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13 电磁感应
[-考点-11-] 动量定理在电磁感应中的应用二
“电容器＋棒”模型
1．无外力充电式
基本模型
规律
(导轨光滑，电阻阻值为R，电容器电容为C)
电路特点
导体棒相当于电源，电容器充电
电流特点
安培力为阻力，棒减速，E 减小，有I＝，电容器充
电UC变大，当BLv＝UC时，I＝0，F 安＝0，棒匀速
运动
运动特点和
最终特征
棒做加速度a 减小的减速运动，最终做匀速运动，
此时I＝0，但电容器带电荷量不为零
最终速度
电容器充电荷量：q＝CU
最终电容器两端电压U＝BLv
对棒应用动量定理：
mv－mv0＝－BL·Δt＝－BLq
v＝.
v－t 图像
2．无外力放电式
基本模型
规律
(电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C)
电路特点
电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动
电流特点
电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，
同时阻碍放电，导致电流减小，直至电流为零，此
时UC＝BLvm
运动特点及最
终特征
做加速度a 减小的加速运动，最终匀速运动，I＝0
最大速度vm
电容器充电电荷量：Q0＝CE
放电结束时电荷量：
Q＝CU＝CBLvm
电容器放电电荷量：
ΔQ＝Q0－Q＝CE－CBLvm
对棒应用动量定理：
mvm－0＝BL·Δt＝BLΔQ
vm＝
v－t 图像
典例1 (无外力充电式)(多选)如图甲所示，水平面上有两根足够长的
光滑平行金属导轨MN 和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽略不计．
在M 和P 之间接有阻值为R 的定值电阻，导体杆ab 质量为m、电阻
为r，与导轨垂直且接触良好．整个装置处于方向竖直向上、磁感应
强度为B 的匀强磁场中．现给杆ab 一个初速度v0，使杆向右运动．
则( )
A．当杆ab 刚具有初速度v0时，杆ab 两端的电压U＝，且a 点电势
高于b 点电势
B．通过电阻R 的电流I 随时间t 的变化率的绝对值逐渐增大
C．若将M 和P 之间的电阻R 改为接一电容为C 的电容器，如图乙所
示，同样给杆ab 一个初速度v0，使杆向右运动，则杆ab 稳定后的速
度为v＝
D．在C 选项中，杆稳定后a 点电势高于b 点电势
典例2 (无外力放电式)电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得
超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器．电磁轨道炮示意
如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C.两根固定于水平
面内的光滑平行金属导轨间距离为l，电阻不计．炮弹可视为一质量
为m、电阻为R 的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并
与导轨良好接触．首先开关S 接1，使电容器完全充电．然后将S 接
至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B 的匀强磁场
(图中未画出)，MN 开始向右加速运动．当MN 上的感应电动势与电
容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN 达到最大速度，
之后离开导轨．问：
(1)磁场的方向；
(2)MN 刚开始运动时加速度a 的大小；
(3)MN 离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q 是多少．
1.如图甲、乙中，除导体棒ab 可动外，其余部分均固定不动，图甲中的
电容器C 原来不带电．设导体棒、导轨电阻均可忽略，导体棒和导轨间
的摩擦也不计，图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直于水平面(即
纸面)向里的匀强磁场中，导轨足够长．现给导体棒ab 一个向右的初速
度v0，在图甲、乙两种情形下，关于导体棒ab 的运动状态，下列说法正
确的是( )
A．图甲中，ab 棒先做匀减速运动，最终做匀速运动
B．图乙中，ab 棒先做加速度越来越小的减速运动，最终静止
C．两种情况下通过电阻的电荷量一样大
D．两种情形下导体棒ab 最终都保持匀速运动
2．(多选)如图，相距为L 的两光滑平行金属导轨固定在绝缘水平桌面上，
左端接一电容器C，阻值为R 的电阻通过三角旋钮开关S 与两导轨连接，
长度为L、质量为m 的金属杆ab 垂直导轨放置，且与导轨始终接触良好，
两导轨间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B.三角
旋钮开关S 仅1、2 之间导电，S 左旋时能将电阻R 和电容器C 接入同一
回路，右旋时能将电阻R 和金属杆ab 接入同一回路，初始时1、2 连接
电容器和金属杆，现用恒力F 向右拉金属杆ab，使其从静止开始运动，
经一段时间后撤去F，同时旋转S，此时金属杆的速度大小为v0，不计
金属杆和导轨的电阻．下列说法正确的是( )
A．撤去F 前，金属杆做变加速直线运动
B．撤去F 同时向右旋开关S，金属杆做加速度减小的减速运动
1
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C．恒力F 对金属杆做的功等于mv0
2
D．若分别左旋右旋S，两种情况下，通过电阻R 的电荷量之比为
CB2L2∶m
3.如图所示，MN、PQ 为足够长平行光滑水平金属导轨，处于竖直向下
的匀强磁场中，左端M、P 间接有电动势
的电源，右端N、Q
放置有质量为
、电阻为
的金属棒，P、Q 上接有开关
、
，MN、PQ 两导轨间接有
的电容器.GH、JK 为足够
长倾斜粗糙平行金属导轨，处于垂直导轨平面向下的匀强磁场中，下端
接有阻值为
的定值电阻.NQ 端与GJ 端高度差
，水平距
离
.初始，电容器C 不带电，闭合开关
，断开开关
，电容器
充电完毕后，断开开关
，闭合开关
，金属棒从NQ 端水平抛出，恰
能无碰撞从GJ 端进入倾斜导轨.已知导轨间距均为
，两磁场的磁
感应强度均为
，导轨电阻不计，棒始终与导轨垂直且接触良好，
棒与倾斜导轨间的动摩擦因数为
，重力加速度g 取
.求：
(1)金属棒从NQ 端抛出时的速度大小
；
(2)最终电容器存储的电荷量q；
(3)定值电阻
的最大电功率
.
4.如图所示，水平面内有两根足够长的平行导轨
、
，其间距
，左端接有电容
的电容器.质量
的导体棒
可在导轨上滑动，动摩擦因数为μ，导体棒和导轨的电阻不计.整个空
间存在着垂直导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度
.现用一
沿导轨方向向右的恒力
作用于导体棒，使导体棒从静止开
始运动，经
时间后到达B 处，速度
.此时，突然将拉
力方向变为沿导轨向左，大小变为
，又经一段时间后导体
棒返回到初始位置A 处，整个过程电容器未被击穿，重力加速度g 取
.求：
(1)导体棒运动到B 处时，电容器C 上的电荷量；
(2)μ 的大小：
(3)导体棒从B 处返回到初始位置A 处的时间（结果用根号表示）.
5.(多选)(2023·湖北省襄阳五中模拟)如图所示，平行金属导轨
AHQD、PNM 上放置有一导体棒ab，导轨倾斜部分置于竖直向上、
磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，导轨AHQD 水平部分通过导线
分别连接有电容器(电容为C)和定值电阻(阻值为R)，导轨M 端接有
一单刀双掷开关，导轨间距为L，导轨倾斜部分的倾角为θ，导体棒
与导轨间的动摩擦因数为μ(μ<tan θ)，导体棒质量为m，导轨、导体棒
和导线的电阻忽略不计，重力加速度g＝10 m/s2.现在离HN 足够远处由
静止释放导体棒ab，导体棒可沿导轨向下运动，导体棒始终与导轨垂直
且接触良好，则( )
A．断开开关时，导体棒做加速度减小的加速运动，最后匀速下滑
B．开关接1，若导体棒运动距离为s 时，速度为v，则所用时间t＝
C．开关接2，导体棒匀加速下滑
D．开关接2，通过导体棒的电流I＝
2
