 从开始运动到速度达到最大时，整理有：
，联立以上式子解得：
，故D 错误．
例8．如图甲所示，固定倾斜放置的平行导轨足够长且电阻不计，倾角为θ，导轨间距
为L，两阻值均为R 的导体棒ab、cd 置于导轨上，棒的质量均为m，棒与导轨垂直且
始终保持良好接触，整个装置处在与平面垂直向上的磁感应强度为B 的匀强磁场中，
开始时导体棒ab、cd 处于静止状态，现给cd 一平行于平面向上的拉力F，使cd 向上
做如图乙所示的加速运动，至t0时刻ab 棒刚要滑动，两棒与导轨的动摩擦因数相等，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则在0～t0过程中（ ）
A．ab 棒受到导轨的摩擦力一直增大 B．ab 棒受到的安培力一直增大
C．棒与导轨间的动摩擦因数为
D．在t0时刻突然撤去拉力的一瞬间，cd 棒的加速度为
解：AB．在0～t0过程中由于cd 棒做加速运动，所以回路中的感应电动势E 增大，感
应电流I 也增大，根据安培力公式
①
可知ab 棒受到的安培力一直增大。当ab 棒受到的安培力小于mgsinθ 时，由平衡条件
得
FA+f=mgsinθ ②则FA增大， f 减小；
当ab 棒受到的安培力大于mgsinθ 时，由平衡条件得FA =f+mgsinθ ③
则FA增大，f 增大，所以ab 棒受到导轨的摩擦力先减小后增大，故A 错误，B 正确；
C．设棒与导轨间的动摩擦因数为μ，在t0时刻，ab 棒所受安培力的大小为
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④根据平衡条件有
⑤
联立④⑤解得
⑥故C 错误；
D．在t0时刻，cd 棒所受安培力的大小为
⑦
设撤去拉力的一瞬间，cd 棒的加速度大小为a，根据牛顿第二定律有
⑧联立⑤⑦⑧解得
⑨故D 正确。故选
BD。
例9．如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定在同一水平面内，两导轨间的
距离为L。导轨上面横放着两根导体棒
、
，与导轨一起构成闭合回路。两根导体
棒的质量均为m，长度均为L，电阻均为R，其余部分的电阻不计。在整个导轨所在的
平面内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。开始时，两导体棒均在
导轨上静止不动，某时刻给导体棒
以水平向右的初速度
，则（ ）
A．导体棒
刚获得速度
时受到的安培力大小为
B．导体棒
、
速度会减为0
C．两导体棒运动的整个过程中产生的热量为
D．当导体棒
的速度变为
时，导体棒
的加速度大小为
解：A．导体棒ab 刚获得速度v0时产生感应电动势
感应电流为
安培力为
联立可得
故A 错误；
B．运动过程中，两导体棒系统动量守恒，有
可得最终两棒速度为
故B 错误；
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C．两导体棒运动的整个过程中产生的热量为机械能的损失
故C 错误；
D．由动量守恒可得
解得
导体棒ab 产生的电动势为
导体棒cd 产生的电动势为
两电动势反向，则总电动势为
感应电流为
安培力为
联立可得
则导体棒cd 的加速度大小为
故D 正确。故选D。
例10．如图，水平面内固定有两根平行的光滑长直金属导轨，导轨间距为L，电阻不
计。整个装置处于两个磁感应强度大小均为B、方向相反的竖直匀强磁场中，虚线为
两磁场的分界线。质量均为m 的两根相同导体棒MN、PQ 静置于图示的导轨上（两棒
始终与导轨垂直且接触良好）。现使MN 棒获得一个大小为v0、方向水平向左的初速
度，则在此后的整个运动过程中（ ）
A．两棒受到的安培力冲量大小相等，方向相反
B．两棒最终的速度大小均为
，方向相同
C．MN 棒产生的焦耳热为
D．通过PQ 棒某一横截面的电荷量为
解：A．MN 棒向左运动，由右手定则可知，MN 中的电流由N 到M，PQ 中的电流由
P 到Q，由左手定则可知，MN 棒受到的安培力方向向右，PQ 棒受到的安培力方向也
向右，由于两棒组成回路所以两棒中的电流相等，由
可知，安培力大小相等，
由
可知，两棒受到的安培力冲量大小相等，方向相同，故A 错误；
BC．由于MN 棒受到的安培力方向向右，PQ 棒受到的安培力方向也向右，则MN 棒
向左做减速运动，PQ 向右做加速运动，两棒切割磁感线产生的感应电动势正极与正极
相连，当两棒产生的电动势相等时，两棒速度大小相等，回路中的电流为0，此后两
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棒以相同速率反方向做匀速直线运动，取向左为正方向，对两棒分别为动量定理得
解得
由能量守恒得
则MN 棒产生的焦耳热为
，故BC 错误；
D．对PQ 棒由动量定理得
即
则
故D 正确。故选D。
例11．如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定于同一水平面内，整个导轨处
于竖直向上的匀强磁场中，导轨上平行放置质量均为m 的导体棒ab 和cd，构成矩形回
路。开始时，棒ab 静止，棒cd 有水平向右的初速度v0，则从开始到棒ab 达到最大速
度的过程中，回路中产生的焦耳热为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：导体棒ab 和cd 组成的系统动量守恒，ab 达到最大速度时，两棒具有共同速度v，
则有
由能量守恒定律可得回路中产生的焦耳热为
联立解得
所以B 正确；ACD 错误；故选B。
例12．如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面且
方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为
。两导体棒
、
均垂直于导轨静止放
置。已知导体棒
质量为
，导体棒
质量为
，长度均为，电阻均为，其余部分
电阻不计。现使导体棒
获得瞬时平行于导轨水平向右的初速度
。除磁场作用外，
两棒沿导轨方向无其他外力作用，在两导体棒运动过程中，下列说法正确的是
（ ）
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A．任何一段时间内，导体棒
的动量变化和导体棒
的动量变化都相同
B．全过程中，两棒共产生的焦耳热为
C．为了保证两导体棒不相撞，两导体棒初始间距至少为
D．上述说法都不正确
解：A．根据题意可知，两棒组成回路，电流相同，故所受安培力合力为零，动量守
恒，故任何一段时间内，导体棒b 的动量改变量跟导体棒a 的动量改变量总是大小相
等、方向相反； A 错误；
BCD．a、b 两棒的速度最终相等，设为v，根据动量守恒定律可得
根据能量守恒定律，两棒共产生的焦耳热为
对b 棒，由动量定理有
解得
而
解得
即为了保证两导体棒不相撞，两导体棒初始间距至少为
，选项C 正确，BD 错误。
故选C。
例13．如图所示，在匀强磁场中有两条相互平行的金属导轨，磁场方向与导轨平面垂
直，导轨上有两个可沿导轨向同一方向自由移动的金属棒
、
，运动过程中两金属
棒始终与导轨垂直且接触良好。已知两金属棒运动的速度大小分别是
、
，若回路
中有感应电流产生，则两金属棒速度的大小关系可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
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解：由于两金属棒同向运动，当它们的速度大小相等时，穿过回路的磁通量不再发生
改变，回路中没有感应电流产生；当两棒的速度不等时，穿过回路的磁通量发生改变，
回路中才有感应电流产生，所以两金属棒的速度大小关系为
、
或
。
故选ABD。
例14．如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定在同一水平面内，两导轨间的
距离为L，垂直导轨放置两根导体棒1 和2，构成矩形回路，两根导体棒的质量均为
m，电阻均为R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀
强磁场，磁感应强度为B，初始导体棒2 静止、导体棒1 有指向导体棒2 的初速度
，
若两导体棒在运动过程中始终不接触，则下列说法正确的是（ ）
A．导体棒1 通过的电荷量最大值为
B．导体棒2 的最大加速度大小为
C．导体棒1、2 间距减少量的最大值为
D．导体棒2 产生的最大热量为
解：A．对导体棒1，由动量定理可得
，
即为
所以
导体棒1 通过的电荷量最大值为
，A 错误；
B．当导体棒1 刚开始运动时，导体棒2 加速度最大
，
即
得
，B 正确；
C．由于通过导体棒1 的电量最多为
导体棒1、2 间距减少量的最大值为
C 错误；
D．从开始到最终稳定的过程中，两棒总动量守恒，取向右为正方向，根据动量守恒
定律得
由能量守恒定律得
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导体棒2 产生的最大热量为
，D 正确。故选BD。
对应题型精炼
1．如图甲所示，在不同区域存在3 个匀强磁场，磁感应强度分别为
、
、
，方
向均竖直向下。一个水平固定的半径为的金属圆环，磁场
分布区域呈半圆环状
（俯视图如图乙所示，圆环内径为
）。长均为、电阻均为
的两金属棒沿圆环直径
放置，一端与圆环接触良好，另一端固定在过圆心的导电竖直转轴
上，并随轴以
角速度
匀速转动。圆环边缘、与转轴良好接触的电刷分别与间距的水平放置的平行
金属轨道相连，轨道间接有电容为
的电容器，电容器上串联一个阻值为
的电阻。
开始时单刀双掷开关
和接线柱1 接通，电容器充电完毕后带电量为
。将
从1 拨到
2，同时让质量为
的金属棒
以初速度
在磁场
中向右运
动，金属棒
达到稳定速度
后出磁场
，并和静止在绝缘无磁场区的质量也为
的
金属棒
发生碰撞且粘合。合金属棒滑入处于磁场
的粗糙导轨（足够长且动摩擦因
数为
），导轨末端连接一个自感系数为
的纯电感（自感电动势
），合金
属棒向右前进了一段距离后速度减小到零。已知其他部分的导轨摩擦不计，金属棒
和
、电感、导轨、金属圆环的电阻都忽略不计，两金属棒
和
始终与导轨垂直且接
触良好。求：
（1）电容器
板带电极性、旋转切割金属棒产生的电动势和带电量
（用
、
、、
表示）；
（2）
和
的比值；
（3）若已知
、
、
、
、
、
18
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，求合金属棒在磁场
中前进的距离
。
【答案】（1）负电，
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据右手定则，
板带负电，电动势为
带电量为
（2）设电容器后来带电为
，对棒
，根据动量定理
其中
代入解得
即
（3）对两棒，根据动量定理
对合棒和电感有
所以合棒开始运动后棒上电流与棒的位移成正比，即
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根据功能关系
代入可得
2．如图所示，平行倾斜光滑导轨与足够长的平行水平光滑导轨平滑连接，导轨电阻不
计。质量分别为2kg 和1kg 的金属棒b 和c 静止放在水平导轨上，b、c 两棒均与导轨
垂直。图中de 虚线右侧有范围足够大、方向竖直向上的匀强磁场B=2T。两平行导轨
宽度L1:L2=2:1。质量为2kg 的绝缘棒a 垂直于倾斜导轨静止释放，释放位置与水平导
轨的高度差为h=1.8m（重力加速度大小g 取10m/s2，不计摩擦和空气阻力）。求：
（1）绝缘棒a 与金属棒b 发生弹性正碰后刚分离时两棒的速度大小v1和v2；
（2）最终两导体棒b、c 的速度大小v3和v4。
【答案】（1）0，6m/s；（2）2m/s，4m/s
【详解】（1）设绝缘棒a 滑上水平导轨时，速度为v0，下滑过程中绝缘棒a 机械能守
恒，有
绝缘棒a 与金属棒b 发生弹性碰撞，由动量守恒定律
由机械能守恒定律有
联立解得绝缘棒a 的速度大小为
金属棒b 的速度大小
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（2）当磁通量不发生变化时不再有电流且安培力消失，此时速度达到稳定，则两导体
棒单位时间内扫过面积相等，有
b、c 分别用动量定理
联立解得
，
3．如图，两根电阻不计、足够长的平行光滑金属导轨
固定在水平面内，间
距
，在导轨间宽度
的矩形区域内，有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，
磁感应强度大小
，一根质量
，电阻
的金属棒
静止在导轨
上，现使另一根质量
，电阻也为
的金属棒
以初速度
从
左端开始沿导轨滑动，穿过磁场区域后，与
发生弹性碰撞，两金属棒始终与导轨垂
直且接触良好。求：
（1）金属棒
在第一次穿越磁场的过程中回路中感应电流的方向（从上向下看，是顺
时针还是逆时针，写出结果即可）；
（2）金属棒
在第一次穿越磁场的过程中流过金属棒
的电荷量
；
（3）金属棒
穿出磁场时的速度大小
；
（4）金属棒
在与金属棒碰撞后瞬间的速度
。
【答案】（1）逆时针；（2）0.5C；（3）1.5m/s；（4）
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【详解】（1）由右手定则可知，第一次穿过磁场时回路中有逆时针方向的感应电流。
（2）a 棒在第一次穿过磁场的过程中平均电动势
通过的电量
（3）第一次穿过磁场的过程中由动量定理可知
解得
v1=1.5m/s
（4）两棒发生弹性碰撞，则
解得
v2=-0.5m/s
4．如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ 相距为
，导轨平面与
水平面的夹角为
，导轨上端连接一定值电阻
，导轨的电阻不计，整个
装置处于方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，金属棒cd 垂直于MN、PQ 放置在导
轨上，且与导轨保持良好的接触，金属棒的质量为
，电阻为
，现将
金属棒从紧靠NQ 处由静止释放，经过一段时间，金属棒速度达到最大值
，
重力加速度g 取
，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度的大小
；
（2）若金属棒速度达到
时，金属棒下滑距离为
，此后，使磁感应强度逐渐
减小，金属棒中不产生感应电流，写出磁感应强度B 与时间t 的关系式。
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）金属棒达到最大速度时产生的电动势
回路中产生的感应电流
金属棒所受的安培力
cd 棒所受的合外力为零时，下滑的速度达到最大，由平衡条件得
联立代入数据解得
（2）金属棒中不产生感应电流时，则不受安培力，做匀加速运动。设金属棒的加速度
大小为a，根据牛顿第二定律得
回路中磁通量应不变，则有
联立可得
5．如图所示，两根平行的光滑金属导轨MN、PQ 放在水平面上，左端向上弯曲，导
轨间距为L，电阻不计。水平段导轨所处空间存在方向竖直向上的匀强磁场，磁感应
强度为B。导体棒a 和b 的质量分别为m 和2m，电阻值分别为Ra=2R，Rb=R；b 棒放
置在水平导轨上足够远处，a 棒在弧形导轨上距水平面h 高度处由静止释放。运动过程
中导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，重力加速度为g。求：
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（1）最终稳定时两棒的速度大小；
（2）从a 棒开始下落到最终稳定的过程中，b 棒上产生的内能；
（3）求全过程通过a 棒的电荷量。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）对a 棒由动能定理得
解得
取水平向右为正方向，由动量守恒定律得
解得
（2）对系统由能量守恒定律得
解得
b 棒上产生的内能为
（3）对b 棒由动量定理得
解得
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可知全过程通过a 棒的电荷量为
。
6．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨cd 和ef 水平放置，在其左端连接倾角为θ＝
37°的光滑金属导轨ge、hc，导轨间距均为L＝1 m，在水平导轨和倾斜导轨上，各放
一根与导轨垂直的金属杆，金属杆与导轨接触良好。金属杆a、b 质量均为M＝0.1
kg，电阻Ra＝2 Ω、Rb＝3 Ω，其余电阻不计。在水平导轨和斜面导轨区域分别有竖直
向上和竖直向下的匀强磁场B1、B2，且B1＝B2＝0.5 T。已知从t＝0 时刻起，杆a 在外
力F1作用下由静止开始水平向右运动，杆b 在水平向右的外力F2作用下始终保持静止
状态，且F2＝0.75＋0.2t（N）。（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s2）
（1）判断杆a 的电流方向并通过计算说明杆a 的运动情况；
（2）从t＝0 时刻起，求1 s 内通过杆b 的电荷量；
（3）若从t＝0 时刻起，2 s 内作用在杆a 上的外力F1做功为13.2 J，则求这段时间内
杆b 上产生的热量。
【答案】（1）
，杆a 做加速度为a＝4 m/s2的匀加速运动；（2）0.2C；（3）6J
【详解】（1）由楞次定律可知电流方向从
，因为杆b 静止所以有
又由于
解得
电路中的电动势由杆a 运动产生，故
得
所以，杆a 做加速度为a＝4 m/s2的匀加速运动。
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（2）杆a 在1 s 内运动的距离
故解得
即1 s 内通过杆b 的电荷量为0.2 C。
（3）设整个电路中产生的热量为Q，由能量守恒定律得
解得
7．如图所示，在水平面内有两根间距为l 的金属导轨平行放置，导轨末端通过一小段
塑料接口与足够长的倾斜平行金属导轨平滑连接，倾斜导轨倾角为
。在图示区域Ⅰ，
Ⅲ和Ⅳ中，存在垂直于导轨向上的匀强磁场，磁感应强度分别为
，
和
；区域
Ⅱ中导轨粗糙，宽度为d，其余导轨均光滑。磁场边界
上放置金属棒a，磁场边界
右侧附近静止放置金属棒b，倾斜导轨足够远处连接有电感为L 的电感线圈。现让
金属棒a 以初速度
进入磁场，发现它最终刚好停在了
（边界左侧），而金属棒b
恰好滑入倾斜轨道。已知金属棒a 与轨道粗糙部分的动摩擦因数为
，金属棒a 的电
阻为R，其余电阻均不计，金属棒a、b 的质量均为m，重力加速度取g，求：
（1）在金属棒a 刚进入磁场瞬间，金属棒b 的加速度；
（2）金属棒a 在离开区域Ⅰ后产生的焦耳热Q；
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（3）金属棒b 能沿倾斜导轨向下滑行的最大距离
。（已知自感线圈的自感电动势E
自
）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）a 棒进入磁场瞬间，产生电动势和电流分别为
所以棒b 受到的安培力为
由牛顿第二定律得
解得
（2）设金属棒a 离开磁场Ⅰ区域时的速度为v1，此时金属棒b 的速度为v2，金属棒a
在区域Ⅱ中做匀减速运动，可得
棒a 穿越磁场区域Ⅰ过程中，由动量定理可得
根据题意有
联立解得
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对棒b，在该过程中，由动量定理可得
解得
之后，由能量关系可知，克服安培力做的功等于电路中产生的焦耳热，金属棒b 此时
的动能将全部转化成金属棒a 的焦耳热Q，有
（3）金属棒b 恰能滑入斜轨，则在斜轨上初速度为0 开始下滑，因为b 棒与线圈组成
的回路，直流电阻为零，所以必须满足
可得
所以棒开始运动后棒上电流与棒的位移成正比，即
所以棒的运动方程为
可知金属棒做简谐运动，平衡位置时
a=0
即
由简谐运动对称性可知，下滑最大距离为
8．如图所示，在匀强磁场中竖直放置两条足够长的平行导轨，磁场方向与导轨所在平
面垂直，磁感应强度大小
，两导轨间距L＝1.0m，两水平金属棒a 和b 接入
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电路的电阻都为R＝2.0Ω，质量分别为
和
，它们始终与导轨
接触良好，并可沿导轨无摩擦滑动。若将b 棒固定，用一竖直向上的恒力F 拉a 棒，
稳定后a 棒向上匀速运动，此时再释放b 棒，b 棒恰能保持静止。不计导轨电阻，取
。
（1）求a 棒向上匀速运动的速度
和拉力F 的大小；
（2）若将a、b 棒都固定，使磁感应强度从
随时间均匀增加，经
后磁感应强度增大到
时，a 棒受到的安培力大小
，求两棒间的距
离h。
【答案】（1）5.0m/s，0.5N；（2）0.50m
【详解】（1）a 棒做切割磁感线运动，产生的感应电动势为
a 棒和b 棒构成串联电路，电流为
a 棒和b 棒受到的安培力大小为
对b 棒有
对a 棒有
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代入数据得
（2）当磁场均匀变化时，产生的感应电动势为
回路电流为
根据题意有
代入数据得
9．如图所示，在大小为B 的匀强磁场区域内，垂直磁场方向的水平面中有两根固定的
足够长的金属平行导轨，在导轨上面平放着两根导体棒ab 和cd，两棒彼此平行，构成
一矩形回路。导轨间距为L，导体棒的质量均为m，电阻均为R，导轨电阻可忽略不计。
两导体棒与导轨的动摩擦因数均为μ。初始时刻ab 棒静止，给cd 棒一个向右的初速度
，以上物理量除
未知外，其余的均已知，求：
（1）当cd 棒速度
满足什么条件时导体棒ab 会相对于导轨运动？
（2）若
已知且满足第（1）问的条件，从开始运动到ab 棒的速度最大时，用时为，
求ab 棒的最大速度；
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据题意可知，
棒产生的电动势为
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回路感应电流为
为了使导体棒
会相对于导轨运动，应满足
联立解得
（2）设
棒的最大速度为
，此时
棒的速度为
，回路电动势为
回路电流为
导体棒受到的安培力为
此时
棒的加速度为零，则有
对ab 棒和cd 棒组成的系统，安培力对两棒的冲量大小相等，方向相反，以向右方向
为正，根据动量定理可得
联立解得
10．如图所示，两根一样的“L”形金属导轨平行放置，其间距d=0.75m，导轨竖直部
分粗糙，水平部分光滑且足够长。整个装置处于方向竖直向上、大小B=1T 的匀强磁
场中。有两根导体棒ab 和cd，它们的质量都为m=0.1kg，阻值都为R=lΩ，ab 棒与竖
直导轨间的动摩擦因数
=0.5。ab 棒在竖直导轨平面左侧并垂直导轨固定，cd 棒垂直
导轨放置在水平导轨上。现用一大小F=3N 的水平恒力由静止开始向右拉动cd 棒，同
时释放ab 棒。t=ls 末，ab 棒速度恰好为0。ab 棒始终与竖直导轨接触良好，其余电阻
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不计，求：.
（1）当cd 棒的速度为v0=1m/s 时，cd 棒两端电压Ucd 和流过ab 棒的电流I 的大小；
（2）t=ls 末cd 棒的速度v；
（3）在0～1s 内，两根棒上产生的总焦耳热Q。
【答案】（1）
，
；（2）10m/s；（3）
【详解】（1）当cd 棒的速度为v0=1m/s 时，产生的感应电动势为
cd 棒两端电压为
流过ab 棒的电流大小为
（2）对ab 棒在0～ls 过程中运用动量定理
解得
对cd 棒在0～1s 过程中运用动量定理
联合解得
（3）cd 棒在0～1s 过程中受到安培力的冲量
解得
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对cd 棒在0～ls 过程中运用动能定理
由于安培力对ab 棒不做功，故可得
11．如图，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。
区域有匀强磁场，磁
感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M 以初速度
向右
运动，磁场内的细金属杆N 处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始
终与导轨垂直。两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及
导轨的电阻忽略不计。
（1）求M 刚进入磁场时受到的安培力F 的大小和方向；
（2）若两杆在磁场内未相撞且N 出磁场时的速度为
，求：
①N 在磁场内运动过程中通过回路的电荷量q；
②初始时刻N 到
的最小距离x；
【答案】（1）
，水平向左；（2）①
；②
【详解】（1）依题意，当M 进磁场时所受的安培力为
所以
根据左手定则可知，M 刚进入磁场时受到的安培力的方向水平向左；
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（2）①从M 进入磁场到N 棒以
离开磁场的过程，根据动量定理可得
所以
②设两杆在磁场中相对靠近的位移为
，根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定
律，有
整理可得
联立可得
若两杆在磁场内刚好相撞，初始时刻N 到
的最小距离为
12．如图所示，平行且光滑的导轨ABCD 和水平面EFGH 平行。质量分别为
和
m，电阻均为R 的导体棒a、b 垂直于导轨静置于图示位置（b 静止在导轨右边缘BC
处）。b 的两端由二根足够长的轻质导线与导轨相连接，与a 棒形成闭合回路。在
BEHC 右侧区域空间存在竖直向下的磁场，磁感应强度为B，当给导体棒a 一个水平初
速度 2v₀ 后，在 BC 处与导体棒b 发生弹性碰撞。碰撞后导体棒b 飞离轨道并恰好从
地面FG 处离开磁场，导体棒运动过程中不会发生转动。已知导轨间距为l，导轨离地
高度也为l，磁场区域长度 EF 为s，不计其他电阻，求：
（1）导体棒b 进入磁场时的速度和刚进入磁场时受到的安培力；
（2）导体棒b 离开磁场时，速度与水平方向的夹角正切值；
（3）导体棒在磁场中运动过程中，b 棒产生的总热量。
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【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）a、b 碰撞前后动量守恒，总动能不变，规定向右为正方向，由动量定
理和能量守恒得
b 进入磁场瞬间
（2）设导体棒b 到达FG 的水平分速度为
，竖直分速度为
，水平方向上根据动量
定理
竖直方向
化简得
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（3）由动能定理可得
安培力做功为系统发热量，因此可化简得回路中产生的总热量
b 棒产生的总热量
13．如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ 固定在水平面上，左端向上
弯曲，导轨间距为L，电阻不计，水平段导轨所处空间存在方向竖直向上的匀强磁场，
磁感应强度大小为B。有长度均为L 的两导体棒a，b 质量分别为
，
，
电阻值分别为
，
。b 棒静止放置在水平导轨上足够远处，与导轨接触良
好且与导轨垂直；a 棒在弧形导轨上距水平面h 高度处由静止释放，运动过程中导体棒
与导轨接触良好且始终与导轨垂直，重力加速度为g。求：
（1）a 棒刚进入磁场时，回路中的感应电流；
（2）a 棒和b 棒最终稳定时的速度大小；
（3）从a 棒开始下落到最终稳定的过程中，b 棒上产生的焦耳热。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）对a 棒，在下落h 过程中，由动能定理得
a 棒刚进入磁场时，由法拉第电磁感应定律
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由闭合电路欧姆定律
联立解得
（2）a 棒进入磁场后，a 棒、b 棒与导轨构成的回路中产生感应电流，而a 与b 所受安
培力大小相等、方向相反，故a 与b 的系统的动量守恒，则
联立解得
（3）整个过程能量守恒，则对a、b
又
联立解得
14．如图所示，a、b 两根完全相同的金属棒放置在倾角为θ＝37°的两平行导轨上，导
轨的顶端接有定值电阻R＝0.4Ω 和开关S（初始时开关闭合），整个导轨放在磁感应
强度大小为B＝1T 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在平面向上。现在给金属棒a
施加一平行于导轨向下的恒力F＝0.212N，使其从t＝0 时刻由静止开始运动，t0＝1s 时，
金属棒b 刚好开始滑动，已知两金属棒的质量均为m＝0.1kg、电阻均为r＝0.4Ω、长度
均为L＝1m，两金属棒与导轨间的动摩擦因数均为μ＝
，重力加速度为g＝10 m/s2，
导轨间距为L＝1 m，金属棒始终与导轨垂直，且与导轨接触良好，导轨电阻不计，最
大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°＝0.6。
（1）求0～t0时间内，金属棒a 下滑的位移大小；
（2）求0～t0时间内，金属棒a 上产生的焦耳热；
（3）若金属棒b 开始滑动的瞬间，立即断开开关S，在t1时刻，金属棒a 中的电流恰
好达到最大值，已知在t1～2t1时间内，金属棒a 下滑的位移为s0，求这段时间内金属
棒b 的位移大小。
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【答案】（1）0.06m；（2）0.004J；（3）
【详解】（1）金属棒b 刚好滑动时，有
mgsinθ＋BI1L＝μmgcosθ
解得
I1＝0.1A
则干路上的电流
由闭合电路欧姆定律有
由法拉第电磁感应定律有
E＝BLv
联合解得
v＝0.12m/s
对金属棒a，由动量定理有
即
又
联立解得
x＝0.06m
（2）对金属棒a，由动能定理有
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整个回路中产生的焦耳热为
Q 总＝W 安
则0～t0时间内金属棒a 中产生的焦耳热为
解得
Qa＝0.004J
（3）当两金属棒的加速度相同时，金属棒a 中的电流达到最大值，以整体为研究对象，
由牛顿第二定律有
F＋2mgsinθ－2μmgcosθ＝2ma
以金属棒a 为研究对象，有
F＋mgsinθ－μmgcosθ－BI′L＝ma
又
E′＝BL(va－vb)＝2I′r
t1时刻后，两金属棒以相同的加速度沿导轨运动，t1～2t1时间内，由匀变速直线运动规
律有
联立解得
15．如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。abcd 区域有匀强磁场，
磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M 以初速度
向
右运动，磁场内的细金属杆N 处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中
始终与导轨垂直。两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场
及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M 刚进入磁场时受到的安培力F 的大小和方向；
（2）若两杆在磁场内未相撞且N 出磁场时的速度为
，求：
N
①
出磁场时M 的速度；
N
②
在磁场内运动过程中通过回路的电荷量q；
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③初始时刻N 到ab 的最小距离x。
【答案】（1）
，方向水平向左；（2）①
；②
；③
【详解】（1）依题意，当M 进磁场时所受的安培力为
所以
根据左手定则可知，安培力的方向水平向左；
（2）①根据M、N 组成的系统动量守恒，则有N 出磁场时
求得此时M 的速度
②根据动量定理可得
所以
③设两杆在磁场中相对靠近的位移为
，有
整理可得
40
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联立可得
若两杆在磁场内刚好相撞，N 到
的最小距离为
41
